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• Gerson Garrido

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• Si y solo si
• Número racional
• Verdad
• Semántica

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- Unidad

{: lntroducción

a la lógica

matemática...........:....... ..........1

1.1ConectivoslógicosyoperacioneSconproposiciones..

...:............ .....,¡...:....

"y"......... "o"...........

1.2 1.3

1.1.2 Conjunción 1.1.3 Disyunción 1.1.4lmplicaciÓn'Si...,entonceS...,,.'.'..... 1.1.5Equivalencia Tautologías y contradicciones Cuantificadores universales y

"...siysólosi..."........ ............. existenciales

Glosario

ti:2.1 Construcción de nuevos

conjuntos

Glosario Autoevaluación de aprendizaje

3.1 3.2 3.3

...................8 ......9 ..........11

.¡..i.............:,............-.....:...... -.......-....12

Unidad 2: Nociones de teoría de conjuntos

Unidad 3: Nociones sobre

.......".6 .........6

.......

relaciones

.......:.....................13

:..............

.........17

.............19 ...............20 ..........21

lntroducción a las relaciones de equivalencia ...........;.........................25 ......27 lntroduc:ión a las relaciones de orden .............28 lntroducción a las relaciones funcionales

Glosario Autoevaluación de aprendizaje

.....,.

........29 ......... ...... 30

Unidad 4: lntroducción al estudio de los sistemas de numeración ......31

4.1 Sistemas de numeración 4.1.1 Sistema de numeración 4.1.2 Sistema de numeración 4.1.3 Sistema de numeración

Glosario Autoevaluación de aprendizaie

.........33

..................34 romano .......35 maya ........36 hindu-arábigo.......

.......

....40 .......40

tx

H

Unidad 5: lntroducción a la aritmética y conjuntos numéricos-......41:

ffi

I'i *

t

5.1

Operaciones definidas en el conjunto de números naturales........ ......,..43 ..........43 5.1.1Adición de números números ...........4 5.1.2 Producto de naturales Orden para los números "........44 Representación gráfica de números naturales ................r.......................45 ......45 Jerarquía operacional

naturales ..........:.. naturales .............

5.2 5.3 5.4 5.5 Elcero 5.6 Operaciones 5.7 5.8

........47

definidas en el conjunto de números enteros ...................48 5.6.1 Adición de números ...............48 Representación gráfica de números enteros ............49 Operaciones definidas en el conjunto de números racionaies ..............50

enteros

............

inversas ...................:......... logaritmos ........... ........ primos divisor ................

5"9

........52 Pgtenciación y operaciones .......53 5.9.1 Leyes de los exponentes ...,..il 5.9.2 Leyes de los ..........55 5.10 Otros conceptos y otras operaciones 5.10.1 Criterios de divisibilidad ........i...................56 ...............................57 5.1l.2Descomposición en números ....58 5.10.3 Máximo común 5.10.4,Mínimo común múltiplo .....59 5.11 Otros conceptos sobre números racionales y operaciones asociadas...6l

5.11.2,Simplificación y amplificación de fracciones............. .................62 ................63 5.11.3 Suma y resta de fracciones ..............64 5.11.4 Producto y cociente de 5.11.5AplicacioneS....'................,. ............65 5.12 Representación gráfica de números racionales ...........65 5.13 Orden en los números ............65 5.14 Fracciones .. . . .....69 5. 1 5 Representación de números reales en la recta ............69 números reales El de los 5.'16 campo ¿insuficiente?...... 5.17 Razones, proporciones, progresiones y variación proporcional ..........70

........ fracciones .......... racionales...... decimales....... numérica

5.17.1.1 Corolario 5.17.1.2 Corolario....... 5.17.2 Propiedad Autc¡evaluación de

aprendiza¡e..

........71 ...........71 .......71

.......81

Unidad 6: lntroducción a la geometría euclidiana y del espacio............83

6.'1 Ángulos, medida x

l"

tipos..... angular .............

y 6.1.1 Sistemas de medición 6.1"2Tipos de ángulos

........88 ...........88 ....89

I

6.2.2.6 Teorema. """""""' R, ,7 -fanrarn 6.2.2.7 6.2.3 Cuadriláteros: concepto y líneas

Teorema

6.2.3.1Teorema

.1.€44tr..-

.qgrso-urv)f+_

notables..

=,o.F; ......§.S J{¡, }r

'-A-'íll

...8...

*1

'(j|.)É

>Fl Éq

xF .

y'be

.{ círculo..... ............Í1r,..-. :";;:w -r\Fcircunferenc¡a...... ..... .........-i .... 1l{uo'o Teoremá....,...,.... ......100 , 6.4 bidimensionales...,. ....100 6.4,1Teorema. ........100 6.4.2 Teorema. ........100 6.4.3 Teorema ..101

6.3

6.4.5

Teorema

'6.5 Poliedros .;

6.6 6.7

..a,

Circunferencia y 6.3.1 Rectas notables en la 6.\3.1.1 Area y perímetro de figuras

6.5.1 Poliedros regulares Cuerpos redondos Volumen de figuras tridimensionales

Teorema. 6.7.2Teorema. 6.7 .3 Teorema. 6.7 .4 Teorema. 6.7.5 Teorema 6.7.6 Teorema 6.7 .1

Glosario Autoevaluación de

aprendizaje........

..101 ..................1ü2

.......102

.....104 ....104 .. .... .. 1

04

........104 ... 1 0S ....1 0S

...:.....!..

....10S ....10S ..106 ..108

Unidad7:tntroducciónalálgebra...'........

............ ...............112 sustracción ............... ......112 cociente ..............; ........112 ............ ,.115 .......... ................116 Factorcomún ..116

Operaciones algebraicas básicas 7.1.1 Adición y 7 .1.2 Producto y 7.1.2.1Téorema del binomio de Newton 7.2 Factorización 7.2.1 7.1

XI

§ ,[1

t. f.

,{::

7.2.2 Diferenciadedoscuadrados............ .............116, 7.2.3 Suma'y diferencira de,dos .....,11t 7.2.4 Factorización de trinomios de la for¡na ax'+ 6¡ + c ......... ..............117

cubos

7.2.5 Factorización de trinomios cuadrados perfectos ..........................118 7.3 Algunas aplicaciones de la factorización algebr:aica ...........................118 7.3.1 Maximo común divisori .,...118 7.3.2 Mínimo común múltipto ...119 7.3.3 Operaciones con expresionesfraccionarias.....¡......... ...119 7.3.4 Ecuaciones y .........12A

(m.c.d.)... (m.c.m)... desigualdades

7.3.4.3 Aplicaciones de las 7.3.4.4

7.4

ecuaciones...... ................124

Desigualdades Funciones 7.4.1Tipos de funciones 7.4.2 Operaciones con funciones 7.4.3 Gráficos de funciones ..........

Glosario Autoevaluación de aprendizale

..125 ................130 .........130 ............130 ..........131

...¡...........

............133 ................133

.......

Unidad 8:' Temas de trigonometría

plana

.............135

B.'1 Técnicas para resolver problemas trigonométricos ............137 8.1.1 Funciones

trigonométricas

Glosario.. Autoevaluación de aprendizaje

...........137 ...........140 ................140

....... \

Unidad 9: Tépicos básicos sobre geometría analítica plana ..........141

recta recta 9.2 Cónicas 9.2.1 Circunferencia 9.z.2Parábola 9.2.3 Elipse Glosario Autoevaluación de aprendizaje ....... 9.1

Pendiente de una 9.1.1 Ecuación de la

.............143 ...............145 ......146 .......146 ..........147 ............148 ..............149 ................150

Unidad l0: lntroducción a la matemática comercial ..,....................151

Porcentajes 10.1.1 Aplicaciones.......... 10.2 lnterés............. 10.1

xrl

..........153 ..........153 ......154

ri: I .l- i

il,

i

|:: l,

compuesto, 10'.3, Descuento Glosario Autoevaluac!ón de aprendizaje ....... 10'.2.2lnterés

Unidad 11: Nociones de estadística

........154 .......1Ss ......156 ..156

descriptiva

11'.1 Gráficos .......... j......!.¡...! 11.1.1Diagr.ama de 11.1.2 Diagrama de sectores 11.1.3

baras

............. Polígonodefrecuencias........ 11.2Medidas detendencia central 11.2.1tMedia aritmética 11.2.2 Mediana 11.2.3 Moda Glosario.

aprendizale.

Autoevaluación de Anexo Solución de las autoevaluciones de Anexo

I ll Ejercicios... Bibliografía....

aprendiza¡e.

......157 ..........160 .......160 ......160 ....'161 ...161

.....161 ..........162 .......163

........1O4 ........164 ..165

....166

.......124

xilt

w B

lntroducción o lq lógico motemático

f,1

'*: -1.

,t :"q

is

,t+

: -,,.,

lntroducción o lo lógico motemát¡co'

.!e

;¡ .ij ,:

j +

,.i

,'i ,}

.*.

i t

l i l

Criterios de desemPeño

ComPetenciqs por desqrrollqr

o

E

Estqr en disPosición

E

de voloror

lo imPortonciq de lo lógico

o o ?

() o

mqlemótico en lo f ormqción

0 o

profesionol.

tt

o

c

o vl It,

E

t, o E .z

c

conocer

o

'i

Expresor e inlerpretor proposiciones lógicos, simPles Y comPuestos'

Sober

t¡,

o,

]:

T'

E

.: 1¡o t(,

..o "o

"r o'l :.:o :o .lü j.

¡o

Utilizqr toblos de verdod Poro deternninor vqlores de verdod en

o

uno proPosición comPuesto'

tt '{o !e

;

Sqber

,U ;! -o

hocer

c l.o .iU

::)

Usor los conectivos Iógicos entre proposiciones Poro interPretqr o estoblecer uncl proposieión comPUesto.

,o rq, ..f io

io :¡!

{iE io

¡E ¡L ü

*. {

.f

ffibólica

o Algebra

de proposiciones'

lntroducción q lo lógico mqiemótico

l.lntroducción q lq lógico m.,lemótic.,

a' ze

=

2 2 0

i)

, i, 7 2

i)

El lenguaje diario es informal para los propósítos de ta matemática; la lógica consigue eliminar

la mayor parte de estas ambigüedades al establecer ciertas reglas de deducción y otorgar valores de veracidad a las proposiciones, las cuales se,obtienen a partir de oraciones en lenguaje simple' se debe enfatizarque la verdad es relativa al hacereste tipo de inferencias pues es posible afirmarque:

,7 i,

,

: , 1 , 1

t

i l ¡ ) ¡

t

j I

Dependiendo del valor de verdad que se proporcione se puede seguir una línea de razonamiento lÓgico para tlegar a una conclusión. Por tanto, no importa si la aseveración es real o no, lo que importa es la línea de razonamiento que se siga para obtener una inferencia

correcta. Aderante se darán argunos ejempros ar respecto.

Tome en cuenta que una proposiciÓn no es un mandato ni una exclamación. Las proposiciones pueden sersimples (atómicas) o compuestas (moleculares). Las.irpr". no están unidas por conectivos lógicos (y, o, si... entonces..., ...si ysólo si...)

compuestas están unidas por conectivos lógicos.

mientras que las proposiciones

Las proposiciones simptes casi siempre se representan con letras minúsculas (p,q,r...) además, éstas pueden ser sólo verdaderas o sóto falsas, mientras que las proposiciones

compuestas se representan con letras mayúsculas (p, e,R...), a diferencia de las proposiciones simples, éstas pueden tener dos o más valores de verdad.

lnlroducción q ls lógico mqlemótico

Reacciones de aprendizaje Clasifiquemos en proposiciones simples o compuestas lo siguiente:

1. 2. 3. ;4:

'A un enterop le llamamos número primo siy sólo sisus únicos diviso-

Antes de empezar a estudiar córno

se forman las proposicion

es aclarar necesario compuestas es ciertos puntos. Como estudiante de

con f recuencia

res positivos son 1y p"

matemática

"Éles buen estudiante o tiene ' suerte en los exámenes."

encontrará términos no definidos conceptualmente, es decir, sólo se tendrá una idea intuitiva de lo que estos representan.

"¡Ve por el automóvil!"

"Hay infinitos números primos."

Solución a las reacciones de aprendizaje

1.

A los términos no definidos se

les llama

concePtos primitivos, tales como anchura, longitud, conjunto, etcétera. No se les define formalmente porque estos dan origen a otros concePtos que

le hacen cabr en una red undancia conceptos.

cíclica

de

Note que esta proposición está unida por el conectivo "...si y sólo si..." por lo tanto es una proposición compuesta.

Sianaliza este caso se puede dar cuenta de que es una proposición compuesta, ya que hay dos simples (Éles buen estudiante. Éltiene suerte en los exámenes) unidas por el conectivo lÓgico "o".

Si pensó que ésta es una proposiciÓn, ha cometido un grave error; note que es una orden exclamativa; es decir, no es proposición. Ésta es una proposición simple; además, esta proposición simple es un famoso teorema de Euclides.

lntroducción q lF) §'.

E.1{^'

Por lo anterior, se puede inferir la siguiente regla:

l¡¡

É

?

*.' -2> -7> 0 > 1> 2 >3.... Se definirá la función valor absoluto al que su dominio es el conjunto de números enteros y su contradominio es el conjunto de los números naturales; es decir:

: I ¿

) ) ) , )

f

i

:Z -+ N

t,

Esta función f se representa pordos barras, es decir, si al número2 se le aplicara'la función valor absoluto se denotaría así: l2l 11

Conjunto en el que se cumplen ciertas propiedades (definición intuitiva).

47

i

lntroducción q lq oritmético y conjunfos numéricos Gen.eralmente esta función se define de esta manera:

l"

H=j o l-a

si

aeZ*

,1

a:0

s,

aeZ-

Por ejemplo: lol= o lol

-r l.l-.

l-{=-(-1):l Esta función f tiene ciertas propiedades que, por razones didácticas, se darán a conocer más adelante. Por ahora sólo se comunicará la noción de lo que es y qué hace la función valor absoluto.

5.6 Operacisnes definidas en el conjunto de números enteros En este conjunto también se cumplen las leyes que se cumplen en las operaciones definidas en el conjunto de los naturales; pero se agregarán otras, a saber: 5.6.1 Adiciéri de números enteros Elemento inverso (simétrico)

Yx e Z;:

(-r)

e Z :x

* (-x) = ¿,

En donde e es elelemento neutro de la adición. La existencia del simétrico permite definir la diferencia o resta como un caso particular de Ia suma; entonces se puede afirmar que la resta es una suma con el simétrico aditivo de algún número entero. No se había definido antes porque se pensó definirla como una suma.

Además, observe que en el campo de los naturales la operación de restar está limitada, ¿por qué? Esa situación no se presenta en el campo de los enteros. Recuerde:

T,V:Z

;{.v minuendo

sustráendo

Diferencia

El producto de números enteros cumple exactamente las mismas propiedades que en los naturales" Todavía no se agregarán las demás propiedades, por no haber introducido el concepto de división o cociente.

,t

.!

'il

lnlroducción q lq qritmético y conjuntos numéricos 5.7 Representación gráfica de números enteros Los enteros se representan en una recta numérica. Por ejemplo la siguiente recta tiene representados los números naturales hasta "n". I

-n

-t

lrttt

-.2

-.t .0 L 2

n

En la vida real, una escalaparu representar números enteros sería un termómetro que mida temperaturas bajo cero.

í§; jffi. iffii

íffii ',',M.

Los primeros geómetras encontraron que elsistema de números que se estaba utilizando no resolvía todos los problemas que ellos encontraban, por ejemplo, no había solución para la ecuació11 qx = b. Para resolver esta ecuación había que efectuar una operación llamada división o cociente.

Dividir mpor,? es encontrarotro número q, tal que m= ne. Por medio de las teorías y coneeptos dados anteriormente se construirá un nuevo conjunto alque se llamará conjúnto de números racionales (Q), en el cual tendrá solución la ecuación ax = b. Considere el conjunto Zx(Z-0 ),en donde los elementos son parejas ordenadas(m,n)y nno es ig,ual a 0. Acá hay una relación de equivalencia (compruébelo) definida de la siguiente manera: (m,n) R (a,á);

Portanto, un número racionalse definirá como una clase de equivalencia de pares ordenados bajo esta relación de equivalencia. Al tomar un par ordenado (m,n) de la clase, se dirá que éste es un representante de clase y será un número racional; en ocasiones a este representante se le llama:fracción, razón, quebrado. Por razones didácticas de aprendizaje, el representante de clase definido anteriormente se utilizará con la siguiente notación: lm, n)

=lmn

eñ donde, m es el numerador y

/¿

es el denominador de la fracción.

La igualdad (equivalencia) de racionales ocurre cuando se cumple la relación R dada al principio:

ma -:;; nn

st.mb=ncl

Elestudio de los números racionales se profundizarámás adelante ya que ésta sólo fue una introducción a su construcción y su definicién desde la teoría de conjuntos.

t'

lnlroducción o lo oritmélico y conjuntos numéricos 5.8 Operaciones definidas en el conjunto de números racionales En este conjunto se cumplen las leyes que se cumplen en las operaciones definidas en el campo de los números enteros; y se agregarán las siguientes:

5.8.1 Producto de números racionales

Elemento inverso (simétrico)

YxeQ;f

fl

le Q:x.-:e, x x

en donde e es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, e =1

La existencia del simétrico permite definir la división como un caso particular de la multiplicación; entonces se puede afirmarque la división es una multiplicación con elsimétrico multiplicativo de algún número racional. No se había definido antes y se le dio el mismo tratamiento que a la definición de resta; de esta manera usted puede observar !a inserción gradual de las operaciones.

Esto no siqnlfica que las operaciones de división (en el caso de los ,r"ionrl"s) y resta (en el caso de los enteros) no se podían efectuar antes de la inserción de estos campos numéricos. Por ejemplo, antes de la inserción de los enteros se podía restar, pero esta operación era limitada ya que el primer número siempre debía ser mayor que el segundo, de lo contrario no era solublel2.

Note que la diferencia y la división pueden considerarse como operaciones inversas a la adición y al producto respectivamente. Recuerde:

D-dq residuo

Cuando una división tiene un residuo igual a cero, la división se llama división exacta, de lo contrario se denomina división inexacta. Otras notaciones comunes para la divisiÓn son: q

D+d:% aF, I .f

§ ¡

./ t

3=" %-n

Existen operaciones que involucran la adición, diferencia, producto y cociente en forma combinada; en las que además, se pueden usar signos de agrupación. Se dieron a conocer en esta parte cle la unidad debido a que se introdujeron las cuatro operaciones básicas. 12 Que se puede resolver.

50

I

ffi

lntroducción o lq qritmético y con¡unios numéricos

;l:

t.i

.1, -

5

Reacción de aprendizaje Realice las siguientes operaciones: a) (3Q-10)+

(7-z) + (9-4)+5+3

b) 8x5+4-3x2+6-:3

o o E

(,

Solución a la reacción de aprendizaje

o

,

o (, o

a) Note que en la operación dada hay signos

de agrupación, portanto lo que está dentro de paréntesis, corchetes o llaves (en ese orden) debe efectuarse primero, entonces se tendría:

o o

u o

tn

(,

lc

po

30-10=20

(,

7

.¡

-2=

5

9*4=5,portanto,

L

=

o o

2O+5+ 5+5 + 3

o:

Se trabaja respetando la jerarquía (primero divisiones y multiplicaciones):4 + 1 + 3 =

1l

o

I

.g

o.

o

oJ

§

b)

o o

E', u

En esta operación no hay signos de agrupación, sólo se trabajará según la jerarquía:

o. o..-

8x5=40

§u ...

3x2=6

J !ll

6+3 =2

(r. .!,.

9';t'

o" (, f,

40+4-6+2=1{)

.r.

t I

lnlroducciein q lq oritméiico y conjunlos numéricos 5.9 Potenciae ién y ope¡.aciones inversas La potenciación es el resultado de tomar un número y multiplicarlo por él mismo cierto número de veces, este cieúo número de veces lo determina elexponente. Fsta es Ia notación usada y las partes de la operación:

an:b a: base n : exponente á : potencia

Además, dependiendo delvalor que tome elexponente, entonces:

al :a

a':a.a a' : a.a.a '

an

: a.a.

a. .... a (nveces)

Normalmente cuando la base está elevada al exponente 2, se dice que está elevada al cuadrado, ya que representa el área de un cuadrado de lado a. Cuando está elevada al exponente 3, se dice que está elevada al cubo, ya que representa elvolumen de un cubo de arista o lado a. Recuerde, si Ia base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva; si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa, debido a la leyide los signos del producto de números reales. Existen dos operaciones inversas a la potenciación; en esta unidad se hará énfasis en la primera; estas operaciones son: La radicaciór¡ en la cual dada la potencia y el exponente, se desea hallar la base. Su notación y sus paftes son:

\lb

:

a, en donde,

n:índice a;raíz enésima b

:c

arttidad subradic al

Por ejemplCI, se sabe que 52 = 25, entonces 5 es la raíz cuadrada de 25; en símbolos:

\Es :5,en el caso de la raízcuadrada el índice se sobreentiende y se puede escribir "125 = 5

I

lnfroducción q lo qrilmético y conjuntos numérfeos De esto se pued'e concluit'que la raiz de cierta cantidad es el número que elevado potencia que dicta el índice reproduce la cantidad subradical.

a

la

La logaritmación es la operación en Ia que dada la potencia y la base se desea hallar el exponente. La notación y las partes son: log. b : n) err donde, n:Iogaritmo de base a

a: base Por ejemplo, se sabe que 1 A2 = 100; entonces se dice que 2 es el logaritmo base 10 de 100. Cuando el logaritmo es de base 10, este número se sobreentiende y la base no se escribe, simbólicamente: log,o 100:1o8100 = 2 o con bases no decimales

logr8=3 .s

5.9.1 Leyes de los exponentes

o

E (,

o

, o

Para todas las leyes que se enunciarán suponga que m, n son números enteros positivos y que a es un número entero.

lU

t,

o o U

'iProducto de potencias de igual base"

an1.on =a m+n

"Cociente de potencias de igual base"

a* _=A

"Exponente cero"

ao

"Potencia de otra potencia"

(a*)' : a"'

"Exponente negativo"

o -¡n

"Distributividad de la potenciación respecto al producto"

(ob)' = anbn

qo (,

o o

o

s

m-t?

a"

o

¿

-c

:1, a+0

o [,

o

E o E .9

o o

o-

o o o

E

u o

e c

:9

1

a

m

u

u 3 E 0

o. (,

"

Expo nente fraccio nario"

ü;

=a%

f

o

E

o o o-

"Distributividad de Ia radicación respecto alproducto"

\fob:rl;rlb

i

lnlroducción o lq qritmético y conjuntos numéricos Demostración de la propiedad de producto de potencias de igual base: segÚn la definición, a está multiplicándose porella misma n veces, es decir:

aaaaa...¡zVeC€S Del mismo modo sucede con

m'.

aaaaa...mVeCeS Al multiplicar las dos expresiones por separado: (a a a a ... nveCeS)(a a a a ... veceS) (a a o a a ... n * mveces) - 6.n+m

5.9.2 Leyes de los logaritmos Logaritmo de un producto: log,

MN:

logo M +log,

N

Logaritmo de un cociente

,"t.(#)=

ros,

M -tos. N

L.ogaritmo de una potencia:

log.

M' = rlogo M

Las demostraciones son consecuencia directa de la aplicación de las leyes de los exponentes -el logaritmo es un exponente-. Ejemplo:

t

Reacción de aprendizaje

a)

-) 3ox 40

b) )8 -)3 c) ^,/b

:127,b =?

d) Halle el núrnero cuyo logres 4.

t

lntroducción q lq qritmético y conjuntos nunnéric os Solución a la reacción de aprendizaje

a)

Pararesolver estos problemas es conveniente usar las anteriormente, por esa raz6n debe aprenderlas.

t"y"láou,

J10-1 -I

-s {J

! o ! "g

o o

semejante:

o-

5y'+2y2 - y+l

- y'

-2y'

o

o o

-2!rz

v U

4y' +0y' - y -1+ xy :4y3 - y + xy -l

o

o .o

'ú u

)

7.1.2 Producto y cociente

!

o

Acá conviene hacer un paréntesis y repasar las reglas de potenciación, pues como habrá deducido solo se pueden operar términos de igual base (sin irnportar que no sean semejantes). También es importante que repase las leyes distributivas de la multiplicación y división dadas

o (, o

!

.o

o

ante¡:iormente.

&

112

t

lntroducción ol ólgebro

\\1.

,.1

Reacción de aprendizaje

Efectuar:

a) b)

(y +l)(xy +2)

(y' + y' +l) +(y +2)

Solución a la reacción de aprendizaje

a)

Cada vez que efectúe una operación se mencionará la ley que usó para que usted la repase y Ia tenga en mente al resolver estos problemas. (y + l)(xy + 2) : y(xy + 2) + l(xy + 2)

y(xy + 2) +t(xy +2)

: y(xy) + y(2) + 1(xy) + 1(2)

xyt*'+2y+xy+2 xyz

+2y+xy+2

b) El procedimiento es el siguiente:

primero se ordenan descendentemente de derecha a izquierda los dos polinomios, luego se divide el primer término del dividendo no nulo, (partes de la división ¿recuerda?) aplicando la regla de cociente de potencias de igual base; de esta manera se obtiene elprimertérmino delcociente, Después, multiplica el primer término del cociente por el

ülÍ,',sl 0j':y.:l

+

1

,+iii1+2u i--,..:::t

.:t

,0..t 't rri

divisor y el resultado lo escribe bajo el dividendo y lo resta; así obtiene un nuevo dividendo. Luego, repite elpaso 1, y así sucesivamente.

,

1i r

*$¡,xi

En álgebra existen expresiones que son de uso constante y se deben notar. Son productos de los cuales, por medio de la inspección, debe predecirsu valor; a estos se les llama productos notables.

El cuadrado de un binomio está dado por la siguiente expresión:

(axb)'z = a'+Zab+b2

1r3 t

lnlroducción ol ólgebro Se anoté elsigno más/menos ya que el cuadrado de binomio puede seraplicado para sumas y restas. El cubo de un binomio está dado por:

("x|f

= a' +3a2b +3ab2 +

b3

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades está dado por:

(a+

b\a -b) = a' -b'

El producto notable número 4 está dado por: (* + o\* + b) = x2 + (a + b)x + ab

El

producto notable número 5 está dado por:

(* * by)@x + dy) = acx' + (ad + bc)xy + bdy2

0 ñ

Todos los productos notables dados pueden demostrarse tanto algebraica como geométricamente. nténtelo.

E

(r

0

f

o

I

(,

!

0 o U

Reacción de aprendizaje

\ Efectuar:

a) b) c)

(y +1)(y

-z)

o

o ! o !

(2x+7y)(6x-y)

(,

(r + 1)(x-

¿

1)

0 (l '1,

!

o

Solución a la reacción de aprendizaje

a)

o

o

Este tiene ta forma de producto notable número 4, endonde a = +1 y b = Alsustituir en la fórmula y efectuar las operaciones indicadas:

(y*tXy+(-2»

= y2

+Q+(a)y+(1)(-2)

= yz

o

r ;o o

-y-2

o

o u o

b) sustituyendo en la fórmula del producto notable número s, en donde 2 Q* * 7 y\6x+ (-y)) = (6)(2)x2 + ((2)(-1) + {7)(6))xy+ (7)(-1)y = !Zx2 + 4}xy

o .o

- 7 y2

U U

,

!

c) Sustituyendo en la fórmula del producto de la suma por la diferencia de dos cantidades,

endondeá=X,b=1.

o

o (,)

)

G+llx-1) = x' *I'=

x2

o

-l

a o &

'l'|.4

,l

lntroducción ol álgeb¡-o Teorema

7

.1.2.1 (Teorema del binomio de Newton)

"Eldesarrollo binomialde (a+b)", contiene n+1 términos. La suma de los exponentes de ay b de cualquiertérmino es /¿: elexponente de a disminuye en 1, y elde b aumenta en 1; de cada término alsiguiente. El primer término del desarrollo es:

d. tr

Elsegundo término es:

a"b

1

n(n - 1)

Eltercertérmino es:

2xl

n(n-lXn-2)

Elcuarto término es:

El último término es.

un-363

3x2xl

Eltérmino que contiene á'es: t

un-z6z

n(n - lXn - 2)...(n -r + 1)

rl

an-¡br

bD

i i i ) I

En el término que contiene b', vea la cantidad que está en el denominador; significa que si es un nÚmero 4, por,ejemplo, entonces se multiplicará 4 por:3 por 2 por,1 (hasta llegar a 1).

Solución a ¡a:reacción de aprendizaje

a o

z

,#

=

Al aplicarel teorema ysuponiendo que a = y, b = -1, n = S; se obtiene que el desarrollo tendrá 5+1 = O términos y además:

Reacción de aprendizaje Desarrollar por medio del teorema del binomio: (y-1)'

Elsegundo término es: Eltercertérmino es: Elcuarto término es:

fr'''(-1)=

-5yo

5(5-!,)

,'r(_t), \ / : 2xl r'

5(5_-l)!5

+10.y,

-2) y'-r(_l),

3x2xl

"

: _tOy,

El quinto término es:

s( s-t ) ( s-2 )( s-3 ) ( s-4 ) yr.o (_r )o _ 4!

El último término es:

(-1)' = -l

Alfinalse obtendría:

(y-1)'

= ys

-5yo +10y, -10y2

+5

y

+5y-l

Elteorema del binomio también es funcional para exponentes negativos.

115

t

N

lniroduccién ol ólgebro 7.2 Factorización El proceso de descomposición u obtención de los factores de un polinomio se denomina Íactorización de dicho polinomio. Se distinguen varios casos; a contínuación se explicarán los más usados. Es conveniente aprender este tema ya que es fundamental para otros como: resolución de ecuaciones, simplificación de fracciones, geometría analítica, entre otros.

7.2.1 Factor común (FC) El FC para un polinomio es elmonomio más grande que divide cada término del polinomio. En el ejemplo se explica el algoritmo para trabajar un FC y cómo distinguirlo.

Ejemplo Factorizar:

14 y5 - 4y3

+ 2y .s

Solución

o E

(,

0

)

Primef:páso: identifique el FC del polinomio.

o (,

En el ejemplo se tiene que el monornio más grande que puede obtener como factor de cada término es 2y.

-9

u t/)

Segundo paso: coloque el FC fuera de cada término del polinomio, asíse tiene:

o

o o ,a

l4yt -4yu +2y:2y(7yo -2y'

o

+11

¿ f

Note que este procedimiento de acomodarlos se realizó gracias a la ley distributiva del producto respecto de la adición.

; E .9

7.2.2 Diferencia de dos cuad¡'ados (DC)

o A.

o o o o u

Recuerde: x 2- a2: (x + a)(x-a)

o

o

\

Reacción de aprendizaje

Solución a Ia reacción de aprendizaje

c

.o o u

o

Factorizar: y2-16

y' -16 : (y)' - (4)' = (y + 4){y - 4)

o o 2 o

a

I

0

L

116

't

lniroducción ol ólgebro 7.2.3 Suma y diferencia de dos cubos Recuerde:

xt+ at= (x + a)(x'?- ax + a)

x'-

&t

= (x - a)(x'z+ ax + a')

Solución a la reacción de aprendizaje

Reacción de aprendizaje

Factorizar:

27x3-8 = (3*r' - Q)' =

I

27x3 -

(3x-2)(9x2+ 6x + 4)

7.2.4 Factorización de trinomios de la forma

af

+ bx + c

Se necesita encontrar los factores de c, pero también los de a.

F,'-. Solución a la reacción de ap.rendizaje

\\

No hay FC previo,

Reacción de aprendizaje

entonces:

II

LS

Primer paso. se coloca un producto de dos ( ) donde cada uno llevará a dos monomios.

oo

Factorizar: Seg

3x2+5x+2

u

ndo, paso : utilice el'en sayo'y el error, para,e hcohtr?r los factores,,

En elejemplo sería: para los primeros términos de los binomios se necesitan factores de +3x2. Éste tendría que ser +3xpor + lx. En los segundos términos de los binomios se necesitan factores de +2. Éste tendría que ser +2 y + I . Se usaron números positivos porque el término medio es positivo.

También debe cerciorarse de conseguir la combinación de estos factores (recuerde el producto notable que lo define) de modo que se

obtenga: 3x2+ 5x + 2

Factores posibles (3x+ 1)(x+

2)

Comprobación

3x2+6x*x*2= 3xx +'lx+2 Éste no es el polinomio original. Debe intentar otra vez. 3x2

(3x+ 2)(x+

+3x*2x*2=

3x2 +

1)

5x*

2

Éste es el polinomio original y es la combinación correcta para el polinomio.

Entonces la respuesta es: (3x+2) (x+1)

117

t

N

o o

,z =

lnlroducción ol ólgebro 7.2.5 Factorización de trinomios cuadrados perfectos (T.C.P.)

: *2 -zob + bx : a2 +\ab + b2

(a +b)2 (o

- &)'

Reacción de aprendizaje Factorizar:

y2 +L4y+49

Solución a la reacción de aprendizaje Note que éste es un trinomio en el cual'el primer coeficiente numérico y el tercero son cuadrados perfectos; note además, que el segundo término es "el doble producto de la primera raízcuadrada por laraízcuadrada deltercertérmino." Vea los productos notables

yt + 1.4x+ 49 = (y)'+ 2(y)(7) * ü):

=

o o

(v + ?)'

E

o o

)

\ f f

7

o

7.3 Algunas 7

aplicaciones de la factorización algebraica

(,,

!

o o

.3.1Máximo común divisor (m.c.d.)

U

f

o

Para calcularlo, extraiga el m.c.d. de la parte numérica y para saber el m.c.d. de la parte literal halle la letra común con su menorexponente. En elcaso de que las expresiones sean polinomios, estos se factorizarán y el m.c.d. será el producto indicado de Ios factores comunes con el menor exponente

o

E '1'

o

E o

2 f

;1' ! o !

\\. \I

\ *\ n"r"ción

sotución a ta reacción de aprendizaie

de

ap.endizaje

.9

{!

o o o

y' = 9 y' (xt + I ) = 9 y' (* +l)(x2 -x +l ) 6*' y' -l2xz yz -l8xy2 :6*y' (*' - 2x -3) - 6*y' (x - 3)(x + 1) 9*'

6*'y'

o ú

Factorice cada una de las expresiones dadas:

Hallar el m.c.d. de:

9*'y' +9y';

o

o-

y'

+

9

'ú o

o .o

'ú o

)

!

-12x2 y2 -l8xyz

Portanto: m.c.d. total: 3y2{x+I)

o (,

) a

9 3

o

o-

118

t

lntroducción ol álgebrq 7.3.2 Mínimo común múltiplo (m.c.m)

Elm.c.m. se calcula delsiguiente modo: Para saber qué coeficiente numérico se le asignará, extraiga el m.c.m. de la parte numérica y para saber el m.c.m de la parte literaljunte las letras comunes y no comunes con su mayor exponente. En el caso de que las expresiones sean polinomios, estos se factorizarán y et m.c.d. será elproducto indicado de losfactores comunes y no comunes con elmayorexponente.

i""-

'

Reacción de aprendizaje Hallar el m.c.m. de:

Solución a la reacción de aprentlizaje

6*t

y' -l2xz y2 -l8xy2 = 6xy'(x' -2x -3) = 6xy' (x - 3)(x + 1)

y' +9y';

9*t

{tJt

9*'y'+9y'=9y'(x'+l):9y'(*+1)(x2-x+L) Portanto:

6*ty' -l2x2y2 -l8xy2

m.c.d. total l8xy2 (x+ 1)(x

*3)(r' - x + i)

7.3.3 Operaciones con expresiones fraccionarias

De los conceptos de aritmética usted recuerda "simplificación" y "racional" y según los conceptos.dados en esta,u,nidad sabe Quées "expresión alg.ebraica"

¡\ 6

o 2 =

Sotución a ta reacción de aprendizaje

\\ \\

\.1

Reacción de aprendizaje

a) Simplifique:

b) Como en este caso es una división, se multiplica por el inverso, al igualque en aritmética.

xx+"7x+72 at¡x- ll x'-

9xl

xr + lZx+

36

12x x2 + 6x

lbc :-' +l?*+36 x2 +6x9x2

2

9x2

xz

b) Efectúe: ---¡--------:-:-__

#

a) Paso 1: factorice completamente el numerador y el denominador. Paso 2: divida entre sí todos los factores comunes que tengan el numerador y el denominador.

x2 a--

+6x

+l?-¡c+36 l2r 9x2(x)(x+Q (x+Q(x+6)Q?*)

Paso 1: escriba como m ultiplicación del recíproco.

3x2

4(x + 6)

Paso 2: multiplique las expresiones según lo aprendido en aritmética, así:

3x2

4x+% x

* -6.0 119

t

lntroducción ol ólgebro Se esperaría que con las unidades estudiadas hasta ahora, se le facilite trabajar con las propiedades de los exponentes, de los radicales y de logaritmos. 7.3-4 Ecuaciones y desigualdades EcuaciÓn es una relación en la cualsólo ciertos valores asignados a las incógnitas satisface n la igualdad, por ejemplo, para la ecuación x - 5 = 0, sólo el valor x = *5, establece la igualdad. Et valor, tal que, cuando usted sustituye la variable por elta, hace verdadera la ecuación, denomina solución de la ecuación.

se

Dependiendo del grado de la ecuación, asíserá el número de raíces que tiene, a saber. una ecuación de segundo grado tiene dos raíces; una ecuación de primer grado tiene una única ¡aí2.

7.3.4.1 Ecuaciones lineales Se le llama así a toda ecuación que tiene como forma canónica, es decir, su expresión más

simple:

-s

o E

orx

o o

* ao =o

o

Ya, e R-{0} ,Yao e R

r-

o o

U

Reacción de aprendizaje

v1 OJ

!

.2x36 -x+10--+355

'1,

o

Resolver:

I

'a (,)

': o (J

oo[3- . roJ :

or[;

.

+J

10x+150:3x+108 1Ox + L5O - 3x - 3x + 108 7x+15ü=108 7x+150-150=108-15O '7x: -42 'lx - 42

't7 x: _6

!

Multiplique ambos lados por et M.c.M. de 3 y s.

.q

o o

3x

o-

Coloque todos los términos de x en un sólo lado

.

o o

'ü

Lo contrario de sumar 150 es restar 150.

o

o .o o U

Lo contrario de multiplicar por 7 es dividir por

Z

.

1

o 0)

o

Si usted sustituye -6 por x en el problema original verá que -6 es la solución que se busca.

120

t

I o o.

lntroducción ol élgebrcl 7

.3.4.2 Ecuacio nes cuad ráticas

ax'+bc+c=0 Donde a no es igual a 0.

Forma estándar

Usted puede solucionar cualquier ecuación cuadrática por medio del método de completacion del cuadrado si se tiene:

ax'+bc+c:0 Donde a es igual a

se puede comptetar sise agrega

ta

constan"'

1

[í)'

Es decir, se completa el cuadrado tomando el %deb(elcoeficiente deltérmino dex) y después elevarlo al cuadrado. Cerciórese de agregarlo en ambos lados para mantener la igualdad.

Reacción de aprendizaje

N

o o

Resolver por completación al cuadrado: x2

-lox: -9

z

Ifal -"

=

Solución a la reacción de aprendizaje Paso 1: vea que en el coeficiente

¡s2

eltérmino sea igual a

1.

Paso 2: aísle ¡2 y los términos de x. Paso 3: complete elcuadrado de la siguiente manera: b es el coeficiente deltérmino de x. Termine el cuadrado toman do % de b y elévelo al cuadrado.

- 10x+ 25= -9+ x2 - 10x* 25= 16 ,2

25

Agregue en ambos ladc¡s de la ecuación la constante encontrada. Esto crea un TCP en el lado izquierdo de la ecuación. Paso 4: factorice eltrinomio cuadrado perfecto (dél paso 3).

x'-10x+25:16 (x-5)a =16

121

t

lntroducción ol ólgebro Paso 5: solucione la ecuación del paso 4.

(x-5)2:16

o bien

x-5:-rG

*-5: JG x-5=4

x-5:-4

x-5+5=4+5 x=9

x-5+5:4+5 x=I

También se puede resolver cualquier ecuación de segundo grado por medio de la formula

cuadrática: * - - t t ^[F -

4o"

2a

¿Cómo se dedujo esta fórmula? Sugerencia: utilice la forma canónica de la ecuación cuadrática y complete cuadrados. iit'

Reacción de aprendizaje

o E

Resolver porfórmula: 2x2

-

5x

o ñ

+1:0

o / -\

,I

o

!

o

o U

Solucién a la reacción de aprendizaje

tá

Debe identificar las

-&t

constantes: a, b, c

o

!

o

p

E

Debe sustituir cada valor en la fórmula y resolver.

(.,

?-

- t-

- 4(2)(1)

ilT

2(2)

5t

.-85

-I

-s

o

o 0)

o

4

La expresión b2-4ac se denomina discriminante.

5t JiT --=

o-

,, o

Discriminante

É

Tipos de soluciones para

o o

ax'+bx+c:0 - 4ac)0 bz -4ac=A b'-4ac(0 b2

.o

Dos Soluciones reales diferentes

Dosso@

U

o

o

lJos raices complejas

He aquí otro tipo de ecuaciones en las que intervienen otras funciones. L

122

t'

lntroducción ol ólgebro

Reacción de aprendizaje Resolver: 3=

x* ^lhx-3 Solución a la reacción de aprendizaje

Paso 1: aísle uno de los radicales. 3=

x*

#

Reste x de los dos lados.

"{l*1

3- x = x+ ,$[tr- x 3- x= "E*L

Deje laraízcuadrada en un lado de la ecuación. Elimine la raizcuadrada

Paso 2: resuelva Ia ecuación resultante. En este ejemplo la ecuación que resultó es una ecuación cuadrática.

(3- *)'=

(#F3)'

9- 6x+ x2 = 2x-

3

Usando cualquiera de los dos tnétodos se

t\

obtiene:

o e

x=+6,y, x=+2

z

Paso 3: compruebe para saber si hay soluciones extrañas. recuerde, este paso se hace en cualquier tipo de ecuación.

Vea si x = 6 es una solución extraña:

j

=

3

:6+

x+

=

"lZ*-= ,r2(Q - 3

3:6+.6 3=6+3 3=9

Puesto que llegamos a una conclusión falsa, x = 6 es una solución extraña.

3-x+ff-3 Vea si x= 2 es una solución extraña:

3 = Z+ JZe)

-3

3=2+"fI

3=2+l J:J

Puesto que conseguimos una conclusión verdaderá, x= 2 es una solución Hay solamente una solución a esta ecuación con radical x=?-.

123

t

lnlroducción ol ólgebro 7

.3.4.3Aplicaciones de las ecuaciones

G. Polya realizó estudios extensos y escribió tres líbros acerca de soluciones de problemas. Se mostrará este método a continuación:

\\

\\t\

Reacción de aprendizaje

L}

Tres veces la diferencia de un número menos 4 es B más que ese número. Encuentre el número.

Solución a la reacción de

aprendizaje

U

Paso 1: entienda el problema. Lea la pregunta varias veces y cuidadosamente. Puesto que busca un número, se obtendrá: -r:nÚmero

o o E C,

o

)

o

o

Paso 2: idee un plan. Tres'veces la diferencia de un número menos 4 es igual a B más que ese número.

'1,

3(x-a)=x*8

o

o U

c o

!

Paso 3: desarrolle el

plan.

lC

- 4) : x + g 3x-LZ = x *B

o

3(x

3x-12

p

o

¿

)c

x+8-x

2x -l? =8 2x.*LZ +L2:8

-9 c,

E E o E

+ 12

-g

o

?s. = 2O

2x

o A.

ZA

T:T

o o o ó

x=10

E

Paso 4: mire detrás. Si usted toma tres veces la diferencia de 10 menos 4, ese número es igual que 8 más 10, así que el número es 10.

o

o

Iu (.,

o o o o

) o

a

I

o A.

,,{.24

t

Inlroducción ol ólgebro

Reacción de aprendizaje A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130. Halle ambas edades.

Solución a la reacción de aprendizaje Paso 1: entienda elproblema. Sea la incógnita x: edad de A x-2: edad de B Paso 2: idee un plan Dadas las condiciones del

problema:

yz+ (x-2)2

= 130

Paso 3: realice el plan

x' -zx-63

=o Las soluciones son (por cualquier método):

x=-7 x=9

Paso 4: mire detrás En este paso descartaremos las soluciones extrañas; note que se desca rta -2, yq que Ia edad no puede ser una magnitud negativa; así, se tiene: Edad de a: 9 años Edad de b: 9^2= 7 años

7.3.4.4

Desigualdades ,

Al resolver desigualdades Iineales se utilizan muchos de los conceptos invotucrados al resolverecuaciones lineales. Básicamente se desea dejar la variable en un lado y lo demás en el otro lado usando operaciones inversas. La diferencia es que hay un número infinito de valores que serían parte de la respuesta. También se analizará la forma de trabajar las desigualdades con valor absoluto.

125 t

lntroducción ol ólgebro Propiedad de la suma para las desigualdades Alsumar Ia misma expresión a ambos lados de una desigualdad ésta no cambia.

¿eué ocurre si a la desigualdad se suman distintas expresiones? propiedad de la multiplicación para tas desigualdades

Áiniün¡plicar el mismo ñúmero positivo a ambos lados de una desigualdad, ésta no cambia de signo.

¿eué sucede si se multiplican números negativos en una desigualdad?contéstelas

[r. pr"guntas formuladas

originan otras propiedades de las desigualdades,

con ejemplos. La notación de intervalo es una manera de escribir qué valores harían cierta una desigualdadHay dos tipos de intervalo: abierto y cerrado, cada uno con una manera específica de escribirlo

páia poOer distinguir la diferencia entre ellos. En general, al usar la notaciÓn del intervalo, separa LsteO siempre colóca primero elvalor más pequeño del intervalo (en el lado izquierdo), (en el lado con una coma los dos extremos, después, coloca elvalor más grande del intervalo

§

derecho).

o

E

{, o f

(.)

Sitiene infinito positivo o infinito negativo en cualquier extremo, siempre utiliza una curva o paréntesis para ese extremo. Esto indicará que no hay punto finaldefinido en esa dirección. Un interyalo abierto no incluye su punto final. Para indicar esto, se usará un paréntesis-

desigualdad

o

o

o

o

t

o

! p o t

x>a x4

Gráfico

Notación de interualo

Í

(4, *)

¡o )

!

o

o (,

) o

xa x4

Notación de íntervalo

t4 , o)

Gráfico

------{-+ 4

x