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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD EN CIENCIAS E INGENIERÍA EN ALIMENTOS FÍSICA Nombre: Vanessa Solís Curso: 1roA Fecha: Ambato, 16 de octubre del 2016 Ing. Juan Carlos Ruiz Tema: sistema de coordenadas esféricas y cilíndricas.

INDICE Resumen: ....................................................................................................................................3 Introducción: ..............................................................................................................................3 Desarrollo: ..................................................................................................................................3 Coordenadas cilíndricas: ..........................................................................................................3 Coordenadas esféricas: .............................................................................................................4 Conclusiones: ..............................................................................................................................5 (W.)Bibliografía ............................................................................................................................6

Resumen: Las coordenadas cilíndricas según (Robert, 2008) menciona que El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal, se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Los rangos de variación de las tres coordenadas son: La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π Radianes. Explicándonos así que las coordenadas cilíndricas poseen un ángulo director en el cual puede ser -90º a 90º varía dependiendo su acimutal mientras que pueda haber una aproximación al punto pero siempre esta será medida en π radianes El punto que se quiera encontrar en estas coordenadas se lo representa así: (ρ, φ, z). Las coordenadas esféricas son un tipo de sistema que utiliza dos ángulos uno medido desde el eje de las z y el otro de los ejes XY haciendo que su ángulo varié desde -180 a 180 como se trata de ángulos se mediría en πradianes y este queda representado por el radio (r), el ángulo polar (θ) y el acimut (φ).

Introducción: Para la descripción de un movimiento que realiza un cuerpo en indefinidas direcciones es necesario conocer el sistema de coordenadas espaciales para el estudio del mismo y su localización en el espacio, así obteniendo de los tres vectores unitarios (x,y,z) las cuales en coordenadas cartesianas son constantes en dirección y magnitud, cabe recalcar que para todos los casos no es así por lo tanto en la física existen otros sistemas de coordenadas en donde la distancia radial es tomada en cuenta como una coordenada. Desarrollo: Coordenadas cilíndricas: Las coordenadas cilíndricas es un sistema que nos permite identificar o definir en qué parte del espacio se encuentra un punto mediante un ángulo también una distancia con referencia a un eje y la altura con respecto a la localidad del mismo eje, estas coordenadas se pueden dar aplicación en los problemas de figuras en tres dimensiones como pueden ser de geométrica analítica plana.  El punto que se quiera encontrar en estas coordenadas se lo representa así : (ρ,φ,z) En donde ρ es la coordenada radial que va dirigida desde el punto al eje z o también la proyección del punto en el eje XY. Coordenada acimutal φ es el ángulo formado con el eje X y la proyección del mismo ángulo en el eje XY. Coordenada vertical o altura z es la distancia desde el punto al eje de coordenadas XY.  Relaciones con coordenadas cartesianas

Estas relaciones se hacen el en eje Z donde φ no está definida

Ilustración 1coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas: Es un sistema que nos permite identificar o definir en qué parte del espacio se encuentra un punto mediante dos ángulos y este queda representado por el radio (r), el ángulo polar (θ) y el acimut (φ).

Ilustración 2 coordenadas polares esféricas

Ilustración 3 ecuaciones de coordenadas esféricas

En las coordenadas esféricas existe una latitud de 90º a -90 es decir de –π/2 a π/2 radianes siendo su centro en el plano XY también puede cambiar a la medida del acimut midiendo el ángulo en sentido horario o anti horario desde 0º a 360º es decir de 0 a 2π radianes o de -180 a 180. Conclusiones: Para finalizar puedo decir que las coordenadas esféricas y cilíndricas se diferencian en el ángulo y la proyección que se traza para saber en qué lugar del espacio se encuentra el punto. Puedo concluir que las coordenadas esféricas tienen una proyección en el espacio con una altura determinada por las coordenadas esféricas mediante la apertura del ángulo tomado desde el eje Z. Por medio de este trabajo puedo decir que las coordenadas tanto esféricas como cilíndricas poseen un ángulo una dirección y una proyección en tres dimensiones para con exactitud saber en qué lugar del espacio se encuentra el punto. (superficies en coordenadas cilindricas y esfericas, 2007) Ejemplo Nº1 Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación: a) x2 + y2 =4z2 b) y2 = x Solución a) Por la sección procedente sabemos que la gráfica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos hojas» con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas. X2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares. r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas. Solución

b) La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos: y2 = x ecuación rectangular. r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө. r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar términos y factorizar r sen2 ө – cos ө = 0 dividir los dos miembros por r r =cos ө / sen2 ө despejar r r csec ө ctan ө ecuación en cilíndricas. Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r. Ejemplo Nº2 COORDENADAS ESFERICAS. Ejemplo 1: Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican. a).- cono: x2 + y2 = z2 b).- esfera: −4z = 0 Solución: a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se obtiene: x2 + y2 = z2 p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0 tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4 La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su mitad inferior. b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en coordenadas esféricas. P2 – 4 p cos Ф = 0 → p (p −4 cos Ф) = 0 Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuación en esféricas. P −4 cos Ф = 0 o p = 4cos Ф (W.)Bibliografía Robert, R. E. (2008). Cálculo Tomo II. Grupo Editorial Iberoamericano. Obtenido de fisica.ciencias.uchile. superficies en coordenadas cilindricas y esfericas. (2007). Obtenido de http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/05/08-Superficies-enCoordenadas-Cilindricas-y-Esfericas.pdf W., S. E. (s.f.). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericano.