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• RACHEL BOSS

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IIdentificación dentificación de temas de SIS SIStemas

Identificación mediante Análisis Correlación y Análisis Espectral

An álisis de ón Análisis de Correlaci Correlación u(n)

∞

h(n)

y (n ) = ∑ h(k )u (n − k ) k =0

↓ Correlación cruzada Entrada-Salida

∞

R yu (A ) = ∑ h (n ) Ru (A − n )

{h (n )}nN=−01 ISIS

Autocorrelación de la entrada

n=0

↓ Ecuaciones Lineales en

convolución

Modelo FIR

N −1

R yu (A ) = ∑ h (n ) Ru (A − n ) A = 0,1, " , N − 1 n=0

J. C. Gómez

2

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene un número finito de términos de la respuesta al impulso del sistema, que resultan en un modelo FIR: Finite Impulse Response (respuesta al impulso finita), de la forma: N −1

H (q ) = ∑ h(n )q − n

Modelo FIR

n =0

ISIS

J. C. Gómez

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‰ Si la entrada es ruido es blanco con varianza λ, entonces

⎧λ si τ = 0 Ru (τ )⎨ ⎩ 0 c.o.c. y resulta

R yu (n) = h(n)λ por lo que una estima de h(n) puede calcularse como:

1 hˆ(n ) = λN

ISIS

N

∑ y(k + n)u (k ) k =1

J. C. Gómez

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cra cra IR = cra(Z) Z:

Datos de entrada-salida como un objeto iddata o como una matriz Z = [y u].

IR:

Respuesta al impulso estimada (IR(1) corresponde a h(0))

[IR,R,CL] = cra(Z,M,NA,PLOT) M:

Número de términos de la respuesta al impulso (Def. 20)

NA: Orden del filtro blanqueador.(Def. 10). Para NA=0, no se realiza prefiltrado. Se computan entonces las funciones covarianzas de los datos originales. PLOT: PLOT=0 no genera plots. PLOT=1 (Def.) genera un plot de IR junto con intervalos de confianza al 99 % . PLOT=2 genera un plot de todas las R. ISIS

J. C. Gómez

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An álisis Espectral Análisis Espectral u(n)

Φ u (ω )

∞

h(n)

y (n ) = ∑ h(k )u (n − k ) k =0

Φ y (ω ) = H (ω ) Φ u (ω ) 2

Φ yu (ω ) = H (ω ) Φ u (ω )

↓ ˆ (ω )Φ ˆ −1 (ω ) Hˆ (ω ) = Φ yu u

ˆ u (ω ) , Φ ˆ yu (ω ) Φ

Estimas de los espectros de ↑ entrada y entrada-salida Estima de la Respuesta en Frecuencia ISIS

J. C. Gómez

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Las estimas de los espectros de entrada y entrada-salida a partir de un número finito de datos (observaciones) entrada-salida {u (n ), y(n )}nN=1 pueden obtenerse como

ˆ (ω ) = 1 U (ω )U * (ω ) Φ u N N N ˆ yu (ω ) = 1 YN (ω )U N* (ω ) Φ N

donde

N

N

U N (k ) = ∑ u (n )e

U N (ω ) = ∑ u (n )e − jωn

−j

2πkn N

n =1

n =1

N

YN (ω ) = ∑ y (n )e − jωn

ωk =

n =1

N

YN (k ) = ∑ y (n )e

2πk N

2πkn N

n =1

k = 1,2, " , N ISIS

−j

DFTs con N-puntos

J. C. Gómez

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Una estima de la Respuesta en Frecuencia puede obtenerse como

Y (k ) Hˆ (ω k ) = N U N (k )

ωk =

2πk N

k = 1,2, " , N

Empirical Transfer Function Estimate (ETFE)

ISIS

J. C. Gómez

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spa spa G = spa(DATA, M, w) DATA: Datos de entrada-salida como un objeto iddata. G:

Respuesta en frecuencia e incertidumbre como un objeto idfrd. G contiene también el espectro del ruido aditivo v en el modelo y = G u + v.

M:

longitud de la ventana de Hamming usada para el cómputo (opcional).

w:

vector fila con las frecuencias en que se desea calcular el espectro (opcional) (por defecto, 128 frecuencias equi-espaciadas entre 0 y π).

ISIS

J. C. Gómez

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