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• Gean Karlo Tucto Ruiz-WIN

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Contenido Definición de espacio y tiempo....................................................................................................2 Modelo espacio-tiempo............................................................................................................2 Definición de tiempo............................................................................................................2 Definición de espacio: ¿Qué se entiende por medir una longitud?.......................................3 Diagramas de Minkowski.............................................................................................................4 La cuarta coordenada...............................................................................................................4 El cono de luz...........................................................................................................................5 Explicación del cono de luz..................................................................................................6 Transformaciones de Lorentz:......................................................................................................7 Transformaciones de Galileo:...................................................................................................7 Transformaciones de Lorentz:..................................................................................................7 Cómo pasar de las transformaciones Galileanas a las Transformaciones de Lorentz...............9 EXPERIMENTOS.....................................................................................................................17 Paradoja de los gemelos.........................................................................................................17 1.

La aventura de los gemelos.........................................................................................17

2.

La paradoja.................................................................................................................18

3.

Solución......................................................................................................................18

4. El número de felicitaciones por año nuevo.....................................................................21 5. Interpretación de lo sucedido..........................................................................................22 Ejercicio.....................................................................................................................................24 La paradoja de la pértiga en el granero...................................................................................24

Definición de espacio y tiempo Modelo espacio-tiempo El espacio-tiempo es el modelo matemático que combina el espacio y el tiempo en un único continuo como dos conceptos inseparablemente relacionados. En este continuo espacio-temporal se representan todos los sucesos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. La expresión espacio-tiempo ha devenido de uso corriente a partir de la teoría de la relatividad especial formulada por Einstein en 1905, siendo esta concepción del espacio y el tiempo uno de los avances más importantes del siglo XX en el campo de la física.

Definición de tiempo De acuerdo con las teorías de la relatividad de Einstein, el tiempo no puede estar separado de las tres dimensiones espaciales, sino que al igual que ellas, este depende del estado de movimiento del observador. En esencia, dos observadores medirán tiempos diferentes para el intervalo entre dos sucesos, la diferencia entre los tiempos medidos depende de la velocidad relativa entre los observadores. Si además existe un campo gravitatorio también dependerá la diferencia de intensidades de dicho campo gravitatorio para los dos observadores. El trabajo de Minkowski probó la utilidad de considerar el tiempo como un ente matemático único y continuo que se puede entender desde una perspectiva pseudoeuclidiana, la cual considera al Universo como un "espacio de cuatro dimensiones" formado por tres dimensiones espaciales físicas observables y por una "cuarta dimensión" temporal (más exactamente una variedad lorentziana de cuatro dimensiones). Un caso simple es el espacio-

tiempo usado en relatividad especial, donde al combinar espacio y tiempo en un espacio tetradimensional, se obtiene el espacio-tiempo de Minkowski.

Definición de espacio: ¿Qué se entiende por medir una longitud? Si queremos medir la longitud de un bloque en reposo no tenemos ninguna dificultad: Basta con alinear las marcas de una regla con los extremos del bloque. Aunque no compares a la vez ambos extremos con las marcas de la regla, sabes que la medida será la misma pues las marcas no se mueven respecto al bloque. Pero si el bloque se mueve tenemos un problema: necesitamos conocer la posición de ambos extremos del bloque en el mismo instante. Las medidas de longitud son, en último término, medidas de sucesos simultáneos.

Diagramas de Minkowski

La cuarta coordenada Albert Einstein en su célebre teoría de 1905 de la relatividad especial habló por primera vez del tiempo como una cuarta dimensión y como algo indispensable para ubicar un objeto en el espacio y en un momento determinado. El tiempo en la teoría de la relatividad no es una dimensión espacial más, ya que fijado un punto del espacio-tiempo éste puede ser no alcanzable desde nuestra posición actual, hecho que difiere de la concepción usual de dimensión espacial. Aunque inicialmente se interpretó el tiempo como una "dimensión" matemática necesaria para ubicar un evento u objeto, en la teoría de la relatividad general el tiempo es tratado como una dimensión geométrica más, aunque los objetos materiales no puedan seguir una trayectoria completamente arbitraria a lo largo del tiempo (como por ejemplo "dar la vuelta" y viajar al pasado). La necesidad del tiempo dentro de la teoría de la relatividad existe por dos motivos: 

En primer lugar, los objetos no sólo se mueven a través del espacio, sino que también lo hacen a través del tiempo, es decir su coordenada temporal aumenta continuamente. Además, el ritmo de avance en la dimensión temporal depende del estado de movimiento del observador, produciéndose una dilatación temporal efectiva para los observadores más rápidos en relación al tiempo medido por un observador estacionario.



En segundo lugar, el carácter propio del espacio-tiempo y sus cuatro dimensiones requiere un modo conceptualmente diferente de tratar la geometría del universo, puesto que una cuarta dimensión implica un espacio plano (bidimensional) que se curva en la teoría de la relatividad general por la acción de la gravedad de la materia originándose la curvatura del espacio-tiempo.

El cono de luz Un cono de luz es una representación del espacio-tiempo con base en la teoría de la relatividad especial. Este método que se utiliza en la explicación del viaje de la luz a través del espacio/tiempo de Minkoswki. El modelo se presenta en un sistema cartesiano tridimensional. En el plano cartesiano se presentan dos dimensiones espaciales y una temporal. Se omite una dimensión de espacio, puesto que el cono de luz es de cuatro dimensiones. Tres espaciales y la dimensión de tiempo que siempre se incluye en dicho plano cartesiano. El cono de luz sirve asimismo como representación del principio de causalidad, que enlaza entre sí causa y efecto de los fenómenos.

Explicación del cono de luz

Si el espacio se mide en segundos-luz y el tiempo en segundos, el cono, como puede verse, tendrá una abertura de 45°, ya que, en el vacío, la luz viaja a una velocidad de un segundo-luz por segundo, expandiéndose concéntricamente de esa forma. Dado que la relatividad especial requiere que la velocidad de la luz sea igual en todo marco de referencia en reposo, todos los observadores deben observar el mismo ángulo de 45 grados a causa de sus propios conos de luz. Todo esto está demostrado en la transformación de Lorentz. “Cualquier otro sitio”, que es una parte integrante de los conos de luz, es la región del espacio-tiempo que queda fuera de los conos de luz de un evento dado (un punto en el espacio-tiempo). Los eventos que están en cualquier otra parte, alejados unos de otros, son mutuamente inobservables, y no pueden ser conectados causalmente. El cono de luz futuro englobaría todos los "efectos" posibles de un evento dado, mientras que el cono de luz pasado englobaría todas las "causas" posibles de dicho evento. Dicho de otro modo, todo aquello que percibimos se halla contenido en nuestro particular cono de luz pasado, mientras que todo aquello sobre lo que podríamos influir se encuentra contenido en nuestro cono de luz futuro.

Transformaciones de Lorentz: Transformaciones de Galileo: Son la base de la física Newtoniana (física pre-relativista). Permite transformar los sistemas inerciales de tal modo que las leyes de mecánica sean las mismas para todos ellos. Tenemos 2 sistemas inerciales S y S’, vamos a suponer que el sistema S’ se mueve a velocidad constante (v) a lo largo del eje X del sistema S y en su sentido positivo. Recordar que en la física Newtoniana el tiempo es absoluto (t=t’) para todo observador con esto podemos entender que las transformaciones de Galileo toman la siguiente forma:

Transformaciones de Lorentz: Al igual que las transformaciones de Galileo las transformaciones de Lorentz representan un mecanismo de transformaciones de valores entre sistemas (S y S’) con movimiento relativo con velocidad (v) pero con una velocidad máxima (c) igual para los dos sistemas de referencia. Las transformaciones de Lorentz son un conjunto de relaciones que ayudan a entender cómo se relacionan las medidas de una magnitud

física obtenida por dos observadores diferentes. Estas trasformaciones son la base de la teoría de la relatividad especial de Einstein.

Cómo pasar de las transformaciones Galileanas a las Transformaciones de Lorentz Según los postulados de Einstein todas las leyes físicas tienen que permanecer invariantes para todos los observadores con velocidad relativa constante y la velocidad de la luz es una invariante física con el mismo valor para todos los observadores inerciales. Bajo estas suposiciones, la transformación de Galileo no es válida, en particular la ecuación t = t’ no puede ser correcta. Si la velocidad de la luz es la misma para dos observadores con movimiento relativo uniforme, no es posible, como se verá después, que los dos midan el mismo tiempo. En otras palabras, el intervalo de tiempo entre dos eventos no tiene por qué ser el mismo para observadores en movimiento relativo. En definitiva, debemos reemplazar la transformación Galileana por otra, de modo que la velocidad de la luz sea invariante. Como en el caso de la transformación de Galileo, supondremos dos observadores inerciales O y O’ de modo que O’ se mueve respecto a O con velocidad constante V en la dirección del eje OX común de sus respectivos sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. Exigimos que los dos observadores ajusten sus relojes de modo que t = t’ = 0 cuando sus posiciones coinciden. Supongamos (ver figura) que para t = t’ = 0 se emite un destello de luz en la posición común (o sea, cuando O y O’ coinciden). Después de un tiempo t el observador O notará que la luz ha llegado al punto A y escribirá r = ct, siendo c la velocidad de la luz y r la distancia que recorre desde O hasta A. De la figura se desprende que, por lo tanto, también se

cumple que,

Del mismo modo, el observador O’ notará que la luz llega al mismo punto A. Ahora bien, como la distancia cubierta por la luz desde O’ hasta A es r’ y, como se ve en la figura, r’ < r, no es posible que se cumpla que r’ = ct. Puesto que en un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo, la única opción que queda es que el tiempo medido por O’ para el evento sea distinto del que mide O; es decir que, t ≠ t’. Entonces el observador O’ escribirá r’ = ct’. Como la figura muestra que,

se cumple, para O’, que,

Puesto que la Mecánica

Clásica, basada en la

transformación de Galileo, da resultados satisfactorios cuando se aplica a cuerpos que se mueven a velocidades muy inferiores a la de la luz; por lo tanto, la nueva transformación se ha de reducir a la de Galileo a velocidades muy inferiores a la de la luz. Las ecuaciones nos hacen sospechar que, en nuestro caso (movimiento uniforme de O’ respecto a O a lo largo del eje X común y ejes Y y Z con la misma orientación), la nueva transformación ha de ser trivial para y y z; es decir, y ‘= y y z’ = z. A las ecuaciones de transformación tenemos que exigirles que sean lineales (no cuadráticas, por ejemplo); la razón es que a un acontecimiento en O le tiene que corresponder un solo acontecimiento en O’ (si, por ejemplo, fueran cuadráticas, a un instante particular en un sistema le corresponderían dos en el otro). Además, sabemos con seguridad que la ecuación t’ = t tiene que ser modificada.

Dado que la ecuación x’ = x + Vt es lineal para x y para t, la dejamos como está. Y puesto que la simetría en las ecuaciones es algo frecuente en Física, proponemos para t’ una ecuación lineal “simétrica” a la de x’. Intentemos pues una transformación de la forma, donde k es una

constante a

determinar. Si nuestra transformación es correcta, al expresar x’, y’, z’ y t’ en función de x, y, z, y t en la ecuación tenemos que encontrar la. Entonces,

Observemos que los términos que contienen xt se anulan si hacemos,

y la ecuación se puede

que coincidiría,

escribir como,

si no fuera por

que multiplica a. Procedemos a eliminar este

el factor constante factor haciendo que

la transformación sea,

que reciben de transformación de Lorentz.

el nombre

El espacio en 4 dimensiones (Minkowski): El concepto unificado de espacio tiempo, introducido por H. Minkowski en 1908, es una mera simplificación matemática. El espacio y el tiempo son completamente diferentes, se miden de formas muy distintas (como hemos visto) y los percibimos también de distinto modo. Ahora bien, en relatividad no se analizan las localizaciones de objetos en el espacio, sino sucesos que están localizados en el espacio y en el tiempo: para especificar un suceso hay que decir dónde (tres dimensiones espaciales) y cuando (una dimensión más, el tiempo). Minkowski propuso concebir el mundo como una red espaciotemporal tetra dimensional. Esta visión tiene dos ventajas: ´ Primero, nos lleva a una resolución grafica muy sencilla y practica de las transformaciones de Lorentz, haciendo uso de los diagramas espacio-tiempo o diagramas de Minkowski, que estudiaremos a continuación. Además, los diagramas espaciotiempo nos permiten visualizar la película completa de la evolución de un objeto en el espacio y el tiempo: su línea de universo. Observador en Reposo: En realidad, nos referimos a un observador inercial, O, cualquiera, ya que, según el ´ principio de relatividad no existe un observador privilegiado. Nótese que un observador no es más que un sistema de referencia, unos ejes de coordenadas espaciotemporales. Localizamos un suceso A mediante un punto cuyas coordenadas espaciales, x, y temporal, t, se pueden leer sobre los ejes de coordenadas del diagrama espacio-tiempo. La coordenada t indica el tiempo propio del suceso y la x es la distancia medida desde el origen que se toma como punto de referencia. Recuérdese que t no es la hora en la que O ve el suceso sino el tiempo medido en el sistema

común de tiempos. El eje x es el conjunto de sucesos simultáneos que ocurren a t = 0. Una paralela cualquiera al eje x (t = T) indica sucesos simultáneos que ocurren en otro instante de tiempo T. El eje t es el conjunto de sucesos que ocurren en el mismo lugar, x = 0. Cada paralela al eje t (x = X) indica sucesos que ocurren en otro lugar X. Elegiremos las escalas de modo que c = 1. De este modo, longitudes y tiempos tienen las mismas unidades (metros, por ejemplo). Así, t = 1 m es el tiempo que tarda la luz en recorrer un metro según O (un metroluz). Los rayos luminosos (líneas de universo de la luz) se representan por líneas a 45◦, pues para ellos t = x o´ t = −x (según la luz viaje de izquierda a derecha o de derecha a ´ izquierda, respectivamente), ya que hemos tomado c = 1. La línea de universo de un objeto que se mueva con velocidad uniforme v es una línea recta (t = 1 v x) que forma un ángulo φ = arctan(v) con el eje t. El signo es positivo o negativo según se mueva de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, respectivamente. Veremos que el ángulo φ en valor absoluto es siempre |φ| < 45◦. Si la línea de universo del objeto no es recta entonces el movimiento no es uniforme. Observador en movimiento relativo: transformaciones de Lorentz Consideramos al espacio y al tiempo como definidos físicamente respecto de dos sistemas inerciales A y B y un rayo de luz que se propaga en el vacío de un punto del espacio a otro. Si r es la distancia medida entre los dos puntos tendremos que para el sistema en “reposo” (podemos elegir A o B) r = c*dt, y elevando al cuadrado ambos miembros y expresando r 2 mediante el teorema de Pitágoras aplicado a sus coordenadas tenemos que r 2= ( ⅆx )2 + ( ⅆy )2 + ( ⅆz )2=c 2 ( ⅆt )2 y por el principio de constancia de la velocidad de la luz también deberá ocurrir lo mismo para el otro sistema inercial, se encuentra en “movimiento” respecto al primero. ( ⅆx ' )2 + ( ⅆy ' )2 + ( ⅆz ' )2=c 2 ( ⅆt ' )2. Con esto aparece que el verdadero

elemento en la determinación del espacio – tiempo es el suceso determinado por los cuatro números x, y, z y t pudiendo entonces considerar estos cuatro números como las coordenadas de un suceso en el continuo de cuatro dimensiones. Así para poder trabajar mejor con las ecuaciones de la relatividad especial, Minkowski asigno a todo evento una cuarta dimensión perpendicular a las otras tres y de componente imaginaria cuyo valor sería ict siendo i la componente imaginaria. Así tendremos que un diferencial de espacio – tiempo de entre dos sucesos será tal que:

( ⅆs )2=( ⅆx )2 + ( ⅆy )2 + ( ⅆz )2+ ( ⅆw )2 Siendo w = cti y teniendo entonces 4 ejes de coordenadas de tipo cartesiano en el que podemos aplicar el teorema de Pitágoras sin problemas. Si cambiamos de sistema de referencia tenemos:

( ⅆs ' )2=( ⅆx ' )2 + ( ⅆy ' )2 + ( ⅆz ' )2 + ( ⅆw ' )2

Esta expresión matemática ( ⅆs )2=( ⅆs ' )2 se cumple perfectamente para la transformación de Lorentz, por lo que Einstein adoptó este modelo del espacio – tiempo. Comprobando que ( ⅆs )2=( ⅆs ' )2 para la transformada de Lorentz :

Supongamos un evento E situado a 0.8 años luz de nosotros (sistema en reposo o inercial) y a un año de distancia temporal (por ejemplo, una explosión de un supuesto astro). Eliminemos las coordenadas “y” y “z” usando solo las “x” espacial y “w” temporal. Así tendremos que x = 0.8 años luz y w = cti = i años luz (un año luz imaginario) ds será la distancia espacio temporal entre nuestro instante actual (origen de coordenadas (0,0)) y dicho evento E = (0.8, i).

( ⅆs )2=0.82 +i 2=0.64−1=−0.36 Ahora tomemos como sistema referencial una nave que paso al lado de nosotros en dirección a dicho evento a velocidad v = 0.6c en el instante (0,0). Aplicando el grupo de transformación de Lorentz tenemos que:

√

1/ 2

k =( 1−0.62 ) =8. siendo k = 1−

x ' =( x−vt ) k =

c (t − c t' =

k

vx ) c2

v2 c2

0.8−0.6 =0.25 años luz . k

=0.65 años luz .

w ' =c t ' i=0.65i años luz . Entonces las coordenadas del evento para la nave viajera son E’ = (0.25, 0.65i) y

( ⅆs ' )2=0.252 +(0.65 i)2=−0.36 Así que ( ⅆs )2=( ⅆs ' )2. El intervalo y la calibración de los ejes:

No todo es relativo al observador. Ya hemos visto que la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador. Además hay otra cantidad muy importante que también es invariante. Se trata del intervalo entre dos sucesos, que cualquier observador puede determinar fácilmente a partir de sus medidas de la localización en el espacio y en el tiempo de dos sucesos cualesquiera. Supongamos, por simplicidad, que uno de los dos sucesos es el origen espaciotemporal O, que lo tomamos coincidente para dos observadores inerciales, O y O’, y sean (x, t) y (x’ , t’ ) las coordenadas de otro suceso A, según cada observador. Entonces de define el intervalo como intervalo ≡ ∆s 2 ≡ (ct) 2 − x 2 = (ct’ ) 2 − x 02 . Es fácil comprobar usando las transformaciones de Lorentz que esta igualdad se cumple. El intervalo nos ayuda a calibrar los ejes: las distancias entre las marcas de referencia de los ejes de cada observador no miden lo mismo Para encontrar la relación entre las marcas de los ejes temporales (recordemos que ´ tomamos c = 1) basta mirar donde cortan las hipérbolas t 2 − x 2 = 1 al eje t 0 , dado por t = 1 v x. Para los ejes espaciales hay que mirar donde cortan las hipérbolas t 2 − x 2 = −1 al eje x 0 , dado por t = vx.

EXPERIMENTOS Paradoja de los gemelos 1. La aventura de los gemelos

En el día de Año Nuevo de 2050, Diana parte de la Tierra en dirección a α Centauro, a una distancia de 4 años-luz, viajando a una velocidad de 0.8 c. Inmediatamente después de llegar a su destino, Diana regresa a la Tierra a la misma velocidad, aterrizando en el punto de partida el día de Año Nuevo de 2060. Diana tiene un hermano gemelo, Apolo, que permanece en la Tierra. Ambos habían acordado felicitarse mutuamente por teléfono-radar cada día de Año Nuevo, hasta que se volvieran a ver en casa. Veamos lo que ocurre en todo este tiempo según cada uno de los gemelos. El intercambio de felicitaciones a principios de cada año nos ayudará entender mejor la solución de

la

aparente

paradoja

que

se

plantea.

2. La paradoja Apolo aguarda a su hermana durante t = 10 años, pues se tarda 5 años en llegar a α Centauro viajando a 0.8c. El observa que su hermana se aleja a una enorme velocidad durante 5 años y luego se acerca a la misma velocidad otros 5 años. Apolo conoce la teoría de la relatividad, así que espera que el tiempo para Diana haya transcurrido más lentamente, t ´ = t/γ = 6 años, pues el factor de Lorentz es γ = 5/3 en ambos recorridos. Por tanto, Apolo espera encontrarse a su hermana gemela Diana 4 años más joven. Por otro lado, podríamos intentar resolver el problema desde el punto de vista de Diana. Para ella, es Apolo el que se aleja a velocidad 0.8c. Cuando para ella transcurren t´ =

6 años para Apolo pasan t = t´/γ = 3.6 años. Por tanto, Diana espera encontrarse a su hermano gemelo Apolo 2.4 años más joven. Llegamos pues a una contradicción: parece que ambos deberían ser más jóvenes que su hermano gemelo. ¡Esta es la paradoja! Algunos detractores de la teoría de Einstein utilizaron esta inconsistencia para argumentar que era por consiguiente absurdo que uno de los gemelos fuera más joven que el otro tras el viaje. La cuestión en realidad es ¿Qué está mal en el razonamiento anterior?

3. Solución Veremos que el calculo que hace Apolo es el correcto pues la simetría aparente del problema no es tal: no es lo mismo que Apolo vea alejarse y luego acercarse a su hermana, que Diana vea alejarse y luego acercarse a Apolo. La asimetría entre ambas situaciones se manifiesta en que mientras Apolo envía 10 felicitaciones a Diana por Año Nuevo, Diana envía solo 6, incluyendo las que se envían en el último día de viaje. Concluiremos que es cierto que uno de los gemelos es más joven que el otro tras el viaje:

Diana será 4

años

más joven.

En la Fig. 4.1 se muestra el diagrama espacio-tiempo del viaje de Diana trazado por Apolo, en el sistema de referencia de la Tierra. Hemos dibujado también los ejes espaciotemporales del sistema de referencia de Diana notando que son diferentes para el viaje de ida y el de vuelta. Expresamos las escalas de todos los ejes en años - luz. Es fácil leer en el diagrama que el tiempo total transcurrido para Apolo es de 10 años mientras que para Diana transcurren 3+3=6 años. El tiempo de Diana parece correr más despacio que el de Apolo. Diana es 4 años más joven que Apolo. Sobre el diagrama se han trazado también las líneas de simultaneidad de Diana justo antes y justo después de llegar a α Centauro (sus ejes espaciales). Es muy llamativo lo que el diagrama espacio-tiempo nos muestra: 

Un instante antes de que Diana de la vuelta, para ella han transcurrido 3 años mientras que para Apolo solo han pasado 1.8 años: el tiempo de Apolo parece correr más despacio que el de Diana (para ella, y hasta ese momento, Apolo le parece más joven). Hasta aquí la situación es simétrica



Un instante después, Diana da la vuelta y entonces su línea de simultaneidad cambia drásticamente: de repente observa que su hermano (que hace un momento le parecía más joven que ella) envejece 6.4 años repentinamente. A partir de ese

momento para ella transcurren otros 3 años, en los que Apolo parece envejecer solo 1.8 años. Sin embargo, el salto brusco de edad que experimentó Apolo mientras ella daba la vuelta determina que en el momento del reencuentro Diana es efectivamente 4 años más joven que Apolo.

4. El número de felicitaciones por año nuevo

Veamos que en efecto hay una asimetría en el movimiento relativo entre Apolo y Diana que determina que solo uno de los dos sea más joven que el otro, de modo que no hay paradoja. En la Fig. 4.2a se muestran las líneas de universo de todas las señales de radar que Apolo envía a Diana cada Ano Nuevo. Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe solo una antes de llegar a α Centauro, cuando habían pasado 3 años, justo antes de dar la vuelta. Los 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razón de una cada 1/3 año (4 meses). En la Fig. 4.2b se muestran las líneas de universo de todas las señales de radar que Diana envía a Apolo cada Ano Nuevo. Vemos que Apolo recibe 6 felicitaciones. Las 3 primeras a razón de una cada 3 años y las otras 3 en el último año.

Este resultado está relacionado con el efecto Doppler.

5. Interpretación de lo sucedido

En el momento de dar la vuelta, Diana pasa de un sistema de referencia inercial a otro distinto, mientras que Apolo esta todo el tiempo en un mismo sistema inercial. Este es el origen de la asimetría y la razón por la que solo el cálculo de Apolo es correcto. El argumento del párrafo anterior es suficiente para entender lo sucedido, pero podemos ir más lejos. Mientras maniobra para dar la vuelta (deceleración y aceleración posterior en sentido contrario) Diana siente fuerzas de inercia que no siente Apolo. Durante esos instantes (tal vez días), Diana deja de ser un observador inercial y, por tanto, la Relatividad Especial no nos dice cómo cambian sus coordenadas espaciotemporales, es decir no nos permite averiguar que es lo que ella observaría. Lo que sí sabemos es que mientras dura la maniobra su reloj parece ir muy despacio, pues desde su punto de vista cuando la maniobra acaba Apolo ha envejecido 6.4 años muy rápidamente: cuando Diana deja de acercarse uniformemente a α Centauro Apolo es 1.2 años más joven que ella y cuando empieza a abandonar uniformemente la estrella Apolo es 5.2 años mayor que ella. Mientras mantenga rumbo uniforme hacia la Tierra Diana vuelve a ser un observador inercial y los cálculos de dilatación vuelven a ser correctos: Apolo envejece m ´ as lentamente que ella, de modo que en los siguientes 3 años Apolo envejece sólo 1.8 años. Así, cuando se encuentran Apolo es 6.4 años mayor que ella.

Podríamos argumentar que, en su partida y a su regreso a la Tierra, Diana experimenta fuerzas de inercia que no hemos tenido en cuenta y que la harían parecer aún más joven de lo que hemos calculado, pues, según hemos visto, el efecto de la aceleración parece ser el retraso de los relojes. Sin embargo, tal efecto es despreciable ya que suponemos que las aceleraciones tienen lugar relativamente cerca de su hermano (en poco tiempo) y por tanto el giro de sus líneas de simultaneidad se traduce en un pequeño desplazamiento sobre el eje temporal de Apolo.

Ejercicio La paradoja de la pértiga en el granero Suponga que un corredor que se mueve a 0.75c lleva una pértiga horizontal de 15 m de largo hacia un granero que tiene 10 m de largo. El granero tiene puertas frontal y trasera que inicialmente están abiertas. Un observador en el suelo instantánea y simultáneamente puede cerrar y abrir las dos puertas mediante un control remoto. Cuando el corredor y la pértiga están dentro del granero, el observador en tierra cierra y luego abre ambas puertas, de modo que el corredor y la pértiga momentáneamente quedan capturados dentro del granero y luego procede a salir del granero por la puerta trasera. ¿Tanto el corredor como el observador en tierra están de acuerdo con que el corredor pasa con seguridad a través del granero? SOLUCIÓN Conceptualizar A partir de su experiencia cotidiana, usted se sorprendería de ver que una pértiga de 15 m ajusta dentro de un granero de 10 m. Categorizar La pértiga está en movimiento respecto al observador en tierra, de modo que el observador mide su longitud como contraída, mientras que el granero inmóvil tiene una longitud propia de 10 m. Analizar Para encontrar la longitud contraída de la pértiga, de acuerdo con el observador en

√

Lpértiga=Lp 1−

2

2

( 0.75 c ) v =(15 m) 1− =9.922 m 2 c c2

√

Debido a eso, el observador en tierra mide que la pértiga es ligeramente más corta que el granero y no hay problema con capturar momentáneamente la pértiga dentro de él. La “paradoja” surge cuando se considera el punto de vista del corredor. Para encontrar la longitud contraída del granero, de acuerdo con el observador que corre: 2

2

( 0.75 c ) v Lpértiga=Lp 1− 2 =(10 m) 1− =6.614 m c c2

√

√

Ya que la pértiga está en el marco en reposo del corredor, el corredor mide que tiene su longitud propia de 15 m. ¿Cómo una pértiga de 15 m puede encajar dentro de un granero de 6.6 m? Aunque esta pregunta es la clásica que siempre se plantea, no es la pregunta que se formuló porque no es la importante. Se preguntó: “¿El corredor pasa con seguridad a través del granero?”. La resolución de la “paradoja” se encuentra en la relatividad de la simultaneidad. El cierre de las dos puertas se mide como simultáneo por el observador en tierra. Sin embargo, ya que las puertas están en diferentes posiciones, no se cierran simultáneamente como mide el corredor. La puerta trasera se cierra y luego se abre primero, lo que permite salir el extremo delantero de la pértiga. La puerta frontal del granero no se cierra hasta que el extremo posterior de la pértiga pasa por ahí.

Bibliografía Giancoli, D. C. (2009). Física para ciencias e ingeniería (Vol. II). Mexico DF, Mexico: Pearson Educación. Illama, J. I. (2017). Descubre la relatividad. Granada, España: Editorial Universidad de Granada. Mendez, J. (9 de Enero de 2019). Qué curiosidades. Obtenido de Qué curiosidades: https://quecuriosidades.com/que-es-cono-luz/ Wikipedia. (31 de Agosto de 2019). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_de_luz