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CRONOMETRÍA Capítulo relacionado en gran parte con el tema de planteo de ecuaciones y Razonamiento Lógico. Los relojes y su utilidad para la medición del tiempo son motivo de una gran variedad de problemas y acertijos que para un mejor estudio se trata como tema aparte, teniendo en cuenta los siguientes objetivos específicos

Ejemplo 1: Un reloj se adelanta 2 min cada 15 min. Si este desperfecto ocurre ya hace 7 horas, que hora marcará las agujas de tal reloj si la hora exacta es 3h 58 min. Rta. 4 h 54 min

1. PROBLEMAS DE TIEMPO TRANSCURRIDO Y EL TIEMPO NO TRANSCURRIDO, PARA UN TIEMPO DETERMINADO.

Ejemplo 2 Un reloj se adelanta 5 min cada 18 horas a partir de las 8 am. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que vuelva a dar la hora correcta? Rta. 2592h o 108días

¿Qué hora

Tiempo Total

3. ESTUDIO DEL RELOJ Y SUS MANECILLAS Equivalencia entre espacio, ángulo y tiempo (1 vuelta) Tiempo (min.) Ángulo Espacio (div)

Gu

Tiempo Transcurrido

Tiempo no Transcurrido

Ejemplo 1: ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a las 3/5 de lo que falta para terminar el día?



60 30 15 5

360º 180º 90º 30º

60 30 15 5



1div 6º 1min

Rta. 9 horas

Ejemplo 2: A qué hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a 5/4 de lo que falta para las 12 del mediodía.

1d

1 º= =6

12

Rta. 6:40 am. 9

2. PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS. Para desarrollar estos problemas, se puede aplicar criterios lógicos y regla de tres; teniendo en cuenta lo siguiente:  

HM → Hora marcada (hora falsa) HR → Hora correcta (hora real)

Mediante las siguientes expresiones:

HM = HR - Atraso HM = HR + Adelanto

3 4

30º=6º+6º+6º+6º+6º

6

Relación entre el espacio recorrido por la manecilla del horario y minutero (en 1 hora) El minutero recorre 60 divisiones en el mismo tiempo que el horario recorre 5 divisiones, por lo tanto se puede escribir una relación:

EH 5div.  EM 60div

EH 1 x   EM 12 12 x

EH = Espacio recorrido por el horario EM = Espacio recorrido por el minutero (en 1 hora)

Profesor: Diomedes Carranza Chavarría

Ejemplo: Desde las 3 en punto hasta las 4 en punto 12

Transponiendo términos, obtenemos:  = 30 H – 11x Teniendo en cuenta que xº es lo que avanza el horario en M minutos, entonces:

M   2

 = 30 H – 11  9

3 EH

EM

CASO II: Cuando el minutero adelanta al horario 4

12

6

Mi

También:

 60  En 60 min el horario avanza   = 30º  2   En M min el horario avanza

M    2

   30H 

11 M 2

12 Mi

12x 3

Hi



6

Mf

Hf

6

Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que: 30H + x +  = 12x  = 11x – 30H

M  - 30H  2

 = 11 

Conclusión: El signo negativo acompañará a la manecilla que se encuentra rezagada y el positivo al que se encuentra adelantada (tomando en cuenta siempre el movimiento de las manecillas del reloj). Ejemplo 1: ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj en cada caso? a) 4h 40 min b) 8h 25 min c) 12 h 36 min

4. PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS El tiempo que se mide al tocar una cantidad “n” de campanadas siempre es a partir de una que “marca al poro”; es decir que lo medimos por intervalos. Gráficamente: 2

1 30Hi

Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que: 12x +  = 30H + x Última hora pasada por el horario

Profesor: Diomedes Carranza Chavarría

3

12x

CASO I: Cuando el horario adelanta al minutero.

x

Hi x



.

Donde: H  hora de referencia (0H12) M   de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia   Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj (en grados sexagesimales)

Hf

Mf

9

º

Angulo que forman las manecillas del reloj (Horario– Minutero): Cuando el reloj marca las “H” horas “M” minutos o abreviadamente H:M el ángulo “” formado por el horario y el minutero se obtiene directamente con la siguiente fórmula:

9

30H

i

i i

3

........

i

"n" campanadas

i

(n-1) intervalos

i = tiempo que demora cada intervalo Ejemplo 1: Un reloj señala la hora con igual número de campanas. Para indicar las 6 am. demoró 15 seg. ¿Cuánto demorará para indicar las 9 am?

RESOLVEMOS LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Las horas transcurridas del día están representadas por un número de dos cifras y el exceso de dicho número con las cifras invertidas sobre nueve, representa las horas que faltan transcurrir. ¿Qué hora es, si no son las 12m.? A) 9 a.m. B) 11 a.m. C) 2 p.m. D) 7 pm. E) 9 pm. Un barco que zarpa del Callao, llega a Paita un día sábado a las 11 a.m., después de emplear 130 horas. ¿Qué día y hora salió del Callao? A) Martes a las 5 a.m. B) Miércoles a las 9 a.m. C) Martes a las 11 a.m. D) Jueves a la 1 a.m. E) Jueves a las 8 a.m.

2

n 1

Teófilo comenta con sus compañeros que nació en el mes de Junio, y que un día de dicho mes verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año. Si él nació 4 días antes, qué día cumple años? (considere un año bisiesto) A) 09 de Junio B) 10 de Junio C) 11 de Junio D) 12 de Junio E) 08 de Junio Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 2n horas emplea

2

n



 1 segundos y para indicar las 7 horas emplea

Profesor: Diomedes Carranza Chavarría





de 4n  1 segundos? A) 10 a.m. C) 9 a.m. E) 8 a.m.

B) 11 a.m. D) 4 a.m.

7.

Se observa en un campanario que el número de campanadas excede en 3, a 4 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. Si el tiempo que emplea en tocar las campanadas es el cuádruple, del exceso del número de campanas sobre 6, cuántos segundos como máximo empleará para tocar 12 campanadas? A) 22 B) 20 C) 24 D) 25 E) 18

8.

El campanario de una Iglesia indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las “p” horas tarda “ p²  1 ” segundos, ¿cuántas horas

Si el exceso del número de horas que faltan para las 5 a.m. de mañana, sobre la mitad de lo que faltará para las 5 p.m. de hoy dentro de 4 horas, es tanto como, el exceso de lo que falta para las 6 a.m. de mañana, sobre lo que faltará para las 2 p.m. de hoy dentro de 2h. ¿Qué hora es? A) 4 a.m. B) 5 a.m. C) 9 a.m. D) 6 a.m. E) 7 a.m. Hace 4 horas faltaba para acabar el día el triple de tiempo que faltará para acabar el día dentro de 8 horas. ¿Qué hora es? A) 9 a.m. B) 10 a.m. C) 2 p.m. D) 3 p.m. E) 11 a.m.



 2 segundos, qué hora señala en un tiempo

habrá transcurrido desde el instante en que empleó “p” segundos para indicar a cierta hora, hasta el instante en que utilizó “3p” segundos para indicar la hora correspondiente”?

p p 1 3p D) p1 A)

9.

B)

2p p 1

C)

3p p1

E) 2 p

Tres ladrones ingresan a una agencia bancaria a las 3 p.m., a los 3 minutos un empleado acciona la alarma que emite 8 “bips” cada 5 segundos; esto permite que la policía los capture. Si el total de “bips” emitidos hasta la captura fueron 1261, a qué hora exactamente fueron capturados? A) 3:08 B) 3:11 C) 3:15 D) 3:18 E) 3:20

10. Una tarde soleada Pedro va camino a la U.N.I. (tiene

una clase de matemática de 2 a 4 p.m.); pero al olvidar su reloj, observa que una antena de 8m de longitud proyecta una sombra de 6 m. de largo, después de lo cual concluye que llegará tarde ¿Qué hora es? A) 2:15 B) 2:20 C) 2:25 D) 2:28 E) 2:30

11. Siendo

las 6 a.m. empieza a adelantarse un reloj a razón de 6 minutos cada hora con 15 minutos. ¿Qué hora estará marcando este reloj cuando en realidad sean las 9 p.m. del mismo día? A) 10:12 B) 11:24 C) 10:24 D) 11:20 E) 11:12

12. Un

reloj marca las 7 p.m. ¿Qué hora es en realidad, si hace 8 horas que se atrasa a razón de 4 minutos cada hora con 20 minutos? A) 7:10 B) 7:12 C) 7:20 D) 7:24 E) 7:30

de las 4 pero menos de las 5 y el ángulo girado por el horario es igual a la suma de los ángulos girados por los horarios de sus relojes con respecto a la marca de las 3 y 5, respectivamente”. ¿Qué hora indica el reloj de Rafael? A) 4:10 B) 4:18 C) 4:24 D) 4:32 E) 4:40 18. ¿A

qué hora, inmediatamente después de las 7:00 p.m. las agujas de un reloj forman un ángulo de 50º por segunda vez?

minutos cada 1,8 h desde un día jueves a las 5 p.m. ¿Cuál es el día y la hora mas próxima en que este reloj volverá a marcar la hora correcta? A) Lunes 5 p.m. B) Martes 5p.m. C) Miércoles 5 p.m. D)Viernes 5 p.m E) Sábado 5 p.m.

A) 7 h 47

3 min 11

B) 7 h 45

2 min 11

C) 7 h 46

4 min 11

D) 7 h 43

7 min 11

E) 7 h 48

5 min 11

13. Un reloj se atrasa 2

14. A las 12 m un reloj comienza a atrasarse a razón de 6

19. Hallar “

minutos cada hora y otro reloj empieza a adelantarse a razón de 4 minutos cada hora. Después de cuánto tiempo ambos relojes estarán marcando la misma hora, por primera vez? A) 20 días B) 3 días C) 4 días D) 5 días E) 5 días relojes marcan la hora exacta a las 12 m. y a partir de ese instante, uno comienza adelantarse 4 minutos cada 1,5 h y el otro se atrasa a razón de 5 minutos cada 2,5 horas; luego de cuánto tiempo volverán a marcar, simultáneamente, la hora correcta? A) 80 días B) 120 días C) 175 días D) 225 días E) 250 días

11

minutos cada hora, se pone a la hora a la una de la tarde del día jueves. En la mañana siguiente se observa que dicho reloj está marcando las 10 a.m. ¿Cuál es la hora correcta en ese momento? A) 8 a.m. B) 7 a.m. C) 6 a.m. D) 8:25 a.m. E) 7:40 a.m.

17. Josué le dice a Pedro: “Mi reloj indica las 3:14”. Pedro

le contesta: “en el mío son las 5:18”; entonces Rafael interviene y dice: “observo que en mi reloj son mas

Profesor: Diomedes Carranza Chavarría

12

1

10

2

, 3

9



15. Dos

16. Un reloj que se adelanta a razón de 10

 ”en el gráfico

4

8 7

A) 120º C) 128,7º E) 124º 20.

6

5

B) 125,5º D) 132,5º

¿Cada cuanto tiempo las agujas de reloj se superponen?

3 s 11 2 B) 1 h 4 min 13 s 11 3 C) 1 h 5 min 27 s 11 5 D) 1 h 5 min 38 s 11 3 E) 1 h 5 min 32 s 11 A) 1 h 6 min 2