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Escuela Politécnica Nacional Facultad de Ciencias Análisis Vectorial Corrección de la Prueba Nombre: Santiago Jiménez Fecha: 2017/07/14 Lista: 52

3.- Sea la función de dos variables 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 ; definida en el subconjunto R del primer cuadrante limitado por la elipse 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4; es decir, establecida en la región: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 4𝑦 2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0}. Considere, además, la partición ∆ de la región R determinada por los incrementos ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0.5 = 1/2. b) Calcule el valor exacto de la integral de la función g en la región R; es decir, encuentre el volumen del solido del primer octante limitado por el paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 , y el plano 𝑧=0  Por definición el volumen (V), será igual a 𝑉 = ∬(4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝐴 𝑅

 Donde R es la el subconjunto {(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 4𝑦 2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝑑𝑒 ℝ2 1

√4−4𝑦 2

𝑉=∫ ∫ 0

Ilustración 1: grafica de la función en el espacio, delimitado por la región.

(4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

0

Integrando y evaluando los límites: 2

√4−4𝑦 𝑥3 2 𝑉 = ∫ [4𝑥 − − 4𝑦 𝑥] 𝑑𝑦 3 0 0 1

3

1

√4 − 4𝑦 2 𝑉 = ∫ (4√4 − 4𝑦 2 − − 4𝑦 2 √4 − 4𝑦 2 )𝑑𝑦 3 0 Operando los términos y agrupando, se obtiene: 1 3 1 𝑉 = ∫ (4 − 4𝑦 2 )2 (1 − )𝑑𝑦 3 0

𝑉=

3 16 1 ∫ (1 − 𝑦 2 )2 𝑑𝑦 3 0

Luego, por sustitución trigonométrica con 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑢): 𝑉=

16 𝜋/2 ∫ (cos(𝑢))3 cos(𝑢)𝑑𝑢 3 0

𝑉=

16 𝜋/2 1 + cos(2𝑢) ∫ ( ) 𝑑𝑢 3 0 2

2

4 𝜋/2 𝑉 = ∫ 1 + 2cos(2𝑢) + (cos(2𝑢))2 𝑑𝑢 3 0 𝜋/2 4 𝜋/2 𝑉 = ([𝑢 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑢)]0 + ∫ (cos(2𝑢))2 𝑑𝑢) 3 0

Ahora, si se utiliza el cambio de variable 𝑚 = 2𝑢: 4 𝜋 1 𝜋 𝑉 = ( + ∫ (cos(𝑚))2 𝑑𝑚) 3 2 2 0 4 𝜋 1 𝜋 1 + cos(2𝑚) 𝑉 = ( + (∫ ( ) 𝑑𝑚)) 3 2 2 0 2 𝜋

4 𝜋 1 𝑠𝑒𝑛(2𝑚) 𝑉 = ( + ([𝑚 + ] )) 3 2 4 2 0 4 𝜋 1 𝑉 = ( + (𝜋)) 3 2 4 4 3 𝑉 = ( (𝜋)) 3 4 𝑉=𝜋