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FÍSICA COMPUTACIONAL II (GRADO EN FÍSICAS) CÓDIGO DE LA ASIGNATURA: 61042047 PROBLEMAS RESUELTOS 10 de o tubre de 2011

1. 1.

Resolu ión de e ua iones no lineales

El medi amento administrado a un pa iente produ e una on entra ión en la

orriente sanguínea dada por t C(t) = Ate− 3

donde la on entra ión C se mide en miligramos por mililitro, y t mide el tiempo en horas después de inye tarle A unidades. La on entra ión máxima autorizada (segura para la salud el pa iente) es de 1 mg/ml. a) ¾Qué dosis deberá inye társele al pa iente para al anzar la máxima on entra ión segura y uándo se presenta esa on entra ión? b) Deberá suministrarse al pa iente una antidad adi ional del medi amento después de que la on entra ión disminuya a 0,25 mg/ml. Determine, on una aproxima ión al minuto más er ano, uándo debe apli arse la segunda inye

ión tras di ha dosis ini ial determinada en el apartado a).

) Suponiendo que la on entra ión produ ida por inye

iones onse utivas es aditiva y que el 75 % de la dosis inye tada originalmente se administra en la segunda inye

ión, ¾ uándo será el momento de apli ar la ter era inye

ión? No resuelva todos los apartados utilizando el mismo método numéri o. 2.

Consideramos un sistema onstituido por in o bolas de masa m (las bolas impares) y M (las bolas pares) unidas por muelles de onstante elásti a k. Los muelles primero y último tienen extremos jos en x = 0 y x = L. Las bolas sólo pueden vibrar en la dire

ión del eje OX de modo que el sistema es unidimensional, siendo xn (t) las oordenadas de ada partí ula on respe to al sistema de referen ia. a)

Cal ular la posi ión de equilibrio de ada bola x0n . Este ál ulo es inmediato ya que todos los muelles tienen la misma onstante k y longitud natural de equilibrio.

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Se dene un(t) = xn (t) − x0n omo la desvia ión de la posi ión de ada bola respe to de la posi ión de equilibrio. Es ribir las e ua iones del movimiento de ada bola en fun ión de un (t).

) Bus ar solu iones parti ulares de la forma un (t) = An sin (ωt + δ). Para ello se propone sustituir estas solu iones en las e ua iones del movimiento. Se obtendrá un sistema homogéneo de in o e ua iones on in ógnitas An , on n = 1, . . . , 5. Re ordemos que todos los sistemas homogéneos admiten, al menos, la solu ión trivial, pero la ondi ión ne esaria y su iente para que un sistema homogéneo tenga solu iones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los oe ientes sea menor que el número de in ógnitas, o di ho de otra forma, que el determinante de la matriz de los oe ientes sea nulo. En este aso, el sistema admitirá innitas solu iones (será ompatible indeterminado). Para obtener las solu iones para las uales nuestro sistema de e ua iones sea ompatible indeterminado, al ule analíti amente el determinante de la matriz de oe ientes y al ule sus eros por algún método numéri o. (Para asegurarse de la validez de la implementa ión de su programa o algoritmo numéri o, puede omparar en primer lugar la solu ión numéri a de los valores propios on la solu ión exa ta en un problema simpli ado, omo puede ser el de 3 bolas). En realidad para ada valor ωk2 en ontrado existirá un onjunto de valores de las amplitudes del movimiento os ilatorio An que serán Akn (n = 1, . . . , 5) siendo k un parámetro que dene el modo y n el entero que representa a la partí ula on reta del sistema. Parti ularizar para los valores m = 1, M = 4 y k = 4. d ) Estudiar el orden de onvergen ia de la aproxima ión numéri a de las solu iones. b)

Nota: Este problema se puede resolver analíti amente y por lo tanto es posible

omparar las solu iones numéri as on las analíti as. Se re omienda al estudiante que reali e individualmente el álgebra y ompare sus resultados on los obtenidos

on Maxima u otro programa de ál ulo simbóli o. También es re omendable que reproduz a las grá as y reali e los ál ulos intermedios on un programa o on Máxima. 3.

4.

La fun ión f(x) es ontinua en el intervalo [a, b] siendo f(a) < 0 y f(b) > 0. Suponiendo que empleamos el método de la bise

ión para en ontrar una raíz en [a, b]: ¾Cuántas itera iones serán ne esarias para garantizar un error menor que 10−d ? Utili e el método de la bise

ión para aproximar una raíz de la e ua ión √

x sin x − x3 + 2 = 0

en el intervalo [1, 2] on un error menor que 2

1 30

.

5.

Haga un grá a del polinomio úbi o p(x) = 4x3 − 10x2 + 2x + 5 para onseguir una estima ión de sus raí es en el intervalo [−1, 3]. Utili e el método de Newton Raphson para obtener ada una de las raí es on 4 ifras de imales. Un experimento biológi o rela iona dos magnitudes, el tiempo t y la on entra ión C(t) de ierta toxina en sangre después de ser inye tada ierta medi ina. La on entra ión en ualquier instante viene determinada por la expresión

6. Experimento biológi o:

C(t) = e−αt sin t + e−βt cos 2t

donde los parámetros han sido previamente al ulados realizando un ajuste a una serie de datos experimentales, obteniéndose α = 2,00, β = 1,00. Determinar, mediante el método de Newton de una variable y on una toleran ia de 10−9 , los instantes t en los que la on entra ión de la toxina es nula en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4,5. 7.

Obtener mediante el método del punto jo, la raíz úni a positiva que tiene la fun ión F (x) = x3 + 5x2 − 12 en el intervalo [0, 3] utilizando diferentes propuestas.

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