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• Pedro Martinez

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ECUACIONES Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI c Los Profesores 11/3/2017

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Definici´ on Una ecuaci´on de segundo grado o simplemente ecuaci´on cuadr´atica, es aquella que presenta la forma ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita.

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Definici´ on Una ecuaci´on de segundo grado o simplemente ecuaci´on cuadr´atica, es aquella que presenta la forma ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita.

M´ etodos de resoluci´ on :

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Definici´ on Una ecuaci´on de segundo grado o simplemente ecuaci´on cuadr´atica, es aquella que presenta la forma ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita.

M´ etodos de resoluci´ on : Factorizaci´ on

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Definici´ on Una ecuaci´on de segundo grado o simplemente ecuaci´on cuadr´atica, es aquella que presenta la forma ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita.

M´ etodos de resoluci´ on : Factorizaci´ on Completando cuadrados ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Definici´ on Una ecuaci´on de segundo grado o simplemente ecuaci´on cuadr´atica, es aquella que presenta la forma ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita.

M´ etodos de resoluci´ on : Factorizaci´ on

F´ ormula General

Completando cuadrados ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver x2 + 5x + 6 = 0 Factorizando

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver x2 + 5x + 6 = 0 Factorizando x2 + 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2}

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver x2 + 5x + 6 = 0 Factorizando x2 + 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2} Completando cuadrados

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver x2 + 5x + 6 = 0 Factorizando x2 + 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2} Completando cuadrados  2  2 5 5 − x + 5x + 6 = 0 ↔ x + 5x + +6=0 2 2 | {z } 2

2

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver x2 + 5x + 6 = 0 Factorizando x2 + 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2} Completando cuadrados  2  2 5 5 − x + 5x + 6 = 0 ↔ x + 5x + +6=0 2 2 | {z } 2

2

     5 2 1 5 −1 5 1 x+ = ↔ x+ = ∨ x+ = 2 4 2 2 2 2 | {z } 

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver x2 + 5x + 6 = 0 Factorizando x2 + 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2} Completando cuadrados  2  2 5 5 − x + 5x + 6 = 0 ↔ x + 5x + +6=0 2 2 | {z } 2

2

     5 2 1 5 −1 5 1 x+ = ↔ x+ = ∨ x+ = 2 4 2 2 2 2 | {z } 

C.S. = {−3; −2} N

ECUACIONES

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Dada la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita. Observaci´ on El DISCRIMINANTE de la ecuaci´ on es la expresi´on ∆ = b2 − 4ac

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Dada la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita. Observaci´ on El DISCRIMINANTE de la ecuaci´ on es la expresi´on ∆ = b2 − 4ac Su conjunto soluci´ on es

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Dada la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita. Observaci´ on El DISCRIMINANTE de la ecuaci´ on es la expresi´on ∆ = b2 − 4ac Su conjunto soluci´ on es ( C.S. =

√ √ ) −b − ∆ −b + ∆ ; 2a 2a

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver 1x2 + 5x + 6 = 0 F´ ormula General

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver 1x2 + 5x + 6 = 0 F´ ormula General Siendo a = 1, b = 5 y c = 6,

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver 1x2 + 5x + 6 = 0 F´ ormula General Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuaci´on es : ∆ = 52 − 4(1)(6) = 1

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver 1x2 + 5x + 6 = 0 F´ ormula General Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuaci´on es : ∆ = 52 − 4(1)(6) = 1 √ −5 − ∆ x1 = = −3 2(1)

∨

√ −5 + ∆ x2 = = −2 2(1)

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

M´ etodos de resoluci´ on Resolver 1x2 + 5x + 6 = 0 F´ ormula General Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, El DISCRIMINANTE de la ecuaci´on es : ∆ = 52 − 4(1)(6) = 1 √ −5 − ∆ x1 = = −3 2(1)

∨

√ −5 + ∆ x2 = = −2 2(1)

C.S. = {−3; −2}

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Discusi´ on de las ra´ıces Propiedades : En la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 de inc´ognita x. Seg´ un el signo de su discriminante, se cumple que:

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Discusi´ on de las ra´ıces Propiedades : En la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 de inc´ognita x. Seg´ un el signo de su discriminante, se cumple que: Si ∆ > 0, las ra´ıces son n´ umeros reales y diferentes.

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Discusi´ on de las ra´ıces Propiedades : En la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 de inc´ognita x. Seg´ un el signo de su discriminante, se cumple que: Si ∆ > 0, las ra´ıces son n´ umeros reales y diferentes. Si ∆ = 0, las ra´ıces son n´ umeros reales e iguales.

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Discusi´ on de las ra´ıces Propiedades : En la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 de inc´ognita x. Seg´ un el signo de su discriminante, se cumple que: Si ∆ > 0, las ra´ıces son n´ umeros reales y diferentes. Si ∆ = 0, las ra´ıces son n´ umeros reales e iguales. Si ∆ < 0, las ra´ıces son n´ umeros complejos conjugados.

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Discusi´ on de las ra´ıces Propiedades : En la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 de inc´ognita x. Seg´ un el signo de su discriminante, se cumple que: Si ∆ > 0, las ra´ıces son n´ umeros reales y diferentes. Si ∆ = 0, las ra´ıces son n´ umeros reales e iguales. Si ∆ < 0, las ra´ıces son n´ umeros complejos conjugados.

Importante: Si ∆ ≥ 0, las ra´ıces son n´ umeros reales ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Observaci´ on 3 Respecto a la relaci´on y = ax2 + bx + c, a 6= 0 Su representaci´ on geom´etrica es una par´abola que tiene como v´ertice     b ∆ b b2 V = − ;− = − ;c − 2a 4a 2a 4a Admite un valor m´aximo (m´ınimo) y=−

b ∆ en x = − 4a 2a

si y s´ olo si a < 0 (a > 0)

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Interpretaci´ on geom´ etrica de y = ax2 + bx + c

Cuando ∆ > 0, la gr´afica interseca al eje X en dos puntos, x1 6= x2 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Interpretaci´ on geom´ etrica de y = ax2 + bx + c

Cuando ∆ > 0, la gr´afica interseca al eje X en dos puntos, x1 6= x2 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Interpretaci´ on geom´ etrica de y = ax2 + bx + c

Cuando ∆ = 0, la gr´afica es tangente al eje X, x1 = x2 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Interpretaci´ on geom´ etrica de y = ax2 + bx + c

Cuando ∆ = 0, la gr´afica es tangente al eje X, x1 = x2 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Interpretaci´ on geom´ etrica de y = ax2 + bx + c

Cuando ∆ < 0, la gr´afica no interseca al eje X, x1 ∈ / R, x2 ∈ /R ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Ecuaciones Cuadr´ aticas Interpretaci´ on geom´ etrica de y = ax2 + bx + c

Cuando ∆ < 0, la gr´afica no interseca al eje X, x1 ∈ / R, x2 ∈ /R ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Sean x1 , x2 ra´ıces de la ecuaci´ on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 Suma de Ra´ıces b x1 + x2 = − a

Producto de Ra´ıces c x1 x2 = a

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Sean x1 , x2 ra´ıces de la ecuaci´ on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 Suma de Ra´ıces b x1 + x2 = − a

Producto de Ra´ıces c x1 x2 = a

Diferencia de Ra´ıces √ Si x1 > x2 , entonces x1 − x2 =

∆ a

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Sean x1 , x2 ra´ıces de la ecuaci´ on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 Suma de Ra´ıces b x1 + x2 = − a

Producto de Ra´ıces c x1 x2 = a

Diferencia de Ra´ıces √ Si x1 > x2 , entonces x1 − x2 =

∆ a

O tambi´en (x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = 4x1 x2 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Ecuaciones cuadr´ aticas equivalentes Si las ecuaciones cuadr´aticas mx2 + nx + p = 0 y qx2 + rx + s = 0 donde m, n, p, q, r y s son n´ umeros reales, son equivalentes, entonces

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Ecuaciones cuadr´ aticas equivalentes Si las ecuaciones cuadr´aticas mx2 + nx + p = 0 y qx2 + rx + s = 0 donde m, n, p, q, r y s son n´ umeros reales, son equivalentes, entonces m n p = = q r s

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Ecuaciones cuadr´ aticas equivalentes Si las ecuaciones cuadr´aticas mx2 + nx + p = 0 y qx2 + rx + s = 0 donde m, n, p, q, r y s son n´ umeros reales, son equivalentes, entonces m n p = = q r s Reconstrucci´ on de la ecuaci´ on Una ecuaci´on cuadr´atica en variable x, de ra´ıces x1 y x2 es:

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces Ecuaciones cuadr´ aticas equivalentes Si las ecuaciones cuadr´aticas mx2 + nx + p = 0 y qx2 + rx + s = 0 donde m, n, p, q, r y s son n´ umeros reales, son equivalentes, entonces m n p = = q r s Reconstrucci´ on de la ecuaci´ on Una ecuaci´on cuadr´atica en variable x, de ra´ıces x1 y x2 es: x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces

Ra´ız com´ un Si α es una ra´ız com´ un de las ecuaciones cuadr´aticas mx2 + nx + p = 0 y qx2 + rx + s = 0 donde m, n, p, q, r y s son n´ umeros reales (nq 6= mr), entonces

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Ecuaci´ on polinomial de segundo grado

Propiedades de las Ra´ıces

Ra´ız com´ un Si α es una ra´ız com´ un de las ecuaciones cuadr´aticas mx2 + nx + p = 0 y qx2 + rx + s = 0 donde m, n, p, q, r y s son n´ umeros reales (nq 6= mr), entonces α=

ms − pq nq − mr

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Ecuaci´ on bicuadrada

Ecuaci´ on bicuadrada Definici´ on Una ecuaci´on bicuadrada presenta la forma general: ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0

(∗)

donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita. Conjunto Soluci´ on Al reemplazar y = x2 , en la ecuaci´ on (∗), se obtiene ay 2 + by + c = 0, cuyas ra´ıces son

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Ecuaci´ on bicuadrada

Ecuaci´ on bicuadrada Definici´ on Una ecuaci´on bicuadrada presenta la forma general: ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0

(∗)

donde a, b y c son n´ umeros reales y x es la inc´ ognita. Conjunto Soluci´ on Al reemplazar y = x2 , en la ecuaci´ on (∗), se obtiene ay 2 + by + c = 0, cuyas ra´ıces son y=

−b ±

√

b2 − 4ac 2a ECUACIONES

N

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Ecuaci´ on bicuadrada

Ecuaci´ on bicuadrada Entonces

s x=±

−b ±

√

b2 − 4ac 2a

es decir,

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Ecuaci´ on bicuadrada

Ecuaci´ on bicuadrada Entonces

s x=±

es decir, s x1 =

−b +

−b ±

√

b2 − 4ac 2a

√

b2 − 4ac =α 2a

s x2 = −

−b +

√

b2 − 4ac = −α 2a

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Ecuaci´ on bicuadrada

Ecuaci´ on bicuadrada Entonces

s x=±

es decir, s x1 = s x3 =

−b +

−b −

−b ±

√

b2 − 4ac 2a

√

b2 − 4ac =α 2a

√ b2 − 4ac =β 2a

s x2 = − s x4 = −

−b +

−b −

√

b2 − 4ac = −α 2a

√

b2 − 4ac = −β 2a

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Ecuaci´ on bicuadrada

Propiedad de las ra´ıces Conjuntos Soluci´ on C.S. = {α, −α, β, −β} Importante! Si α y β son dos ra´ıces no sim´etricas (α + β 6= 0) de la ecuaci´on bicuadrada ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0 entonces :

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Ecuaci´ on bicuadrada

Propiedad de las ra´ıces Conjuntos Soluci´ on C.S. = {α, −α, β, −β} Importante! Si α y β son dos ra´ıces no sim´etricas (α + β 6= 0) de la ecuaci´on bicuadrada ax4 + bx2 + c = 0, abc 6= 0 entonces : α2 + β 2 = −

b a

y

α2 β 2 =

c a

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Ecuaci´ on bicuadrada

Propiedad de las ra´ıces

Reconstrucci´ on de la ecuaci´ on Una ecuaci´on bicuadrada en variable x, donde dos de sus ra´ıces α y β son no sim´etricas, es :

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Ecuaci´ on bicuadrada

Propiedad de las ra´ıces

Reconstrucci´ on de la ecuaci´ on Una ecuaci´on bicuadrada en variable x, donde dos de sus ra´ıces α y β son no sim´etricas, es : x4 − (α2 + β 2 )x2 + α2 β 2 = 0

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Polinomio sobre R Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir : p(x) = a1 xn + a2 xn−1 + a3 xn−2 + . . . + an x + an+1 donde: a1 , a2 , . . . , an+1 son n´ umeros reales, a1 6= 0

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Polinomio sobre R Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir : p(x) = a1 xn + a2 xn−1 + a3 xn−2 + . . . + an x + an+1 donde: a1 , a2 , . . . , an+1 son n´ umeros reales, a1 6= 0 a1 , a2 , . . . , an+1

:

Coeficientes

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Polinomio sobre R Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir : p(x) = a1 xn + a2 xn−1 + a3 xn−2 + . . . + an x + an+1 donde: a1 , a2 , . . . , an+1 son n´ umeros reales, a1 6= 0 a1 , a2 , . . . , an+1 a1

: :

Coeficientes Coeficiente principal

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Polinomio sobre R Sea p(x) un polinomio definido sobre R, es decir : p(x) = a1 xn + a2 xn−1 + a3 xn−2 + . . . + an x + an+1 donde: a1 , a2 , . . . , an+1 son n´ umeros reales, a1 6= 0 a1 , a2 , . . . , an+1 a1 n

: : :

Coeficientes Coeficiente principal Grado de p(x)

R : Conjunto de los N´ umeros Reales

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Definici´ on Sea p(x) un polinomio definido sobre R, la ecuaci´on polinomial p(x) = 0, se denomina rec´ıproca, si cumple que si r es soluci´on de la ecuaci´on, entonces 1/r ( su rec´ıproco ) tambi´en es una soluci´on de la ecuaci´on.

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Definici´ on Sea p(x) un polinomio definido sobre R, la ecuaci´on polinomial p(x) = 0, se denomina rec´ıproca, si cumple que si r es soluci´on de la ecuaci´on, entonces 1/r ( su rec´ıproco ) tambi´en es una soluci´on de la ecuaci´on.

Teorema Una condici´on necesaria para que una ecuaci´ on p(x) = 0 sea rec´ıproca, es que los coeficientes equidistantes de los extremos de p(x) sean iguales o sim´etricos (sumen cero).

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca

Observaci´ on 1 Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde los coeficientes de los t´erminos equidistantes de los extremos son iguales, la ecuaci´on polinomial p(x) = 0 tiene como ra´ız a −1.

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca

Observaci´ on 1 Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde los coeficientes de los t´erminos equidistantes de los extremos son iguales, la ecuaci´on polinomial p(x) = 0 tiene como ra´ız a −1.

Observaci´ on 2 Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado impar, donde los coeficientes de los t´erminos equidistantes de los extremos son sim´etricos, la ecuaci´on polinomial p(x) = 0 tiene como ra´ız a 1.

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Observaci´ on 3 Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado par, la ecuaci´on rec´ıproca p(x) = 0, se resuelve mediante la sustituci´on x+

1 =z x

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Observaci´ on 3 Si p(x) es un polinomio definido sobre R y de grado par, la ecuaci´on rec´ıproca p(x) = 0, se resuelve mediante la sustituci´on x+

1 =z x

Ejemplo Resolver : 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 = 0

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Resoluci´ on Piden resolver : 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 = 0

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Resoluci´ on Piden resolver : 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 = 0 Como x 6= 0, 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 0 = 2 2 x x

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Resoluci´ on Piden resolver : 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 = 0 Como x 6= 0, 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 0 = 2 2 x x 6x2 + 5x − 38 +

5 6 + 2 =0 x x ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Sea

    1 1 2 6 x + 2 +5 x+ − 38 = 0 x x

(∗)

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Sea

    1 1 2 6 x + 2 +5 x+ − 38 = 0 x x si x +

(∗)

1 1 = z, entonces x2 + 2 = z 2 − 2 x x

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Sea

    1 1 2 6 x + 2 +5 x+ − 38 = 0 x x si x +

(∗)

1 1 = z, entonces x2 + 2 = z 2 − 2 x x

al reemplazar en (∗), se tiene que : 6(z 2 − 2) + 5z − 38 = 0

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Sea

    1 1 2 6 x + 2 +5 x+ − 38 = 0 x x si x +

(∗)

1 1 = z, entonces x2 + 2 = z 2 − 2 x x

al reemplazar en (∗), se tiene que : 6(z 2 − 2) + 5z − 38 = 0 de lo cual 6z 2 + 5z − 50 = (3z + 10)(2z − 5) = 0

ECUACIONES N

27 / 30

Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Se sigue que : 3z + 10 = 0

∨

2z − 5 = 0

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Se sigue que : 3z + 10 = 0

∨

al sustituir z =x+

2z − 5 = 0 1 x

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Se sigue que : 3z + 10 = 0

∨

al sustituir z =x+ 

1 3 x+ x

 + 10 = 0 ∨

2z − 5 = 0 1 x   1 2 x+ −5=0 x

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Se sigue que : 3z + 10 = 0

∨

al sustituir z =x+ 

1 x

+ 10 = 0 ∨

  1 2 x+ −5=0 x

3x2 + 10x + 3 = 0 ∨

2x2 − 5x + 2 = 0

1 3 x+ x



2z − 5 = 0

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Se sigue que : 3z + 10 = 0

∨

al sustituir z =x+ 

1 x

+ 10 = 0 ∨

  1 2 x+ −5=0 x

3x2 + 10x + 3 = 0 ∨

2x2 − 5x + 2 = 0

1 3 x+ x



2z − 5 = 0

(3x + 1)(x + 3) = 0 ∨ (2x − 1)(x − 2) = 0

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Ecuaci´ on rec´ıproca Se sigue que : 3z + 10 = 0

∨

al sustituir z =x+ 

1 x

+ 10 = 0 ∨

  1 2 x+ −5=0 x

3x2 + 10x + 3 = 0 ∨

2x2 − 5x + 2 = 0

1 3 x+ x



2z − 5 = 0

(3x + 1)(x + 3) = 0 ∨ (2x − 1)(x − 2) = 0   1 1 C.S. = −3, − , , 2 3 2 ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Material de Estudio

Ejercicio 65 Hallar el n´ umero de valores a ∈ Z, para que una de las ra´ıces de 3x2 + 2(9a − a2 )x − 12a = 0 se encuentre en el intervalo h−24; −6i

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Material de Estudio

Ejercicio 65 Hallar el n´ umero de valores a ∈ Z, para que una de las ra´ıces de 3x2 + 2(9a − a2 )x − 12a = 0 se encuentre en el intervalo h−24; −6i

Ejercicio 69 Se desea construir un paralelep´ıpedo recto, de base cuadrada de 120 cm de longitud. ¿Cu´al es el mayor valor (en cm2 ) que puede asumir la superficie total del paralelep´ıpedo?

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Material de Estudio

Ejercicio 65 Hallar el n´ umero de valores a ∈ Z, para que una de las ra´ıces de 3x2 + 2(9a − a2 )x − 12a = 0 se encuentre en el intervalo h−24; −6i

Ejercicio 69 Se desea construir un paralelep´ıpedo recto, de base cuadrada de 120 cm de longitud. ¿Cu´al es el mayor valor (en cm2 ) que puede asumir la superficie total del paralelep´ıpedo?

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Material de Estudio Ejercicio 71 Determine la suma de valores de “m” si las cuatro ra´ıces de x4 − 30x2 + (m + 1)2 = 0 Se hallan en progresi´ on aritm´etica.

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Material de Estudio Ejercicio 71 Determine la suma de valores de “m” si las cuatro ra´ıces de x4 − 30x2 + (m + 1)2 = 0 Se hallan en progresi´ on aritm´etica.

Ejercicio 73 Al resolver x4 + ax2 + 3a = 0, las ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 verifican x71 + x72 + x73 + x74 + 5 = a Determine k = x31 x2 x3 x4 + x1 x32 x3 x4 + x1 x2 x33 x4 + x1 x2 x3 x34

ECUACIONES N

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Ecuaci´ on Rec´ıproca

Material de Estudio Ejercicio 71 Determine la suma de valores de “m” si las cuatro ra´ıces de x4 − 30x2 + (m + 1)2 = 0 Se hallan en progresi´ on aritm´etica.

Ejercicio 73 Al resolver x4 + ax2 + 3a = 0, las ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 verifican x71 + x72 + x73 + x74 + 5 = a Determine k = x31 x2 x3 x4 + x1 x32 x3 x4 + x1 x2 x33 x4 + x1 x2 x3 x34

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