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Cuadro Comparativo-Taller Funciones y Graficas Angélica Forero

Lina Ariza Yarima salas Paola pinto Maryuris Orozco Gisel claro

NRC 1709 Corporación Universitaria Minuto de Dios Administración de Empresas 1 Semestre Fundamentos Matemáticos Barranquilla-Atlántico 2020

Tipo de Función

Función Lineal

Función Constante

Definición

Características

Ejemplos

Una función lineal es una función polinómica cuya expresión es: f (X) = m . X + b Se lee comúnmente “f de x”, siendo X la variable independiente, m x b números reales constantes. Analizando la expresión vemos que dado cualquier valor de X, primero lo multiplicamos por a y luego sumamos b. El resultado de toda esa operación será el valor de f (X).

El dominio es el intervalo de valores admisibles para la variable independiente, comúnmente denominada X. En el caso de la función lineal el dominio es el conjunto de los números reales. En otras palabras podemos elegir cualquier valor de X perteneciente al conjunto de los números reales y encontraremos su valor f (X) correspondiente.

EJEMPLO y=3x-2 Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b) Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente

La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente (x), la variable dependiente  (f(x) ) no cambia, es decir, permanece constante. Sea f(x) = c el dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el contradominio es únicamente el real c.

1. La gráfica de la función constante conlleva a una recta horizontal que dista k unidades del eje x, por arriba si k > 0, o por abajo si k < 0. 2. El grado de esta función es 0.

F(x)=+3 La función  f(x) = +3 es una función constante  porque  independiente mente del valor de  x   el valor de la función siempre es  3. Se puede ver también de la siguiente manera: Y=3

3. Su contradominio es en conjunto unitario {k}. 4. No tiene raíces

Representación Grafica

En estas funciones, cada vez que se incrementa x en una unidad, su resultado no aumenta. La función constante se define mediante la expresión f(x) = k, en donde k es un número real diferente de cero. La función constante tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le hace corresponder la misma imagen k.

Función Cuadrática

Una función de la forma f(x)=ax2 +bx+c, con a, b y c pertenecientes a los reales y a1 0, es una función cuadrática y su grafico es una curva llamada parábola.

y = 2x  2 -4 x – 1 Buscamos el vértice de la siguiente Ordenada al origen: indica el manera y reemplazamos punto de corte con el eje y. X= -(-4) / 2.2 = 4/4 = 1 Vértice de la parábola: es el Así, la coordenada en x del vértice punto donde se unen las ramas es: 1. Y procedemos a la tabla de de la parábola. valores Y = 2(-1) 2 - 4 (-1) – 1 Raíces: es el o los puntos Y = 2(1) - 4 (-1) – 1 donde la gráfica  corta al eje x. Y= 2+4-1 Y= 6-1 =5 Eje de simetría: es la línea paralela al eje y que divide a la Y=5 Y así se van realizando con los gráfica en partes iguales o números que colocamos en la tabla simétricas. de valores x. Y = 2(0) 2 - 4 (0) – 1 Y=0+0-1 Y=-1 Y = 2(1) 2 - 4 (1) – 1 Y= 2-4-1 Y=-3

Función Polinómica

Una función polinómica es 1) El dominio de definición es aquella que está definida el conjunto de los números por un polinomio: reales (R). 2) Son siempre continuas. 3) No tienen asíntotas. Donde   a0, a1 ... an-1, 4) Cortan al eje X, como an   son números reales máximo, un número de veces que se llaman coeficientes igual que el grado del del polinomio y   n   es polinomio. el grado del polinomio. 5) Cortan el eje Y en el punto En cuanto a la función (0, a0). polinómica, se trata de una función con números 6) El número de máximos y reales y exponentes mínimos relativos es, a lo enteros positivos. Cabe sumo, igual al grado del destacar que el dominio de polinomio menos uno. todas las funciones 7) El número de puntos de polinómicas es el conjunto inflexión es, a lo sumo, igual de los números reales. al grado del polinomio menos dos.

F(x)=22 -8x+2 Vértice (2.-6) Eje: x=2 X=3 f(3) = -4 X= 4 f(4) =2 Sus siniestros respecto al eje: (1, -4) (0,2)

Función Racional

1) El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador. 2) Para cada valor de x que anula el La función racional que es denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a el cociente resultante de es una asíntota vertical de f(x). dos funciones 3) Si x=a es una raíz simple de polinómicas, de manera que se establece que q(x) = Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos f(x) / g(x). distintos, una hacia +¥ y la Un detalle a tener en otra a  -¥. Si x=a es una raíz cuenta es que el dominio doble, ambas ramas van o de la función polinómica hacia +¥ o hacia -¥. 4) obtiene números reales. Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥ 5) Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x). 6) Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0. 7) Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

f(x)=(x2-2x+2)/(x-1) Dominio: No está definida en x=1 Cortes con los ejes coordenados: (0,-2) Regiones: f(x)0: (1,+¥) Asíntotas: Vertical: x=1 Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥. Puntos singulares: Mínimo (2,2) Máximo (0,-2) Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)3. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥)

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1) El dominio de una función logarítmica son los Es aquella que números reales positivos: genéricamente se expresa Dom(f) = (0. + ∞) . como f (x) == logax, 2) Su recorrido es R:    Im(f) siendo a la base de = R . esta función, que ha de ser 3) Son funciones continuas.1. positiva y distinta de 1. 4) Como   loga1 = 0 , la La función logarítmica es función siempre pasa por el la inversa de punto   (1, 0) .   La función la función exponencial, corta el eje X en el dado que: loga x = b Û ab = punto   (1, 0)   y no corta el x. eje Y. 5) Como   logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto   (a, 1) . 6) Si   a > 1   la función es creciente.  Si   0 < a < 1   la función es decreciente. 7) Son convexas si   a > 1 .Son concavas si   0 < a < 13.

La gráfica de la función logarítmica y = log 10 x  Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b  x  y tiene las siguientes propiedades. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. El rango es el conjunto de todos los números reales. (Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial) La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.

FUNCIÓN CUBICA

se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IREs Generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física

1. El dominio de las funciones cúbicas es  R 2.  El recorrido de las funciones es  R.3) Son funciones continuas en todo R. 3. Cortan al eje X en uno, dos o tres puntos, según el número de raíces reales de   ax3 + bx2 + cx + d . 4.  Cortan al eje Y en el punto   (0 , d) ,  pues  f(0) = d . 5. No están acotadas:   no están acotadas ni inferior, ni superiormente. 6.  No son periódicas.

Y=x3-x El grado de un polinomio determina la máxima cantidad de raíces y así como una cuadrática puede tener un máximo de dos, la cúbica puede tener hasta tres

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

FUNCIÓN INVERSA

La inversa de un función cuando existe, es única. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de Si f(a) = b, entonces una función biyectiva f−1(b) = a. siempre existe. las gráficas de f y f−1 son simétricas La notación f−1 se respecto a la función refiere a la inversa de identidad y = x. la función f y no al  1.La composición de una exponente −1 usado función y su inversa nos da para números reales. la función identidad. Únicamente se usa 2. La función inversa no como notación de la siempre existe. función inversa. 3 Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial. 4. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f (x). Procedimiento 1.Se asila x en la ecuación y = f(x). 2.Se intercambian x por y y viceversa para obtener y = f  -1(y) a) f(x)= 4x + 5 Escribimos y = f(x): y=4x+5 Se despeja x: x = (y - 5) / 4 Se intercambia x e y: y = (x - 5)/ 4 La inversa es f  -1(x)= (x - 5)/ 4