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Matemática II

Ing. Luis Villacís, MSc.

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS TAREA DE MATEMÁTICA II

Tema: Integración con condiciones iniciales Resolver y presentar 5 problemas cualesquiera

1. Encuentre 𝑓 si 𝑓 ′′ (𝑥) = 4(1 + 3𝑥)2 , 𝑓(−1) = −1, 𝑓′(−1) = −2 Respuesta: 𝑓(𝑥) =

2. Encuentre 𝑓 si 𝑓 ′′ (𝑥) =

𝑥+7

3

1 27

(1 + 3𝑥)4 +

14 9

𝑥−

1 27

3

, 𝑓 (− ) = −4, 𝑓′ (− ) = 6 4𝑥+7 2 2

Respuesta:

3. Encuentre 𝑓 si 𝑓 ′′′ (𝑥) = 𝑥 − √𝑥 Respuesta: 𝑓(𝑥) =

1 24

𝑥4 −

8

1

√𝑥 7 + 2 𝐶𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸 105

𝜋

4. Halle 𝑓 si 𝑓′′(𝑥) = −4√2 cos (2𝑥 − 4) , 𝑓′(0) = 2, 𝑓(0) = 1

𝜋

Respuesta: 𝑓(𝑥) = √2 cos (2𝑥 − ) 4

5. El valor de reventa de cierto tractor agrícola decrece a una razón que depende de la edad. Cuando el tractor tiene 𝑡 años, la razón a la cual cambia su valor es

−960𝑒

−

𝑡 5 𝑈𝑆𝐷 ⁄𝑎ñ𝑜. Si el tractor costaba originalmente 5200 𝑈𝑆𝐷, ¿cuánto

costará cuando tenga 10 años? Respuesta: 𝐶 = 1049.61 𝑈𝑆𝐷

6. Halle la función cuya tangente tiene como pendiente por el punto (0 , 5). ESPE

2𝑥 1−3𝑥 2

y cuya gráfica pasa

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Matemática II

Ing. Luis Villacís, MSc. 1

Respuesta: 𝑦 = − 3 𝑙𝑛|1 − 3𝑥 2 | + 5

7. Se estima que dentro de 𝑥 años, el valor 𝑉 de un acre de tierra cultivable 0.4𝑥 3

aumentará a razón de

𝑈𝑆𝐷

√0.2𝑥 4 +8000 𝑎ñ𝑜

. En la actualidad el acre de tierra

cuesta 500 USD. a) Hallar 𝑉 en función de x. b) ¿Cuánto costará el acre de tierra en 10 años? c) ¿Cuándo costará 1000 USD el acre?

𝑎) 𝑉 =

√0.2𝑥 4

Respuestas: + 8000 + 410.56; 𝑏) 𝑉 = 510.56 𝑈𝑆𝐷; 𝑐) 𝑥 = 36.1 𝑎ñ𝑜𝑠

8. Un agrónomo compró por 1000 USD un ternero recién nacido y cuyo precio, 𝑃, aumenta de valor respecto al tiempo 𝑡 (en años) de acuerdo a la ecuación

𝑑𝑃 = (5𝑡 2 + 1)√5𝑡 3 + 3𝑡 + 4 𝑑𝑡 ¿Cuál será el precio del animal cuando tenga 4 años? Respuesta: 𝑃 = 2366.88 𝑈𝑆𝐷

9. Encuentre 𝑓 si 𝑓 ′ (𝑥) =

2𝑥+1 √𝑥+4

y 𝑓(−3) = −

5 6 2

71

3

6

Respuesta: 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4(2𝑥 − 13) +

3

10. El costo de un producto varía a un ritmo de 𝑡 √10 − 9𝑡 USD/año. Si el costo luego de 1 año es 7 USD, encuentre: a) El costo en función del tiempo b) El costo inicial del producto (costo inicial es cuando 𝑡 = 0). Respuesta: a) 𝐶 = −

ESPE

1 3 √(10 126

− 9𝑡)4 (6𝑡 + 5) +

893 126

; b) 𝐶 = 6.2324 𝑈𝑆𝐷

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