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• Leslin Reyes Mayén

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Totonicapán

Productos notables Ir a la navegaciónIr a la búsqueda Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.1 Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común[editar]

Visualización de la regla de factor común. Forma un nomon.

El resultado de multiplicar un binomio la propiedad distributiva:

por un término

se obtiene aplicando

En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es de la base

por la altura

áreas coloreadas:

, es decir, el producto

, también puede obtenerse como la suma de las dos

y

Cuadrado de un binomio[editar]

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando:

Demostración

La expresión siguiente:

se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

Demostración Ejemplo:

Simplificando:

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

(x + 3) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 =

= x2 + 6 x + 9

(2x − 3) 2 = ( 2x) 2 − 2 · 2 x · 3 + 3 2 =

= 4 x 2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

( a + b ) · ( a − b) = a 2 − b 2

(2x + 5) · (2 x - 5) = ( 2x) 2 − 5 2 = 4 x 2 − 2 5

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

(x + 3) 3 = x

= x

3

3

+ 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

+ 9 x 2 + 27 x + 2 7

(2x - 3) 3 = (2 x) 3 - 3 · ( 2x ) 2 ·3 + 3 · 2 x · 3 2 - 3 3 =

= 8x

3

- 3 6 x 2 + 54 x - 2 7

Trinomio al cu adrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

( x 2 − x + 1) 2 =

= ( x 2 ) 2 + ( - x) 2 + 1 2 +2 · x 2 · ( - x) + 2 x 2 · 1 + 2 · ( - x ) · 1 =

= x 4 + x 2 + 1 - 2x 3 + 2 x 2 - 2x =

= x 4 - 2x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1

Suma de cubos

a 3 + b 3 = ( a + b ) · ( a 2 − ab + b 2 )

8x 3 + 27 = (2 x + 3) (4 x 2 - 6 x + 9)

Diferencia de cubos

a 3 − b 3 = ( a − b ) · ( a 2 + ab + b 2 )

8x 3 − 27 = (2 x − 3) (4 x 2 + 6x + 9 )

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a ) (x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b

(x + 2) ( x + 3) =

= x 2 + (2 + 3) x + 2 · 3 =

= x 2 + 5x + 6

1 D e s a rr o l l a l o s b i no mi o s al cu a d r a do .

1 (x + 5 ) 2 =

= x2 + 2 · x · 5 + 52 =

= x

2

+ 10 x + 2 5

2 (2 x + 5) 2 =

= ( 2x) 2 + 2 · 2x ·5 + 5 2 =

= 4x 2 + 20 x + 25

3 (2 x − 5) 2 =

= (2x) 2 - 2 · 2x ·5 + 5 2 =

= 4x 2 − 20 x + 25

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