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• Lidia López

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Problemas con valores en la frontera en Magnetostática EE-521 Propagación y Radiación Electromagnética I

MSc. Ing. Miguel Delgado León

Miguel Delgado León

Ecuación de Laplace Como ya sabemos

Para el primer caso, la divergencia de B siempre es cero

 H  J

. B  0 H  0 M  0

En regiones donde J = 0 (fuera de a fuente)

Si M es uniforme, entonces

 H  0

queda

El rotacional de un gradiente siempre es cero Entonces H es un gradiente

Ecuación de Laplace

Para el segundo caso, considerando la permeabilidad constante, tenemos:

El material puede caracterizarse por su magnetización M o su permeabilidad  . Es decir: o

 H  0    Vm   0 2Vm  0

H  Vm

B  0 H  0 M

 M  0

B  H Miguel Delgado León

 B   H  0    Vm   0

2Vm  0

Ecuación de Laplace

Distribución del campo magnético en la superficie de materiales ferromagnéticos ideales y conductores perfectos Las líneas de campo magnético son normales a la superficie de un material ferromagnético ideal

r  

Dentro de un conductor perfecto el campo B es cero y el campo H también es cero. Así:

B0 H 0 Las líneas de campo magnético son tangenciales a la superficie de un material conductor perfecto.

g 

Dentro de un material ferromagnético el campo B es diferente de cero y el campo H tiende a cero. Así:

B  0 H 0 Miguel Delgado León

Solución de la Ecuación de Laplace en Esféricas y Cilíndricas La ecuación diferencial de Laplace es: 2

 Vm  0

Para la solución en esféricas, cuando Vm depende solamente de la variable r. La solución es:

Vm 

C D r

Donde C y D son constantes a determinar. Existen muchos problemas en los cuales Vm depende de las variables r y  . La solución general es: 

D   Vm (r , )    Cn r n  nn1  Pn (cos  ) r  n 1 

An y Cn son constantes a determinar y Pn son los polinomios de Legendre. Para la gran mayoría de problemas, basta con un término para n=1. Así, la solución queda:

D  Vm (r , )   C r  2  cos  r   Para la solución en cilíndricas, cuando Vm depende solamente de la variable  . La solución es:

Vm  C ln   D

Cuando Vm depende de  y de  . La solución simplificada es:

 D  cos   Vm (  ,  )   C      sen     

Miguel Delgado León

Problemas 1) Una corriente eléctrica se enrolla en un material magnético esférico de radio a, de permeabilidad constante desconocida. La corriente que se puede aproximar a una densidad de corriente superficial dada por :

K  ˆ K0 sen magnetiza al material a un valor:

M  zˆ M 0

Determine material.

la

permeabilidad

del

2) En un campo intensidad magnético inicialmente uniforme de módulo H0 se coloca un material magnético esférico de radio a. Determine la nueva distribución de los campos H y B cuando: a)El material tiene una permeabilidad relativa r constante. b) El material es ferro magnético ideal r >>1 c)El material es conductor perfecto

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Solución de la Ecuación de Laplace en rectangulares La ecuación diferencial de Laplace es: 2

 Vm  0

Para la solución en rectangulares, cuando Vm depende (linealmente) solamente de una variable, por ejemplo x es:

Vm  C x  D Donde C y D son constantes a determinar. Cuando depende de dos o más variables, una solución común es:

Vm 



 2   2  2  0

Ejemplo En todo el plano YZ circula una corriente eléctrica con densidad de corriente superficial dada por:

  K  K 0 cos  y  zˆ a  Donde K 0 es una constante. En el semi espacio x  0 se tiene un material magnético con   40 . En el semi espacio x  0 está el espacio libre. Determine el campo H y B en todo el espacio.

 a1e x  a2e x  b1e  y  b2e  y  c1e z  c2e z  Miguel Delgado León

Ecuación de Laplace y Poisson con Métodos Numéricos Aplicando la identidad vectorial conocida, la expresión se transforma:

Nuevamente:

 H  J Si el material está caracterizado por su permeabilidad, tenemos:

BH H 

B



Reemplazando en la primera ecuación considerando la permeabilidad constante, tenemos:

 B



 J   B   J

Sabemos que B   A , entonces





  A   J





   A  2 A   J La divergencia de A es cero, entonces: Ecuación de Laplace 2  A   J o Poisson Es la ecuación diferencial para el campo A. Mediante está E.D. se ha resuelto muchos problemas de Ingeniería eléctrica, el autor ha desarrollado una aplicación en transformadores de potencia. Para poder resolver la E.D. es necesario saber el Método Numérico de los Elementos Finitos. A continuación se ilustra el trabajo.

Miguel Delgado León

Campo magnético de dispersión en transformadores de potencia RESUMEN

Se presenta un procedimiento simple mediante el Método de Elementos Finitos para determinar el campo magnético de dispersión en los transformadores de potencia. La determinación de este campo se utiliza para calcular la reactancia de cortocircuito, la fuerza magnética y las pérdidas por corrientes parasitas en los bobinados, parámetros importantes para el diseño. El procedimiento es muy eficiente y para su validación, los resultados de la simulación son comparados con los resultados obtenidos mediante pruebas.

La región de interés se divide en elementos triangulares (Método de Elementos Finitos)

Grafica del campo magnético de dispersión en un transformado r de potencia

Miguel Delgado León

Método de Imágenes en magnetostática Situación1: Tenemos una corriente real que produce los campos magnéticos en un medio donde la permeabilidad es constante o la magnetización es uniforme. Sabemos que en el medio se cumple la ecuación de Laplace:

Sabemos que en el medio se cumple la ecuación de Laplace:

2Vm 2  0

2Vm1  0

Vm 2 podría ser la única solución a un Situación 2: Agregamos una corriente imaginaria (ficticia, irreal, etc.). Ahora, el potencial escalar magnético es otro y es debido a la corriente real y a la imaginaria. Sea el nuevo Vm 2 potencial escalar magnético.

problema. Nos amparamos en el teorema de la Unicidad que dice: “Cualquier función que cumple con la ecuación de Laplace y con las condiciones de frontera es la única solución a un problema.”

Miguel Delgado León

Problemas 1) Una corriente recta indeterminada I es paralela a la frontera plana de un material magnético (ver figura). Determine el campo H y B en todo el espacio cuando: a) El material tiene una permeabilidad constante r b) El material es ferro magnético ideal r >>1 c) El material es conductor ideal

2) Una corriente recta indeterminada I es paralela a un material cilíndrico indeterminado de radio a (ver figura). Determine el campo H y B en todo el espacio cuando: a)El material es ferro magnético ideal r >>1 b)El material es conductor ideal

Miguel Delgado León

Aplicación en Alta Tensión

La siguiente figura muestra la distribución del campo magnético en la superficie del terreno debido a una línea de transmisión de alta tensión. Los cálculos han sido desarrollados por el autor con Matlab

Miguel Delgado León