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Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles | Cifras y teclas

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Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles  

por David Orden - 23 enero, 2014 - 26 Comentarios - categorías: Aplicaciones, Geometría, Historia de las matemáticas Los primeros trazados de carreteras y vías férreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. Los ingenieros comenzaron a buscar una solución, y la encontraron en las matemáticas y la física. ¿Quieres una explicación sencilla de por qué se usa la clotoide como curva de transición? Imagina que tienes que diseñar una autovía o una vía férrea de alta velocidad. Seguro que intentarás que haya todas las rectas posibles, pero también tendrás que hacer alguna Utilizamos cookies propias y de sencilla tercerosde para facilitar navegación porlonuestra web. Másirinformación en nuestra curva. Y como la más todas es lalacircunferencia, más fácil sería política de cookies http://cifrasyteclas.com/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/

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empalmando tramos rectos con arcos de circunferencia. Algo parecido a una cinta transportadora.

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Parece que así fueron los primeros trazados y, como los primeros coches y trenes no iban a mucha velocidad, todo iba como la seda. Pero la cosa cambió cuando los vehículos fueron capaces de alcanzar velocidades mayores. Al entrar en la curva, en las uniones entre tramos, se notaba una súbita sacudida. Mal asunto. Así que los ingenieros comenzaron a estudiar qué pasaba y cómo se podía solucionar. La respuesta es fácil de entender y sólo necesitarás dos ingredientes. El primero viene de la geometría y es el radio de curvatura, un concepto bastante intuitivo. Para una circunferencia, el radio de curvatura es simplemente el radio de la circunferencia. Para una recta puedes pensar que ésta es una circunferencia muuuuuyyyyy grande, de radio in nito. Así el radio de curvatura de una recta será in nito. ¿Fácil, verdad? El segundo ingrediente viene de la física y es la fuerza centrífuga, cuyo signi cado es aún más intuitivo, aunque tiene más miga de lo que parece. Seguro que te suena que la fuerza es “masa por aceleración” y, simpli cando un poco, la fuerza centrífuga resulta ser lo siguiente (que nadie se asuste, que viene una fórmula pero está sola y es cobarde): [F=mcdotfrac{v^2}{r}]

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donde (m) es la masa, (v) es la velocidad y (r) es nuestro amigo el radio de curvatura. Por un lado tienes la masa y la velocidad, que en tu fórmula aparecen multiplicando. Así que cuanto más grandes sean, mayor será la fuerza centrífuga. Tiene lógica; si vas más deprisa, la fuerza centrífuga será mayor, lo mismo que si tienes mayor masa. Por otropropias lado tienes el radio para de curvatura, en tu fórmula aparece dividiendo. Así queen nuestra Utilizamos cookies y de terceros facilitar laque navegación por nuestra web. Más información política cuanto más grande sea, menor seráde la cookies fuerza centrífuga. Tiene lógica; en una recta el http://cifrasyteclas.com/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/

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radio de curvatura es in nito, así que (“dividiendo entre in nito”) en una recta la fuerza centrífuga es cero. También sabes que, a igual velocidad, la fuerza centrífuga es menor en una curva “más abierta” (con mayor radio) que en otra “más cerrada”.

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¿Hasta aquí está todo claro? Genial, porque entonces vas a entender enseguida qué pasaba en las uniones entre recta y circunferencia. En esos puntos el radio de curvatura (r) pasaba de ser in nito (si lo pre eres, un número muuuuuyyyyy grande) a ser un número más o menos pequeño (el radio (R) de la circunferencia). Así que en el denominador de tu fórmula había un descenso brusco… ¡y por eso se producía un aumento brusco de la fuerza centrífuga! Mal asunto. ¿Qué puedes hacer entonces? Repasando tu fórmula (F=mcdotfrac{v^2}{r}) tienes: La masa (m), multiplicando. Disminuir ésta requeriría adelgazar el vehículo y sus ocupantes… y bien sabes que no es fácil. La velocidad (v), multiplicando (y además al cuadrado). Podrías ir más despacio, pero entonces tardarías más… y seguro que no te gusta. El radio de curvatura (r), dividiendo. El de la recta es in nito, no lo puedes cambiar. Sí podrías aumentar el radio de la circunferencia, pero entonces (como en la imagen anterior) las rectas serían más cortas… y seguro que tampoco te gusta. Así que tendrás que pensar en otra posibilidad. ¿Se te ocurre algo? Claro que sí, podrías introducir una curva de transición entre la recta y la circunferencia. Además sería genial que, en esa transición, el radio de curvatura (r) fuera disminuyendo suavemente desde el in nito (o número muuuuuyyyyy grande) de la recta hasta el radio (R) de la circunferencia. Utilizamos cookies propias y de terceros para facilitar la navegación por nuestra web. Más información en nuestra política de cookies http://cifrasyteclas.com/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/

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Según tu fórmula, eso haría que la fuerza centrífuga cambiara de manera suave, en lugar de hacerlo bruscamente.

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¿Así que te gustaría que el radio de curvatura (r) fuera disminuyendo a medida que la distancia (d) recorrida fuera aumentando? Espera un momento. Tienes dos cantidades… quieres que una se haga más pequeña cuando la otra se haga más grande… ¡Es lo que en el colegio llamaban cantidades inversamente proporcionales! O sea, que quieres que el radio de curvatura (r) y la distancia (d) recorrida sean inversamente proporcionales. ¿Y cómo era eso? Ah, sí, eso signi caba que su producto fuera siempre el mismo número. ¡¡¡¡TACHÁÁÁÁÁNNN!!!! Justo esta propiedad es la que de ne a la curva clotoide, que ya conocían matemáticos y físicos. Su ecuación es precisamente (dcdot r = C^2) (donde (C) es una constante, que se pone al cuadrado para facilitar las cuentas al dibujar).

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Por eso en tus carreteras y ferrocarriles las curvas suelen encadenar tramos de recta –  clotoide – circunferencia – clotoide – recta. De ese modo la fuerza centrífuga va cambiando gradualmente y puedes girar el volante de forma progresiva, en vez de tener que hacerlo bruscamente. La próxima vez que tomes una curva, no olvides que las matemáticas y la física estarán allí para ayudarte

Recuerda que puedes seguirnos en Twitter, en Facebook y en Google +.

Nota 1: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame. ¡Gracias! Nota 2: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger. ¡Gracias! Nota 3: Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog an trión es Cuentos Cuánticos. Nota 4: Esta entrada ha resultado ganadora de la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, cuyo blog an trión es La Aventura de la Ciencia. Utilizamos cookies propias y de terceros para facilitar la navegación por nuestra web. Más información en nuestra política de cookies http://cifrasyteclas.com/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/

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Nota 5: Esta entrada está dedicada a los lectores de km77 que soportan otras entradas menos automovilísticas. Muy en especial a DavidVR, que fue quien me propuso escribir sobre la clotoide. ¡Gracias!

 Para saber más: Todo lo anterior sirve también, dándole la vuelta, para la salida de una curva. Además de en carreteras y vías férreas más o menos convencionales, las clotoides se utilizan también en circuitos de velocidad y en montañas rusas.

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Al parecer el primero en estudiar la clotoide fue el matemático suizo Jakob Bernoulli, en 1694, en el contexto de un problema de elasticidad. Dicho problema fue resuelto en 1744 por el matemático y físico suizo Leonhard Euler, quien dio una caracterización de la curva. Alrededor de 1818, el físico francés Augustin-Jean Fresnel redescubrió la clotoide al estudiar la difracción de la luz, y obtuvo una parametrización de esta curva mediante integrales, equivalentes a las de Euler. En 1874, el físico francés Marie Alfred Cornu consiguió usar esa expresión para dibujar la curva de manera precisa. Y más tarde, en 1890, fue el ingeniero estadounidense Arthur Talbot quien redescubrió una vez más la clotoide, inmerso ya en la búsqueda de una curva de transición para vías férreas. Si quieres saber más sobre su historia, puedes consultar el artículo The Euler spiral: a mathematical history de Raph Levien. Por lo anterior, la clotoide se conoce también como espiral de Cornu o espiral de Euler. Si quieres más detalles sobre la clotoide y sus ventajas, quizá te interese también esta entrada de Luis González o el artículo Una aproximación a la curva de transición clotoide vista Utilizamos cookies propias y de terceros para facilitar la navegación por nuestra web. Más información en nuestra desde Mathematica de Luís Blanch, Emilio Checa y Josefa Marín. política de cookies http://cifrasyteclas.com/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/

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Aunque la clotoide resulta ser la que mejores propiedades muestra, también se han considerado otras posibles curvas de transición, como la radioide de cuerdas (lemniscata de Bernoulli) o la radioide de abscisas (óvalo de Cassini). Como documento histórico, puede interesarte consultar Algunas notas sobre las curvas de las carreteras, publicado en 1929 en la Revista de Obras Públicas. Todo lo anterior trata del diseño en 2D, pero las carreteras y las vías se construyen en 3D. Por tanto en su diseño entran en juego factores adicionales, como por ejemplo los peraltes. Si quieres más detalles sobre el trazado de carreteras, puedes consultar los apuntes de Josep Pedret Rodés. También puedes leer el Capítulo 3 de la tesina de Víctor Balboa Caparrós. Si quieres saber cómo se calcula el radio de curvatura para una curva cualquiera, puedes consultar el artículo de la Wikipedia sobre la circunferencia osculatriz.

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Si te ha gustado lo de encadenar tramos rectos y arcos de circunferencia, como en las cintas transportadoras, puedes probar a usar el tipo de letra Conveyer Belt Font, desarrollado por mis colegas Erik Demaine, Martin Demaine y Belén Palop. También puedes leer el artículo Conveyer-Belt Alphabet.

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Por último, quizá te interese leer otras entradas sobre la clotoide. Puedes leer ésta en Sacit Ametam o ésta otra en La mesa cero del Blasco. También ha aparecido, entre otras curvas, en una entrada de Mati y sus mateaventuras. Y si te gusta Regreso al futuro, no dejes de leer esta entrada en Taringa donde Doc le explica varias curvas a Marty McFly.

Imágenes:  La imagen de la clotoide en el cruce de autovías es un añadido propio a una imagen de Doc Searls en Flickr (y se distribuye con la misma licencia que la imagen original). La imagen de la clotoide completa está tomada de Wikimedia Commons. La imagen de la montaña rusa está tomada de Jeremy Thompson en Flickr. El resto de imágenes son de creación propia.

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26 Comentarios

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cupraboy el 23 enero, 2014 a las 10:14 política de cookies

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Por trabajo, trato con clotoides de vez en cuando, aunque la aparición de programas especí cos ha facilitado la labor enormemente, ya que ahora solo se aplica un valor de transición entre recta y curva. Aún recuerdo mi época de estudios, cuando tenía que pelear con la regla de curvas para obtener algo parecido a la clotoide… Ante todo, una entrada muy interesante. Enhorabuena por haber recopilado tanta informacón sobre esta curva que en cada punto de su desarrollo tiene un radio diferente.

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David Orden el 23 enero, 2014 a las 10:20 @1 cupraboy: Muchas gracias. Sabía que habría quien supiera más que yo, así que había que documentarse bien. Es reconfortante que sirva para algo.

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cupraboy el 23 enero, 2014 a las 10:28 Si quiere le dejo una sugerencia para otro día, relacionada con el trazado de viales. El encuentro entre rasantes, es decir, los acuerdos verticales del trazado en alzado, se resuelven mediante arcos de parábola de segundo grado y eje vertical. Es otro mundo interesante, aunque no tan complejo en su resolución como una clotoide.

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David Orden el 23 enero, 2014 a las 10:30 @3 cupraboy: Apuntado queda, a ver qué se puede hacer. ¡Gracias!

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Enrique el Magnánimo el 23 enero, 2014 a las 11:28 Y de como se casan las curvas de transición en planta, los acuerdos de las rasantes y los peraltes en las secciones transversales. Saludos

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cupraboy el 23 enero, 2014 a las 11:39 Siempre me ha llamado la atención la matemática aplicada a la geometría más que la

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Las clotoides me llamaron la atención desde el principio. En su momento recuerdo que me llamó la atención que hubiese una curva de in nitos radios, y sobre todo que pudiese ser calculada y dibujada. Ahora viene usted y me dice que ya en 1694 andaban a vueltas con ella. Que burros somos hoy en día. Y cada vez vamos a peor. Una clotoide a día de hoy no es más que un parámetro “A” que se introduce en un programa. Ya nadie dibuja a mano, ya nadie sabe de donde viene. Como en tantas otras cosas, ahora prima la velocidad y el resultado.

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cupraboy el 23 enero, 2014 a las 11:47 Por cierto, y ya le dejo de dar la brasa, en un primer momento pensé que Jakob Bernoulli

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había sido el mismo del principio de Bernoulli ( http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli), que rige el funcionamiento de un

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carburador.

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Javi el 23 enero, 2014 a las 12:59 Muy interesante y completo repaso a las clotoides!! Quizás solo echo en falta alguna referencia a la curva que resulta de trazar una paralela a la clotoide, que no es una clotoide si no que se trata de otra curva diferente.

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pepe da rosa el 23 enero, 2014 a las 15:59 en mi pueblo soltamos un burro y por donde pasa hacemos la carretera.Asi nos ahorramos un monton de calculos

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whitebearblues el 23 enero, 2014 a las 16:01 Muy interesante, aunque no lo acabo de comprender en alunos casos que veo muy a menudo en cruces de viales de circulación: Un vial que discurre por encima de otro, en la misma dirección y en un ángulo de, aprox. 20-30 º. El inferior tiene un acceso al superior en un giro de casi, 360º ¡¡ cuando podría haber tenido esos 20 o 30º. Hace un giro hacia la derecha y arriba, derecha y arriba…hasta acceder al mismo nivel del vial superior. una vez llegado, hace un giro a la izqda de esos 20-30º que tenía abajo y que podría haberse ahorrado de giro “ oreado”. En muchos casos de viales EN LOS QUE LOS VEHÍCULOS NO SON NI TRENES NI

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diseño del arquitecto que in uye negativamente en todos los aspectos: Más terreno necesario, más asfalto, más atención en la conducción ( dura mucho más la transición entre puntos ), más carburante, mantenimiento…

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cupraboy el 23 enero, 2014 a las 17:53 @10: whitebearblues: Son ingenieros de caminos los que diseñan los viales. De momento, porque la intrusión laboral está llegando a nuevos límites. El principal motivo de hacer los enlaces como los ha descrito, es principalmente que ocupan menos espacio y son más económicos. Además hay un tercer motivo, y es obligar

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al conductor a respetar la velocidad de 40 km/h que toda incorpración tiene. De todas maneras, es muy desaconsejable ejecutar el cruce de dos viales principales con el ángulo

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que describe. Es inusual.

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DavidVR el 23 enero, 2014 a las 21:33 Te ha quedado una entrada muy chula, David y además tan bien explicada que se entiende por cualquiera que no sepa gran cosa de matemáticas. Conductores, así que cuando lleguéis a una curva pensad en la clotoide, que no sólo está por nuestra seguridad, sino además por nuestra comodidad. Y es que no es mala idea esta curva, ya que su ecuación intrínseca hace proporcionales la curvatura en cada punto con el espacio que llevamos recorrido por ella y ello supone una variación uniforme de la aceleración centrífuga respecto al espacio recorrido a lo largo de la clotoide cuando el móvil lleva “velocidad uniforme”. Este aspecto, el de la variación de la aceleración centrífuga, más que la fuerza centrífuga en sí misma, es el causante de incomodidad y peligrosidad. Finalmente, una pregunta para pensar (o experimentar con cuidadín): ¿qué ocurre cuando el móvil que se desplaza por la clotoide lleva una “velocidad no-uniforme” (usualmente va acelerando, en las clotoides de salida, o decelerando, en las clotoides de entrada)? ¿seguirá siendo tan recomendable esta “ya famosa” curva?

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Antonio Baldó Soriano el 24 enero, 2014 a las 08:43 Sólo una pega: la fuerza centrífuga, que no existe y debería comentarse, pero ayuda a comprender estas situaciones. Por otra parte, como profesor de matemáticas, excelente ejemplo de aplicación de magnitudes inversamente proporcionales

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David Orden el 24 enero, 2014 a las 09:02 @13 Antonio: Muchas gracias por el comentario, Antonio. Sobre la fuerza centrífuga, precisamente por eso la entrada dice “cuyo signi cado es aún más intuitivo, aunque tiene más miga de lo que parece”. Para no romper el hilo de la lectura, preferí enlazar a tres sitios donde se puede comprender el porqué. Uno es la entrada de Wikipedia en español sobre fuerza centrífuga, otro es una tabla en que se comparan las características de la fuerza centrífuga como fuerza cticia y de reacción y el tercero es una entrada de Doble Vía en la que se explica ese punto con un poco más de detalle. Así quien tenga curiosidad puede tirar del hilo.

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Antonio Baldó Soriano el 7 febrero, 2014 a las 21:12

 Ciertamente. Envié el comentario antes de ver los enlaces. Saludos.

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Albert el 17 febrero, 2014 a las 10:20 Enhorabuena, es el post que más me ha gustado de este carnaval de Matemáticas. Gracias por compartir tus conocimientos con nosotros y ánimo para continuar.

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David Orden el 18 febrero, 2014 a las 14:21 @16 Albert: ¡Muchas gracias! Un comentario así es todo un premio.

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José Ángel. el 9 marzo, 2014 a las 16:11 Muy buenas tardes, David: Esta forma de presentarnos un problema y su solución me parece realmente motivante. Creo que así debería hacerse siempre. No obstante, creo que podríamos mejorar lo de la función radio. Pues en este caso, al tomar la función radio un valor “in nito” para la línea recta, tanto si pasamos de una línea recta a un radio de 10 metros, como de una línea recta a un radio de 1000 metros, la discontinuidad o salto de la función radio es la misma en ambos casos; mientras que la “súbita sacudida”, o variación en la fuerza centrífuga que sentimos, va de cero a un valor,

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o de cero a otro valor distinto. Es decir, que la función radio no distingue entre estas dos situaciones, que percibimos como claramente distintas. Por otra parte, ¿no sería interesante que, después de contarnos el problema, cada uno tuviéramos un tiempo para intentar resolver el problema por nuestra cuenta, antes de leer la solución que se nos presenta en la entrada? De considerarlo adecuado, quizás un “pincha aquí para descubrir una solución” podría servir para indicar dónde acaba el enunciado. Y gracias otra vez por el blog. El interés del contenido puede depender del tiempo que tenga cada uno. Pero la forma -dando ejemplo- de animarmos a todos a sumar nuestros conocimentos, me parece admirable.

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Josias Wattrelos el 19 abril, 2014 a las 03:07 Gracias! Isso me ajudou a entender a Clotoide.

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excelente tu explicacion, me gustaria conocer una explicacion de esa manera de lao que es un aun aparametrizacion, le estare muy agredecido. el 7 mayo, 2014 a las 19:06 Pofesor muchas felicitaciones por sus aportes a la ciencia y a los usuarios Gracias.

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harold el 16 mayo, 2015 a las 02:54 gente necesito a alguien que sea capaz de ayudarme en demostrar la clotoide por medio de una integral, urgente por favor!

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Angel el 8 enero, 2016 a las 08:19 Un articulo interesantisimo, ojala sigas publicando mas temas matematicos con aplicaciones en la vida real. Las matematicas son preciosas. Angel. Ing. Obras Publicas

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David Orden el 16 enero, 2016 a las 16:37 política de cookies

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@22 Angel: ¡Muchas gracias! No es fácil, pero intento encontrar aplicaciones en la vida real que resulten comprensibles. Cualquier idea es bienvenida

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Borja Daz-Guardamino Sobrn el 31 enero, 2017 a las 21:41 Hola David, Querría preguntarte si me podrías decir la localización de alguna clotoide en España o en algún otro país. Muchas gracias.

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David Orden el 21 febrero, 2017 a las 09:48 Hola Borja. No tengo localizada ninguna, pero seguro que puedes encontrarlas en casi cualquier enlace circular a una autovía. Sobre la vista aérea puedes hacer una imagen como la de esta entrada.

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DavidVR el 21 febrero, 2017 a las 19:34 @24 Borja: Para encontrar una clotoide no debe buscarla, únicamente debe observar, porque vive rodeado de ellas. En toda autopista/autovía y trazado de ferrocarril se utilizan curvas de acuerdo horizontales (proyectadas sobre un plano horizontal) de este tipo para facilitar el tránsito gradual desde una trayectoria rectilínea a una curva circular, entre dos circulares de diferente radio. La curva que se adopta es la clotoide. De hecho, en el trazado de una buena autopista o vía férrea los tramos rectos y circulares en proporción a la longitud de tramos curvos realizados con clotoides es pequeña, componiéndose como una sucesión casi continua de clotoides de entrada (in nito a radio R) y de salida (radio R a in nito) de todos los tamaños, unidos a pequeños tramos rectos y circulares. Claro, los condicionamientos geográ cos obligan a forzar los trazados para que encaje el paso de determinada vía por un lugar (o lo evite) y todo ello cumpliendo además con los parámetros máximos y mínimos que imponen las normativas o ciales de diseño de trazados, en función de las velocidades especí cas, intensidades medias diarias, distancia y visibilidad de detención, condicionamientos climáticos, entre otras. Borja, fíjese con la ayuda de los modernos sistemas cartográ cos de visualización de mapas a través de su PC/Mac, en las tipologías principales de trazados con clotoides (sin entrar en detalles, pues existen otras tipologías sólo con círculos o sólo con clotoides de uso poco recomendable).

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-Disposición con dos clotoides unidas por un punto de igual radio. -Disposición con dos curvas circulares de diferente radio de curvatura pero hacia el mismo lado, enlazadas por un trozo de clotoide intermedia. -Disposición con dos curvas circulares de diferente radio de curvatura hacia diferentes lados, enlazadas por dos clotoides intermedias en “ese”. En este enlace puede acceder a las distintas normativas de trazado en España y ver su evolución, desde 1964 a 2016: http://www.carreteros.org/normativa/trazado/trazado.htm Saludos.

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Sobre el autor @ordend

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend y también en Google +. Tengo una página profesional con más información.

Sobre este blog Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Si quieres aportar algo, puedes escribirnos a [email protected] También puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles | Cifras y teclas

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