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• Ricardo Moreno

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TEORÍA DE CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos Suelen denotarse de la siguiente manera A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…} D = {x|x es un estudiante activo de la UdeA} Conjuntos determinados por extensión y por comprensión: -Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión -Cuando damos una lista explícita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión. Ejemplo: A = {x|x es un número impar positivo, menor que 30} ¿Letras? ¿Colores? El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjunto lo tomamos como el conjunto universal. Son ejemplos de conjuntos universales: U: N (naturales: 1, 2,3…) U: Z (enteros: …-2,-1, 0, 1,2…) U: R (racionales e irracionales: Todos) U: Estudiantes activos de la UdeA U: Habitantes de Colombia Subconjuntos: Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B. Para decir A ⊆ (/) B negamos la proposición anterior. Diagramas de Venn:

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} Consideremos el conjunto G = {x| x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por Ø o {}. Ojo {Ø} no es un conjunto vacío -

Característica de pertenencia ϵ (a ϵ A ) o (a ϵ/ A )

Conjuntos de referencia: A = {x| x es primo} ¿Hay un conjunto de referencia? ¿Reales? ¿Naturales?

-Recordar que el vacío siempre pertenece a cualquier conjunto, sino, tendría elementos y no sería vacío. -Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C -Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Operación entre conjuntos: -Sean A y B dos conjuntos, definimos la unión de A y B como A ∪ B:= {x| x ∈ A ∨ (o) x ∈ B}.

A´:= {a ∈ U| a ∈(/) A} El complemento de A se nota por A´ o 𝐴𝑐 .

-Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y B como A ∩ B:= {x| x ∈ A ∧ (y) x ∈ B}.

A´´=A A ⊆ B si y sólo si B´ ⊆ A´ (A ∩ B)´=A´ ∪ B´ (A U B)´=A´ ∩ B´ A-B

A∩B=B∩A A∪B=B∪A A∩∅=∅ A∪∅=A A∪A=A A∩A=A Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjunto universal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como

Sean U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, A = {a, b, d, f, h}, B = {b, c, d, e, f} y C = {c, g, h, k}. Encuentre A−B B−A (A − B) ∪ C´

Ejemplos: 1) Cierta empresa entrevistó a 160 personas en un centro comercial con el fin de averiguar sus preferencias a la hora de las comunicarse y obtuvo los siguientes resultados: 115 tienen internet en casa, 54 tienen cable y celular, 96 tienen cable en casa, 38 tienen los tres, 91 tienen celular, 2 no tienen ni internet, ni cable, ni celular. 68 tienen internet y cable en casa, Realice un diagrama donde se puedan leer estos 60 tienen internet en casa y celular, datos. 2) A un curso de Matemáticas Básicas asistieron el jueves pasado 105 estudiantes, un buen número de ellos de la Facultad de Odontología. Había 53 mujeres, 30 de ellas estudiantes de Odontología. Al indagar sobre la edad de los asistentes se encontró que 68 eran menores de 20 años y de éstos 25 mujeres; sólo 12 de ellas estudiantes de Odontología. Además se sabe que hay 35 hombres menores de 20 años que NO estudian Odontología. Si entre los mayores de 20 años que NO estudian Odontología las mujeres duplican a los hombres, encuentre en el curso: a) La cantidad de estudiantes de Odontología. b) El número de mujeres menores de 20 años que no estudian Odontología.

c) El número de hombres mayores de 20 años que estudian Odontología. d) La cantidad de hombres menores de 20 años. Sln: a) 42 b) 13 c) 4 d) 43 3) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres detergentes -Albino, Blancura y Claridad- reveló los siguientes datos: ▪ 126 personas consumían Claridad. ▪ 170 personas consumían por lo menos uno de ▪ 124 personas no consumían Albino. los tres productos. ▪ 36 usuarios de detergente no consumían ni ▪ 60 personas consumían Albino y Claridad. Albino ni Blancura. ▪ 40 personas consumían los tres productos. ▪ 56 personas no consumían Blancura. A) ¿Cuántas personas consumían solamente Blancura? B) ¿Cuántas personas consumían Albino y Blancura? C) ¿Cuántas personas consumían solamente Albino? Sln: a) 28 b) 56 c) 0 Ejercicios: 4. Sea U el conjunto de estudiantes de la UdeA. Considere los siguientes subconjuntos de U: A: mayores de 20 años, B: mujeres, C: de estratos 1,2 o 3. Describa con palabras los siguientes conjuntos: a) A´ ∩ C d) A´U C´ b) A U B e) A´∩ C´ c) B´ U C´ f) A∩B∩C

g) A-B

Sln: a) Estudiantes de la UdeA de hasta 20 años, pertenecientes a los estratos 1, 2, o 3. b) Estudiantes de la UdeA mayores de 20 años o mujeres. c) Estudiantes de UdeA hombres o que pertenecen a los estratos 4, 5, o 6. d) Estudiantes de la UdeA no mayores de 20 años o no pertenecientes a los estratos 1, 2 o 3. e) Estudiantes de la UdeA que no son mayores de 20 años ni pertenecen a los estratos 1, 2, o 3. f) Estudiantes de la UdeA mujeres, mayores de 20 años y pertenecientes a los estratos 1, 2 o 3. g) Estudiantes de la UdeA hombres mayores de 20 años.

PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso A se calcula como el número de casos favorables al suceso A, partido por el número de casos posibles del experimento aleatorio: P(A) = Casos favorables / Casos posibles Ejemplos, P(A  B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22 Se considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado se pide la probabilidad de obtener a) Número impar primo c) Múltiplo de 3

b) Número d) Múltiplo de 5

Espacio muestral del experimento E = (1, 2, 3, 4, 5, 6) Luego el número de casos posibles es 6 Probabilidades a) A= " obtener impar" = (1, 3, 5) → P(A) = 3/6 b) B= " obtener número primo" = (2, 3, 5) → P (B) = 3/6 c) C= " obtener múltiplo de 3" = (3, 6) → P (B) = 2/6 d) D ="obtener múltiplo de 5 " = (5) → P (D)= 1/6 -Propiedades: P(A  B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) Ejemplo: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso? A = {obeso} B = {hipertenso} A ∩ B = {hipertenso y obeso} A  B = {obeso o hipertenso} P(A) = 0,10; P(B) = 0,15; P(A ∩ B) = 0,03

Probabilidad del suceso contrario, P(Ā) = 1 P(A) Probabilidad del suceso imposible, P(Ø) = 0 Probabilidad de todo el espacio muestral P(E)=1 Probabilidad condicional P(A / B) 

P(A  B) P(A)

P(A)  0

Ejemplo, se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6. Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A). P(A  B). Es la probabilidad de que salga el dos y número par. P(A) es la probabilidad a priori de que salga un número par. Por tanto, P(A  B).) = 1/6 y P (A) = ½, entonces, P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3. Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

EJERCICIOS Conjuntos: 1) De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres, 60 estudian comunicación y 60 son mujeres que no estudian comunicación. ¿Cuántos hombres no estudian comunicación? 2) En una academia se realiza una encuesta a 120 jovencitas y se obtienen los siguientes datos: 80 quieren ser actrices; 70 quieren ser cantantes, y 50 quieren ser actrices y cantantes. Determine cuántas de ellas: a) no quieren ser cantantes b) no quieren ser actrices c) cantantes, pero no actrices

d) actrices, pero no cantantes e) ni actrices ni cantantes

3) En un concurso de dibujo se inscribieron 60 participantes, de los cuales 35 eran mayores de 8 años, 32 eran niñas, y 20 eran niñas mayores de 8 años. Determine el número de participantes: a) varones b) varones mayores de 8 años c) varones con 8 años o menos

d) tienen menos de 8 años

4) Una agencia automotriz vendió 42 automóviles en un mes: 23 de ellos tenían barra estabilizadora; 26 eran de transmisión automática; 23 tenían reproductor de compactos; 5 tenían barra estabilizadora, transmisión automática y reproductor de compactos; 12 tenían barra estabilizadora y transmisión automática, pero no tenían reproductor de compactos; 7 tenían transmisión automática y reproductor de compactos, pero no tenían barra estabilizadora; 4 tenían barra estabilizadora y reproductor de compactos, pero no tenían transmisión automática. ¿Cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios? 5) En una escuela secundaria se tienen los siguientes datos de 2500 estudiantes: a 750 les gusta Español; a 1200 les gusta Biología; a 1350 les gusta Ciencias Sociales; a 250 les gustan Español y Biología; a 550 les gustan Biología y Ciencias Sociales; a 300 les gustan Ciencias Sociales y Español; a 100 les gustan Español, Biología y Ciencias Sociales. Indique a cuántos de estos 2500 estudiantes les gusta: a) sólo una de estas materias b) exactamente dos de estas tres materias c) ninguna de las tres materias

d) al menos una materia e) cuando mucho dos de estas tres materias

6) Se hizo una encuesta a 100 actores de televisión sobre las operaciones estéticas que se han realizado: 41 se operaron la nariz; 47 los párpados; 46 liposucción; 27, nariz y párpados; 19, nariz y liposucción; 20, párpados y liposucción; y 15, nariz, párpados y liposucción. ¿Cuántos no están operados? 7) En una clase de 30 estudiantes de Matemáticas Remediales, 15 obtuvieron 100 en el examen de lógica; 14 obtuvieron 100 en el examen de conjuntos; 20 obtuvieron 100 en el examen de desigualdades; 5 obtuvieron 100 en lógica y conjuntos; 9 en lógica y desigualdades y 7 en conjuntos y desigualdades. No hubo ninguno sin un 100. ¿Cuántos de ellos obtuvieron 100 en los tres exámenes?

8) En una muestra de 75 amas de casa, 35 tenían aspiradora; 48 abrelatas eléctrico, y 35, tostadora Además, 25 tenían simultáneamente aspiradora y abrelatas; 15, aspiradora y tostadora, y 25, abrelatas y tostadora. 10 amas de casa tenían los tres aparatos. ¿Cuántas de ellas no tenían ninguno de estos tres aparatos? 9) De 200 maestros de una universidad, 115 tienen su doctorado, y 60 son investigadores de tiempo completo. De los doctores 33 son investigadores de tiempo completo. Indique cuántos de estos maestros: a) tienen su doctorado o se dedican a investigar de tiempo completo

b) no tienen su doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo

10) De 250 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes datos: 165 son de asignatura; 160 hablan inglés; 110 tienen por lo menos maestría; 85 son de asignatura y hablan inglés; 85 hablan inglés y tienen por lo menos maestría; 40 son de asignatura y tienen por lo menos maestría; y 5 no tienen ninguna de las características antes mencionadas. Determine cuántos de estos 250 maestros: a) tienen las tres características b) tienen exactamente dos características

c) tienen exactamente una de las características

Sln: 1) 2) 3) 4) 5)

180 a) 50 b) 40 c) 20 d) 30 e) 20 a) 33 b) 15 c) 18 d) 30 11 a)1400 b) 800 c) 200 d) 2300 e) 2400

6) 7) 8) 9) 10)

17 2 12 a) 142 b) 58 a) 20 b) 150 c) 775

Probabilidad: Sean A y B los sucesos tales que: P [A] = 0, 3 P [A' Ç B] = 0, 3 P [A Ç B] = 0, 1 1)

Calcula a) P [B]

b) P [A È B]

2) En un viaje organizado por Europa para 60 personas,24 de los que van saben hablar inglés, 18 saben hablar francés, y 6 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

3) Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

4) Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. Si elegimos al azar una de esas personas:

- A 47 personas les gusta ver la tele.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

5) Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la extraemos de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b) Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A? 6) En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate? c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate? 7) las probabilidades de aprobar español son del 80%, matemáticas del 75% e inglés del 70%. Calcule: a) la probabilidad de aprobar las tres asignaturas b) la probabilidad de perder una 8) En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al azar, halla la probabilidad de: a) Seleccionar 3 niños. b) Seleccionar 2 niños y una niña. c) Seleccionar, al menos, un niño. 9) Se ha comprobado que el 48% de los alumnos de Bachillerato de cierta región son aficionados a la música clásica y a la pintura, y que el 60% de los aficionados a la pintura también son aficionados a la música clásica. Si se elige al azar un alumno de Bachillerato de esa región, ¿qué probabilidad hay de

que no sea aficionado a la pintura? 10) Estudiando un determinado colectivo de personas resulta que: 2 de cada 5 son morenas, y 3 de cada 9 tienen los ojos azules, teniendo el resto los ojos de distinto color al azul. Calcula las siguientes probabilidades: a) Que una persona sea morena y tenga los ojos azules. b) Que una persona sea morena o no tenga los ojos azules

Soluciones 1. a) P [B] = P [A' Ç B] + P [A Ç B] =0,3 + 0,1 = 0,4 b) P [A È B] = P[A] + P[B] - P[A Ç B] = 0,3 + 0,4 - 0,1 = 0,6 2. a) 0.6 b) 0.25 c) 0.2 3. a) 0.414 b) 0.51 4. a) 0.61 b) 0.68 c) 0.77 5. a) 9/16 b) 1/9 6. a) 0, 58 b) 0, 97 c) 0, 69 7. a) 0,42 b) 0,425 8. a) 3/14 b) 27/56 c) 27/28 9. 0.2 10. a) 2/15 b) 4/15