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Apuntes de Cátedra……………………………………………………………………………….……………….…..Error y Escalas

2. 3. Ejemplos de aplicación sobre errores sistemáticos. Consideremos el caso que se planteó al explicar el significado de los errores sistemáticos de métodos. Supongamos que se desea medir la fem de una pila de Zn-C (Valor Nominal 1,5 V), y para ello se utiliza un multímetro, cuyas especificaciones dicen que tiene una sensibilidad de 20 Kohm/V al ser usado como voltímetro de CC. Entre los distintos rangos que posee, se elige por ser más adecuada, el correspondiente a 2,5 V. Se sabe además que para esta pila, la resistencia interna es de 1 Kohm la que ha sido medida por el método apropiado. ri E

Rv

V

Supongamos que la lectura del instrumento es 1,45 V. La resistencia interna del voltímetro se puede calcular usando la especificación de sensibilidad, lo que da: Rv = 20 Kohm/V * 2,5 V = 50 Kohm Luego V = E / Rv + ri * = 1,45 V Pudiendo obtenerse por cálculo el valor de la fem. E = V * Rv + ri /Rv = 1,45 V. * 51 K ohms / 50 Kohms = 1,479 V. El error sistemático absoluto en este caso ha sido: V = 1,45 V – 1, 479 V = - 0,029 V. El error relativo es: e = - 0,029 V. = - 0,0196 1,479 el error porcentual: e % = e * 100 = - 0,0196 * 100 = - 1,96 % Los errores de instrumental, tal como se ha dicho, se corrigen contrastando el instrumento en cuestión contra un patrón. Un determinado instrumento puede ser considerado patrón respecto de un segundo cuando: “Su exactitud es por lo menos ”cinco veces mejor” que la de este último. MEDIDAS ELECTRONICAS 1 Ing. José M. Triano 2016

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La exactitud de los instrumentos se especifica de diferentes maneras según sean analógicos o digitales, y de acuerdo al tipo de instrumento y la magnitud que me mide, (como se verá en el siguiente punto). La contrastación consiste en comparar las lecturas del instrumento bajo pruebas contra el patrón, a lo largo de toda la escala, corrigiendo los mismos si el instrumento posee algún modo de hacerlo (por ejemplo resistores o capacitores ajustables), luego de lo cual se toma nota de los errores que no pueden eliminarse y el resultado se lleva a un gráfico que permite corregir la lectura del instrumento, este gráfico se denomina “curva de contrastación”, y el estudiante obtendrá una al realizar el trabajo práctico correspondiente a esta unidad.

2-4 Interpretación y uso de especificaciones de exactitud. Clase de Exactitud Los instrumentos tales como voltímetros y amperímetros analógicos, suelen especificar su exactitud por medio de un número denominado “índice de exactitud”, “clase de exactitud” o simplemente “clase”. Este número expresa el error máximo que puede cometer el instrumento como un por ciento del valor fiduciario del mismo. (El término fiduciario significa, según el diccionario, “aquello de lo cual se puede dar fe o crédito”, y corresponde generalmente al valor de fondo de escala en los instrumentos de escala lineal).  X máx Valor fiduciario

Clase =

. * 100

El valor de X máx lo obtiene el fabricante del mismo por métodos estadísticos de la serie de instrumentos fabricada. Es decir que la “clase de instrumento”’ está dando la cota del error máxima que puede cometer el mismo. Por ejemplo: un amperímetro de clase 0,5 con una escala 0-200 A. no debe dar un error absoluto superior a 0,5 . * 200 A = 1 A 100  X máx

=

Clase 100

. * Valor fiduciario

en ningún punto de la escala. Así si el instrumento indica 150 A, el valor verdadero de la magnitud debe estar comprendido entre 149 y 151. A. El resultado de una medición como ésta debe darse de la siguiente forma: I = 150 A +/- 1 A Lo que nos da el valor más probable de la magnitud (150 A.) y los límites de incertidumbre con los cuales se conoce la misma (±. 1 A). En nuestro país la normas IRAM - 2039 fija como clase de instrumentos 0,25 - 0,5 - l -1,5 - 2 - 3 MEDIDAS ELECTRONICAS 1 Ing. José M. Triano 2016

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Generalmente los instrumentos que pueden medir CC y CA tienen distinta para cada caso, la que se especifica por separado. En caso de que solo se indique una clase, se supone que cumplirá con la misma en ambas condiciones de funcionamiento.

2.5. Escalas de los instrumentos analógicos Escalas de los instrumentos analógicos De acuerdo con la relación que liga a la magnitud que se mide con la desviación angular del indicador de un instrumento, puede haber escalas del tipo uniforme o no uniforme. Existen instrumentos que tienen una relación lineal entre la corriente que por ellos circula y la desviación que produce su escala, tal es el caso de los instrumentos de Imán permanente y Bobina móvil. Hay otros, como los de hierro móvil, cuya desviación sigue una ley cuadrática. Sin embargo independientemente de la ley que sigue el dispositivo indicador, puede haber aparatos de medición cuya escala sea uniforme o cuadrática o de otro tipo (por ejemplo: un multímetro analógico tiene generalmente como indicador un instrumento de bobina móvil cuyo ángulo de deflexión es directamente proporcional a la corriente, sin embargo la escala del ohmetro de ese mismo instrumento no es lineal y sigue otra ley). Se verán a continuación los tipos de escala de instrumentos analógicos más comunes, así como las ventajas y desventajas de cada una, y también el uso de las mismas para distintos tipos de mediciones. Se pueden clasificar a las escalas en tres tipos principales: Uniformes (o lineales), Ampliadas (o cuadráticas) y Logarítmicas. Se estima que un observador hábil puede apreciar hasta un décimo de división de una escala bien trazada, razón por la cual, según el tipo de escala será diferente el error relativo máximo de la medida debido a la apreciación en la lectura del instrumento y/o a la clase del mismo.

ESCALA LINEAL (1)

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ESCALA LOGARÍTMICA (2)

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ESCALA AMPLIADA (3)

3

2

1

0

Figura 2.2. Tipos de escalas y cuadro comparativo de los errores cometidos por instrumentos similares pero con distintas escalas Una escala logarítmica da el mismo error en todo su desarrollo” (error relativo), salvo en las cercanías del cero, donde deja de ser logarítmica, y por lo tanto, es apropiada para medidas que requieran un margen muy grande, (por ejemplo, luz, sonido, etc...) Una escala ampliada o cuadrática es útil cuando no hay probabilidad de grandes variaciones de la magnitud medida con respecto a un valor conocido. (Por ejemplo, para indicación y registro MEDIDAS ELECTRONICAS 1 Ing. José M. Triano 2016

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de la tensión de línea).La escala uniforme tiene ventajas sobre la logarítmica en la zona de mediciones de valores medios y altos (útil para corrientes y tensiones). Por ejemplo: si suponemos un instrumento de escala lineal que tiene 100 divisiones y que permite una apreciación de su escala en 1/10 de división, y que además es de 200 A. a fondo, se tendrá un error relativo de la medición en el fondo de la escala de: e% = ( 1/10) * ( 200 A. / 100 div) * 100 = 0,1 % 200 A. e% = resolución * (Lectura a fondo de escala/Núm. de divisiones) Lectura a fondo de escala Pero para un error relativo de lectura y/o de clase será del 2% (ya que el error de apreciación sigue siendo el mismo). Esto muestra que el error relativo de lectura en un instrumento de escala uniforme aumenta a medida que se deja de usar el mismo a plena escala. Razón por la cual es conveniente efectuar las medidas de la mitad de la escala en adelante (o en el tercio medio de la misma) Campo de graduación y campo de lectura de un instrumento A menudo se encuentran instrumentos que tienen sus escalas graduadas entre dos valores, pero la medición que con el se lleva a cabo mantiene las especificaciones dadas por el fabricante solamente si se realiza dentro de un cierto límite de la misma. Dicho límite se denomina “campo de lectura”. Generalmente los instrumentos de escala lineal tienen un “Campo de lectura”, que coincide con el campo de graduación, no así los instrumentos de escala cuadrática, donde el campo de lectura coincide generalmente con la parte expandida de la escala. Al mencionar la “Clase de los Instrumentos” se habló del valor fiduciario. Si el fabricante especifica las características principales en cuanto a la exactitud del instrumento indicando que las mismas se cumplen dentro de cierta parte de la escala, es precisamente esta parte de la escala la que define el valor fiduciario del instrumento en cuestión. A continuación se dan ejemplos de escalas con distintos campos de graduación y de lectura y el valor fiduciario para cada una de ellas.

0

100

150

200

250

1) Valor fiduciario: 200 – 100 = 100

Campo de Lectura

Campo de Graduación Escala Ampliada (1) ó Cuadrática

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0

100

150

200

1) Valor fiduciario: 220 – 100 = 120

220

Campo de Lectura

Campo de Graduación Escala Ampliada (2)

-5 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1) Valor fiduciario: 5 – (-5) = 10

Campo de Lectura

Campo de Graduación Escala con Cero Central (1)

-4

-3

-2

-1

0

2

4

6

8

1) Valor fiduciario: 6 – (-3) = 9

Campo de Lectura

Campo de Graduación Escala con Cero Central (2) Hay que diferenciar en los instrumentos con cero central, aquellos que son para efectuar la medición de magnitudes cuyo signo puede cambiar (por ejemplo instrumentos que indican caga o descarga de una batería), con los que solo sirven para detectar la condición de no circulación de corriente o ausencia de tensión (por ejemplo el instrumento de un puente de Weatstone), pues en estos el campo de lectura en realidad no tiene sentido (ya que es cero), sin embargo es un valor del que se tiene fe. (la exactitud no se expresa aquí mediante la clase) Especificaciones de exactitud en los instrumentos digitales En todos los instrumentos digitales y en algunos analógicos, la exactitud se especifica por medio de un porcentaje del valor de plena escala más un porcentaje del valor leído. Pongamos por caso el siguiente ejemplo: Un Voltímetro digital de tres dígitos y medio (lectura máxima 1999), que esta dispuesto para medir en el rango de 20 V., se tiene una especificación que dice que para la medición de tensiones de CC su exactitud es de: +/- (0,25 % de la lectura + 1 dígito)

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La expresión 1 dígito se refiere al valor menos significativo, siendo este un porcentaje del valor de plena escala, que en este caso en el valor de plena escala dividido 1999, (es decir 20 V/1999= 0,01 V.), lo que corresponde a un valor fijo, y el 0,25 % es un porcentaje de la lectura. Este último se vuelve importante a medida que efectuamos la medición cerca del valor de plena escala, mientras que el primero es importante para lecturas en las cercanías del cero de la misma. Si el instrumento está seleccionado para medir en el rango de 20 V. (lectura máxima 19,99) y la indicación del visor es 10,00 V. el error máximo es de : +/- ( 10 V. * 0,25 + 0,01 V. ) = +/- (0,025 V. + 0,01 V.) = +/- 0,035 V. 100 Es decir que el resultado de la medición es: V = 10 V. +/- 0,035 V. A menudo la especificación de exactitud va acompañada de los límites de temperatura de funcionamiento en la cual se da, siendo un valor típico 25 ºC +/- 5 º C. También se da a menudo el denominado coeficiente de temperatura, que expresa en cuanto puede variar la lectura del instrumento al producirse una variación de temperatura, que también se da como un porcentaje de la lectura más un cierto valor fijo en relación con la plena escala. Supongamos que el instrumento arriba considerado tiene una especificación de temperatura tal como: ±. (% 0,0025 % de la 1ectura + 0,1 dígito)/ºC (entre 0 ºC y 25 ºC) Esto quiere decir que si por ejemplo, el valor antes mencionado de tensión, se obtuvo para una temperatura de funcionamiento del instrumento de 25 ºC, si se vuelve a medir la misma magnitud pero ahora a una temperatura de 35 º C, la lectura puede sufrir una variación de: ± (0,0025 V + 0,001 V) * (35ºC – 25ºC) = ± 0,035 V. Por lo que ahora el resultado de la medición debe darse como: V = 10 V +/- 0,07 V

2.5. Concepto de exactitud y precisión Cuanto menor es el error, tanto más nos acercamos al valor verdadero convencional en sus sucesivas aproximaciones, es decir, tanto más “exacta” será la medida. En la técnica de mediciones eléctricas, los términos exactitud y precisión no son sinónimos. La precisión está relacionada con la repetibilidad de los valores sucesivos obtenidos en mediciones del mismo valor de la magnitud en las mismas condiciones; cuando los distintos valores obtenidos difieren muy poco entre si, decimos que esas medidas son precisas, pero no necesariamente exactas, ya que cada una de las medidas parciales puede estar afectada sistemáticamente de un error absoluto grande respecto a las diferencias de valores entre pares de medidas parciales. MEDIDAS ELECTRONICAS 1 Ing. José M. Triano 2016

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2.6. Mediciones indirectas, Propagación de errores.Cuando el valor de la magnitud de interés no se obtiene directamente a partir de la lectura de un instrumento, sino a través de un cálculo realizado sobre lectura de dos o más instrumentos, cuyos errores son conocidos, surge el problema de conocer cual es el error asociado al resultado final. Limitándonos al caso de errores sistemáticos (aunque en general las expresiones que se deducirán son válidas también para los errores accidentales en el caso de una única medición); la situación se puede formular del modo siguiente, en un caso concreto. Supóngase que una determinada magnitud Z se obtiene del producto de otras dos, X e Y el error relativo en la medida de cada una de estas se supone conocido, se tiene entonces: Z=X+Y Y tomando diferenciales dZ = Y * dX + X * dY. Dividiendo ambos miembros por Z, resulta dZ = dX + dY. Z X Y Si los errores relativos en X e Y son suficientemente pequeños, se pueden sustituir los diferenciales por incrementos. Se obtiene así: Z = X + Y. Z X Y Es decir, el error porcentual en Z es igual a la suma de los errores porcentuales en X e V. Si la relación entre ambas magnitudes no fuera un producto, se puede proceder en forma similar. Por ejemplo: Para medir la potencia entregada por una fuente de alimentación, se mide la caída de tensión que se produce en sus bornes de salida al conectarla a una carga de 50 ohms +/- 5%. Si el resultado obtenido es de 12,0 +/- 1 %, cual es la potencia que suministra la fuente? La potencia viene dada por P = V2/R Derivando y sustituyendo después diferenciales por incrementos, resulta si se considera el caso más desfavorable (incrementos de signos opuestos) P = 2 V + R. P V R Sustituyendo los valores numéricos, P /P = 2 * 0,01 + 0,05 = 0,07. El resultado será pues; 2,88 W +/- , o de forma más correcta: 2.9 W +/- 7 %, o si se prefiere: 2,9 W +/- 0,2 W. MEDIDAS ELECTRONICAS 1 Ing. José M. Triano 2016

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En este mismo ejemplo, se puede observar que si el error relativo en la medida de tensión fuera de un 10 %, el error en la potencia, según el método anterior, sería del 25 %. Si en cambio se calcula directamente mediante la expresión de P, cuando la tensión es de (12 – 1,2) V., y la resistencia es (50 + 2,5) ohms, se obtiene un error del 30,5 %. Esta discrepancia se debe al hecho apuntado anteriormente: no se pueden sustituir diferenciales por incrementos cuando estos son grandes. Hay una expresión más general para la propagación de errores en la medición de una magnitud que es función de otras, tal como: Z = f ( X, Y , …) Viene dada como:  Z = +/- ( f’ (X) * X + f’ (Y) * Y + …..) siendo la expresión del error relativo:  Z = +/- ( f’ (X) * X + f’ (Y) * Y + …..) Z Z Z

(a)

Problema inverso en el cálculo de errores Suele presentarse el siguiente problema inverso en el cálculo de errores; prefijado un valor límite al error relativo con que se va a llevar cabo una medición indirecta, hay que determinar el error relativo máximo admisible” en cada una de las mediciones parciales. La manera más práctica de resolver el problema, consiste en plantear la expresión del error relativo total en función de los errores parciales (a), y luego por tanto, determinar cual es el valor de los errores parciales máximos admitidos. Este es un problema que en forma más o menos complicada se presenta en todos los ensayos, especialmente en aquellos que se realizan por primera vez para un propósito fijado; se adoptan determinados instrumentos y métodos de medida; se miden valores; se calculan os errores parciales y el error total; si esta no es aceptable se estudia la posibilidad de modificar ciertas condiciones de la experiencia, elegir otros instrumentos y adoptan otros métodos de medida hasta conseguir, en lo posible, el resultado deseado. BIBLIOGRAFÍA: - Grazzini, Omar H- Apuntes de Cátedra Medidas Electrónicas-UTN-regional Córdoba1996.-

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