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• Alfonso Anderson

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Capítulo 3 CONDICIONES INICIALES 3.1.

SENTIDO DENTRO DEL CONJUNTO, OBJETIVOS E IMPORTANCIA

En la solución de la ecuación diferencial ordinaria (de orden n) que relaciona la excitación con la respuesta aparecen n constantes, cuya evaluación exige el conocimiento de la respuesta deseada y de sus derivadas temporales de orden superior hasta la (n − 1)−ésima en un cierto instante de referencia (t = 0). El Ingeniero no puede suponer arbitrariamente estos valores (conocidos como condiciones iniciales) como lo hace el matemático. Además, algunos de los elementos de una red pueden tener “historias” independientes entre sí antes de conformarla (por ejemplo, haciendo parte de otros circuitos antes de la interconexión, la cual se hace mediante interruptores que cambian de posición o de estado, es decir, se cierran si estaban abiertos o se abren si estaban cerrados). Se define t = 0− como el instante antes de realizar la conmutación y t = 0+ como el inmediatamente después de hacerla. Los objetivos de este capítulo son los siguientes: I Describir e ilustrar la aplicación de un método para obtener las respuestas del estado estacionario rss (t) que prevalecen después de que ha transcurrido “mucho” tiempo, conocidas como de régimen permanente, es decir, rss (t) = lim r(t) t→∞

1

(3.1)

2

CONDICIONES INICIALES

II Determinar las corrientes en todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores, es decir, el estado energético, en t = 0− a partir de: (a) Las expresiones en función del tiempo para voltajes en capacitores y corrientes en inductores que se presentan en el estado estacionario en el circuito previo. (b) de una descripción precisa del instante de la conmutación. III Definir circuito propios e impropios y describir un método general y sistemático para determinar el estado energético en t = 0+ de circuitos arbitrarios, suponiendo conocido el estado energético inicial en t = 0−. IV Presentar y justificar un método sistemático para determinar el valor de las respuestas y de sus derivadas temporales de orden superior en el instante de referencia (t = 0+) suponiendo conocido el estado energético en t = 0+.

3.2. 3.2.1.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO DEFINICIÓN

Frecuentemente en ingeniería el interés primario en la solución de un problema es determinar el comportamiento de circuitos después de que ha transcurrido “mucho” tiempo. Las respuestas que se presentan bajo estas condiciones se denominan o definen como las de “estado estacionario” (designadas también por algunos autores como de “régimen permanente”). Fácilmente se puede verificar que, en general1 , todas las raíces de las ecuaciones características de las ecuaciones diferenciales de todas las respuestas de redes formadas exclusivamente de elementos pasivos que contengan por lo menos un elemento resistivo no redundante2 tienen parte real negativa3 . Una consecuencia de 1

Es decir, como se verá más adelante, hay casos muy particulares en los que no se cumple. Además de las fuentes independientes cuya ubicación en el circuito es arbitraria en cuanto no contradiga las leyes de Kirchhoff. 3 A menos que se mencione explícitamente lo contrario, se supone en lo sucesivo que todos los circuitos cumplen esta condición. Se exceptúan de esta regla la clase especial de circuitos que se describen en la sección 3.3.4. 2

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3

3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO

este hecho (ver apéndice B) es que para cada respuesta lim rh (t) = 0

(3.2)

t→∞

donde rh (t) es la solución de la ecuación diferencial homogénea. Se puede definir entonces la respuesta del estado estacionario rss (t) de la siguiente manera: rss (t) = lim r(t) = rp (t) (3.3) t→∞

donde rp (t) es la solución particular de la ecuación diferencial.

3.2.2.

EJEMPLO 3.1

R

R

v(t)

C1

vC1

C2

vC2

R

2

6

R

R C 8

L1 iL1

(a)

L2 iL2 L3 iL3

v(t)

4

L2

L1

1

7 R 3

5 L3

(b)

Figura 3.1 Circuito del Ejemplo 3.1 y su correspondiente gráfico orientado Los parámetros del circuito de la figura 3.1(a), cuyo gráfico orientado se muestra en la Figura 3.1(b), son los siguientes: R1 = 3 Ω C1 = 300 µ C2 = 1, 500 µ L1 = 6 · 0 mH L2 = 1 · 5 mH L3 = 3 · 0 mH M12 = 1 · 0 mH M13 = 2 · 0 mH

(3.4) (3.5)

Nótese que en el gráfico orientado C1 y C2 se han agrupado en un elemento equivalente C = 250 µ. Alvaro Acosta M.

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4

CONDICIONES INICIALES

(a) Obtener las ecuaciones diferenciales para las corrientes de enlace; (b) Hallar los voltajes y corrientes de régimen permanente en todos los elementos almacenadores de energía (con los sentidos de referencia sugeridos en el gráfico orientado de la Figura 3.1(b)) en cada uno de los siguientes casos: i v(t) = 24 V ii v(t) = 86 Sen(103 t + 53,13·◦) El conjunto linealmente independiente de ecuaciones integro-diferenciales que describe completamente el comportamiento de la red en función de corrientes de enlace de acuerdo al gráfico orientado de la Figura 3.1(b), después de derivar las ecuaciones en las que aparecen integrales e introducir la notación operacional (2-87), es: 1 i4 6 + 4 · 5 × 10−3 D 6 + ·0 × 10−3 D 3      −3 −3 3   i7  =  1   6 + 3 · 0 × 10 D 6 + 6 · 0 × 10 D D i8 3D 3D 6D + 4000 









(3.6)

Resolviendo (3.6) se obtiene:

i4 =

(9 · 0 × 10−3 D + 12) ∆(D)

(4 · 5 × 10−3 D + 6) (18 × 10−6 D 2 + 13 · 5 × 10−3 D) i8 = ∆(D) ∆(D) −6 2 −3 ∆(D) = 108 × 10 D + 193 · 5 × 10 D + 108 (3.7) i7 =

donde se ha simplificado D tanto en numerador como denominador ya que una de las ecuaciones había sido derivada. Se puede verificar fácilmente que todas las raíces de la ecuación característica, ∆(D) = 0, en (3.7), tienen parte real negativa. Las soluciones particulares de (3.7), para cada caso, se muestran en la tabla 3.1 De los resultados de la Tabla 3.1 se pueden obtener también los siguientes resultados: (a) Para v(t) = 86 Sen(103t + 53 · 13◦ ): vL1ss (t) = 40 Cos 103t vC1ss (t) =

vL2ss (t) =

40 Cos 103t 3

vL3ss (t) =

100 20 Sen(103 t + 16,26◦ ) vC2ss (t) = Sen(103 t + 16,26◦ ) 3 3

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80 Cos 103t 3 (3.8)

5

3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO

v(t) ⇒

V = 24 V

86Sen(103t + 53 · 13◦ )

i4p (t) = iL2ss (t) ⇒

8 A 3

20 Sen 103 t A 3

i7p (t) = iL1ss (t) ⇒

4 A 3

10 Sen 103 t A 3

i8p (t) = iCss (t) ⇒

0A

10 Sen(103t + 106,26◦ ) A

Tabla 3.1 Corrientes de enlace del estado estacionario en el Ejemplo 3.1

(b) Para v(t) = V = 24 V :

vL1ss (t) = vL2ss (t) = vL3ss (t) = 0 V iC1ss (t) = iC2ss (t) = 0 A iL1ss (t) + iL2ss (t) = 4 A (a) vC1ss (t) + vC2ss (t) = 12 V (b)

(3.9)

Los resultados obtenidos en la tercera columna de la Tabla 3.1 y en la ecuación (3.8) se pueden generalizar de la siguiente manera: “Las corrientes y voltajes que se presentan en el estado estacionario en circuitos que contengan por lo menos un elemento resistivo no redundante, excitados por fuentes independientes sinusoidales son también sinusoidales de la misma frecuencia angular y presentan una diferencia entre ellas en la amplitud y en el ángulo de fase que cuantifica el retardo o adelanto de unas con respecto a otras en la ocurrencia de sus valores máximos o mínimos”. Los resultados obtenidos en la segunda columna de la Tabla 3.1 y en la ecuación (3.9) se pueden generalizar de la siguiente manera: En general, “cuando una red pasiva que contiene por lo menos un elemento resistivo no redundante, se excita mediante fuentes independientes de valor constante, los capacitores se comportan en el estado estacionario como circuitos abiertos (corriente nula) y los inductores como cortoAlvaro Acosta M.

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CONDICIONES INICIALES

circuitos (voltaje cero)”4. Así por ejemplo, reemplazando en el circuito de la Figura 3.1(a) los capacitores por circuitos abiertos y los indde la misma frecuencia angulaructores por corto-circuitos, como se muestra en la Figura 3.2 y resolviendo el circuito resistivo resultante, se pueden obtener directamente los mismos resultados de la ecuación (3.9), sin necesidad de obtener las ecuaciones diferenciales ni resolverlas para las soluciones particulares.

R

R

C1 vC1 V

C2 R

vC2

L1

L2 iL2

iL1

L3 iL3

Figura 3.2 Circuito Para hallar respuestas de estado estacionario del circuito de la Figura 3.1(a) excitado con fuente de valor constante

En la solución del circuito resistivo resultante debe tenerse en cuenta que la corriente y por lo tanto también el voltaje a través del resistor en serie con los capacitores son nulos y que el terminal negativo de la fuente independiente de voltaje de valor constante y el terminal común a los inductores y el resitor es el mismo nodo. Vale la pena hacer notar, además, que la solución de este circuito resistivo permite obtener únicamente la suma algebraica de los voltajes en capacitores conectados en serie y de las corrientes a través de inductores en paralelo. Para determinar los valores individuales se requieren ecuaciones adicionales que se obtienen aplicando los siguientes criterios:

4

Nótese, sin embargo, que la energía almacenada en ellos es diferente de cero ya que existe una corriente (6= 0) a través de los inductores y un voltaje (6= 0) en terminales de los capacitores

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7

3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO

3.2.3.

ECUACIONES AUXILIARES

CORTES FORMADOS EXCLUSIVAMENTE DE CAPACITORES Como en este caso también se cumple que la suma algebraica de las corrientes a través de los elementos del corte es nula se puede re-escribir la siguiente ecuación para la correspondiente superficie:

X k

ik (t) = 0 ⇒

Z

t

X

ik (τ )dτ =

−∞ k

XZ k

t

ik (τ )dτ =

−∞

X

qk (t) =

k

X k

Ck vk (t) = 0 ∀ t (3.10)

(3.10) establece que la siguiente LEY GENERAL: “cuando un corte está formado exclusivamente de capacitores la suma algebraica de sus cargas es igual a cero en todo instante”. En la aplicación de (3.10) debe tenerse en cuenta que el signo de cada término lo define el sentido de referencia de cada vk (t). La aplicación de (3.10) al caso particular de una secuencia de n capacitores conectados en serie como los mostrados en la Figura 3.3 se resume en las ecuaciones (3.11) y (3.12).

iab(t) C1 C2

Ck

v1 v2 vab(t)

vk

a

vn

Cn

b Figura 3.3 Aplicación de (3.10) al caso de capacitores en serie

vab (t) =

n X

k=1

vk (t)

1 vk (t) = Ck

Z

t

−∞

iab (τ )dτ =

qk (t) Ck

(3.11)

De (3.11) y dado que en una conexión serie la corriente es la misma para todos los elementos se concluye que: qk (t) =

Z

t

−∞

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iab (τ )dτ = C1 v1 (t) = C2 v2 (t) = · · · = Cn vn (t)(3 − 14b)

(3.12)

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CONDICIONES INICIALES

En palabras (3.12)) se puede expresar “capacitores en serie toman la misma carga”. Nótese que en consecuencia los de menor capacitancia toman mayor voltaje. EJEMPLO 3.2

1

C1

C2

5

2

vC1

6

vC2 vC4

V1

C4

C3

4

3

vC5

C5

vC3

vC6

C6 C7

0

V2

vC7

Figura 3.4 Circuito del Ejemplo 3.2 Obtener los voltajes (con los sentidos de referencia indicados) para el circuito de la Figura 3.4, cuyos parámetros son los de la ecuación (3.13)

V1 = 12 V V2 = 24 V C1 = 30 µF C2 = 30 µF C3 = 270 µF C4 = 45 µF C5 = 90 µF C6 = 45 µF C7 = 90 µF

(3.13)

Se debe realizar un gráfico orientado en el que es obligatorio que las fuentes independientes de voltaje se tomen como ramas, y conveniente que los sentidos de referencia de los voltajes a través de los capacitores coincidan con los del enunciado del problema, como se ilustra en el de la Figura 3.5. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se obtiene:

P j

vj (t) = 0

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!

a los anillos independientes

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3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO

1

1

2

4

S7

S5

S6

S1

3

8

2

5

3

6

6

4

4

9

5 7 0

Figura 3.5 Gráfico orientado del circuito del Ejemplo 3.2 vC1 + vC4 + vC5 − 12 = 0 vC2 − 24 − vC7 − vC6 = 0 vC3 + vC7 − vC5 = 0 donde se ha reemplazado v8 = 12 V

v9 = 24 V

(3.14)

vk = vCk k = 1, 2, · · · , 7

Aplicando (3.10) a los cortes independientes correspondientes a las ramas que sean capacitores (identificados mediante las letras S en el gráfico orientado de la Figura 3.5) se completa el conjunto linealmente independiente, es decir, S1 S2 S5 S7

: −C1 VC1 + C4 VC4 = 0 : C2 VC2 + C6 VC6 = 0 : −C1 VC1 + C3 VC3 + C5 VC5 = 0 : C2 VC2 + C7 VC7 − C3 VC3 = 0

(3.15)

Reemplazando en (3.15) los valores (3.13) y resolviendo el sistema lineal de ecuaciones que resulta de las ecuaciones (3.14) y (3.15) se obtiene: VC1 = 7 · 5 V VC4 = 5 · 0 V VC7 = −1 · 5 V Alvaro Acosta M.

VC2 = 13 · 5 V VC5 = −0 · 5 V

VC3 = 1 · 0 V VC6 = −9 · 0 V

(3.16)

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CONDICIONES INICIALES

ANILLOS FORMADOS EXCLUSIVAMENTE DE INDUCTORES De la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff

j

obtiene:

X k

P

vk (t) = 0 ⇒

Z

t

X

vk (τ )dτ =

−∞ k

XZ

t

vj (t) = 0

vk (τ )dτ =

−∞

k

X k

!

a dichos anillos se

φk (t) = 0 ∀ t

(3.17)

~ = donde las expresiones para los flujos magnéticos individuales se obtienen de φ(t) ~ [L]~i(t), donde [L] es la matriz simétrica de inductancias propias y mutuas, φ(t) es el vector de flujos magnéticos asociados e ~i(t) el vector de corrientes en el caso de inductores mutuamente acoplados [ecuación (1.33)] y para los no acoplados de φk (t) = Lk ik (t) [definición (1.29)] (3.17) establece la siguiente LEY GENERAL: “Cuando un anillo está formado exclusivamente de inductores (algunos de los cuales podrían estar inductivamente acoplados) la suma algebraica de los flujos magnéticos asociados a ellos es igual a cero en todo instante”

a vab(t) b

L1

Lk

L2

iL1

iL2

Ln

iLk

iLn

Figura 3.6 Conjunto de n inductores conectados en paralelo La Figura 3.6 muestra un conjunto de n inductores sin acoplamiento mutuo entre ellos conectados en paralelo. Aplicando (3.17) a este caso particular se obtiene: 1 iLk (t) = Lk ⇒

Z

t

−∞

Z

t

vab (τ ) dτ =

−∞

φk (t) Lk

vab (τ ) dτ = φk (t) = Lk iLk (t) k = 1, 2, · · · , n

(3.18)

L1 iL1 = L2 iL2 = · · · = Lk iLk = · · · = Ln iLn

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3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO

11

Aplicando (3.17) y (3.10) al circuito de la Figura 3.2, se obtiene:

−C1 vC1ss (t) + C2 vC2ss (t) = 0 ⇒ −300 × 10 vC1ss (t) + 1500 × 10−6 vC2ss (t) = 0 (a)       iL1ss (t) 6 1 2 φL1 (t)      −3   iL2ss (t)   φL2 (t)  =  1 1 · 5 0  × 10 iL3ss (t) 2 0 3 φL3 (t) φL1 (t) − φL2 (t) − φL3 (t) ⇒ 6 · 0 iL1ss (t) + 3 · 0 iL2ss (t) = 3 · 0 iL1ss (t) + 4 · 5 iL2ss (t) (b) −6

(3.19)

donde en (3.19)(b) se ha tenido en cuenta que iL2ss (t) = iL3ss (t). Resolviendo los sistemas simultáneos de ecuaciones (3.9)(b) y (3.19)(a) se obtienen los valores individuales vC1ss (t) = 2 V y vC2ss (t) = 10 V . Similarmente resolviendo 4 los sistemas simultáneos de ecuaciones (3.9)(a) y (3.19)(b) se obtiene iL1ss (t) = A 3 8 e iL2ss (t) = iL3ss (t) = A (Ver Tabla 3.1). 3

3.2.4.

EXCEPCIONES

Las condiciones de que un circuito esté excitado por fuentes independientes de valor constante y tenga un elemento resistivo no redundante, por sí mismas, no no garantizan se puedan reemplazar los inductores por un corto-circuito y los capacitores por circuitos abiertos para obtener las respuestas del estado estacionario. Es decir, ellade la misma frecuencia angulars son condiciones necesarias, pero no suficientes. Los inductores que hagan parte de trayectorias cerradas que contengan por lo menos una fuente independiente de voltaje de valor constante y exclusivamente inductores no se pueden reemplazar por un corto circuito. Sin embargo, los inductores de una trayectoria cerrada formada exclusivamente por inductores se pueden reemplazar por corto-circuide la misma frecuencia angulartos. Similarmente, los capacitores que hagan parte de cortes que contengan por lo menos una fuente independiente de corriente de valor constante y exclusivamente capacitores no se pueden reemplazar por un circuito abierto (ver ejercicio 3.3). Sin embargo, los capacitores de un corte formado exclusivamente por capacitores se pueden reemplazar por circuitos abiertos. Alvaro Acosta M.

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CONDICIONES INICIALES

Se aclara que las situaciones descritas anteriormente son muy hipotéticas o teóricas por cuanto es imposible construir en la práctica bobinas que no presenten resistencia interna lo que se modela colocándo ésta en serie con el parámetro predominante inductancia. Así mismo todos los capacitores presentan fugas que se modelan mediante una resistencia en paralelo con el parámetro capacitancia.

3.3.

CIRCUITO PROPIO E IMPROPIO

Se define como anillo impropio a una trayectoria cerrada formada exclusivamente de capacitores o exclusivamente de capacitores y fuentes independientes de voltaje. Similarmente se define como corte impropio a uno formado exclusivamente de inductores o de inductores y fuentes independientes de corriente de la misma frecuencia angular Un circuito que tenga un anillo impropio o un corte impropio se dice que es impropio. Se define un circuito propio como uno que no contiene ni anillos ni cortes impropios.

3.4.

ESTADO ENERGÉTICO

Se define el estado energético de un circuito como el conjunto de variables que determinan la energía almacenada en él, es decir, los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores. De las ecuaciones (1.27) Y (1.28) , válidas para L y C constantes mayores que cero, puede verse que variaciones bruscas (instantáneas) en las corrientes a través de los inductores y de voltajes en capacitores, significarían, respectivamente, voltajes en inductores y corrientes en capacitores infinitos [y por tanto potencias, [ver ecuación (1.XX)].Si se recuerda que la teoría de circuitos sirve para hacer modelos matemáticos que permiten hacer análisis y predicciones sobre aparatos reales, parece lógico suponer que la naturaleza no se comporta de esta manera. Se puede concluir entonces que la cantidad de energía almacenada en un circuito no cambia bruscamente. Sin embargo, como se verá más adelante, este es un postulado válido únicamente para circuitos propios y ha sido confirmado por la observación experimental. Si se supone que i Cada elemento almacenador adquiere su estado energético independientemente de todos los demás, es decir, cada uno tiene historias diferentes. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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13

3.4. ESTADO ENERGÉTICO

ii En un cierto instante que se toma como referencia (t = 0+) dichos elementos entran formar parte de una interconexión ARBITRARIA. iii La red así formada es un circuito impropio. entonces es lógico suponer que en cumplimiento de las leyes de Kirchhoff (válidas para ∀ t ≥ 0+) los voltajes en los capacitores de trayectorias impropias y las corrientes en los inductores de cortes impropios5 en t = 0+, en general, deben asumir valores diferentes a los que tenían un instante antes de realizar la interconexión (que en los sucesivo se identificará por t = 0−). Las ecuaciones (1.27) y (1.28) sugieren que si se presentan estos cambios instantáneos se debe a un aceleramiento intenso de las cargas en los capacitores (corrientes muy elevadas) o de los flujos magnéticos en los inductores (voltajes muy grandes) que según la electrodinámica obliga a que se produzca emisión de energía al espacio (radiación), razón por la cual la energía almacenada en t = 0− no es igual a la que queda en t = 0+. Se acostumbra formular matemáticamente estos cambios instantáneos introduciendo la función impulso unitario que se define por sus propiedades de la siguiente manera:

δ(t) = Z

∞

−∞

(

0 ∀t 6= 0 −∞ δ(t) dt = 1

R∞

f (t) δ(t − t0 ) dt = f (t0 )

(3.20)

Se puede redefinir entonces el estado energético inicial, es decir, las corrientes a través de inductancias que hagan parte de cortes impropios o de las mutuamente acopladas a ellos y los voltajes en capacitores que formen anillos impropios de la siguiente manera: 1 0+ iL (0+) = i[ (0−) + vL (x)dx L 0− Z 0+ 1 = iL (0−) + KL δ(x)dx L 0− KL = iL (0−) + L Z

1 vC (0+) = vC (0−) + C

Z

0+

0−

iC (x)dx

1 0+ KC δ(x)dx C 0− KC = vC (0−) + (3.21) C = vC (0−) +

Z

Las ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6) toman entonces la siguiente forma: 5

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14

CONDICIONES INICIALES

iL (t) =

1 L

Z

t

vL (x)dx = iL (0+) +

−∞

1 L

~iL (t) = ~iL (0+) + [L]−1 vC (t) =

3.5.

1 C

Z

t

iC (x)dx = vC (0+) +

−∞

1 C

t

Z

0+ Z t

Z

0+ t

0+

vL (x)dx ~vL (x)dx iC (x)dx

(3.22)

ENUNCIADO TÍPICO DE UN PROBLEMA DE CIRCUITOS

Se da un circuito (que se denominará “previo”) que alcanza el estado estacionario6 y en un instante que se toma como referencia (t = 0) y que se describe con precisión como se ilustra en la subsección 3.6.1, se conforma otro por la acción simultánea de algunos interruptores que cambian de posición o de estado (que por lo tanto se denominará “conmutado”). Se pide encontrar una respuesta total (no solo la correspondiente a la solución particular, de la misma frecuencia angular, sino también la solución a la homogénea de la ecuación diferencial que la relaciona con la excitación).

3.6.

DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENERGÉTICO EN t = 0-

3.6.1.

DESCRIPCIÓN DEL INSTANTE DE LA CONMUTACIÓN

Como se estudió en la sección 3.2, todas las respuestas de régimen permanente de un circuito que tenga por lo menos un elemento resistivo no redundante excitado mediante una fuente independiente sinusoidal son también sinusoidales de la misma frecuencia angular y difieren entre sí únicamente en la amplitud y el ángulo de fase del que depende el retraso o adelanto de unas con respecto a otras. La descripción precisa del instante en el que ocurre la conmutación se hace escogiendo una de las 6

casi siempre excitado mediante fuente sinusoidal

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3.6. DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENERGÉTICO EN T = 0-

15

respuestas y(t) (la corriente o voltaje en una cualquiera de las puertas), la cual puede expresarse de cualquiera de las siguientes formas

y(t) = Am Sen(wt + α) = Am Cos(wt + β)

− π ≤ α, β ≤ π

β = α−

π (3.23) 2

donde tanto α como β son valores algebraicos, es decir, pueden ser valores mayores o menores que cero. La acción de los interruptores se produce cuando esta señal se encuentra en cualquiera de los siguientes casos: (1) y(t) vale 0 y está creciendo. (2) y(t) tiene un valor positivo dado p (> 0) y está creciendo. (3) y(t) = Am es máximo. (4) y(t) tiene un valor positivo dado p (> 0) y está decreciendo. (5) y(t) vale cero y está decreciendo. (6) y(t) tiene un valor negativo dado n (< 0) y está decreciendo. (7) y(t) = −Am es mínimo (máximo negativo). (8) y(t) tiene una valor negativo dado n (< 0) y está creciendo. Es importante recordar que los términos “creciendo“ y “decreciendo” se deben entender en un sentido algebraico. Así por ejemplo, una cantidad negativa que a medida que transcurre (se incrementa) el tiempo se hace más negativa está decreciendo (pendiente negativa), aunque su valor absoluto está creciendo. Similarmente, una cantidad negativa que cuando se incrementa el tiempo se hace menos negativa está creciendo (pendiente positiva) aunque su valor absoluto está decreciendo. En la Tabla 3.2 se muestra, para cada uno de los casos enunciados, una expresión de la que se puede obtener wt = wtc , que identifica el instante en el que ocurre la conmutación. Para verificar los resultados indicados en dicha Tabla debe tenerse ! π |k| ≤ se cuenta a partir de un cruce en cuenta el criterio de que 0 ≤ ArcSen Am 2 ! π |k| ≤ se cuenta a partir de un máximo de la por cero y que 0 ≤ ArcCos Am 2 Alvaro Acosta M.

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CONDICIONES INICIALES

CASO 1

2 3 4 5 6 7

8

y(t) = Am Sen(wt ± α)

y(t) = Am Cos(wt ± βα)

wtc ± α = 0 p wtc ± α = ArcSen Am 



π 2   p wtc ± α = π − ArcSen Am wtc ± α =

wtc ± α = π

π − 2 wtc ± β = 3π   2    p   −ArcCos  A m  wtc ± β =  p   2π − ArcCos Am   

!

|n| wtc ± α = π + ArcSen Am  π   − 2 wtc ± α = 3π   2  !  |n|   2π − ArcSen   Am ! wtc ± α =  |n|     −ArcSen Am

wtc ± β = 0

wtc ± β = ArcCos wtc ± β =

π 2



p Am



|n| wtc ± β = π − ArcCos Am

!

wtc ± β = ±π |n| wtc ± β = π + ArcCos Am

!

Tabla 3.2

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17

3.7. CAMBIO DE REFERENCIA

onda sinusoidal. El estado energético en t = 0− se obtiene reemplazando en las expresiones analíticas del tiempo para las corrientes en cada inductor y para los voltajes a través de cada capacitor wt = wtc .

3.6.2.

EJEMPLO 3.3

Hallar el estado energético del circuito del Ejemplo 3.1 cuando iL1 vale − 8/3 y está creciendo, suponiendo los sentidos de referencia del gráfico orientado de la Figura 3.1. Las expresiones analíticas en función del tiempo de las respuestas de régimen permanente son las de la tercera columna de la Tabla 3.1 y la ecuación (3.8). El instante en el que se efectúa la conmutación corresponde, de acuerdo a la Tabla 3.2 al caso 8, al definido por eje wtc = −53 · 13◦ (o dado su carácter periódico a wtc = −306 · 87◦ ). Reemplazando cualquiera de éstos valores en las expresiones de la ecuación (3.8) y la Tabla 3.1 se puede calcular el siguiente estado energético inicial en t = 0−. 8 iL1 (0−) = − A 3 vC1 (0−) = −20 V

iL2 (0−) = iL3 (0−) = − vC2 (0−) = −4 V

16 A 3

(3.24)

Reemplazando (3.24) en

3.7.

CAMBIO DE REFERENCIA

Cuando una fuente independiente de tipo sinusoidal de la forma e(t) = Am Sen(wt+ π α) = Am Cos(wt + β), β = α − hace parte tanto de la red que alcanza el estado 2 estacionario (Circuito Previo) como del circuito vigente después de la conmutación (Circuito Conmutado) y se toma como referencia (t = 0) el instante en el que ocurre ésta, es necesario modificar la función del tiempo para dicha fuente independiente ya que, en el instante de la conmutación ni su valor instantáneo ni su pendiente (derivada temporal de primer orden) se alteran debido a los cambios en la estructura topológica de la red conectada a sus terminales producidos por los cambios de posición o de estado de los interruptores. Es decir, si en el instante de la conmutación la onda tenía un valor, positivo o negativo, y estaba creciendo o Alvaro Acosta M.

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18

CONDICIONES INICIALES

decreciendo continúa haciéndolo de acuerdo a su ley sinusoidal sin alterar su amplitud, ni su frecuencia angular. Lo anterior equivale, en un plano en el que el eje horizontal representa la variable independiente tiempo t o ésta multiplicada por una constante w (wt), a un traslado del eje vertical en el valor wt = wtc , obtenido anteriormente. La Figura 3.7 muestra los casos posibles tanto para los valores instantáneos como para la pendiente de excitación sinusoidal que se enumeran a continuación. (6) (7)

−π

− 3π 4

− π2

ek (x) = Amk Sen(x) (8) (3) (4) (2)

− π4

0

π 4

− π2

(6)

(7)

(5) (8)

3π 4

π

5π 4

3π 2

7π 4

2π

9π 4

5π 2

x 3π x = ωt + α

11π 4

ez (x) = Amk Sen(x + δ)

−δ

x x = ωt + α

Figura 3.7 Ilustración del cambio de referencia

(1) ez (0) = 0 y está creciendo. (2) ez (0) = p > 0 y está creciendo. (3) ez (0) = Am (es máximo). (4) ez (0) = p > 0 y está decreciendo. (5) ez (0) = 0 y está decreciendo. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.7. CAMBIO DE REFERENCIA

19

(6) ez (0) = n < 0 y está decreciendo. (7) ez (0) − Am (Es mínimo o máximo negativo). (8) ez (0) = n < 0 y está creciendo. Teniendo en cuenta que ni su amplitud Am ni su frecuencia angular w se modifican, la nueva expresión para la fuente independiente es de la forma ez (t) = Am Sen(wt+ π δ) = Am Cos(wt + φ) − π ≤ φ = δ − ≤ π, en cuyo caso el problema se reduce 2 entonces a la determinación de δ o φ de a partir del valor instantáneo la función que describe el voltaje o la corriente a través de ella en el circuito previo e(t) en

el instante de la conmutación e(t)

= e(wtc ) = k y del signo de su wt = wtc ( d >0 = para saber si en derivada temporal de primer orden e(t) wt = wt < 0 dt c dicho instante está creciendo o decreciendo (para determinar el cuadrante de δ o de φ). Nótese que ez (0) = e(t)|wt=wtc = k puede ser positivo, negativo o cero y que sólo se requiere el signo y no el valor de la primera derivada en dicho instante de la conmutación. Por lo tanto, en el instante de la conmutación ez (t) puede asumir uno y solo uno de los 8 casos enunciados anteriormente, es decir, La Tabla 3.3 muestra las expresiones para la evaluación de δ y φ. Al comparar con los resultados mostrados en la Tabla 3.2 se puede establecerse que los segundos miembros de las correspondientes ecuaciones son idénticos y que en algunos casos se les ha sumado ! o restado 2π a los valores calculados con el criterio |k| π de que 0 ≤ ArcSen ≤ se cuenta a partir de un cruce por cero y que A 2 m ! |k| π 0 ≤ ArcCos ≤ se cuenta a partir de un máximo de la onda sinusoidal. Am 2

3.7.1.

EJEMPLO 3.4

Después de que el circuito de la Figura 3.8, cuyos parámetros son los de la ecuación (3.5) con v(t) = 86 Sen(103t + 53,13·◦ ), ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor S en la posición a, éste se pasa instantáneamente a la posición b en un instante en que iC1 vale 8 A y está creciendo. Tomando este instante como referencia (t = 0) hallar: (a) El estado energético un instante antes de la conmutación; Alvaro Acosta M.

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20

CONDICIONES INICIALES

fx (t) ⇒

Am Sen(wt + δ) − π ≤ δ ≤ π

1

2

δ=0

δ = ArcSen



p Am

π 2

4

p δ = π − ArcSen Am

7

8

p −ArcCos A m  φ= p    2π − ArcCos Am    



δ=



p φ = ArcCos Am π φ= 2





δ=π      



φ=0



5

π − φ =  3π2  2   

3

6

Am Cos(wt + φ) − π ≤ φ ≤ π

!

|n| π + ArcSen Am ! δ=  |n|     −π + ArcSen Am  π   − 2 δ= 3π   2  !  |n|     2π − ArcSen Am ! δ=  |n|     −ArcSen Am



|n| φ = π − ArcCos Am

!

φ=π      

!

|n| π + ArcCos Am ! φ=  |n|     −π + ArcCos Am

Tabla 3.3 Expresión para las fuentes independientes sinusoidales que hacen parte tanto del circuito previo como del conmutado

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3.7. CAMBIO DE REFERENCIA

(b) La expresión para la fuente independiente en el circuito conmutado.

R

R

v(t)

C1

vC1

C2

vC2

R

t=0 a

L1

L2 iL2

iL1

L3 iL3

Figura 3.8 Circuito del Ejemplo 3.4

ANÁLISIS DEL CIRCUITO PREVIO El circuito con el interruptor S en la posición a, es el mismo del Ejemplo 3.1. Por lo tanto, la ecuación (3.8) y la tercera columna de la Tabla 3.1 da las expresiones para las corrientes en todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores, necesarios para determinar el estado energético un instante antes de la conmutación. DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENERGÉTICO EN t = 0− Fácilmente se puede demostrar que el instante de la conmutación descrito en el Ejemplo 3.3 es equivalente al descrito en el Ejemplo 3.4, razón por la cual el estado energético en t = 0− es el definido en la ecuación (3.24). Es decir,

iC1 (t) = i8p (t) = 10Sen(103 t + 106 · 26◦ ) iC1 (0−) = 8A = 10Sen(103 tc + 106 · 26◦ ) (   8 53 · 13◦ Creciendo 3 ◦ 10 tc + 106 · 26 = ArcSen = 180◦ − 53 · 13◦ Decreciendo 10 103 tc = 53 · 13◦ − 106 · 26◦ = −53 · 13◦

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(3.25)

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CONDICIONES INICIALES

Reemplazando 103 tc = 53 · 13◦ − 106 · 26◦ = −53 · 13◦ de (3.25) en las expresiones en función del tiempo para los voltajes en los capacitores [(3.8)] y en las mostradas para las corrientes en los inductores de la 3.1 (tercera columna) se obtiene el siguiente estado energético en t = 0−. vC1 (0−) = −20 V vC2 (0−) = −4 V ∴ vC (0−) = vC1 (0−) + vC2 (0−) = −24 V 8 16 16 iL1 (0−) = − A iL2 (0−) = − A iL3 (0−) = − A (3.26) 3 3 3 CAMBIO DE REFERENCIA Reemplazando 103 t = 103 t c = −53 · 13◦ en v(t) se obtiene el valor de vx (0) y del d se sabe si en el instante de la conmutasigno de la derivada v(t) dt 103 t=103 tc =−53·13◦ ción la fuente independiente está creciendo o decreciendo. En nuestro caso se tienen los siguientes valores: vx (0) = v(t)|103 t=103 tc =−53·13◦ = 86Sen(−53 · 13◦ + 53 · 13◦ ) = 0 V

d = vx (t) dt t=0



d = 86 × 103 Cos(−53 · 13◦ + 53 · 13◦ ) = 1 > 0 v(t) dt 103 t=103 tc =−53·13◦

(3.27)

Es decir, (3.27) en palabras: “en el momento de la conmutación (t = 0) la fuente independiente v(t) vale cero y está creciendo”, lo que equivale al primer caso de la Tabla 3.3. Por lo tanto, si se supone vx (t) = 86 Sen(103 t + δ) entonces δ = 0 que π π es equivalente a vx (t) = 86 Cos(103t − ), es decir, φ = − . 2 2 Una forma alternativa de obtener la expresión para vx (t) es desplazando el eje vertical de v(t) en wtc lo cual equivale a “sumarle” wtc al ángulo de fase de v(t). Es decir, vx (t) = 86 Sen[103t + 53 · 13◦ + (−53 · 13◦ )] = 86 Sen 103t

(3.28)

En la Figura 3.9 se muestran las gráficas de algunas del las respuestas del circuito previo en el estado estacionario. Nótese que mientras la escla del eje horizontal es la misma para todas ellas la del eje vertical para las corrientes se ha afectado en factor de 5. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.8. ESTADO ENERGÉTICO UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN

yk (t) = Amk Sen(103t + αk ) 100 90 80 70 60 50 40 30 20

3 iL2(t) = 20 3 Sen(10 t)

10

− π2

− π4

0

0 −10 −20

π 4

− π2

3π 4

π

5π 4

3π 2

7π 4

2π

9π 4

5π 2

11π 4

6π 2

ic(t) = 10Sen(103t + 106.26◦) 103t 13π 7π 15π 4π 4

2

4

3 vC1(t) = 80 3 Sen(10 t + 1

−30 −40

v(t) = 86Sen(103t + 53.13◦)

−50 −60 −70 −80 −90 −100

Figura 3.9 Respuestas de estado estacionario del circuito previo del Ejemplo 3.4 para ilustrar el cambio de referencia.

3.8.

MÉTODO SISTEMÁTICO PARA DETERMINAR EL ESTADO ENERGÉTICO UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN (t = 0+)

Los elementos almacenadores de energía adquieren ésta cuando hacen parte de circuitos (que pueden ser independientes entre sí) que alcanzan su estado estacionario. Después de que ha transcurrido “mucho” tiempo, en un instante que debe ser definido claramente (t = 0−), como consecuencia de la acción simultánea e instantánea de algunos interruptores se interconectan en otra red que tiene una estructura topológica diferente. Se describe a continuación un método sistemático Alvaro Acosta M.

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CONDICIONES INICIALES

para determinar el estado energético un instante inmediatamente después de la conmutación (que se identificará por t = 0+). 1. (a) Para cada capacitor que no haga parte de trayectorias cerrada impropias aplicar el principio de continuidad de los voltajes. Es decir, vCk (0+) = vCk (0−)

(3.29)

(b) Para cada inductor que no pertenezca a ningún corte impropio y que no esté acoplado a otros que hagan parte de cortes impropios aplicar el principio de continuidad en las corrientes a través de ellos. Es decir, iLj (0+) = vLj (0−)

(3.30)

2. Para determinar los voltajes en los capacitores que hagan parte de trayectorias cerradas impropias en t = 0+ se procede de la siguiente manera: (a) Se obtiene un circuito reducido reemplazando todos los inductores, resistores, fuentes de corriente y las fuentes de voltaje y capacitores que no hagan parte de trayectorias cerradas impropias por circuitos abiertos. (b) Se hace un gráfico orientado del circuito reducido (es recomendable que los sentidos de referencia de los voltajes en los capacitores sean idénticos a los que se eligieron para determinarlos o especificarlos en t = 0− y necesario que las fuentes de voltaje formen parte del árbol). (c) Se plantean las ecuaciones que resultan de: i Aplicar la segunda ley de Kirchhoff

!

a los anillos in-

Ck vCk (0−)

(3.31)

P j

vj (t) = 0

dependientes en t = 0+. ii Aplicar a los cortes independientes que no incluyan fuentes de voltaje del circuito reducido la LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CARGA que establece que “la suma algebraica de la carga almacenada en los capacitores que pertenecen a cualquier corte no puede cambiar instantáneamente”, es decir, X

qk (0+) =

k

X k

Ck vCk (0+) =

X

qk (0−)

k

X

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k

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3.8. ESTADO ENERGÉTICO UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN

25

iii Se resuelve el conjunto de ecuaciones simultáneas planteadas en i y en ii para los vCk (0+) 3. Para determinar las corrientes en t = 0+ a través de inductores que hagan parte de cortes impropios o de inductores que aunque no hagan parte de cortes impropios estan mutuamente acoplados a otros que hacen parte de cortes impropios, se procede de la siguiente manera: (a) Se obtiene un circuito reducido reemplazando por corto-circuitos todos los capacitores, resistores, fuentes de voltaje, fuentes de corriente e inductores que no hagan parte de cortes impropios y que tampoco estén mutuamente acoplados a otros que sí hagan parte de cortes impropios. (b) Se hace un gráfico orientado del circuito reducido (es recomendable que los sentidos de referencia de las corrientes en los inductores sean idénticos a los que se eligieron para determinarlas o especificarlas en t = 0− y necesario que las fuentes de corriente se elijan como enlaces). (c) Se plantean las ecuaciones que resultan de: i Aplicar la primera ley de Kirchhoff

 P



ik (t) = 0 a los cortes inde-

k

pendientes para expresar las corrientes de rama en función de las de enlace en t = 0+. ii Aplicar a los anillos independientes que no incluyan fuentes de corriente del circuito reducido la LEY DE LA CONTINUIDAD DEL FLUJO MAGNÉTICO que establece que “la suma algebraica de los flujos magnéticos en los inductores que pertenecen a cualquier trayectoria cerrada no puede cambiar instantáneamente”, es decir, X k

φ( 0+) =

X

φ( 0+)

k

~ k = [L] ~iLk φk = Lk iLk = φ

∀t

(3.32)

iii Se resuelve el conjunto de ecuaciones simultáneas planteadas en i y en ii para los iLk (0+)

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26

3.8.1.

CONDICIONES INICIALES

EJEMPLO 3.5

[ Las ecuaciones (3.33) y (3.34) son, respectivamente, los parámetros y el estado energético en t = 0− del circuito de la Figura 3.10. Determinar el estado energético inicial inmediatamente después de la conmutación (t = 0+).

C3 vC3

R1 vC1

10 3

2

iL1

C1 vx(t)

C

L1 C2

vC2 R3

1

iL3 L3

vC

4

M

iL2 im(t)

L2

C4

vy(t)

vC3

iL

v

iL4

R2

L

5 11

8

9

7 6

in(t)

C

Figura 3.10 Circuito impropio de Ejemplo de la subsección 3.8.1.

vx (t) = 10Cos t V vy (t) = 5Sen t V in (t) = 5 e−t A C = 3F C2 = C5 = 2 F L = 20 H L3 = 3 H L2 = M12 = 1 H R1 = R2 = 10 Ω R3 = 100 Ω

vC (0−) = 5 V vC1 (0−) = 10 V vC3 (0−) = 20 V vC4 (0−) = 14 V iL (0−) = 1 A iL1 (0−) = 1 A iL3 (0−) = 16 A iL4 (0−) = 8 A

im (t) = 2 e−3t A C1 = C3 = C4 = 1 F L1 = 2l H L4 = 5 H (3.33)

vC2 (0−) = 10 V vC5 (0−) = −7 V iL2 (0−) = 2 A

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(3.34) Alvaro Acosta M.

27

3.8. ESTADO ENERGÉTICO UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN

1. Puesto que C no forma parte de alguna trayectoria cerrada impropia ni L de algún corte impropio, se puede aplicar (3.29) y (3.30): vC (0+) = vC (0−) = 5 V

iL (0+) = iL (0−) = 1 A

(a) Ya que vx (t), C1, C2, C3, C4 y C5 forman parte de trayectorias cerradas impropias se obtiene el circuito reducido de la Figura 3.11(a). (Nótese que todos los demás elementos se han reemplazado por circuitos abiertos). (b) En el gráfico orientado del circuito reducido de la Figura 3.11(b) los sentidos de referencia de los voltajes en los capacitores se son idénticos a los que se utilizaron para especificarlos en t = 0− y la fuente de voltaje se han elegido como rama. Nótese que vk = vCk 1 ≤ k ≤ 5.

vC1 3

2

1

C3

C1

9

2

vC3 C2

vC2

vx(t)

C4

vC3

3

3

9

2

6

4

vC5 1

(a)

C5

6

6

5

1

(b)

Figura 3.11 Circuito reducido para obtener los voltajes en los capacitores que hacen partes de trayectorias impropias en el Ejemplo de la sección 3.8.1 y su correspondiente gráfico orientado (c) Se plantean las ecuaciones que resultan de: i De la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff

P j

vj (t) = 0

!

en

t = 0+ a los anillos independientes del circuito reducido se obtiene: vC1 (0+) + vC2 (0+) − vx (0+) = 0 vC2 (0+) + vC3 (0+) + vC5 (0+) − vC4 (0+) = 0 Alvaro Acosta M.

(3.35)

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28

CONDICIONES INICIALES

ii Aplicando el principio de continuidad de la carga en t = 0+ a los cortes correspondientes a las ramas 2, 4 y 5 se obtiene: C2 vC2 (0+) − C1 vC1 (0+) − C3 vC3 (0+) = C2 vC2 (0−) − C1 vC1 (0−) − C3 vC3 (0−) C3 vC3 (0+) + C4 vC4 (0+) = C3 vC3 (0−) + C4 vC4 (0−) C5 vC5 (0+) − C3 vC3 (0+) = C5 vC5 (0−) − C3 vC3 (0−)

(3.36)

iii (3.35) y (3.36) constituyen un conjunto linealmente independiente de ecuaciones cuyas incógnitas son vC1 (0+), vC2 (0+), vC3 (0+), vC4 (0+) y vC5 (0+) y en las que se puede reemplazar (3.33) y (3.34) y tener en cuenta que vx (0+) = v6 (0+) = 10 V , una vez resuelto el cual se obtiene: vC1 (0+) = 4 V vC4 (0+) = 16 V

vC2 (0+) = 6 V vC5 (0+) = −8 V

vC3 (0+) = 18 V (3.37)

2. (a) Como im (t), L1, L2, L3 y L4 forman parte de cortes impropios, reemplazando todo lo demás por corto-circuitos se obtiene el circuito reducido de la Figura 3.12(a). (Nótese que todos los demás elementos se han reemplazado por corto-circuitos). (b) La figura 3.12(b) muestra el gráfico orientado del circuito reducido en el que se ha elegido la fuente de corriente como enlace y se ha respetado los sentidos de referencia especificados para describir el estado energético inicial en t = 0−. Nótese que iLk = ik 1 ≤ k ≤ 4. (c)

i Aplicando la primera ley de Kirchhoff

 P

ik (t) = 0

k

independientes en el instante t = 0+ se obtiene: iL1 (0+) − iL1 (0+) − im (0+) = 0 iL3 (0+) − iL4 (0+) = 0



a los cortes

(3.38)

ii Antes de aplicar la ley de continuidad de flujos a los anillos independientes del circuito reducido es conveniente tener las expresiones para los flujos magnéticos: "

φL1 φL2

#

=

"

L1 −M −M L2

#"

iL1 iL2

#

φL3 = L3 iL3

φL4 = L4 iL4

(3.39) Aplicando el principio de continuidad del flujo magnético a los anillos independientes que no incluyen fuentes de corriente se obtiene: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.8. ESTADO ENERGÉTICO UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN

29

4 8

4

M L1

iL2 L2

iL1 1

im(t)

L3 iL3

2 3 5 6 7 9

12

iL4 L4

5 3

8

4 1

2 3 5 6 7 9

(b)

(a)

Figura 3.12 Circuito reducido para obtener las corrientes en los inductores que hacen parte de cortes impropios del ejemplo de la subsección 3.8.1 y su correspondiente gráfico orientado

φL1 (0+) + φL1 (0+) = φL1 (0−) + φL2 (0−) φL3 (0+) + φL4 (0+) = φL3 (0−) + φL4 (0−)

(3.40)

Reemplazando (3.39) en (3.40) se obtiene:

(L1 − M)iL1 (0+) + (−M + L2 )iL2 (0+) = (L1 − M)iL1 (0−) + (−M + L2 )iL2 (0 L3 iL3 (0+) + L4 iL4 (0+) = L3 iL3 (0−) + L4 iL4 (0−) (3. iii (3.38) y (3.41) constituyen un conjunto linealmente independiente de ecuaciones cuyas incógnitas son iL1 (0+), iL2 (0+), iL3 (0+) e iL4 (0+) y en el que se puede reemplazar (3.33) y (3.34) y tener en cuenta im (0+) = i5 (0+) = 2 A, una vez resuelto el cual se obtiene: iL1 (0+) = 1 A iL3 (0+) = 11 A Alvaro Acosta M.

iL2 (0+) = −1 A iL4 (0+) = 11 A

(3.42)

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30

CONDICIONES INICIALES

3.9.

MÉTODO SISTEMÁTICO PARA DETERMINAR EL VALOR DE UNA RESPUESTA DESEADA Y DE SUS DERIVADAS TEMPORALES DE ORDEN SUPERIOR UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN SUPONIENDO CONOCIDO EL ESTADO ENERGÉTICO INICIAL EN DICHO INSTANTE (t = 0+)

3.9.1.

DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO

I Se plantea un conjunto de ecuaciones generales integro-diferenciales linealmente independiente que describa completamente el comportamiento del circuito válido para t ≥ 0+ (a) En función de corrientes de enlace si la respuesta deseada es una corriente (de enlace o de malla), descomponiendo, en las ecuaciones primitivas, el voltaje a través de cada capacitor como se indica en la ecuación (3.22).  Aplicar la primera ley de Kirchhoff

P

ik (t) = 0 a cada inductor que

k

haya sido escogido como rama y que no haga parte de cortes impropios.

(b) En función de voltajes de rama si la respuesta deseada es un voltaje (de rama o de nodo), descomponiendo, en las ecuaciones primitivas, la corriente en cada inductor como en la ecuación (3.22). Aplicar  se indica  la segunda ley de Kirchhoff

P

vj (t) = 0

a cada capacitor que haya

k

sido escogido como enlace y que no haga parte de anillos impropios.

II Las ecuaciones obtenidas en I se evalúan en t = 0+. Recuérdese que en este instante: (a) Las fuentes independientes tienen un valor definido (constante) i(t)|t=0+ = i(0+) o v(t)|t=0+ = v(0+). (b) Cuando se ha planteado el CEGIDLI en función de corrientes de enlace, las corrientes a través de los inductores que se han elegido como enlaces tienen un valor definido por su estado energético inicial iLk (0+). UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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31

3.9. RESPUESTA Y SUS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR EN t = 0+

(c) Cuando se ha planteado el CEGIDLI en función de voltajes de rama, los voltajes en los capacitores que se han elegido como ramas tienen un valor definido por su estado energético inicial vCj (0+). (d) El valor de las variables función de las cuales se ha descrito el circuito y el de sus derivadas temporales de primer orden desconocidas7 se denotan por dix (0+) Corrientes de enlace dt dvy (0+) Voltajes de rama vy (0+) y dt ix (0+) y

(3.43)

Si el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones del CEGIDLI puede ser necesario complementarlo de la siguiente manera: 1 Si el CEGIDLI es en función de corrientes de enlace: Para cada inductor que se haya elegido como rama plantear la primera ley de Kirchhoff  P

ik (t) = 0 al corte independiente que le corresponde y evaluarla en

k

t = 0+. Algunas veces cuando el corte es impropio puede ser útil derivar la ecuación y evaluarla en t = 0+.

2 Si el CEGIDLI es en función de voltajes de rama: Para cada capacitor que se haya ! elegido como enlace plantear la segunda ley de Kirchhoff P j

vj (t) = 0 al anillo independiente que le corresponde y evaluarla en

t = 0+. Algunas veces cuando el anillo es impropio puede ser útil derivar la ecuación y evaluarla en t = 0+.

Nótese que si se escoge el mayor número de inductores y de fuentes de corriente como enlaces y la mayor cantidad de capacitores y fuentes de voltaje como ramas se disminuye el número de incógnitas. III Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales simultáneas obtenido en II. IV Si se desean o se requieren derivadas de segundo orden y/o primeras derivadas desconocidas se derivan las ecuaciones obtenidas en el paso I (válidas para t ≥ 0), las cuales no pierden generalidad, se evalúan en t = 0+ reemplazando en ellas las soluciones encontradas en III y se resuelve el conjunto de ecuaciones dix d2 ix dvy d2 vy lineales resultante para los (0+) y 2 (0+) ó (0+) y (0+). dt dt dt dt2 7

corrientes de enlace que no correspondan a inductores ó voltajes de rama que no correspondan a capacitores

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32

CONDICIONES INICIALES

V El proceso descrito en IV se puede continuar hasta obtener las derivadas del orden deseado. VI Si la respuesta deseada es una corriente de malla se expresan éstas como combinación lineal de las de enlace, para lo cual se puede: (a) considerar primero los elementos que hacen parte de la malla exterior eligiendo primero los que también son enlaces y después los que también las ramas: i Si el elemento de la malla exterior es un enlace la ecuación toma la forma ±ik = imx , donde k identifica el enlace en el gráfico orientado y x la malla. ii Si el elemento exterior es una rama distinguida en el gráfico orientado con el número p se expresa la corriente a través de ella en función de las de enlace (aplicando equilibrio de corrientes al corte que le corresponde) en cuyo caso la ecuación toma la forma ip =

X k

±ik = ±ir

(3.44)

donde todas las ik son enlaces y r identifica una malla. (b) Expresar la corriente total a través de cada uno de los elementos que separan una malla que tenga un elemento de la malla exterior y otra malla interna, en función de las corrientes de malla de las mallas adya-centes, escogiendo primero los que sean enlaces y reemplazando las expresiones para las corrientes de malla obtenidas en (a). Cuando el elemento es una rama se debe expresar la corriente a través de ella  en función de  corrientes de enlace aplicando la primera ley de Kirchhoff

P

ik (t) = 0

k

al corte que le corresponde.

VII Si la respuesta deseada es un voltaje de nodo se deben expresar éstos en función de los de rama. Recordar que si el gráfico es conectado existe una trayectoria entre cada nodo y el de referencia formada exclusivamente de ramas. EJEMPLO 3.6 El estado energético inicial del circuito mostrado en la Figura 3.13 es UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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33

3.9. RESPUESTA Y SUS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR EN t = 0+

R 5 im3

iL 1

iL1 L1

6

v(t)

3

L

r im1

2

C

2

1

vC

6 R

4

6

im2

4

R1

3

4

1

3

2 5

5

Figura 3.13 Circuito del Ejemplo 3.6 y su correspondiente gráfico orientado

iL1 (0+) = IL10

iL2 (0+) = IL20

vC (0+) = VC0

(3.45)

d2 i6 d2 i6 d2 i6 (0+), (0+), y (0+) dt2 dt2 dt2 Si se describe el circuito de la Figura 3.13(a) mediante las corrientes de enlace definidas en la Figura 3.13(b) se obtiene: Hallar

v(t) = ri6 + R(i6 − i7 ) + R(i6 + i8 ) Z di7 1 t 0 = L [i7 (τ ) + i8 (τ )]dτ − R(i6 − i7 ) ∀t≥0+ + v4 (0+) + dt C 0+ 1 Zt di8 [i7 (τ ) + i8 (τ )]dτ + R(i8 + i6 ) − R1 i8 + v4 (0+) + 0 = L1 dt C 0+ (3.46) No se plantean ecuaciones auxiliares ya que ningún inductor se ha elegido como rama. Evaluando (3.46) en t = 0+, se obtiene: Alvaro Acosta M.

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34

CONDICIONES INICIALES

v(0+) = ri6 (0+) + R[i6 (0+) − i7 (0+)] + R[i6 (0+) + i8 (0+)] di7 1 Z 0+ 0 = L (0+) + v4 (0+) + [i7 (τ ) + i8 (τ )]dτ − R[i6 (0+) − i7 (0+)] dt C 0+ Z 1 0+ di8 [i7 (τ ) + i8 (τ )]dτ + R[i8 (0+) + i6 (0+)] − R1 i8 (0+) 0 = L1 (0+) + v4 (0+) + dt C 0+ (3.47) donde debe tenerse en cuenta que

R 0+ 0+

i7 (0+) = IL0

[i7 (τ ) + i8 (τ )]dτ = 0 i8 (0+) = IL10 v4 (0+) = vC (0+) = VC0

(3.48)

Nótese que (3.47) describe el circuito equivalente en t = 0+ (Ver trayectorias independientes en el circuito de la Figura 3.14).

R di

L dt7(0+) 2 1

r 6

IL0 IL10

VC0 C dv4 (0+) dt di

L1 dt8(0+)

3

R

4

v(0+)

R1 5

Figura 3.14 Circuito equivalente en t = +0 del circuito de la Figura 3.13.

Resolviendo (3.47) se obtiene: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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35

3.9. RESPUESTA Y SUS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR EN t = 0+

v(0+) + RIL0 − RIL10 (r + 2R) −(r + 2R)VC0 + Rv(0+) − RrIL0 − R2 IL10 di7 (0+) = dt L(r + 2R) −(r + 2R)VC0 − Rv(0+) − R2 IL0 − (rR − rR1 + R2 − 2R1 R)IL10 di8 (0+) = dt L1 (r + 2R) (3.49) i6 (0+) =

Derivando (3.46) se obtiene:

!

di6 dv di6 di7 (t) = r +R − dt dt dt dt 2 d i7 i7 + i8 0 = L 2 + −R dt C d2 i8 i7 + i8 0 = L1 2 + −R dt C

!

di8 di6 +R + dt dt ! di6 di7 ∀t≥0+ − dt dt ! di8 di6 di8 + R1 + dt dt dt

(3.50)

Evaluando (3.50) en t = 0+

"

#

"

#

dv di6 di7 di6 di6 di8 (0+) = r (0+) + R (0+) − (0+) + R (0+) + (0+) dt dt dt dt dt dt " # i7 (0+) + i8 (0+) di7 di6 d2 i7 −R (0+) − (0+) 0 = L 2 (0+) + dt C dt dt " # d2 i8 i7 (0+) + i8 (0+) di8 di8 di6 0 = L1 2 (0+) + −R (0+) + (0+) + R1 (0+) dt C dt dt dt (3.51) Reemplazando (3.49) y (3.45) en (3.51) se obtiene un conjunto simultáneo de ecuadi6 d2 i7 d2 i8 ciones del que se obtienen expresiones para (0+), (0+) y (0+) dt dt dt Derivando la primera de las ecuaciones (3.50) y evaluando en t = 0+ se obtiene: Alvaro Acosta M.

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36

CONDICIONES INICIALES

d2 v d2 i6 d2 i7 d2 i6 d2 i6 d2 i8 (0+) = r (0+) + R (0+) − (0+) + R (0+) + (0+) dt2 dt2 dt2 dt2 dt2 dt2 (3.52) "

#

"

#

d2 i6 (0+) dt De la inspección del circuito y del gráfico orientado de la Figura 3.13 se puede obtener:

de la cual se puede hallar

i6 1 0 0 im1 im1 i6 i6             i3  =  i6 + i8  =  im2  ⇒  im2  =  1 0 1   i7  i8 −1 1 0 im3 −im3 i6 − i7 i5 





















(3.53)

Observaciones: (a) El problema se simplifica cuando los parámetros del circuito tienen valores numéricos definidos. (b) Generalmente, para circuitos simples, los conjuntos lineales homogéneos de ecuaciones simultáneas se pueden resolver por sustituciones sucesivas.

3.10.

CHEQUEO DE LAS RESPUESTAS Y CONCLUSIÓN

La solución de la ecuación diferencial de orden n que relaciona una respuesta con las excitaciones independientes exige la evaluación de n condiciones iniciales, es dr dn−1 r decir, r(0+), (0+), · · · , n−1 (0+). dt dt El procedimiento discutido permite determinar también sin necesidad de resolver la dn ecuación diferencial obtener n (0+) y aún derivadas temporales de orden superior dt dn a la n-ésima en t = 0+. El valor numérico de n (0+) obtenido aplicando el dt procedimiento descrito debe coincidir con el que se obtiene resolviendo completamente la ecuación diferencial (de orden n), lo cual implica hallar una función del tiempor r(t), derivándola n veces y evaluándola en t = 0. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.11. CONSTANTES DE TIEMPO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA

37

En la sección 3.12 se muestra un ejemplo completo en el que se ilustra la aplicación de todos los conceptos discutidos en este capítulo.

3.11.

CONSTANTES DE TIEMPO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA

Considérese el circuito serie R − L excitado por una fuente de voltaje ideal de valor constanteV , como se muestra en la Figura 3.15(a). El interruptor S se cierra en un instante de referencia (a partir del cual se empieza el conteo de tiempo t = 0+). Un instante antes de cerrarse S (en t = 0−) el estado energético es cero, es decir, la energía almacenada en el inductor y por lo tanto la corriente a través de él [ver ecuación (1.22)] son nulas. Por cuanto el circuito es propio. iL (0−) = iL (0+) = 0

(3.54)

V

Figura 3.15 Circuito serie R − L y R − C serie excitado con fuente de voltaje de valor constante para ilustrar el concepto de Çonstante de Tiempo El problema anterior se puede formular también de la siguiente manera: El circuito mostrado alcanza el estado estacionario con el interruptor S abierto (circuito previo), el cual se cierra en un instante que se toma como referencia (t = 0). Hallar i(t) y vL (t) (con los sentidos de referencia indicados). En el circuito conmutado (con el interruptor S cerrado) la ecuación diferencial para i(t) es la siguiente8 : 8

después de hacer gráfico orientado, plantear CEGIDLI en función de corrientes de enlace y

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38

CONDICIONES INICIALES

Ri + L

di =V dt

∀ t ≥ 0+

(3.55)

cuya solución es de la forma: i(t) =

R V + Ke− L t R

∀ t ≥ 0+

(3.56)

donde K se escoge de modo que (3.56) satisfaga la condición inicial (3.54). Es decir, i(0+) =

V +K =0 R

(3.57)

Reemplazando K obtenida de (3.57) en (3.56) se obtienen las siguientes respuestas:  R V  1 − e− L t R R di vL (t) = L = V e− L t dt

i(t) =

∀ t ≥ 0+

(3.58)

di Nótese que aunque i(0+) = 0 vL (0+) = L (0+) 6= 0. Además, en el estado dt estacionario las respuestas de régimen permanente son las siguientes: iss (t) = lim i(t) = t→∞

V R

vLss (t) = lim vL (t) = 0

(3.59)

t→∞

Los resultados de (3.59) se pueden obtener también reemplazando el inductor por un corto circuito y resolviendo el circuito resistivo que resulta ya que está excitado por fuente de valor constante y tiene por lo menos un elemento resistivo no redundante.

Análogamente se puede demostrar que la corriente a través de un circuito serie R−C excitado con una fuente de voltaje ideal de valor constante V , como el mostrado en la Figura 3.15(b), con estado energético inicial nulo, es decir vC (0−) = vC (0+) = 0 V es: obtener la ecuación diferencial como se describe en el capítulo anterior. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.11. CONSTANTES DE TIEMPO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA

i(t) =

V − 1 t e RC R

1



vC (t) = V 1 − e− RC t



∀ t ≥ 0+

39

(3.60)

vC Nótese que aunque vC (0+) = 0, iC (0+) = C (0+) 6= 0. Obsérvese también que dt en el estado estacionario las respuestas de régimen permanente son las siguientes: iss (t) = lim i(t) = 0 t→∞

vCss (t) = lim vC (t) = V

(3.61)

t→∞

Los resultados de (3.61) se pueden obtener también reemplazando el capacitor por un circuito abierto y resolviendo el circuito resistivo que resulta ya que está excitado por fuente de valor constante y tiene por lo menos un elemento resistivo no redundante. L y T = RC tienen dimensiones de Se puede verificar que las expresiones T = R tiempo (ver problema 3.1) y se acostumbra definirlas como las “constantes de tiempo” y se designan con la letra T . Introduciendo esta notación, las ecuaciones (3.58) y (3.60) toman la forma general: 

t

fx (t) = F0 1 − e− T t T

t



fy (t) = G0 e− T

0

1

2

∀ t ≥ 0+ 3

(3.62)

4

fx (t) t = 1 − e− T F0

0 · 0 0 · 63 0 · 86 0 · 95 0 · 982

fy (t) t = e− T G0

1 · 0 0 · 37 0 · 14 0 · 05 0 · 018

Tabla 3.4 Ilustración del significado de la constante de tiempo de un circuito de primer orden y (t) y fG , de la ecuación (3.62), en función La Tabla 3.4 muestra los valores de fxF(t) 0 0 t de T . Se puede notar que “la constante de tiempo es aquel valor para el cual la respuesta o bien asume el 63 % del valor final o decae hasta el 37 % de su valor inicial”.

Se acostumbra suponer que después de 4 constantes de tiempo el circuito ha alcanzado el estado estacionario, ya que en este instante la respuesta difiere del valor de Alvaro Acosta M.

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40

CONDICIONES INICIALES

régimen permanente en menos del 2 %. La Figura 3.16 muestra las curvas de las ecuaciones (3.62).

f ( Tt ) t fx(t) − T F0 = 1 − e

1

0.75 0.632 0.5 0.367 0.25

0 0

1

2

3

4

fy − Tt = e G0 t T

Figura 3.16 Gráficas de las ecuaciones (3.62) Vale la pena hacer notar que los circuitos discutidos contienen solamente un elemento almacenador de energía y que existe una relación directa entre su constante de tiempo y la única raíz de la ecuación característica de la ecuación diferencial. Por lo tanto, es de esperarse que haya varias constantes de tiempo en circuitos con más de un elemento almacenador de energía debido a la relación entre el número de éstos y el orden de la ecuación diferencial.

3.12.

EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: Dominio del Tiempo)

El circuito de la Figura 3.17, con los parámetros de la ecuación (3.63), alcanza el estado estacionario con el interruptor S en la posición a. Cuando: (a) iL3 vale −4 A y está creciendo; UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

41

(b) vC vale 12 V y está creciendo; (c) vL3 vale 24 V y está creciendo; (d) vL4 vale 6 V y está creciendo; el interruptor S conmuta instantáneamente a la posición b. Tomando este instante como referencia (t = 0), hallar la expresión en función del tiempo para:

Figura 3.17 Circuito del Ejemplo 3.7

R1 = 5 Ω I = 10 A L1 = 6 mH L2 = M12 = 3 mH L3 = 16 mH L4 = 9 · 4 mH M34 = 4 mH C = 500 µF R = 3 Ω v(t) = 25 Cos(500t − 36 · 87◦ )

(3.63)

1. iL1 (t) ∀ t ≥ 0+ 2. iL2 (t) ∀ t ≥ 0+ 3. vC (t) ∀ t ≥ 0+ 4. iL3 (t) ∀ t ≥ 0+ Alvaro Acosta M.

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42

CONDICIONES INICIALES

3.12.1.

ANÁLISIS DE LOS CIRCUITOS PREVIOS:

EXCITADO CON FUENTE DE VALOR CONSTANTES La Figura 3.18 muestra el circuito excitado con la fuente de valor constante y su equivalente donde se han reemplazado los inductores por corto-circuitos ya que el circuito contiene elemento resistivo no redundante.

I

R1

L1 iL1

L2 iL2

Figura 3.18 Circuito previo excitado con fuente de valor constante

"

φL1 − φL2 = 0 ∴

φL1 φL2

#

= 10

9 iL1 − 6 iL2 = 0 iL1 + iL2 = 10 A

−3

×

(a) (b)

"

)

6 −3 −3 3 ⇒

#"

iL1 iL2

#

iL1 = 4 A = iL1 (0−) iL2 = 6 A = iL2 (0−)

(3.64)

EXCITADO CON LA FUENTE SINUSOIDAL (CORRIENTES DE ENLACE) 1. La Figura 3.19 muestra el circuito previo excitado con fuente sinusoidal y su correspondiente gráfico orientado. 2. ECUACIONES PRIMITIVAS [reemplazando los valores de la ecuación (3.63)] "

v1 = v(t)

v3 v4

#

= 10

−3

"

16 4 9·4

v5 = v5 (0) + 2000

Rt 0

#

d dt

"

i3 i4

−i3 (τ )dτ

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#

v2 = 3 i3

(3.65)

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3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

43

Figura 3.19 Circuito previo con exciación sinusoidal 3. CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE v3 − v1 + v2 − v5

(3.66)

4. Reemplazando (3.65) en (3.66) y teniendo en cuenta que i4 (t) = 0 ∀ t ∴ di4 = 0 se obtiene el CEGIDLI dt 16 × 10−3

di3 + 3i3 − {v5 (0) − 2000 dt

Z

0

t

i3 (τ )dτ } = v(t) ∀ t ≥ 0

(3.67)

5. Derivando (3.67) se obtiene la siguiente ecuación diferencial 16 × 10−3

d2 i3 di3 dv +3 + 2000i3 = 2 dt dt dt

(3.68)

cuya solución particular se obtiene suponiendo una respuesta de la forma sugerida en (3.69) y reemplazándola con sus derivadas temporales en la ecuación diferencial lineal ordinaria (edlo) (3.68)

i3p = A Sen 500t + B Cos 500t di3p = 500A Cos 500t − 500B Sen 500t dt

d2 i3p = −(500)2 A Sen 500t − (500)2 B Cos 500t dt2 Alvaro Acosta M.

×2000 ×3 ×16 × 10−3 (3.69)

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44

CONDICIONES INICIALES

v(t) = 25 Cos(500t − 36 · 87◦ ) = 20 Cos 500t + 15 Sen 500t d v(t) = −10000 Sen 500t + 7500 Cos 500t dt (3.70) Reemplazando (3.69) y (3.70) en (3.68) se obtiene:

(2000A − 1500B − 4000A)Sen 500t = 10000 Sen 500t (2000B + 1500A − 4000B)Cos 500t = 7500 Cos 500t

)

A=5 (3.71) B=0

Reemplazando (3.71) en (3.69) y en (3.65) se obtienen las siguientes respuestas en el estado estacionario:

i3p = iL3ss (t) = 5Sen 500t i4p = iL4ss (t) = 0 = v5p = −2000

Z

i3p (t) dt = vCss (t) = 20Cos 500t di3p = 40Cos 500t dt di3p = 4 × 10−3 = 10Cos 500t dt

v3p = vL3ss = 16 × 10−3 v4p = vL4ss

3.12.2.

(3.72)

DESCRIPCIÓN DEL INSTANTE DE LA CONMUTACIÓN Y DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENERGÉTICO EN t = 0−

(a) iL3 vale −4 A y está creciendo; −4 −4 = 5 Sen 500tc ∴ 500tc = ArcSen = 5 



(

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−53 · 13◦ Creciendo ∗ −(180◦ − 53 · 13◦ ) Decreciendo (3.73) Alvaro Acosta M.

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

45

(b) vC vale 12 V y está creciendo;

12 12 = 20 Cos 500tc ∴ 500tc = ArcCos = 20 



(

−53 · 13◦ Creciendo ∗ 53 · 13◦ Decreciendo (3.74)

(

−53 · 13◦ Creciendo ∗ 53 · 13◦ Decreciendo (3.75)

(

−53 · 13◦ Creciendo ∗ 53 · 13◦ Decreciendo (3.76)

(c) vL3 vale 24 V y está creciendo;

24 24 = 40 Cos 500tc ∴ 500tc = ArcCos = 40 



(d) vL4 vale 6 V y está creciendo;

6 = 6 = 10 Cos 500tc ∴ 500tc = ArcCos 10 



Comparando (3.73), (3.74), (3.75) y (3.76) se puede notar que todos los casos se refieren al mismo instante de conmutación y, por lo tanto, el estado energético inicial en t = 0− se obtiene reemplazando en las expresiones (3.72) para las corrientes en todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores 500t = 500tc = −53·13◦, es decir, iL3 (0−) = −4 A iL4 (0−) = 0 A vC (0−) = 12 V

3.12.3.

(3.77)

CAMBIO DE REFERENCIA

d v(t) para 500t = 500tc = −53 · 13◦ se obtiene dt respectivamente, el valor de vx (0) y si en el instante de la conmutación la fuente está creciendo o decreciendo. Es decir,

Evaluando v(t) y el signo de

Alvaro Acosta M.

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46

CONDICIONES INICIALES



v(t)

500t = −53 · 13◦

= 25 Cos(−53 · 13◦ − 36 · 87◦ ) = vx (0) = 0

d dvx ◦ ◦ v(t) (0) > 0 ◦ = −25 × 500Sen(−53 · 13 − 36 · 87 ) = 500t = −53 · 13 dt dt (3.78)

La expresión para una función sinusoidal que en vale t = 0 vale 0 y está creciendo, de amplitud Am = 25 V y frecuencia angular w = 500 rad/seg, suponiendo una expresión de la forma Am = Am Sen(wt + α) es: vx (t) = 25 Sen 500t

3.12.4.

(3.79)

DETERMINACIÓN DE ESTADO ENERGÉTICO EN t = 0+

Puesto que el circuito conmutado es impropio el estado energético en t = 0+ es diferente al ya determinado para t = 0− en las ecuaciones (3.64) y (3.77), excepto por el voltaje en el capacitor ya que no hay anillos impropios, es decir, vC (0+) = vC (0−) = 12 V

(3.80)

La Figura 3.20 muestra el circuito reducido y su correspondiente gráfico orientado en el que se ha seguido la recomendación de elegir los sentidos de referencia iguales a los que sirvieron para especificar el estado energético en t = 0− Las expresiones para los flujos magnéticos asociados con los inductores son las siguientes: "

φL1 φL2

#

= 10−3

"

"

φL3 φL4

#

= 10

"

−3

6 −3 −3 3

16 4 4 9·4

#"

iL1 iL2

#

#"

iL3 iL4

#

∴

"

φL1 (0−) φL2 (0−)

#

∴

"

φL3 (0−) φL4 (0−)

#

=

"

6 6

=

"

−64 −16

#

× 10−3 #

× 10−3 (3.81)

donde se ha reemplazado (3.64) y (3.77). UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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47

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

Figura 3.20 Circuito reducido y gráfico orientado correspondiente Aplicando la Primera ley de K.

 P



ik (t) = 0 en el nodo b evaluada en t = 0+, y

k

la ley de continuidad de flujos magnéticos en los anillos independientes formados exclusivamente por inductores se obtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

iL1 (0+) + iL2 (0+) − iL4 (0+) = 0 φL1 (0+) + φL4 (0+) = φL1 (0−) + φL4 (0−) 6iL1 (0+) − 3iL2 (0+) + 4iL3 (0+) − 9 · 4iL4 (0+)) = −10 φL2 (0+) + φL4 (0+) = φL2 (0−) + φL4 (0−) −3iL1 (0+) + 3iL2 (0+) + 4iL3 (0+) − 9 · 4iL4 (0+) = −10 φL3 (0+) = φL3 (0−) 16iL3 (0+) + 4iL4 (0+) = −64

(a) (b) (c) (d)

(3.82)

cuya solución para las ecuaciones (a), (b), (c) y (d) en (3.82) es la siguiente:

iL1 (0+) = 0 · 2667 A iL3 (0+) = −4 · 1667 A Alvaro Acosta M.

iL2 (0+) = 0 · 4 A iL4 (0+) = 0 · 6667 A

(3.83)

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48

CONDICIONES INICIALES

3.12.5.

CONJUNTO DE ECUACIONES GENERALES INTEGRODIFERENCIALES LINEALMENTE INDEPENDIENTE (CEGIDLI) Y ECUACIONES DIFERENCIALES DEL CIRCUITO CONMUTADO

La Figura 3.21 muestra el circuito conmutado con su correspondiente gráfico orientado y será descrito en función de corrientes de enlace:

C

L4

L1

L3

R

vx(t)

L2

Figura 3.21 Circuito conmutado y su correspondiente gráfico orientado

ECUACIONES PRIMITIVAS "

v1 v2

#

= 10

v5 = v5 (0+) − 2000

Z

0

−3

t

"

6 −3 −3 3

#

d dt

"

i1 i2

#

"

[i1 (τ ) + i2 (τ ) + i3 (τ )]dτ

v3 v4

#

= 10

−3

"

16 4 4 9·4

#

d dt

"

i3 i4

v6 = 3(i1 + i2 + i3 )

v7 = vx (t)

(3.84)

donde se han expresado las corrientes de rama en función de las de enlace: i6 = −i5 = i1 + i2 + i3 CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE Aplicando la Segunda Ley de K.

P j

vj (t) = 0

gráfico orientado de la Figura 3.21 se obtiene:

#

!

a los anillos independientes del

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Alvaro Acosta M.

49

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

v1 − v7 + v6 − v5 + v4 = 0 v2 − v7 + v6 − v5 + v4 = 0 v3 − v7 + v6 − v5 = 0

(3.85)

Reemplazando (3.84) en (3.85) se obtiene el CEGIDLI del circuito conmutado:

10

−3

di2 di1 −3 6 dt dt

!



− vx (t) + 3(i1 + i2 + i3 ) − v5 (0+) − 2000 +10

10

−3

di2 di1 +3 −3 dt dt

!

−3

"

Z

t

0



[i1 (τ ) + i2 (τ ) + i3 (τ )]dτ +

di3 di1 di2 4 +9·4 + dt dt dt 

− vx (t) + 3(i1 + i2 + i3 ) − v5 (0+) − 2000

Z

0

"

t

!#

=0 

[i1 (τ ) + i2 (τ ) + i3 (τ )]dτ +

!#

di3 di1 di2 4 +10 =0 ∀ t ≥ 0+ +9·4 + dt dt dt !# " di1 di2 di3 −3 − vx (t) + 3(i1 + i2 + i3 )+ +4 + 16 10 dt dt dt −3



Z

− v5 (0+) − 2000

0

t

[i1 (τ ) + i2 (τ ) + i3 (τ )]dτ (3.86)

Derivando (3.86), introduciendo la notación operacional y expresando en forma matricial, se obtiene:

  

15 · 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000 6 · 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000 6 · 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000 12 · 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000

(3.87)

D i1 4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000     4 × 10−3 D 2 + 3D + 2000    i2  =  D  vx (t) D i3 16 × 10−3 D 2 + 3D + 2000 







Resolviendo (3.88) se obtiene: Alvaro Acosta M.

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=0

50

i1 =

CONDICIONES INICIALES

7 · 5 × 10−5 D 2 vx (t) ∆(D)

9 · 0 × 10−5D 2 vx (t) ∆(D) (3.88) −6 3 −4 2 ∆(D) = 2 · 16 × 10 D + 8 · 4 × 10 D + 0 · 54D

i2 =

1 · 08 × 10−4 D 2 vx (t) ∆(D)

i3 =

donde se ha dividido tanto numerador como denominador por D 3 ya que las 3 ecuaciones del CEGIDLI (3.86) fueron derivadas.

3.12.6.

CONDICIONES INICIALES

Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias (3.89) son de grado 3 por lo que la solución completa requiere la evaluación de cada respuesta y el sus derivadas de primer y segundo orden en el instante de referencia t = 0+. Evaluando el CEGIDLI (3.86) en t = 0+ y expresando en forma matricial se obtiene:

di1   (0+)  −3 −3 −3  dt  15 · 4 × 10 6 · 4 × 10 4 × 10    −3 −3 −3   di2 12 · 4 × 10 4 × 10   6 · 4 × 10 (0+)   =  dt 4 × 10−3 4 × 10−3 16 × 10−3   di3  (0+) dt      1 1 1       (3.89) −3  1  [i1 (0+) + i2 (0+) + i3 (0+)] +  1  v5 (0+) +  1  vx (0+) 1 1 1 



Reemplazando (3.79) [vx (0+)], (3.80) [v5 (0+)] y (3.83) [i1 (0+), i2 (0+) e i3 (0+)] en (3.89) y resolviendo, se obtiene:

di1 (0+) = 749 · 99 A/s dt

di2 (0+) = 1125 · 1 A/s dt

di3 (0+) = 937 · 49 A/s (3.90) dt

Derivando el CEGIDLI (3.86) se obtiene: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

Alvaro Acosta M.

51

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

10

−3

10−3

d2i2 d2 i1 −3 6 dt dt

!

!

dvx di1 di2 di3 − − {−2000[i1 + i2 + i3 ]} + +3 + + dt dt dt dt " !# 2 2 2 d i d i d i 3 2 1 +10−3 4 2 + 9 · 4 + 2 =0 dt dt2 dt ! ! d2 i1 dvx d2i2 di1 di2 di3 −3 2 + 3 2 − − {−2000[i1 + i2 + i3 ]} + +3 + + dt dt dt dt dt dt !# " 2 2 2 d i d i d i 2 1 3 + 2 =0 ∀ t ≥ 0+ +10−3 4 2 + 9 · 4 dt dt2 dt " ! !# d2i3 dvx d2 i1 d2 i2 di1 di2 di3 −3 16 2 + 4 10 + + 2 − +3 + + dt dt2 dt dt dt dt dt − {−2000[i1 + i2 + i3 ]} = 0 (3.91)

Evaluando (3.91) en t = 0+ y expresando en forma matricial se obtiene: 

 

 15 · 4 × 10−3 6 · 4 × 10−3 4 × 10−3   −3 −3 −3   12 · 4 × 10 4 × 10   6 · 4 × 10 4 × 10−3 4 × 10−3 16 × 10−3   



d2 i1 (0+) dt2 d2 i2 (0+) dt2 d2 i3 (0+) dt2

         

1 "  di1  (0+) = −3  1  dt 1 



1 1 di3 di2  dvx    (0+) − 2000  1  [i1 (0+) + i2 (0+) + i3 (0+)] +  1  (0+) + (0+) + dt dt dt 1 1 (3.92) #









Reemplazando (3.79), (3.83) y (3.90) en (3.92) y resolviendo, se obtiene: d2 i1 (0+) = 3 · 6873 × 105 a/seg 2 dt2 d2 i1 (0+) = 5 · 5313 × 105 a/seg 2 dt2 d2 i1 (0+) = 4 · 6091 × 105 a/seg 2 2 dt Alvaro Acosta M.

(3.93)

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52

CONDICIONES INICIALES

3.12.7.

SOLUCIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCIONES PARTICULARES Cuando se ensayan soluciones de la forma irp (t) = A Sen 500t + B Cos 500t, r = 1, 2, 3, el primer miembro de las ecuaciones diferenciales que se obtendrían de (3.89) son de la misma forma para todas las variables. Es decir,

irp (t) = A Sen 500t + B Cos 500t dirp = 500 (A Cos 500t − B Sen 500t) × dt

0 · 54

d2 irp = 5002 (−A Sen 500t − B Cos 500t) × 8 · 1 × 10−4 dt2 d3 irp = 5003 (−A Cos 500t + B Sen 500t) × 2 · 16 × 10−6 3 dt

r = 1, 2, 3

(2 · 16 × 53 B − 8 · 1 × 52 A − 54 × 5B) Sen 500t+ (−2 · 16 × 53 A − 8 · 1 × 52 B + 54 × 5A) Cos 500t (−202 · 5 A)Sen 500t + (−202 · 5 B)Cos 500t

(3.94)

Los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales para cada una de las respuestas tomarían las siguientes formas: dvx d2 vx = 53 × 102 Cos 500t = 54 × 104 Sen 500t dt dt2 −7 · 2 × 10−5 × 54 × 104 Sen 500t = −450 Sen 500t ⇒ i1p −1 · 08 × 10−4 × 54 × 104 Sen 500t = −675 Sen 500t ⇒ i2p −21 · 0 × 10−5 × 54 × 104 Sen 500t = −1312 · 5 Sen 500t ⇒ i3p (3.95)

vx (t) = 25 Sen 500t

Es decir, las constantes de las soluciones particulares se obtienen entonces igualando lo obtenido en (3.94) para el primer miembro de la ecuación diferencial con lo correspondiente para cada respuesta obtenido para el segundo miembro en (3.95). Es decir, UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

−450 = 2 · 2222 B = 0 i1p (t) = iL1p (t) −202 · 5 −675 A= = 3 · 3333 B = 0 i2p (t) = iL2p (t) −202 · 5 −562 · 5 A= = 2 · 7778 B = 0 i3p (t) = iL3p (t) −202 · 5

53

A=

(3.96)

SOLUCIONES A LAS HOMOGÉNEAS Las raíces de la ecuación característica son las siguientes:

∆(D) = 2 · 16 × 10−6 D 3 + 8 · 4 × 10−4 D 2 + 0 · 54D = 0    D1 = 0 D2 = α + jβ α = −187 · 5   ∗ D3 = D2 = α − jβ β = 463 · 51

(3.97)

Por lo tanto, la forma de las soluciones homogéneas y sus derivadas toman la siguiente forma:

irh (t) =

3 X

Ckr eDk t = C1r + eαt (C2r Sen βt + C3r Cos βt)

k=1

d irh (t) = αeαt (C2r Sen βt + C3r Cos βt) + eαt β (C2r Cos βt − C3r Sen βt) dt

d2 irh (t) = α2 eαt (C2r Sen βt + C3r Cos βt) + αeαt β (C2r Cos βt − C3r Sen βt) + dt2 βαeαt (C2r Cos βt − C3r Sen βt) + eαt β 2 (−C2r Sen βt − C3r Cos βt) r = 1, 2, 3 (3.98) SOLUCIÓN TOTAL: EVALUACIÓN DE CONSTANTES Sumando a cada una de las ecuaciones (3.98) las correspondientes soluciones particulares (3.95), evaluando en t = 0+ tanto las respuestas como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se obtiene: Alvaro Acosta M.

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54

CONDICIONES INICIALES

ir (0+) = C1r + C3r + irp (0+) d dir (0+) = αC3r + βC2r + irp (0+) r = 1, 2, 3 dt dt d2 d2 ir 2 2 (0+) = (α − β )C + (2αβ)C + irp (0+) 3r 2r dt2 dt2

(3.99)

Reemplazando (3.97) en (3.99) y expresando en forma matricial se obtiene:



ir (0+)

 C1r 1 0 1  dir     (0+) C 0 463 · 51 −187 · 5  =   2r    dt 5 5  C3r 0 −1 · 7382 × 10 −1 · 7969 × 10  d2 ir (0+) dt 







          −      

irp (0+)

        

dirp (0+) r = 1, 2, 3 dt d2 irp (0+) dt (3.100)

Reemplazando las condiciones iniciales para las respuestas totales (3.83), (3.90) y (3.93) para construir el primer término del segundo miembro en (3.100) y, además, los valores (3.96) de las soluciones particulares en (3.94) para calcular el segundo término del segundo miembro en (3.100) y expresando en forma matricial, se obtienen los siguientes sistemas lineales de ecuaciones:

0 0 · 2667 C11 1 0 1        −187 · 5  −  1111 · 1111    C21  =  749 · 99  0 463 · 51 0 3 · 6873 × 105 C31 0 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105 













0 0 · 3999 C12 1 0 1        −187 · 5  −  1666 · 6667    C22  =  1125 · 1  0 463 · 51 0 5 · 5313 × 105 C32 0 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105 













0 −4 · 1667 C13 1 0 1        −187 · 5  −  1388 · 8889    C23  =  937 · 49  0 463 · 51 0 4 · 6091 × 105 C33 0 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105 (3.101) 











cuyas soluciones son UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

Alvaro Acosta M.



55

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

C11 = 1 · 1999 C12 = 1 · 8001 C13 = −3 · 0002 C21 = −1 · 1566 C22 = −1 · 7348 C23 = −1 · 4458 C31 = 0 · 9332 C32 = −1 · 4001 C33 = −1 · 1667

(3.102)

Es decir,

ir (t) = C1r + eαt (C2r Sen βt + C3r Cos βt) + irp (t) (3.103) i1 (t) = 1 · 1999 + e (−1 · 1567 Sen βt + 0 · 9332 Cos βt) + 2 · 2222 Sen ωt α = −187 · 5 i2 (t) = 1 · 8001 + eαt (−1 · 7348 Sen βt − 1 · 4001 Cos βt) + 3 · 3333 Sen ωt β = 463 · 51 i3 (t) = −3 · 0002 + eαt (−1 · 4458 Sen βt − 1 · 1667 Cos βt) + 2 · 7778 Sen ωt ω = 500 αt

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56

CONDICIONES INICIALES

EJERCICIOS 3.1 Demostrar que: L y RC tienen dimensiones de tiempo R (b) ip (t) = ASenwt + BCoswt = C Sen(wt + α) = CCos(wt + β), donde   √ π B y β =α− C = A2 + B 2 , α = ArcT an A 2 (a)

P 3.2 Cada uno de los circuitos mostrados en la Figura P.3.1 alcanzan el estado estacionario con el interruptor S abierto, el cual se cierra en cierto instante que se toma como referencia t = 0. Hallar i(t), vC (t) y vL (t) para cada caso. Suponer que un instante antes de la conmutación vC (0−) = 0.

Figura P.3.1 Circuitos para el Ejercicio 3.2 P 3.3 El estado energético inicial del circuito mostrado en la Figura P.3.2 es nulo. El interruptor S se abre en un instante que se toma como referencia (t = 0+). Hallar vC2 (t) y su valor en estado estacionario. (Nótese de los resultados que, aunque el circuito contiene un elemento resistivo no redundante y la fuente de corriente I es de valor constante, C2 no se comporta como un circuito abierto en estado estacionario). P 3.4 Después de que el circuito de la Figura P.3.3 ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor S abierto, éste se cierra instantáneamente. Tomando UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

57

Figura P.3.2 este instante como referencia (t = 0+) hallar expresiones para

Figura P.3.3

im1 (0+) im2 (0+) im3 (0+) im2 im3 dim1 (0+) (0+) (0+) dt dt dt d2 im2 d2 im3 d2 im1 (0+) (0+) (0+) dt2 dt2 dt2

(3.104)

P 3.5 El circuito de la Figura P.3.4 alcanza el régimen permanente con el interruptor S cerrado. En un instante que se toma como referencia (t = 0+), S se abre. Hallar v10 (0+), v20 (0+) y v30 (0+). Alvaro Acosta M.

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58

CONDICIONES INICIALES

Figura P.3.4

Figura P.3.5 P 3.6 El circuito mostrado en la Figura P.3.5 alcanza el estado estacionario con el interruptor S abierto, el cual se cierra cuando el voltaje en el inductor es mínimo (máximo negativo). Tomando este instante como referencia (t = 0+): Hallar: di (a) i(0+) y (0+), sin resolver la ecuación diferencial que describe el cirdt cuito válida ∀t ≥ 0+. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

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59

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

(b) i(t) ∀t ≥ 0+ y evaluar (a).

di (0+) y comparar con el resultado obtenido en dt 8

R1

3

vC2

2

1

2

3

1

iL

C2 C1 vC1

r

6

1

7

2

3

4 5

0

R

i(t) 0

Figura P.3.6 P 3.7 Para el circuito y gráfico orientado mostrados en la Figura P.3.6 suponer el siguiente estado energético inicial vC (0+) = VC0 vC1 (0+) = VC10 vC2 (0+) = VC20 iL (0+) = IL0 iL1 (0+) = IL10 iL2 (0+) = IL20

Determinar

d2 v10 (0+) dt2

d2 v20 (0+) dt2

(3.105) (3.106)

d2 v30 (0+) dt2

(3.107)

P 3.8 Para el circuito y gráfico orientado mostrados en la Figura P.3.7 determinar: d~vn (0+) dt2  v10   v20 ~vn =   ..  .

vN 0

Alvaro Acosta M.

     

d~vR (0+) dt2  v1   v2 ~vR =   ..  .

vN

     

d~iL (0+) dt2  iN +1   iN +2 ~iL =   ..  . iB

     

d~im (0+) dt2  im1   im2 ~im =   ..  .

imL

     

(3.108)

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60

CONDICIONES INICIALES

1

vC

2

3

1

2

C

R v(t) iL1

0

M

1

3

im2

im1

L2

L1

3

2

4

5

iL2 0 Figura P.3.7

donde ~vn es el vector de voltajes de nodo, ~vR es el vector de voltajes de rama, ~iL es el vector de corrientes de enlace e ~im es el vector de corrientes de malla. P 3.9 Determinar las condiciones iniciales necesarias para resolver las ecuaciones diferenciales obtenidas en el Ejercicio P 2.9 suponiendo estado energético inicial nulo y resolverlas para las siguientes excitaciones correspondientes: FIGURA P.2.14(a) P.2.14(b) P.2.14(c) P.2.14(d) y P.2.14(e) P.2.14(f) y P.2.14(g)

EXCITACIÓN √ v1 (t) = √5 Cos 2t v1 (t) = 5 Cos 2t √ v(t) = 5 Sen 2t i(t) = 0 · 5 Sen(104 t − 36 · 87◦ )

v2 (t) =

√

5 Sen 2t

v2 (t) =

√

5 Sen 2t

P 3.10 Sean ra (t), rb (t), rc (t), rd (t), re (t), rf (t) y rg (t) las soluciones obtenidas en el ejercicio P 3.9. Establecer las siguientes comparaciones y verificar que: ra (t) = rb (t) + rc (t) rd (t) = re (t) rf (t) = rg (t)

Teorema de superposición Teorema de reciprocidad I Teorema de reciprocidad II

P 3.11 El circuito de la Figura P.3.8(a) está desenergizado. El interruptor S se coloca en la posición a y el circuito alcanza el estado estacionario, después de lo cual S se pasa a la posición b. Tomando este instante como referencia (t = 0), hallar: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

Alvaro Acosta M.

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

61

(a) vC1 (0−) e i(t) (b) vC1 (t), vC2 (t) y vC3 (t)) ∀t ≥ 0+ (c) La energía almacenada en:

i t = 0− ii t = 0+ iii Explique cualquier diferencia entre los resultados obtenidos en i y ii

Figura P.3.8

Figura P.3.9

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62

CONDICIONES INICIALES

P 3.12 El circuito de la Figura P.3.8(b) está desenergizado. El interruptor S se coloca en la posición a y el circuito alcanza el estado estacionario, después de lo cual S se pasa a la posición b. Tomando este instante como referencia (t = 0), hallar:

Figura P.3.10 (a) iL1 (0−) e v(t) (b) iL1 (t), iL2 (t) e iL3 (t)) ∀t ≥ 0+ (c) La energía almacenada en:

i t = 0− ii t = 0+ iii Explique cualquier diferencia entre los resultados obtenidos en i y ii P 3.13 Después de que el circuito ilustrado en la Figura P.3.9 alcanza el estado estacionario con el interruptor S cerrado éste se abre. Tomando este instante como referencia (t = 0+), hallar i(t) ∀t ≥ 0+. P 3.14 El circuito mostrado en la Figura P.3.10 tiene los siguiente parámetros:

C1 = 1 F C2 = 2 F L1 = 1 H L2 = 2 H R = 1000 Ω v(t) = 100 Sen 4t V UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

C3 = 1 F M = 1H i(t) = 2 Cos 3t A Alvaro Acosta M.

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO)

63

El estado energético inicial inmediatamente antes de la conmutación en t = 0− es vC1 (0−) = 0 V vC2 (0−) = 5 V vC3 (0−) = 10 V iL1 (0−) = 2 A iL2 (0−) = 1 A (3.109) Determinar el estado energético inicial inmediatamente después de la conmutación (t = 0+).

Alvaro Acosta M.

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