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BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL CONDICIONES DE FRONTERA Y CONTINUIDAD PARA VIGAS SUJETAS A FLEXIÓN MECÁNICA DE SÓLIDOS II LÓPEZ RAMÍREZ JOSÉ ANTONIO

INTRODUCCIÓN El cálculo de las deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructurales; por ejemplo, la determinación de deflexiones es esencial en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Las deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando se investigan las vibraciones de aeronaves o las respuestas de edificios a sismos. Las condiciones de frontera y continuidad se utilizan para encontrar deflexiones en vigas estáticamente determinadas, donde se utiliza la ecuación de momentos flexionantes por medio de la resolución de ecuaciones diferenciales; Si no puede usarse una sola coordenada x para expresar la ecuación de la pendiente o la de la curva elástica de la viga, deben entonces usarse condiciones de continuidad para evaluar algunas de las constantes de integración. Expresado matemáticamente, esto requiere que θ1(a) = θ2(a) y v1(a) = v2(a). Estas ecuaciones pueden entonces usarse para evaluar dos constantes de integración.

Para dar solución al problema de deflexiones en vigas, además de las ecuaciones diferenciales deben prescribirse condiciones de frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de frontera son los siguientes: I. Empotramiento En este caso el desplazamiento

ν

y la pendiente

dv /dx deben ser

cero. Ec.1 (a) Por lo consiguiente, en el extremo considerado, donde

x=a ,

II. Soporte articulado En el extremo considerado, no puede existir ni deflexión momento

ν

ni

M . Por consiguiente:

Ec.1 (b)

Aquí, la condición físicamente evidente para derivada de

ν

respecto a

III. Extremo libre

x

M

esta relacionada con la

según la ecuación siguiente:

Tal extremo esta libre de momento y fuerza cortante. Por consiguiente, Ec.1 (c)

IV. Soporte guiado En este caso se permite el movimiento vertical pero la rotación del extremo está impedida. El soporte no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante. Por tanto,

Ec.1 (d)

Algunas condiciones pertenecen a las cantidades de fuerza y se dicen que son condiciones estáticas de frontera. Otras describen un comportamiento geométrico o de deformación en un extremo; son condiciones cinemáticas de frontera.

Condiciones no homogéneas de frontera, donde se prescribe una fuerza cortante en un momento, una rotación o un desplazamiento en la frontera, se presentan también en las aplicaciones. En tales casos, los ceros en las ecuaciones 1(a) a 1(d) son reemplazados por valores especificados. Esas condiciones de frontera se aplican tanto a vigas estáticamente determinadas como a indeterminadas. Como ejemplos de vigas de un solo claro estáticamente indeterminadas, considere los tres casos mostrados en la figura 2. La viga Figura 2(a) es indeterminada de primer grado ya que solo una de las reacciones puede ser retirada quedando la viga en condición estable. En este ejemplo no hay fuerzas horizontales. Las condiciones de frontera mostradas en la figura 1(a) son aplicables en el extremo A y las de figura 1(b) en el extremo B. Las reacciones verticales para la viga de figura 2(b) pueden encontrarse directamente de la estática. Como los soportes articulados no pueden moverse horizontalmente, hay una tendencia para el desarrollo de reacciones horizontales en los soportes debido a la deflexión de la viga. Sin embargo, para

deflexiones pequeñas en vigas, de acuerdo con la ecuación ds ≈ dx

y no puede desarrollarse entonces una deformación unitaria axial

importante en vigas cargadas transversalmente. Por tanto las componentes horizontales de las reacciones en vigas con soportes inmóviles son despreciables. Con base en esto, ninguna reacción horizontal tiene que considerarse en la viga mostrada en la figura 2(c). Por tanto la viga mostrada es indeterminada de segundo grado. En este caso, dos fuerzas reactivas cualesquiera pueden retirarse y la viga seguirá estando en equilibrio. Fig. 2 La viga en (a) es indeterminada de primer grado. Si se supone que la reacción horizontal es despreciable, la viga en (b) es determinada y la viga en (c) es indeterminada de segundo grado.

En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del miembro a lo largo de una longitud dada del claro. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos concentrados y en cambios abruptos de áreas transversales que afectan el valor

EI . En

tales casos, las condiciones de frontera deben complementarse con los requisitos físicos de continuidad de la curva elástica. Esto significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la deflexión y la tangente a la curva elástica deben ser las mismas independientemente de la dirección con que se aproxime uno al punto común.

CONCLUSIÓN En conclusión, las condiciones de frontera se refieren a las deflexiones y a las pendientes en los apoyos de una viga; por ejemplo, en un apoyo simple, la deflexión como la pendiente son cero y en un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero.

Las constantes de integración se determinan evaluando las funciones para la pendiente o el desplazamiento en un punto particular sobre la viga donde se conoce el valor de la función. Esos valores se llaman condiciones de frontera; y ya que como son vigas estáticamente determinadas se pueden obtener los momentos flexionantes a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.

BIOGRAFÍA Método de doble integración. Recuperado de https://prezi.com/2is4kz0jm_d8/metodo-de-doble-integracion/ Deflexiones. Recuperado de http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria %20deflexion/deflexiones.htm Juárez, L. (2006). Modelado numérico de problemas de fractura en sólidos mediante discontinuidades interiores. (Tesis doctoral). México Popov, E. (2000). Mecánica de solidos. México: Pearson (pp. 589-562)