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• Chechu Correa

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Teoría de los circuitos II Prof: Ing. Daniel Moretti Ayte: Ing. Federico Martínez

Cuadripolos Se denomina cuadripolo a cualquier sistema eléctrico que presenta dos pares de terminales accesibles.

A cada par de terminales de cada lado se lo llama “puerto”, por lo que el cuadripolo tiene dos puertos. El interés del estudio de la teoría de cuadripolos parte de la idea de que cualquier red eléctrica bilateral lineal, activa o pasiva, se puede representar por una red de cuatro terminales, y estando esta teoría totalmente desarrollada, pueden aplicarse sus resultados al estudio de problemas habituales en sistemas eléctricos/electrónicos como ser. a) Problemas de transferencia: Para estos casos, se trata de la determinación de la tensión o corriente en un par de terminales en función de la tensión o corriente en el otro par. b) El problema de la transmisión: En este caso, se trata de la determinación de la potencia en un par de terminales en función de la potencia en el otro par. El ejemplo típico es aquella configuración que trasmite energía. Por ejemplo, un cable coaxial o un amplificador; en este último caso se tiene amplificación. c) El problema de la inserción: Surge del efecto que produce la inserción (colocación) de un cuadripolo en una red. El ejemplo típico son los filtros, ya sean pasivos o activos. En este caso se trata de determinar la respuesta en frecuencia. Con este procedimiento se pueden calcular pérdidas de frecuencia por inserción, como así también, en algunos casos, la potencia. La presentación y los resultados siguientes son generales e independientes de la naturaleza del circuito, siempre que estos sean “lineales” e “invariantes en el tiempo”.

Clasificación de los cuadripolos a) Según el tipo de elementos que incluyan en: a1) Activos: Son aquellos que incluyen componentes tales como transistores y fuentes. a2) Pasivos: Son aquellos que incluyen resistencias, inductores, capacitores, diodos ,etc. b) Según las características de los elementos incluidos en: b1) Lineales: Son aquellos que incluyen elementos lineales tales como resistencias, inductancias y capacitores. b2) No lineales: Son aquellos que poseen componentes tales como termistores, diodos, amplificadores, etc.

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c)

Según el sentido de transferencia de la energía: c1) Bilaterales: Estos cuadripolos conducen energía en cualquiera de los dos sentidos, como por ejemplo una red pasiva T , Pi o un cable coaxial. c2) Unilaterales: Poseen componentes tales como amplificadores o diodos que solamente permite que la energía circule en un solo sentido,

d)

Según el tipo de configuración: d1) Balanceados: Son aquellos que poseen un eje de simetría longitudinal, por ej. H, o línea de conductores paralelo. d2) Desbalanceados: Son aquellos que no poseen un eje de simetría longitudinal. d3) Simétricos: Poseen un eje de simetría transversal, por ej. La configuración T. En este caso se pueden permutar ambos pares de terminales y el circuito externo no lo nota. Otro ejemplo es el conductor coaxial. d4) Asimétricos: Que no poseen ningún eje de simetría transversal, por ej. Transistores. Dejan pasar la energía en un solo sentido.

Cuadripolos típicos Las siguientes son las configuraciones de red más comunes entre los cuadripolos.

Ecuaciones Características Se encontrarán las relaciones entre tensiones (V1 y V2) y corrientes (I1 e I2), lo cual equivale a conocer las características del conjunto interno del cuadripolo. El planteo de las relaciones entre tensiones y corrientes lleva a establecer dos ecuaciones en las que, consideradas constantes dos de las variables, podemos obtener las otras dos como incógnitas. Es decir, con conocer cuatro parámetros se podrá definir perfectamente el comportamiento de un cuadripolo. Hay que mencionar que existen 6 juegos diferentes, o familias, que se explicaran a continuación.

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Parámetros Z: Las ecuaciones de la familia de parámetros impedancia o de circuito abierto son: 𝑉 (𝑠) = 𝑧11 𝐼1 (𝑠) + 𝑧12 𝐼2 (𝑠) { 1 𝑉2 (𝑠) = 𝑧21 𝐼1 (𝑠) + 𝑧22 𝐼2 (𝑠) Estos parámetros se denominan de Circuito abierto, porque para definirlos debemos hacer que una de las corrientes I1 o I2 sean nulas, es decir, abrir el circuito correspondiente. 

Impedancia de entrada con salida en circuito abierto 𝑧11 (𝑠) =

𝑉1 (𝑠) | 𝐼1 (𝑠) 𝐼

2 =0



Impedancia de transferencia inversa con entrada en circuito abierto 𝑧12 (𝑠) =

𝑉1 (𝑠) | 𝐼2 (𝑠) 𝐼

1 =0



Impedancia de transferencia directa con salida en circuito abierto 𝑧21 (𝑠) =

𝑉2 (𝑠) | 𝐼1 (𝑠) 𝐼

2 =0



Impedancia de salida con entrada en circuito abierto 𝑧22 (𝑠) =

𝑉2 (𝑠) | 𝐼2 (𝑠) 𝐼

1 =0

Se denominan genéricamente funciones transferencia a aquellas que relacionan una magnitud de la red o circuito con otra magnitud que aparece en un punto diferente del mismo circuito. Las relaciones entre magnitudes de excitación, que aparecen en la entrada o salida del cuadripolo, pueden medirse físicamente con algún instrumento adecuado. Por el contrario, las funciones transferencia sólo pueden ser conocidas a través del cálculo aritmético. Las ecuaciones de la familia pueden expresarse también en forma matricial: Se puede demostrar que al multiplicar un matriz por un vector el resultado es un vector y cada componente del vector está formado por la suma de los productos |

𝑧11 𝑉1 (𝑠) | = |𝑧 𝑉2 (𝑠) 21

𝑧12 𝐼1 (𝑠) 𝑧22 | . |𝐼2 (𝑠)|

La matriz de los parámetros Z se conoce como matriz Impedancia o matriz Z. Siendo su circuito equivalente

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Parámetros Y: Familia de Parámetros Y: {

𝐼1 (𝑠) = 𝑦11 𝑉1 (𝑠) + 𝑦12 𝑉2 (𝑠) 𝐼2 (𝑠) = 𝑦21 𝑉1 (𝑠) + 𝑦22 𝑉2 (𝑠)

También llamados Parámetros de Cortocircuito, porque se definen cortocircuitando la tensión de entrada o la de salida. 

Admitancia de entrada con salida en cortocircuito 𝑦11 (𝑠) =

𝐼1 (𝑠) | 𝑉1 (𝑠) 𝑉 =0 2



Admitancia de transferencia inversa con entrada en cortocircuito 𝑦12 (𝑠) =

𝐼1 (𝑠) | 𝑉2 (𝑠) 𝑉 =0 1



Admitancia de transferencia directa con salida en cortocircuito 𝐼2 (𝑠) | 𝑉1 (𝑠) 𝑉 =0

𝑦21 (𝑠) =

2



Admitancia de salida con entrada en cortocircuito 𝑦22 (𝑠) =

𝐼2 (𝑠) | 𝑉2 (𝑠) 𝑉 =0 1

Representación matricial: 𝑦11 𝐼 (𝑠) | 1 | = |𝑦 𝐼2 (𝑠) 21

𝑦12 𝑉1 (𝑠) 𝑦22 | . |𝑉2 (𝑠)|

La matriz de los parámetros Y se conoce como matriz Admitancia o matriz Y. Siendo su circuito equivalente

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Parámetros Híbridos: Los parámetros híbridos o parámetros h, de especial interés para el estudio de circuitos a transistores, definen la tensión de entrada y la corriente de salida en función de la tensión de salida y la corriente de entrada. El sistema de ecuaciones de la familia es el siguiente: {

𝑉1 (𝑠) = ℎ11 𝐼1 (𝑠) + ℎ12 𝑉2 (𝑠) 𝐼2 (𝑠) = ℎ21 𝐼1 (𝑠) + ℎ22 𝑉2 (𝑠)

Definiciones: 

Impedancia de entrada con salida en cortocircuito ℎ11 (𝑠) =

𝑉1 (𝑠) | 𝐼1 (𝑠) 𝑉 =0 2



Ganancia inversa de tensión con entrada en circuito abierto ℎ12 (𝑠) =

𝑉1 (𝑠) | 𝑉2 (𝑠) 𝐼

1 =0



Ganancia de corriente directa con salida en cortocircuito 𝐼2 (𝑠) | 𝐼1 (𝑠) 𝑉 =0

ℎ21 (𝑠) =

2



Admitancia de salida con entrada en circuito abierto ℎ22 (𝑠) =

𝐼2 (𝑠) | 𝑉2 (𝑠) 𝐼

1 =0

Representación matricial: |

𝑉1 (𝑠) ℎ | = | 11 ℎ21 𝐼2 (𝑠)

𝐼 (𝑠) ℎ12 | .| 1 | ℎ22 𝑉2 (𝑠)

Siendo su circuito equivalente:

Los parámetros híbridos se designan a veces mediante subíndices que corresponden a las iniciales de su denominación en inglés: h11 = hi

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Impedancia de entrada (Input).

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h12 = hr

Ganancia de inversa (Reverse) de tensión.

h21 = hf

Ganancia directa (Forward) de corriente.

h22 = ho

Admitancia de salida (Output).

Matriz Transmisión o Matriz Principal: Expresa las magnitudes a la salida del cuadripolo en función de las magnitudes de entrada, de ahí el nombre de Matriz Transmisión. Por la importancia que tienen sus parámetros se la conoce también como Matriz Principal. Esta familia es especialmente útil para trabajar con las ecuaciones de cuadripolos conectados uno a continuación del otro; de ahí el nombre de matriz transmisión (La señal a la salida del primero se conecta a la entrada del siguiente). Por esta razón, para que la corriente a la salida del primer cuadripolo tenga el mismo sentido que la corriente de entrada del segundo, se invierte el sentido de aquella (es solo una convención). El circuito queda entonces así: Familia de Parámetros Principales: {

𝑉1 (𝑠) = 𝐴 𝑉2 (𝑠) − 𝐵 𝐼2 (𝑠) = 𝑎11 𝑉2 (𝑠) − 𝑎12 𝐼2 (𝑠) 𝐼1 (𝑠) = 𝐶 𝑉2 (𝑠) − 𝐷 𝐼2 (𝑠) = 𝑎21 𝑉2 (𝑠) − 𝑎22 𝐼2 (𝑠)

Definición: 

Ganancia inversa de tensión con salida en circuito abierto 𝑎11 (𝑠) =

𝑉1 (𝑠) | 𝑉2 (𝑠) 𝐼

2 =0



Impedancia de transferencia con salida en cortocircuito 𝑎12 (𝑠) =

𝑉1 (𝑠) | −𝐼2 (𝑠) 𝑉 =0 2



Admitancia de transferencia con salida en circuito abierto 𝑎21 (𝑠) =

𝐼1 (𝑠) | 𝑉2 (𝑠) 𝐼

2 =0



Ganancia inversa de corriente con salida en cortocircuito 𝑎22 (𝑠) =

𝐼1 (𝑠) | −𝐼2 (𝑠) 𝑉 =0 2

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Representación matricial: |

𝑎11 𝑉1 (𝑠) | = |𝑎 𝐼2 (𝑠) 21

𝑎12 𝑉2 (𝑠) 𝑎22 | . |−𝐼2 (𝑠)|

La matriz principal se indica indiferentemente empleando cualquiera de los signos siguientes: 𝐴 | 𝐶

𝑎11 𝐵 | = |𝑎 𝐷 21

𝛾11 𝑎12 𝑎22 | = |𝛾21

𝛾12 𝛾22 | = [𝛾]

De manera análoga a los tres ejemplos anteriores se pueden determinar 6 familias de parámetros de los cuadripolos. Incluyendo las ya vistas, todas las familias son las siguientes:

RECIPROCIDAD Y SIMETRÍA EN CUADRIPOLOS. CUADRIPOLO RECÍPROCO Un cuadripolo es recíproco cuando, conectado a sus puertos un generador de tensión y un amperímetro ideales (con resistencias internas despreciables), el intercambio de las posiciones del generador y del amperímetro, no producen ninguna alteración en el valor de la corriente que marca este último. La condición de reciprocidad puede ser definida también, de forma análoga, haciendo referencia a un generador de corriente y un voltímetro ideales. Los cuadripolos recíprocos son cuadripolos pasivos En un cuadripolo recíproco, los diferentes parámetros característicos (Z, Y, h, g y transmisión), verifican o cumplen ciertas relaciones, es decir:

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𝑍12 = 𝑍21 𝑌12 = 𝑌21 ℎ12 = −ℎ21 𝑔12 = −𝑔21 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 1 En conclusión, suficiente es encontrar tres parámetros en un cuadripolo recíproco. CUADRIPOLO SIMÉTRICO. En un cuadripolo simétrico, es indiferente conectar el generador y la carga en cualquiera de sus puertos y los diferentes parámetros característicos (Z, Y, h, g y transmisión), verifican o cumplen ciertas relaciones, es decir: 𝑍11 = 𝑍22 𝑌11 = 𝑌22 ℎ11 ℎ22 = ℎ12 ℎ21 = 1 𝑔11 𝑔22 = 𝑔12 𝑔21 = 1 𝐴=𝐷 Por consiguiente, en un cuadripolo simétrico, es suficiente determinar dos parámetros. Se puede concluir, que un cuadripolo recíproco, es simétrico cuando el intercambio de las posiciones de sus puertos, entrada y salida, no producen ninguna alteración en las corrientes y tensiones de las mismas.

Relaciones entre parámetros: En ciertos casos necesitamos expresar algún parámetro en función de otro u otros, conocidos o más fáciles de determinar. Para ello es útil conocer las relaciones entre los parámetros de distintas familias. Se puede realizar el pasaje de parámetros entre las distintas representaciones de los cuadripolos, aunque algunas veces hay que cumplir con algunos requisitos para poder hacer esto como por ejemplo que no se anule un determinante. Como ejemplo expresaremos los parámetros T en función de los parámetros Z Parámetros Transmisión

𝑉 (𝑠) = 𝐴 𝑉2 (𝑠) − 𝐵 𝐼2 (𝑠) { 1 𝐼1 (𝑠) = 𝐶 𝑉2 (𝑠) − 𝐷 𝐼2 (𝑠)

Parámetros Z

𝑉 (𝑠) = 𝑧11 𝐼1 (𝑠) − 𝑧12 𝐼2 (𝑠) { 1 𝑉2 (𝑠) = 𝑧21 𝐼1 (𝑠) − 𝑧22 𝐼2 (𝑠)

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Donde cambiamos el signo de 𝐼2 (𝑠) para adecuarlo a la expresión de los parámetros T De la segunda ecuación despejamos 𝑧21 𝐼1 (𝑠) = 𝑉2 (𝑠) + 𝑧22 𝐼2 (𝑠) De donde 𝐼1 (𝑠) =

1 𝑧22 𝑉2 (𝑠) − 𝐼 (𝑠) 𝑧21 𝑧21 2

Si se compara esta expresión con la segunda ecuación de los parámetros principales tenemos la siguiente igualdad: 1

𝐶=𝑧

21

y

𝑧

𝐷 = 𝑧22 21

De manera equivalente puede hallarse A y B en función de los parámetros Z para este caso o cualquier otra equivalencia (La tabla resumen de equivalencias se encuentra en el anexo 1 al final del apunte)

Conexión de cuadripolos Dos o más cuadripolos pueden conectarse entre sí formando un nuevo cuadripolo. Se verán las distintas formas en que pueden hacerlo, y cómo se pueden calcular los parámetros del cuadripolo resultante en función de los parámetros de los cuadripolos que lo componen. Esto se aplicará a la resolución de dos tipos de problema: a) Dados dos o más cuadripolos conocidos, que se asocian para obtener un sistema más complejo, y se quiere estudiar el comportamiento de ese sistema. b) Dado un cuadripolo que presenta cierto grado de complejidad, se lo divide en cuadripolos más simples interconectados. Se calculan los parámetros de los cuadripolos más simples y en función de ellos se obtienen los parámetros del cuadripolo original. Por simplicidad se estudiará la conexión entre dos cuadripolos, ya que según se verá, es evidente que se pueden extender los resultados obtenidos a la conexión de un mayor número de cuadripolos. Hay varias formas de conectar cuadripolos entre sí que podemos clasificar en dos grupos.  El primer grupo conecta la entrada de un cuadripolo con la salida de otro. Hay una sola forma de conexión de este tipo.  El segundo grupo conecta entradas entre sí y salidas entre sí. Hay 4 formas de conexión de este tipo.

Conexión cascada Se llama conexión en cascada la que corresponde al primer grupo. El puerto de salida de un cuadripolo se conecta al puerto de entrada de otro. Puede conectarse cualquier cantidad de cuadripolos de este modo, resultando un cuadripolo cuya entrada es la del primer cuadripolo de la cadena (o la cascada), y su salida la del último. La figura representa una cascada de 2 cuadripolos, A y B.

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Como sentido de las corrientes en los puertos de salida se ha tomado el que corresponde a los parámetros trasmisión. Ello se debe a que en este tipo de conexión resulta sencillo relacionar esos parámetros. Para cada cuadripolo se puede escribir: 𝑉𝐴 𝑉𝐴 | 1𝐴 | = |𝛾 𝐴 | . | 2𝐴 | 𝐼1 𝐼2

𝑉𝐵 𝑉𝐵 | 1𝐵 | = |𝛾 𝐵 | . | 2𝐵 | 𝐼1 𝐼2

𝑦

Dado que la salida del cuadripolo A coincide con la entrada de B, se tiene: 𝑉𝐴 𝑉𝐵 | 2𝐴 | = | 1𝐵 | 𝐼1 𝐼2 Se puede reemplazar en la ecuación de A la de B: 𝑉𝐴 𝑉𝐵 | 1𝐴 | = |𝛾 𝐴 | . |𝛾 𝐵 | . | 2𝐵 | 𝐼2 𝐼1 Luego, como las variables del puerto de entrada de A y las del puerto de salida de B coinciden con las de los respectivos puertos del cuadripolo resultante, 𝑉 𝑉 | 1 | = |𝛾 𝐴 | . |𝛾 𝐵 | . | 2 | 𝐼1 𝐼2 Entonces, la matriz transmisión del cuadripolo resultante es el producto de las matrices de A y B. |𝛾| = |𝛾 𝐴 | . |𝛾 𝐵 | Y si hubiera N cuadripolos en cascada: |𝛾| = |𝛾 𝐴 | . |𝛾 𝐵 | … . |𝛾 𝑁 | Ejemplo Se supone que se conectan en cascada dos cuadripolos cuyas matrices transmisión son: |𝛾 𝐴 | = |5 6

4 | 5

𝑦

|𝛾 𝐵 | = |2 1

3 | 2

Hallar la matriz 𝛾 del conjunto.

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Cuando se realiza el producto de 2 matrices, el elemento de la fila i, columna j de la matriz resultante, es igual a la suma de los productos de los elementos de igual índice de la fila i de la primera matriz por los de igual índice de la columna j de la segunda matriz.

Observaciones: Ambas matrices son pasivas, pues cumplen que ∆A = 5x5 – 6x4 = 1 y ∆B = 2x2 – 3x1 = 1, y simétricas pues el elemento A es igual al elemento D. La matriz resultante obviamente es pasiva, y en efecto se verifica que ∆= 14x28 – 23x17 = 1. Sin embargo, dos matrices simétricas en cascada no tienen por qué dar por resultado una matriz simétrica. En este caso, la matriz resultante no lo es, pues A ≠ D (A = 14 y D = 28)

El ejemplo de la derecha muestra un caso en que dos cuadripolos simétricos, A y B, al conectarse en cascada dan por resultado un cuadripolo asimétrico

La regla que se ha establecido para resolver la conexión cascada supone que los parámetros transmisión, calculados para un cuadripolo aislado, no se modifican si se calcula con otro cuadripolo conectado en cascada. Esta suposición es válida pues los parámetros transmisión valen para cualquier carga (como lo es un cuadripolo conectado a la salida) o cualquier excitación (como el caso de un cuadripolo conectado a la entrada)

Conexión paralelo La entrada y la salida de dos cuadripolos, A y B se conectan en paralelo. En tal caso, las tensiones de entrada y salida del cuadripolo resultante coinciden con las de cada uno de los cuadripolos, es decir:

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𝑉1 = 𝑉1 𝐴 = 𝑉1 𝐵 𝑉2 = 𝑉2 𝐴 = 𝑉2 𝐵 Por su parte, las corrientes de entrada y salida del cuadripolo resultante son la suma de las respectivas corrientes de cada cuadripolo: 𝐼1 = 𝐼1 𝐴 + 𝐼1 𝐵 𝐼2 = 𝐼2 𝐴 + 𝐼2 𝐵 Si se suma miembro a miembro las ecuaciones de los parámetros [Y] de cada cuadripolo obtenemos un resultado muy interesante. En los primeros miembros se suman las corrientes de los cuadripolos A y B, dando por resultado las corrientes del cuadripolo resultante. En el segundo miembro, al ser las tensiones de cada cuadripolo iguales entre sí e iguales a las del cuadripolo resultante, se pueden sacar como factor común

Se ha utilizado la notación matricial por simplicidad, pero la misma demostración puede hacerse escribiendo las ecuaciones de los parámetros [Y]. Nota: la suma de dos matrices se hace sumando los elementos de igual fila y columna. En el caso que vimos, [Y] = [YA] + [YB] significa: 𝑦11 = 𝑦11 𝐴 + 𝑦11 𝐵 𝑦21 = 𝑦21 𝐴 + 𝑦21 𝐵

𝑦12 = 𝑦12 𝐴 + 𝑦12 𝐵 𝑦22 = 𝑦22 𝐴 + 𝑦22 𝐵

Este análisis es válido si los parámetros de cada cuadripolo, determinados cuando está aislado, no se modifican cuando se vincula con otro cuadripolo. Eso es estrictamente correcto en la conexión cascada, en la que un cuadripolo es carga o excitación del otro, ya que una propiedad de los parámetros de los cuadripolos es su independencia de la carga y de la excitación. En las otras conexiones, uno de los cuadripolos puede modificar los parámetros del otro, por lo que lo deducido no sería aplicable. Para mostrarlo nada mejor que un ejemplo. Se considera los cuadripolos de la figura y determinemos el parámetro y11 del de arriba.

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Cuando ese cuadripolo está aislado:

𝑦11 =

𝐼1 1 1 | = + 𝑉1 𝑉2 =0 𝑍1 𝑍2 + 𝑍3

Y cuando se le conecta el de abajo:

𝑦11 =

𝐼1 1 1 | = + 𝑉1 𝑉2 =0 𝑍1 𝑍2

La diferencia estriba en que el cuadripolo de abajo pone en cortocircuito la impedancia Z3. Es evidente que esto ocurre siempre que se conecta un cuadripolo que tiene un polo común entre entrada y salida (como el de abajo), con uno que no lo tiene. En esos casos no podemos aplicar la regla hallada más arriba. También cuando ambos cuadripolos carecen de bornes comunes entre entrada y salida, puede haber diferencias entre los valores de los parámetros de los cuadripolos aislados y conectados, debido a que quedan impedancias en paralelo que producen redistribuciones de corrientes y tensiones. Cuando ambos cuadripolos poseen bornes comunes entre entrada y salida, como en la siguiente figura, los parámetros de cada cuadripolo no se ven afectados al conectarlos. A título de ejemplo, analicemos el parámetro y11 y del cuadripolo de arriba. Con el cuadripolo aislado:

𝑦11 =

𝐼1 1 1 | = + 𝑉1 𝑉2 =0 𝑍1 𝑍2

Al poner en cortocircuito la salida, V1 queda aplicada sobre ambas admitancias en paralelo. Podemos ver que nada cambia cuando conectamos el cuadripolo de abajo. Estos cuadripolos con un polo común entre entrada y salida se llaman desbalanceados. Con ellos no tendremos problemas al aplicar la regla hallada para la conexión paralelo. Como contrapartida, los cuadripolos con impedancia no nula entre bornes de entrada y salida se llaman balanceados. Cuando un cuadripolo de este tipo interviene en la conexión, la mencionada regla no se podrá aplicar sin un análisis previo que determine su validez.

Utilizaremos las pruebas desarrolladas por O. Brune que establecen las condiciones necesarias y suficientes para poder aplicar la suma de parámetros [Y]. Para la conexión paralelo se deben cumplir las dos condiciones que muestra la figura.

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A continuación, mostraremos dos ejemplos para los cuales realizaremos la interconexión paraleloparalelo y el Test de Brune. Ejemplo 1 Cuadripolo A

Cuadripolo B

Cuadripolo B

Interconectando

Interconectando

Test de Brune Condición 1

Test de Brune Condición 1

Vemos que la tensión VR es igual a 0 por lo tanto los parámetros Y del cuadripolo

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Ejemplo 2 Cuadripolo A

Vemos que la tensión VR es distinta de 0 por lo tanto no se puede decir que la suma de los parámetros Y

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resultante de la interconexión se los puede hallar como la suma de los parámetros Y de los cuadripolos A y B

de los cuadripolos A y B sean los parámetros Y del cuadripolo resultante de la interconexión.

Conexión serie En este caso, los puertos de entrada, por un lado, y los de salida por otro, se conectan en serie, con lo que las corrientes son comunes e iguales a las del cuadripolo resultante: 𝐼1 = 𝐼1 𝐴 = 𝐼1 𝐵 𝐼2 = 𝐼2 𝐴 = 𝐼2 𝐵 Mientras que las tensiones se suman: 𝑉1 = 𝑉1 𝐴 + 𝑉1 𝐵 𝑉2 = 𝑉2 𝐴 + 𝑉2 𝐵 Sumando miembro a miembro las ecuaciones de los parámetros [Z]:

Esta regla tiene limitaciones similares a la de la conexión paralelo. La figura muestra las condiciones necesarias y suficientes establecidas por O. Brune para poder resolver con la suma de parámetros [Z] la conexión serie entre cuadripolos.

Conexiones mixtas (serie/paralelo)

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En esta conexión, los puertos de entrada se conectan en serie y los puertos de salida en paralelo. De tal manera: 𝐼1 = 𝐼1 𝐴 = 𝐼1 𝐵 𝑉2 = 𝑉2 𝐴 = 𝑉2 𝐵 y 𝑉1 = 𝑉1 𝐴 + 𝑉1 𝐵 𝐼2 = 𝐼2 𝐴 + 𝐼2 𝐵

Sumando miembro a miembro las expresiones de los parámetros h:

En la figura siguiente se muestra las condiciones de Brune para que la suma de parámetros [H] sea válida.

Conexiones mixtas (paralelo/serie) Esta es la última de las conexiones posibles: los puertos de entrada conectados en paralelo y los de salida en serie.

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Las condiciones que la caracterizan son: 𝑉1 = 𝑉1 𝐴 = 𝑉1 𝐵 𝐼2 = 𝐼2 𝐴 = 𝐼2 𝐵 y 𝐼1 = 𝐼1 𝐴 + 𝐼1 𝐵 𝑉2 = 𝑉2 𝐴 + 𝑉2 𝐵

Sumando las expresiones de las matrices [G]:

Condiciones para que sea válida la suma de parámetros [G]:

Parámetros Imagen Se ha dejado para el final el estudio de los parámetros imagen, ya que no representan una combinación de variables de entrada y salida como los 6 estudiados anteriormente, sino que deben entenderse como una herramienta que servirá para estudiar la perturbación que introduce un cuadripolo en un sistema eléctrico. Se comienza por definir Impedancia iterativa, impedancia imagen e impedancia característica de una red. Luego se introduce la Función Propagación y su relación con los demás parámetros.

Impedancia iterativa

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Se denomina Impedancia iterativa de una red al valor de la impedancia de entrada que coincide con el valor de la impedancia de carga de esa red. En otras palabras, cuando el valor de la impedancia de entrada de una red es igual a la carga, la red presenta impedancia iterativa. Se denomina Zi.

El siguiente circuito muestra un ejemplo de una red que presenta impedancia iterativa.

La red de arriba muestra como a partir de una carga se puede obtener la impedancia iterativa de una forma simple.

Impedancia imagen

La denominación de impedancia imagen proviene de observar lo que sucede entre el generador y la entrada del cuadripolo y entre la salida del cuadripolo y la carga. Si se cumple que la impedancia del generador es igual que la impedancia de entrada del cuadripolo, la impedancia resultante se denomina impedancia imagen de entrada y se simboliza Z01. Por su parte, si la impedancia de salida del cuadripolo es igual a la impedancia de carga, la impedancia resultante se denomina impedancia imagen de salida y se simboliza Z02. Se tiene entonces: 𝑆𝑖

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𝑍𝐺 = 𝑍𝑒

⇒

𝑍𝐺 = 𝑍𝐸 = 𝑍01 = 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

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𝑆𝑖

𝑍𝑆 = 𝑍𝐿

⇒

𝑍𝑆 = 𝑍𝐿 = 𝑍02 = 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

Un ejemplo sencillo de una red conectada en sus extremos que presenta impedancias imagen se muestra en la siguiente figura

Calculo de la Impedancia imagen de Entrada (Z01) y de Salida (Z02) en función de los Parámetros Transmisión Para saber cuánto valen Z01 y Z02 en función de los parámetros transmisión, planteamos las siguientes ecuaciones 𝑉1 = 𝐴 𝑉2 + 𝐵 (−𝐼2 ) 𝐼1 = 𝐶 𝑉2 + 𝐷 (−𝐼2 ) Y como es un cuadripolo cargado 𝑉2 = −𝐼2 𝑍𝐿 La expresión para la impedancia de entrada en función de esto parámetros es: 𝑉2 𝑉1 𝐴𝑉2 + 𝐵(−𝐼2 ) 𝐴 −𝐼2 + 𝐵 𝐴 𝑍𝐿 + 𝐵 𝑍𝐸 = = = = 𝐼1 𝐶𝑉2 + 𝐷(−𝐼2 ) 𝐶 𝑉2 + 𝐷 𝐶 𝑍𝐿 + 𝐷 −𝐼2

(1)

Pero por la definición de parámetros imagen 𝑍𝐸 = 𝑍𝐺 = 𝑍01

𝑦

𝑍𝐿 = 𝑍𝑆 = 𝑍02

Entonces 𝑍01 =

𝐴 𝑍02 + 𝐵 𝐶 𝑍02 + 𝐷

Por su parte, en la impedancia de salida se cumple 𝑍𝑆 =

𝐷 𝑍𝐺 + 𝐵 𝐶 𝑍𝐺 + 𝐴

⇒

𝑍02 =

𝐷 𝑍01 + 𝐵 𝐶 𝑍01 + 𝐴

En estas condiciones se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resolviendo el sistema

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𝐴 𝑍02 + 𝐶 𝑍02 + 𝐷 𝑍01 + = 𝐶 𝑍01 +

𝑍01 = 𝑍 { 02

𝐵 𝐷 𝐵 𝐴

Reemplazando Z02 en Z01 se tiene

𝑍01

𝐷 𝑍01 + 𝐴 𝐶 𝑍01 + = 𝐷𝑍 + 𝐶 𝐶 𝑍01 + 01

𝐵 + 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴+ 𝐷

𝐴𝐵 𝑍01 = √ 𝐶𝐷 𝐷𝐵 𝑍02 = √ 𝐶𝐴 {

Si en la ecuación (1) hacemos tender la Z de carga a cero y luego a infinito , tenemos que la Ze toma los 𝐴

siguientes valores 𝑍𝑒(𝑜𝑝) = 𝐶

𝐵

𝑍𝑒(𝑠ℎ) = 𝐷 por lo tanto reemplazando en la formula anterior 𝐴𝐵 𝑍01 = √ = √𝑍𝑒(𝑜𝑝) 𝑍𝑒(𝑠ℎ) 𝐶𝐷 𝐷𝐵 𝑍02 = √ = √𝑍𝑠(𝑜𝑝) 𝑍𝑠(𝑠ℎ) 𝐶𝐴 {

Las impedancias imagen son la media geométrica de las expresadas por los parámetros Z en condiciones límite de carga (abierto o cortocircuito)

Impedancia característica La impedancia característica es un caso particular para valores de impedancia imagen en un cuadripolo cuando la red es simétrica. Las condiciones de simetría son: 𝑍11 = 𝑍22

𝑌11 = 𝑌22

𝐴=𝐷

𝐵 𝑍01 = 𝑍02 = 𝑍𝑖 = 𝑍0 = √ 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐶 En consecuencia, una red tiene impedancia característica solo cuando es simétrica. En ese caso las impedancias imagen e iterativa son iguales y ese valor recibe el nombre de Impedancia característica de la red Z0. Como ejemplo tenemos un tendido con cable coaxil el que puede considerarse como n cuadripolos iguales puestos en cascada, cada sección tiene una impedancia característica igual a Zo el generador ve una carga única cuya impedancia es Zo. El conductor puede tener por ejemplo 40 o 100 m, pero la impedancia característica es siempre la misma.

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Función propagación La función propagación representa los cambios de amplitud y fase que experimenta un cuadripolo cuando se lo conecta en ambos extremos y esta excitado por una señal senoidal en régimen permanente. Si el cuadripolo está constituido solo por resistencias no modificara la fase de la señal que lo atraviese. En cambio, si está constituido solo por componentes reactivos, no sufrirá atenuación. Una combinación de componentes disipativos y reactivos en una red pueden producir modificaciones en la fase y amplitud de la señal.

Si partimos de la transferencia de tensiones del cuadripolo (puede hacerse lo mismo con las corrientes) debemos notar que V1 y V2 son magnitudes complejas. 𝑇𝑉 =

|𝑉2 |⌊𝛽2 𝑉2 = | | ⌊𝛽2 − 𝛽1 = |𝑇𝑉 |⌊𝛽 |𝑉1 |⌊𝛽1 𝑉1

También se puede escribir 𝑇𝑉 = |𝑇𝑉 |𝑒 𝑗𝛽 = |𝑇𝑉 |(cos 𝛽 + 𝑗 sin 𝛽) La función de propagación se define como 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 Las componentes α y β de dicha constante, adimensionales como ella, tienen un claro sentido físico. Expresando la transferencia en función de los factores de atenuación (α) y fase (β) 𝑇𝑉 = |𝑇𝑉 |𝑒 𝑗𝛽 = 𝑒 𝛼 . 𝑒 𝑗𝛽 = 𝑒 𝛾 La componente real, α, recibe el nombre de constante de atenuación, o simplemente atenuación, y expresa el amortiguamiento producido por el cuadripolo en una variable de entrada con respecto a su correspondiente de salida, si la transmisión de la señal se hace en ese sentido. La componente imaginaria, β, se denomina constante de fase, e indica el desfase existente entre las variables correspondientes de entrada y de salida. Se mide en radianes.

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Unidades Logarítmicas (Neper-Decibel) Es habitual para definir la atenuación contar con una unidad logarítmica por lo que aplicando el ln a ambos lados de la expresión nos define el Neper (unidad adimensional para la atenuación) 𝛼 = 𝑙𝑛

𝑈1 𝐼1 = 𝑙𝑛 𝑈2 𝐼2

es el neper (símbolo: Np), El belio (símbolo: B) es una unidad que se utiliza para expresar el valor relativo de una potencia con respecto a otra, tomada como referencia. En teoría de señales, la medida en belios expresa la atenuación (o ganancia) de potencia que sufre una señal en una cadena de transmisión. Se define la atenuación en belios, A(B), por 𝐴(𝐵) = 𝑙𝑜𝑔

𝑃2 𝑃1

o en decibelios (dB), 𝐴(𝑑𝐵) = 10𝑙𝑜𝑔

𝑃2 𝑃1

Para el cuadripolo cargado con la impedancia característica, Zo, se obtiene 𝑃2 𝑈2 2 𝑈2 𝐼2 𝐴(𝑑𝐵) = 10𝑙𝑜𝑔 = 10𝑙𝑜𝑔 [ ] = 20𝑙𝑜𝑔 = 20𝑙𝑜𝑔 𝑃1 𝑈1 𝑈1 𝐼1

relaciones que se cumplen sólo cuando a la entrada y a la salida se tiene la misma impedancia (en este caso, la característica). La atenuación en decibelios está relacionada con la atenuación en neper por medio de la expresión 𝑈

𝐴(𝑑𝐵) = 20𝑙𝑜𝑔 𝑈1 = 20𝑙𝑜𝑔(𝑒 𝛼 ) = 20. 𝛼. 𝑙𝑜𝑔(𝑒)= 8,686. α(Np) 2

Parámetros Transmisión en función de los parámetros Imagen Se pretende encontrar ahora la equivalencia de los parámetros transmisión y los parámetros Imagen ( Z01, Z02 y 𝛼). Para ello partimos de las ecuaciones características de los parámetros transmisión de un cuadripolo genérico que suponemos está cargado con ZL. 𝑉1 = 𝐴 𝑉2 + 𝐵 (−𝐼2 ) 𝐼1 = 𝐶 𝑉2 + 𝐷 (−𝐼2 ) Sabiendo que

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𝑉2 = −𝐼2 𝑍𝐿 Y como el cuadripolo se supone tiene impedancias imagen 𝑉2 = −𝐼2 𝑍02 Haciendo V1/V2 𝑉1 𝐵 𝐷𝐵 =𝐴+ 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑍02 = √ ⇒ 𝑉2 𝑍02 𝐶𝐴

𝑉1 𝐶𝐴 𝐴 𝐴 = 𝐴 + 𝐵√ = 𝐴 + √ √𝐵𝐶 = √ (√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷) 𝑉2 𝐷𝐵 𝐷 𝐷

De igual forma, haciendo I1/-I2 𝐼1 𝐷𝐵 = 𝐶𝑍02 + 𝐷 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑍02 = √ ⇒ −𝐼2 𝐶𝐴

𝐼1 𝐷𝐵 𝐷 𝐷 = 𝐶√ + 𝐷 = √ √𝐵𝐶 + 𝐷 = √ (√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷) −𝐼2 𝐶𝐴 𝐴 𝐴

Reemplazando en la definición de función propagación, tenemos:

𝑒 2𝛼 =

𝑃𝐸 𝑉1 𝐼1 𝐴 𝐷 = = [√ (√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷)] [√ (√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷)] = (√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷)2 𝑃𝑆 𝑉2 (−𝐼2 ) 𝐷 𝐴

Se puede eliminar el cuadrado, quedando: 2𝛼 = ln(√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷)2

⇒

𝛼 = ln(√𝐵𝐶 + √𝐴𝐷)

⇒

𝑒 𝛼 = √𝐴𝐷 + √𝐵𝐶

Existen algunas identidades que relacionan la función exponencial con las funciones hiperbólicas que nos serán útiles en estos desarrollos, estas son: (ver al final anexo funciones hiperbólicas) 𝑒 𝑥 = 𝑐ℎ 𝑥 + 𝑠ℎ 𝑥 𝑒 2𝑥 =

1 + 𝑡ℎ 𝑥 1 − 𝑡ℎ 𝑥

𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥 = 1 𝑡ℎ 𝑥 =

𝑠ℎ 𝑥 𝑐ℎ 𝑥

Entonces se tiene √𝐴𝐷 + √𝐵𝐶 = 𝑐ℎ 𝛼 + 𝑠ℎ 𝛼 Pero todavía no se puede saber qué término es igual a que término. Para solucionar este inconveniente se invierte la expresión 1 √𝐴𝐷 + √𝐵𝐶

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=

1 𝑐ℎ 𝛼 + 𝑠ℎ 𝛼

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1

√𝐴𝐷 − √𝐵𝐶

√𝐴𝐷 + √𝐵𝐶 √𝐴𝐷 − √𝐵𝐶

=

1 𝑐ℎ 𝛼 − 𝑠ℎ 𝛼 𝑐ℎ 𝛼 + 𝑠ℎ 𝛼 𝑐ℎ 𝛼 − 𝑠ℎ 𝛼

𝑐ℎ 𝛼 − 𝑠ℎ 𝛼 √𝐴𝐷 − √𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 𝑐ℎ 𝛼 − 𝑠ℎ2 𝛼 Si pensamos en la igualdad de los numeradores y los denominadores, tenemos: √𝐴𝐷 − √𝐵𝐶 = 𝑐ℎ 𝛼 − 𝑠ℎ 𝛼

𝑦

𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 𝑐ℎ2 𝛼 − 𝑠ℎ2 𝛼 = 1

Pero para que lo anterior sea válido es necesario que AD-BC = 1. Pero AD-BC no es más que el determinante de la matriz transmisión y sabemos que si es de valor unitario la red es recíproca (cuadripolo pasivo) En otras palabras, este análisis que sigue solo es válido para redes reciprocas ya que en estas se cumple que: 𝑑𝑒𝑡|𝑇| = 1

⇒

𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 1

En estas condiciones y retomando un poco, se tiene: √𝐴𝐷 + √𝐵𝐶 = 𝑐ℎ 𝛼 + 𝑠ℎ 𝛼 √𝐴𝐷 − √𝐵𝐶 = 𝑐ℎ 𝛼 − 𝑠ℎ 𝛼 Ahora si estamos en condiciones de afirmar que: 1.

√𝐴𝐷 = 𝑐ℎ 𝛼

2.

√𝐵𝐶 = 𝑠ℎ 𝛼

Por otra parte, se plantearán 2 expresiones más que serán útiles 𝐵 √𝑍01 𝑍02 = √ 𝐶

3.

4.

𝑍01 𝐴 √ =√ 𝑍02 𝐷

Trabajando con las 4 ecuaciones anteriores se llega finalmente a los parámetros imagen:

Cuadripolos

𝐴 𝑍01 1𝑥4 = √𝐴𝐷 √ = 𝑐ℎ 𝛼√ 𝐷 𝑍02

⇒

𝑍01 𝐴=√ 𝑐ℎ 𝛼 𝑍02

𝐵 2𝑥3 = √𝐵𝐶 √ = 𝑠ℎ 𝛼 √𝑍01 𝑍02 𝐶

⇒

𝐵 = 𝑠ℎ 𝛼 √𝑍01 𝑍02

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2⁄3 =

√𝐵𝐶 √𝐵 𝐶

=

𝑠ℎ 𝛼

⇒

√𝑍01 𝑍02

𝐴 𝑍02 1⁄4 = √𝐴𝐷 √ = 𝑐ℎ 𝛼 √ 𝐷 𝑍01

𝐶=

⇒

𝑠ℎ 𝛼 √𝑍01 𝑍02

𝑍02 𝐷 = 𝑐ℎ 𝛼 √ 𝑍01

Si reemplazamos, llegamos a las ecuaciones características de los parámetros imagen: 𝑍01 𝑉1 = √ 𝑐ℎ 𝛼 𝑉2 − √𝑍01 𝑍02 𝑠ℎ 𝛼 𝐼2 𝑍02

𝐼1 =

𝑠ℎ 𝛼 √𝑍01 𝑍02

𝑍02 𝑉2 − √ 𝑐ℎ 𝛼 𝐼2 𝑍01

Para el caso particular de un cuadripolo simétrico (A=D y Z01=Z02=Z0) las anteriores se reducen a: 𝑉1 = 𝑐ℎ 𝛼 𝑉2 − 𝑍0 𝑠ℎ 𝛼 𝐼2 𝐼1 =

𝑠ℎ 𝛼 𝑉 − 𝑐ℎ 𝛼 𝐼2 𝑍0 2

Redes (T, π, etc.) a partir de los parámetros imagen En los apartados anteriores se encontró una relación entre los parámetros transmisión e imagen, y a partir de eso, podemos calcular los parámetros imagen de una red dada. Ahora se plantea la inversa. Se quiere, a partir de los parámetros imagen como dato, encontrar una red que los satisfaga. Con Z01, Z02 y 𝛼 como dato se quiere encontrar una red T de la forma.

Se sabe que lo más fácil para encontrar una red T es a partir de sus parámetros Z. Estos valen: 𝑍11 = 𝑍1 + 𝑍2 𝑍12 = 𝑍21 = 𝑍2 𝑍22 = 𝑍2 + 𝑍3 Pero también sabemos que:

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𝑍01 𝑍11 𝐴=√ 𝑐ℎ 𝛼 = 𝑍02 𝑍21 𝐶=

𝑠ℎ 𝛼 √𝑍01 𝑍02

=

1 𝑍21

𝑍02 𝑍22 𝐷=√ 𝑐ℎ 𝛼 = 𝑍01 𝑍21 Por lo tanto, si relacionamos se tiene: 𝑍11 𝑍1 =1+ 𝑍21 𝑍2 𝑍21 = 𝑍2 𝑍22 𝑍3 =1+ 𝑍21 𝑍2 Despejando queda:

𝑍1 = 𝑍2 (

𝑍01 𝑐ℎ 𝛼 − √𝑍01 𝑍02 𝑍11 𝑍01 √𝑍01 𝑍02 − 1) = (√ 𝑐ℎ 𝛼 − 1) = 𝑍21 𝑠ℎ 𝛼 𝑍02 𝑠ℎ 𝛼

𝑍2 = 𝑍21 =

𝑍3 = 𝑍2 (

√𝑍01 𝑍02 𝑠ℎ 𝛼

𝑍02 𝑐ℎ 𝛼 − √𝑍01 𝑍02 𝑍22 𝑍02 √𝑍01 𝑍02 − 1) = (√ 𝑐ℎ 𝛼 − 1) = 𝑍21 𝑠ℎ 𝛼 𝑍01 𝑠ℎ 𝛼

Para el resto de las topologías (π, etc.) se aplica un procedimiento similar

Bibliografía 

R. Abascal – Teoría de los cuadripolos – UTN FRA



Fernando Bianchi – Cuadripolos – UTN REGIONAL ROSARIO – Electrotecnia II



Teoría de los circuitos II – UTN FRBA

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Cuadripolo T

𝒁𝟏𝟏 = 𝒁𝒂 + 𝒁𝒄

Cuadripolo π

𝒁𝟏𝟏 =

𝒁𝒂 (𝒁𝒃 + 𝒁𝒄 ) 𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 + 𝒁𝒄

𝒁𝟏𝟐 = 𝒁𝒄

|𝑍 |

𝒁𝟏𝟐 = 𝒁𝟐𝟏 = 𝒁𝟐𝟏 = 𝒁𝒄 𝒁𝟐𝟐 = 𝒁𝒃 + 𝒁𝒄

𝒁𝟐𝟐 =

𝒁𝒂 𝒁𝒃 𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 + 𝒁𝒄

𝒁𝒃 (𝒁𝒂 + 𝒁𝒄 ) 𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 + 𝒁𝒄

∆𝒛 = 𝒁𝒂 𝒁𝒃 + 𝒁𝒄 (𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 ) 𝒀𝟏𝟏 =

|𝑌 |

𝒁𝒃 + 𝒁𝒄 ∆𝒛

𝒀𝟏𝟐 = 𝒀𝟐𝟏 𝒀𝟐𝟐 =

−𝒁𝒄 = ∆𝒛

|𝛾 |

𝒁𝒂 𝒁𝒄

𝒀𝟐𝟐 = 𝒀𝒃 + 𝒀𝒄

𝑨=𝟏+

𝒁𝒂 𝒁𝒃 + 𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 𝒁𝒄 𝟏 𝑪= 𝒁𝒄 𝒁𝒃 𝑫=𝟏+ 𝒁𝒄

Cuadripolos

𝒀𝟏𝟐 = 𝒀𝟐𝟏 = −𝒀𝒄

𝒁𝒂 + 𝒁𝒄 ∆𝒛

𝑨=𝟏+

𝑩=

𝒀𝟏𝟏 = 𝒀𝒂 + 𝒀𝒄

𝒁𝒄 𝒁𝒃

𝑩 = 𝒁𝒄 𝑪=

𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 + 𝒁𝒄 𝒁𝒂 𝒁𝒃

𝑫=𝟏+

𝒁𝒄 𝒁𝒂

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Matriz |𝛾|

Matriz |𝑍|

𝑨=𝟏 En este caso la matriz Z no es utilizable ya que todos sus parámetros son infinitos.

𝑩 = 𝒁𝒔 𝑪=𝟎 𝑫=𝟏 𝑨=𝟏 𝑩=𝟎

𝒁𝟏𝟏 = 𝒁𝟏𝟐 = 𝒁𝟐𝟏 = 𝒁𝟐𝟐 = 𝒁𝒑

𝑪 = 𝟏⁄𝒁𝒑 𝑫=𝟏 𝑨=

𝒁𝑫 + 𝒁𝑬 𝒁𝑬

𝒁𝟏𝟏 = 𝒁𝑫 + 𝒁𝑬

𝑩 = 𝒁𝑫

𝒁𝟏𝟐 = 𝒁𝟐𝟏 = 𝒁𝑬

𝑪 = 𝟏⁄𝒁𝑬

𝒁𝟐𝟐 = 𝒁𝑬

𝑫=𝟏 𝑨=𝟏

𝒁𝟏𝟏 = 𝒁𝑭

𝑩 = 𝒁𝑮

𝒁𝟏𝟐 = 𝒁𝟐𝟏 = 𝒁𝑭

𝑪 = 𝟏⁄𝒁𝑭 𝑫=

𝑨=𝟏+

𝑩=

𝑪=

Cuadripolos

𝒁𝟏 𝒁𝟒 𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 ∑ 𝒁𝚷

𝒁𝟒 ∑ 𝒁𝑻 𝒁𝑻 𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 ∑ 𝒁𝚷 ∑ 𝒁𝚷 𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 ∑ 𝒁𝚷

𝑫=𝟏+ ∑ 𝒁𝚷 = 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 + 𝒁𝟒

𝒁𝟐𝟐 = 𝒁𝑭 + 𝒁𝑮

𝒁𝑮 + 𝒁𝑭 𝒁𝑭

𝒁𝟐 𝒁𝟒 𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 ∑ 𝒁𝚷

𝒁𝟏𝟏 =

𝒁𝟏 (𝒁𝟐 + 𝒁𝟒 ) + 𝒁𝟑 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 + 𝒁𝟒

𝒁𝟏𝟐 = 𝒁𝟐𝟏 =

𝒁𝟐𝟐 =

𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 + 𝒁𝟒

𝒁𝟐 (𝒁𝟏 + 𝒁𝟒 ) + 𝒁𝟑 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 + 𝒁𝟒

∑ 𝒁𝐓 𝒁𝐓 = 𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟏 𝒁𝟑 + 𝒁𝟐 𝒁𝟒

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Parámetros en función de las matrices |𝛾 | |𝑍 | |𝑌 | |ℎ | |𝑔 |

Cuadripolos

Cuadripolos

𝒁𝒂

𝑨−𝟏 𝑪

𝒁𝟏𝟏 − 𝒁𝟏𝟐

𝒀𝟐𝟐 + 𝒀𝟐𝟏 𝚫𝒚

𝚫𝐡 − 𝐡𝟏𝟐 𝐡𝟐𝟐

𝟏 + 𝐠 𝟏𝟐 𝐠 𝟏𝟏

𝒁𝒃

𝑫−𝟏 𝑪

𝒁𝟐𝟐 − 𝒁𝟏𝟐

𝒀𝟏𝟏 + 𝒀𝟏𝟐 𝚫𝒚

𝟏 − 𝐡𝟏𝟐 𝐡𝟐𝟐

𝚫𝐠 + 𝐠 𝟏𝟐 𝐠 𝟏𝟏

𝒁𝒄

𝟏 𝑪

𝒁𝟏𝟐

−𝒀𝟏𝟐 𝚫𝒚

𝐡𝟏𝟐 𝐡𝟐𝟐

−𝐠 𝟏𝟐 𝐠 𝟏𝟏

𝒁𝒂

𝑩 𝑫−𝟏

𝚫𝒁 𝒁𝟐𝟐 − 𝒁𝟐𝟏

𝟏 𝒀𝟏𝟏 + 𝒀𝟏𝟐

𝐡𝟏𝟏 𝟏 − 𝐡𝟏𝟐

𝐠 𝟐𝟐 𝚫𝐠 + 𝐠 𝟏𝟐

𝒁𝒃

𝑩 𝑨−𝟏

𝚫𝒁 𝒁𝟏𝟏 − 𝒁𝟐𝟏

𝟏 𝒀𝟐𝟐 + 𝒀𝟏𝟏

𝐡𝟐𝟐 𝚫𝐡 − 𝐡𝟏𝟐

𝐠 𝟐𝟐 𝟏 + 𝐠 𝟏𝟐

𝒁𝒄

𝑩

𝚫𝒁 𝒁𝟐𝟏

−𝟏 𝒀𝟏𝟐

𝐡𝟏𝟏 𝐡𝟏𝟐

−𝐠 𝟐𝟐 𝐠 𝟏𝟐

𝒁𝒂

𝑨−𝟏 𝑪

𝒁𝟏𝟏 − 𝒁𝟏𝟐

𝒀𝟐𝟐 + 𝒀𝟏𝟐 𝚫𝒚

𝚫𝐡 − 𝐡𝟏𝟐 𝐡𝟐𝟐

𝟏 + 𝐠 𝟏𝟐 𝐠 𝟏𝟏

𝒁𝒃

𝑨+𝟏 𝑪

𝒁𝟏𝟏 + 𝒁𝟏𝟐

𝒀𝟐𝟐 − 𝒀𝟏𝟐 𝚫𝒚

𝚫𝐡 + 𝐡𝟏𝟐 𝐡𝟐𝟐

𝟏 − 𝐠 𝟏𝟐 𝐠 𝟏𝟏

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