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GALILEO R.D. 0046 – 93 –ED.

La más grande

PARA “INGENIERIAS, CIENCIAS MEDICAS Y HUMANIDADES”

Av. de la Cultura 1020. Oficina 203 2do. Nivel. Teléfono 244856 Prof.: Herben Rivera A. COCIENTES NOTABLES DEFINICIÓN Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmos correspondiente, osea sin necesidad de efectuar la operación. Estos casos especiales son de la forma general:

xn  an xa

Donde: x, a son las bases y n  N * Condiciones que deben cumplir: a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes iguales así:

xn  an xa Numéricamente

x10  a10 xa

ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

xn  an xa PRIMER CASO:

xn  an xa

;

xn  an xa

;

xn  an xa

;

xn  an xa

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a)

Calculo del resto Por el teorema del resto: x – a = 0  x = a R = an – an = 0 R=0 Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

b)

Calculo del cociente Efectuando la división por el Método de Ruffini, donde previamente en el dividendo tendrá que completarse con ceros como términos falten.

1

+

0

a

a

+

0

+

a2

0

a3

+ ……………… 0 …………… a

n–1

–a

a

n

n

n–1

1 a a2 a3 …………… a 0 Como se está dividiviendo un polinomio de grado n entre uno de primer RESIDUO grado, el cociente resultante será de grado (n – 1) Entonces: xn  an xa

= xn–1 + xn–2a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 ……+ a

n–1

Para cualquier valor de “n” Ejemplos: Calcular el cociente en forma directa de: 1)

x4  a4 xa

= x3 + x2 a + x a2 +a3

8x 3  27 y 3

= (2x) 2 + (2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 6xy + 9y2 2 x  3y SEGUNDO CASO 2)

xn  an xa

(NO ES COCIENTE NOTABLE) a)

Calculo del resto x–a=0 x=a R = an + an R = 2an  0

Veamos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. 2

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b) Calculo del cociente Análogamente aplicando la regla de Ruffini: Q(x) = xn + 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4a3 + … + an – 1 R = 2an Luego el cociente completo es:

xn  an

= xn–1 + xn–2a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 +……+ a

xa

n–1

+

2a n xa

Para cualquier valor de “n”. Importante:

Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta en consecuencia NO ES UN COCIENTE NOTABLE. TERCER CASO

a)

xn  an xa

Calculo del resto:

x + a = 0  x = –a

R = (–a)n + an Si: n = # par  R = a + a = 2a  0  cociente completo Si: n = # impar  R = – an + an = 0  cociente exacto b) Calculo del cociente: Aplicando el método de Ruffini se obtiene: 1) Para n = # Par: Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a2 – x n – 4 a3 + ……… – a n – 1 n

n

n

n Términos

R = 2an  0 Luego el cociente completo es: n = # par

xn  an xa c)

= 2)

xn–1 – xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……–a n – 1 +

2a n xa

Para n = # impar:

Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a2 – x n – 4 a3 + ……… + a n – 1 INFORMES E INSCRIPCIONES

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R= 0 Luego el cociente exacto es: n = # impar

xn  an xa

= xn–1 –xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……+ a

n–1

CUARTO CASO:

xn  an xa

a)

Calculo del resto: x+a=0  x=–a R = (–a) n – an Sí : n = # par  R = an – an = 0 [Cociente exacto] Sí : n = # impar  R = – an – an = – 2an  0 [ cociente completo] b) Calculo del cociente: Aplicando el método de Ruffini, se obtiene: 1)

Para n = # par Aplicando el método de Ruffini se obtiene:

Lugar par Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a2 – x n – 4 a3 + ……… – a n – 1 R= 0

n Términos

Luego el cociente exacto es: n = # par

xn  an 3)

xa 2)

= xn–1–xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……–a

Para n = # impar

n–1

Lugar impar

Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a2 – x n – 4 a3 + ……… – a n – 1 4

nINFORMES TérminosE INSCRIPCIONES Av. de la Cultura 1020 Of. 203. 2do. Nivel.

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R = –2an  O Luego el cociente completo es: N = # impar

xn  an xa

= xn–1–xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……+a

n–1

–

2a n xa

El signo del último término del cociente varía por estar ocupando diferente lugar. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que:

xn  an xa T1

Donde:

= xn–1 + xn–2a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 ……+ xa n – 2 + an –1

T2

T3

T1 = x n – 1 = x n – 1 a 0 T2 = x n – 2 a = x n –2 a1 T3 = x n – 3 a 2 = x n – 3 a 2

T4

. . . .

T69 = ……… = x n – 69 a 68

. . . .En general

T = T k= k

n–k k–1

x

xn – k ka – 1 a

; (1  k  n)

Signo Signo

* Donde K es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador. “Ósea el exponente de x es igual al exponente común de las bases menos, el lugar que ocupa y el de a el lugar que ocupa disminuido en 1” * Regla para el SIGNO a) Cuando el divisor es de la forma (x – a)

Todos son positivos (+)

b) Cuando el divisor es de la forma (x + a) Ejemplos:

K = # impar  (Positivo +) K = # par (Negativo – )

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x 6  a 6 = x5 – a x 4 + a 2 x 3 – a 3 x 2 + a 4 x – a 5 1) xa x155  a 93 2) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo: x5  a3 Solución: 31 31 5  a3 * Dando la forma de un cociente notable: x x5  a3 Como el divisor es de la forma (x + a) y el término a buscar es par (k) tendrá signo negativo (–)

   

 T22 = – (x5)31 – 22 (a3) 22 – 1 T22 = –(x5)9 (a3)21  T22 = – x45 a63 LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE 1) Si la división tiene la forma que origina un cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente. Ejemplo:



 2) 3) 4) 5) 6) Ejemplo

x100



y100

x



y

x 200 x4



y 200 x4  6 y





# de términos del cociente = 100

 50   y 6 50 x 4  y6



# términos del cociente = 50

El cociente se caracteriza por ser completo, y ordenado respecto a sus bases además de ser homogéneo respecto a las mismas. El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor. Apartir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno a uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno. Si el divisor es un binomio diferente (x – a) todos los términos del cociente serán positivos; pero si en un binomio suma (x +a) los términos del cociente serán alternados ( los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos). Solo cuando “ n ” es impar, las bases del término central tendrán igual exponente.

x7  a7

= x6 + x5 a + x 4 a2 + x3 a3 + x2 a4 + xa5 +a6

xa Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo: 7)

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“EL NUEVO MUNDO DE LOS NÚMEROS” Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de: x121  a121

xa Solución: * Intercambiamos las bases de la siguiente manera:

a121  x121 ax

*Luego: T35 = a121 – 35 x35 –1 Izquierda Derecha T35 = a86 x34 O también T35 = x34 a86 8)

Sí:

xm  an p q , Origina un cociente notable. x a

Entonces se cumple:

m n m n    Número de Tér min os Además: p q p q

Ejemplo: x n 1  y 200 Sí: Origina un cociente notable, calcular el valor de “n” x 2  y4 Solución: * Como origina un cociente notable:

n  1 200   n + 1 = (50)(2) 2 4 n = 100 – 1  n = 99

PROBLEMAS 1.

Calcular el número de términos del Cociente Notable:

x 4 n 12  y 4 n 3 x n 8  y n  9 a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

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e) 30

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Calcular el t11 en el cociente notable:

x m  y 507 x3  ym a) 19

3.

b) 29

c) 39

d) 18

Calcular el término idéntico de los desarrollos:

x 48  y 63 x 4  y3 a) x 40 y 3 b) x 40 y 4

4.

e) 28

c) x 30 y 3

y

x 56  y14 x4  y d) x 40 y13

e) x 30 y 3

Simplificar:

x 14  x 12  x 10  ...  x 2  1 x6  x4  x2 1 a) x 8  1

b) x 7  1

c) x 8  1

x a  y 24 x b  yc a) 72

5.

b) 73

c) 74

d) x 4  2

e) N.A.

; es x a 54 . y17 d) 75

e) 76

¿Cuál es el lugar que ocupa un término en el siguiente cociente notable?

x 91  y 26 x7  y2

Sabiendo que el grado del término que ocupa el lugar “k”, excede en 30 al grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” contando desde la derecha. a) 1

6.

8

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Hallar el número de términos fraccionarios del cociente notable: INFORMES E INSCRIPCIONES

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x

75

x

125

x  x 5 3

a) 10

7.

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

Calcular el número de términos enteros en el desarrollo de:

x 250  x 150 x 5  x 3 a) 30

8.

b) 31

c) 32

d) 33

e) 34

Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

( x  3) 4  2 8 x 1 a) 265

9.

b) 264

c) 256

d) 257

e) 254

Al desarrollar:

x mn  y n xm  y El término cuarto es de grado 39 y los grados absolutos de los términos disminuyen de 2 en 2. Calcular el t8. a) x 21 y 2 b) x 23 y7

c) x 24 y 7

d) x 6 y 24

e) x 7 y 24

TAREA DOMICILIARIA 10. Calcular “m” que:

a 2m3  b m 7 a 2m 2  b m 2

a) 4

b) 5

; sea C. N. Señale: ( m 2  m  1) c) 6

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d) 7

e) No es C.N.

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11. Simplificar:





  x ( 2m 1) p  x ( 2 m 2) p  x ( 2 m3) p  .....  x 2 p  x p  1   mp H  x 2 pm 1  x ( m  1 ) p ( m  2 ) p ( m  3 ) p 2 p p  x x  ......  x  x  1   x  a) 1

b) 2

c) 3x

d) 4

e) 5x

12. Sabiendo que x a y 24 es el término central del desarrollo del cociente exacto:

x 75  y b xc  y2

,

hallar a+b+c a) 87

b) 89

c) 86

13. Siendo el octavo término del C.N.

d) 85

x a  y 24 x b  yc

e) 84

el monomio: x a 96 y14 . Hallar la suma de los

exponentes de los términos centrales. a) 151

b) 152

c) 158

d) 154

e) 155

14. Calcular el número de términos del siguiente producto: k  ( x 20m  x 19m  x 18m  x ...  x m  1)( x 20 m  x 19m  x 18m  ....  x m  1)

a) 31

b) 22

c) 21

d) 28

15. Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable

e) 27

x 40  y 20 x2  y

el término que tiene como

grado absoluto 36. a) 1ro

10

b) 2do

c) 3ro

d) 4to

e) Muy difícil

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16. Calcular el t21 en el siguiente Cociente Notable: a) a - 2

c) a2 - 1

b) a - 1

17. Sabiendo que el siguiente cociente notable: central a

2a  a 2 1

20

a 1

d) a2 + 3

x m  yp x 2  y7

e) a2 - 5

admite ser desarrollado como término

x a y 70 . Evaluar J = p – 3m - 20

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

18. Si el término “k” contado a partir del extreno final del desarrollo del cociente notable:

x 75  y 30 x5  y2

tiene grado absoluto 40. Calcular el grado absoluto del t k  2 contando a partir

del primero.

a) 51

b) 52

c) 53

19. Simplificando la expresión: G 

d) 54

e) 55

x 4 m 1  x 4 m  2  x 4 m 3  .........  x 3  x 2  x  1 x 2 m 1  x 2 m  2  x 2 m 3  .........  x 3  x 2  x  1

;

obtenemos

a) x 2 m  1 b) x 2m  1

c) x 2 m  2

d) x 3m  1

e) x 2 m  3

m 20. Calcular el mínimo valor de “k” de manera que en el cociente notable: a

m 1

 bm

am  b

m

; para (m =

impar) INFORMES E INSCRIPCIONES

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El grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” exceda en (4m - 4) al grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” contado desde la derecha. a) 9

b) 10

c) 12

d) 11

e) 13

21. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:

( x  y)100  ( x  y)100 8xy( x 2  y 2 )

para x=3; y= 2 2 a) 1

b)

2

c)

3

d) 4

22. Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable:

e) 2

x 160  y 280 x 4  y7

el término que tiene

G. Absoluto = 252. a) 31

b) 32

c) 33

d) 34

23. Si un término del cociente notable que resulta de dividir:

e) 35

x m  y mn x 3 y m 3 y m  2

es x 12 , Hallar el

valor de (m+n) a) 51

b) 52

c) 53

d) 54

e) 55

Cusco, 21/07/2019

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