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• Mateo Gómez Thm

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TAREA 2 SEÑALES Y SISTEMAS

Grupo: 203042_87

ESTUDIANTE ANIBAL FUENTES 1,090,983,052 Tutor: CARLOS EDUARDO VELASQUEZ

15 de abril del 2021

a. ¿Cuántas muestras se obtienen después de realizar convolución discreta entre una señal 𝑥[𝑛] que sólo tiene una muestra y una señal 𝑔[𝑛] que tiene tres muestras? Entonces sabemos la cantidad de muestras es la longitud que tendremos de la convolución de las 2 señales dadas. Por ende, realizamos la siguiente operación para hallar la cantidad de muestras después de realizar la convolución: Longitud: L=L g+ Lx −1 Lo cual significa que se suma las muestras de cada señal y al final se les resta 1. g[n]=[3 , 1ˇ ,2] ˇ x [n]=[ 1] n= g[n] = x[n] ?

-1 3 1

0 1

1 2

1

3

1

2

-1

0

1

0

L=( 3+1 )−1=3 La cantidad de muestras obtenidas es: 3 b. Se tiene dos señales análogas, una es rectangular unitario y la otra es triangular unitario. Si se aplican las operaciones de convolución y correlación, ¿Qué diferencia existirá entre el resultado de ambas operaciones? Para la convolución la definimos de la siguiente manera: ∞

( f∗g ) ( t )=∫ f ( η ) g ( t−η ) dη −∞

Como el producto de la integral de dos funciones, una fija y otra desplazada:

CONVOLUCIÓN

1

1

-0,5

0,5

1

-0,5

0,5

1

-0,5

0,5

-0,5

0,5

Lo cual lo describimos en las anteriores gráficas: 

En dónde la señal rectangular naranja es la función g, la señal rectangular amarilla es la primera función f, y la señal triangular unitario es la dη siendo el resultado de la integral, tomando su valor máximo justo cuando las 2 funciones coinciden. Para la correlación la definimos de la siguiente manera: ∞

( f ⋆ g ) ( t ) =∫ f ¿ ( η ) g ( t+η ) dη −∞

De igual forma dos funciones, una fija y otra desplazada:

CORRELACIÓN

1

1

-0,5

0,5

1

-0,5

0,5

1

-0,5

0,5

-0,5

0,5

Lo cual lo describimos en las anteriores gráficas: 

En dónde la señal rectangular naranja es la función g, la señal rectangular amarilla es la primera función f, y la señal triangular unitario es la dη siendo el resultado de la integral, tomando su valor máximo justo cuando las 2 funciones coinciden. La diferencia entre las 2 operación es que en la convolución la función se mueve hacia la derecha y en la correlación la función se desplaza hacia la izquierda.

c. Indique la definición matemática del coeficiente 𝑎0 de la serie trigonométrica de Fourier de la siguiente señal: 𝑥(𝑡)=4𝑠𝑒𝑛(5𝑡) Coeficiente de la serie trigonométrica de Fourier: ❑

a 0=

1 ∫ 4 sen (5 t) dt T T

a 0 representa el valor promedio de x p (t ) ω=5= T=

2π 5

2π T

2π 5

2π

1 5 −4 a 0= 4 sin ( 5 t ) dt= ∙ cos ( 5 t ) 5 ∫ 2π 0 2π 5 0 5 2π −2 −2 2π 2 a 0= cos ( 5 t ) 5 = cos 5 ∙ + cos ( 5 ∙0 ) π π 5 π 0 −2 2 a 0= + =0 π π

|

|

(

)

Para determinar el coeficiente de la serie de Fourier debemos usar la ortogonalidad. Diciendo que dos señales f(t) y g(t) son ortogonales sobre el ¿ intervalo a ≤ t ≤ β si el área de su producto f ( t ) g (t) sobre a ≤ t ≤ β es igual a cero.

d. Indique la definición matemática de los coeficientes 𝑎𝑘 de la serie trigonométrica de Fourier de la siguiente señal: 𝑥(𝑡)=6𝑐𝑜𝑠(𝑡) x ( t )=6 cos ⁡(t ) 1 w=1=2 π f f = T =2 π 2 T

a k=

T

2 ∫ x ( t ) cos ( 2 πk f 0 t ) dt = T2 ∫ x p ( t ) cos ( ω0 kt ) dt T 0 p 0

e. ¿Cómo es el espectro resultante de la transformada de Fourier de una señal rectangular unitaria no periódica? ¿Cómo es el espectro resultante de la transformada de Fourier de una señal rectangular unitaria periódica? ¿Qué diferencia existe entre el espectro resultante de ambas? señal rectangular unitaria no periódica

Pulso rectangular

A

0

t

A = Amplitud T = Tiempo señal rectangular unitaria periódica Pulso rectangular

A t 0 -A T A = Amplitud T = Tiempo

La diferencia es que, en la señal periódica, nos da un Espectro de amplitud bilateral y para la no periódica nos da un Espectro de amplitud unilateral. f. La multiplicación en el dominio frecuencia, ¿qué operación representa en el dominio del tiempo? Esto corresponde a una convolución en el otro, para lo cual, la operación que representa en el dominio tiempo es la Convolución, siendo de la siguiente manera: Convolucionar dos señales en el dominio del tiempo equivale a multiplicar sus espectros en el dominio de la frecuencia. X 1 [ n ]∗X 2 [ n ]= y [n ]

X 1 [ n ] ∙ X 2 [ n ] = y [n]