• Author / Uploaded
• christian

Citation preview

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Estadística descriptiva

Clase 2 - 27 de Octubre, 2016

1.- Conceptos básicos

1.1.- Clasicación de variables Una variable es una propiedad característica de la población en estudio, susceptible a tomar diferentes valores, los cuales se pueden observar y medir. Las variables pueden ser de dos tipos: cualitativas y cuantitativas. Las variables cualitativas se clasican a su vez en nominales y ordinales, en tanto que las variables cuantitativas se clasican a su vez en discretas y continuas. 1.−

Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente, ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo, etc.

A su vez, las variables cualitativas pueden ser: (a) Nominales: son datos que corresponden a categorías que por su naturaleza no admiten un orden. Por ejemplo: sexo (masculino y femenino); carrera de estudio: economía, contabilidad, administración, etc. (b) Ordinales: son aquellos que corresponden a evaluaciones subjetivas que se pueden ordenar o jerarquizar. Por ejemplo: en una competencia artística las posiciones de los ganadores se ordenan o jerarquizan en primer lugar, segundo lugar, tercer lugar, cuarto lugar, etc. 2.−

Variables cuantitativas: son aquellas que tienen valor numérico como la edad, el precio de un producto, ingresos anuales de un consumidor, etc.

A su vez, las variables cuantitativas pueden ser: (a) Discretas: estas son aquellas que sólo pueden tomar valores enteros como 1, 2, 8, -4, etc. En este sentido, los hermano en una familia podrán ser: 1, 2, 3..., etc. Sin embargo, nunca podrán ser 1.5 o 2.3. (b) Continuas: son aquellas que pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo o rango. Por ejemplo, los litros de leche ordeñados podrán se 1.5 o 10.3 etc.

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

1

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas 1.2.- Tablas de Frecuencia

1.2.1.- Frecuencias cualitativas Es una representación de la cantidad de veces que se observan ciertas cararacterísticas, por ejemplo cantidad de personas altas, medianas o bajas; o Cantidad (Distribución) de autos según su color.

ejemplo 1: Autos estacionados frente al cine Identicar y contar Se Observa: amarillo, verde, verde, verde, amarillo, blanco, rojo, amarillo, blanco, amarillo, amarillo, blanco, blanco, rojo, verde, blanco, verde, blanco, amarillo, amarillo, amarillo, rojo, amarillo, verde, blanco, rojo, verde, rojo, amarillo, verde, blanco, amarillo, blanco, amarillo, blanco.

Color

Frecuencia (f)

Total

35

blanco rojo amarillo verde

10 5 12 8

1.2.1.- Frecuencias cuantitativas Es una representación de cuantas veces se repite un número. Brinda una buena idea de la forma en la que se distribuyen los datos. Por ejemplo, el peso (kg) de un grupo de personas o notas en un examen.

ejemplo 2: Notas en un examen de un grupo de 30 alumnos Identicar y contar Se tienen las siguientes notas: 60, 50, 40, 50, 40, 30, 40, 40, 40, 50, 40, 50, 50, 50, 40 60, 40, 40, 60, 50, 30, 50, 60, 50, 50, 60, 50, 40, 40, 60.

Nota Frecuencia (f) 60 50 40 30

Total

6 11 11 2

35

Denición 1 : La frecuencia acumulada es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable. Denición 2 : Llamaremos histograma a la representación gráca, como una serie de rectángulos contiguos, de una distribución de frecuencia de una variable cuantitativa, en forma tal que las áreas de los rectángulos FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

2

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

corresponden a las frecuencias que se describan.

ejemplo 3: Una empresa se interesa en el ancho de bloques de madera y ha tomado 100 muestras de la operación de corte. Los datos han sido agrupados en intervalos o rangos y se muestra en el siguiente cuadro:

Intervalos (centésimas de pulg.) Frecuencia (f) Frecuancia Acumulada (F) 2-13 14-25 26-37 38-49 50-61 62-73 74-85 86-98

5 10 19 34 20 8 3 1

5 15 34 68 88 96 99 100

Del cuadro se puede observar que de las 100 muestras de bloques de madera 5 miden de 2 a 13 centésimas de pulgada, 10 miden de 14 a 25 centésimas de pulgada, etc. El mayor número de bloques de madera (34) miden de 38 a 49 centésimas de pulgada. Podemos representar grácamente esta información a través del siguiente histograma de frecuencia en el cuál la altura de cada bloque indica la frecuencia de las observaciones (número de observaciones) en ese intervalo.

1.3.- Medidas de tendencia central

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

3

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Denición 3 : [Media aritmética:] También llamada media o promedio. La media aritmética es el promedio de un conjunto de números, a1 , a2 , a3 ,..., an , obtenida sumando todos los números y dividiéndola entre n. Media =

a1 + a2 + a3 + ... + an n

Esta es una manera de encontrar un valor representativo de un conjunto de números. El resultado es que sólo necesitamos trabajar con un número (la media aritmética) en lugar de un gran conjunto de datos, cuando se considera apropiado. 1.

Media aritmética para datos no agrupados: X=

x1 + x2 + x3 + − − − + xn = n

Pn

i=1 xi

n

Donde: X es la media, xi valores que toma la variable en la población o en la muestra y n es el número total de observaciones o datos.

ejemplo 4: Supóngase que un almacén tiene 12 empleados, y sus sueldos mensuales son: $385.000 $391.000 - $363.800 - $421.300 - $423.000 - $791.000 - $323.000 - $356.000 - $456.000 - $550.000 - $320.000 - $346.200 Se quiere determinar la media aritmética o promedio de los sueldos de los 12 vendedores: X=

385.000 + 391.000 + 363.800 + ... + 346.200 = 427.191, 67 12

Así, el promedio del sueldo mensual será de $427.191,67. 2.

Media aritmética para datos agrupados: Para calcular la media aritmética, en este caso, las observaciones en cada clase o intervalo se representan con el punto medio de ésta (Marca de Clase). Así:

X=

Pn

i=1 fi

· xi

n

Donde: X es la media, xi ss el punto medio de cada clase o marca de clase, fi es la frecuencia de cada clase y n es el número total de observaciones o datos.

ejemplo 5: El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra:

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

4

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Largo en metros (xi ) Frecuencia (fi ) 5 6 7 8 9

Así, X=

10 15 20 12 6

suma=63

xi · fi

50 90 140 96 54

suma=430

430 = 6, 825 63

ejemplo 6: La siguiente tabla de frecuencias en la que se muestran las notas de un exámen de matemática

de un curso de 35 alumnos:

Nota

4,1-5,0 5,1-6,0 6,1-7,0

Frecuencia 12 15 8

Lo primero que debemos hacer es calcular la marca de clase, es decir, el punto medio de cada intervalo: 4, 1 + 5, 0 = 4, 55 2 5, 1 + 6, 0 = 5, 55 • 2 6, 1 − 7, 0 • = 6, 55 2 •

Ahora calculamos la media, X=

4, 55 · 12 + 5, 55 · 15 + 6, 55 · 8 = 5, 4. 35

Denición 4 : La Mediana en una serie de datos, es el valor que ocupa la posición central ordenando la muestra.

ejemplo 7: Calcular la mediana para: 5, 3, 6, 7, 4, 5, 3, 7, 5. Solución: Ordenando de menor a mayor tenemos: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7 y el valor que ocupa la posi-

ción central es 5 por lo que este es el valor de la mediana, pero esto ocurre cuando el número de datos es impar, si en la serie el número de datos fuera par entonces se toman los dos valores que ocupan la posición central se suman y se divide por 2. Por ejemplo si se tiene la serie: 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9; se tendrá la mediana= 5+6 2 = 5, 5.

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

5

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Denición 5 : La Moda en una serie de datos, es el valor con mayor frecuencia. ejemplo 8: En la serie 3, 6, 7, 4, 5, 3, 7, 5 la moda es 5 ya que es el dato con mayor frecuencia. Si aparecen dos datos con la misma frecuancia se dice bimodal y si aparecen 3 o más datos con la misma frecuencia entonces se dice Polimodal. Propiedades de la media aritmética 1. La sumatoria de la desviación de cada término respecto a la media es igual a cero. Por ejemplo, se tiene que para la serie 5, 7, 9, 11, 13 la media es 9. La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es: (9 − 5) + (9 − 7) + (9 − 9) + (9 − 11) + (9 − 13) = 0. 2. Media aritmética de una constante: Si una serie está formada por la repetición de un mismo dato, la media aritmética es ese dato constante. Para el caso se tiene que la media de 8, 8, 8, 8, 8, 8 es 8. 3. Media aritmética del producto de una constante por una variable: para 5, 7, 9, 11, 13 la media es 9. Multipliquemos cada número por la constante 5, obtenemos: 25, 35, 45, 55, 65; La media de estos númeroes es 45. Pero 45 es el producto de la constante por la media original: 5 · 9 = 45. 4. Media aritmética de la suma o resta de una constante y una variable: para 5, 7, 9, 11, 13 la media es 9. Sumemos la constante 5 a cada dato. Obtenemos: 10, 12, 14, 16, 18 cuya media es 14, pero 14 = 9 + 5. Lo que es lo mismo: la media aritmética original mas la constante. Si en vez de sumar restamos, obtenemos: 0, 2, 4, 6, 8 siendo su media 4. pero 4 = 9 − 5. Que es igual a media aritmética original menos la constante. 3.- Medidas de Posición

Las Medidas de Posición son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos.

Denición 6 : Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.

Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana. 1.

Cuartiles: Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

6

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1 , Q2 , Q3 . El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos. (a)

Datos agrupados: Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: Qk = Lk +

k · ( n4 ) − Nk−1 ·c nk

Para k = 1, 2, 3. Donde: Lk es el límite inferior de la clase del cuartil k, n número de datos, Nk−1 es la frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k, nk frecuencia de la clase del cuartil k y c longitud del intervalo de la clase del cuartil k.

ejemplo 9: Dada la tabla: Clase [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110[ [110, 120[

ni

8 10 16 14 10 5 2

Ni

8 18 34 48 58 63 65

1 · ( 65 4 )−8 · 10 = 68, 25 10 2 · ( 65 4 ) − 18 (ii) Cálculo del segundo cuartil: Q2 = 70 + · 10 = 79, 0625 16 3 · ( 65 4 ) − 48 (iii) Cálculo del tercer cuartil: Q3 = 90 + · 10 = 90, 75 10 (b) Datos no agrupados: Si se tiene una serie de valores X1 , X2 , X3 ,..., Xn , se localizan mediante las (i) Cálculo del primer cuartil: Q1 = 60 +

siguientes fórmulas:

(i) primer cuartil: si n es par Q1 =

1·n 1 · (n + 1) y si n es impar Q1 = . 4 4

(ii) segundo cuartil: Q2 = mediana. 3·n 3 · (n + 1) (iii) tercer cuartil: si n es par Q3 = y si n es impar Q3 = . 4 4

ejemplo 10:

• Número impar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9; sus cuartiles son Q1 = 3, Q2 = 5 y Q3 = 7. • Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9; sus cuartiles son Q1 = 2, 5, Q2 = 4, 5 y Q3 = 6, 5.

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

7

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas 2.

Deciles: Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1 , D2 ,..., D9 , que se leen primer decil, segundo decil, etc. Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para jar el aprovechamiento académico. (a) Datos agrupados: Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula: n k · ( 10 ) − Nk−1 · c, k = 1, 2, 3, ..., 9. nk (b) Datos no agrupados: Si se tiene una serie de valores X1 , X2 , X3 ,..., Xn , se localizan mediante las k(n + 1) k·n y si n es impar entonces Dk = . siguientes fórmulas: si n es par entonces Dk = 10 10

Dk = Lk +

3.

Percentiles: Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasicación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc.

Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1 , P2 ,..., P99 ), leídos primer percentil,..., percentil 99. (a) Datos agrupados: Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula: n k · ( 100 ) − Nk−1 · c, k = 1, 2, 3, ..., 99. nk (b) Datos no agrupados: Si se tiene una serie de valores X1 , X2 , X3 ,..., Xn , se localizan mediante las k(n + 1) k·n siguientes fórmulas: si n es par entonces Pk = y si n es impar entonces Pk = . 100 100

Pk = Lk +

Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.

ejemplo 11: Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente tabla: Salarios 200-299 300-399 400-499 500-599 600-699 700-800

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

ni

85 90 120 70 62 36

Ni

85 175 295 365 427 463 8

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

4.- Medidas de Dispersión

Mientras las medidas de tendencia central nos indican dónde se concentra un grupo de puntuaciones las medidas de se concentra un grupo de puntuaciones, las medidas de dispersión reeren a la homogeneidad / heterogeneidad de una distribución. Se relacionan: 1. Son complementarias Son complementarias. 2. Para calcular algunas medidas de dispersión es necesario conocer los valores de otras medidas. 3. Ambos tipos de medidas son necesarias para una descripción acabada de una distribución. Las medidas de dispersión son: 1. Rango o Amplitud: Se calcula restándole al valor más alto de una distribución, el valor más bajo. Se aplica tanto a distribuciones de datos originales, como a distribuciones de datos agrupados. Rango=(Valor máximo)-(valor mínimo).

ejemplo 12: Distribución de encuestados según edad: 20, 49, 59, 18, 32, 32, 63, 24, 20, 32, 53, 48; Rango= 6318 = 45 años.

2. Recorrido o Rango Intercuartílico: Es la diferencia entre Q1 y Q3 . Nos indica la dispersión en el 50% central de la distribución. Es más sensible a la concentración de los datos que el recorrido ordinario recorrido ordinario. Su cálculo es indistinto para datos originales como para datos agrupados. RI = Q3 − Q1 = P75 − P25

ejemplo 13: Datos ejemplo anterior: 20, 49, 59, 18, 32, 32, 63, 24, 20, 32, 53, 48. Q1 = 22 y Q3 = 51 entonces RI = 51 − 22 = 29. Por lo tanto, 29 años es la distancia existente en el 50% de la distribución central. 3. Varianza: Se basa en las diferencias entre la media aritmética y cada una de las puntuaciones. Es el promedio de los cuadrados de las distancias de las observaciones a partir de la media (su valor nunca será observaciones a partir de la media (su valor nunca será negativo). La fórmula del cálculo dependerá si la distribución es de datos originales o agrupados. (a) Datos no agrupados:

S2

PN =

− X)2 = n−1

i=1 (xi

PN

2 i=1 xi

− nX 2 . n−1

ejemplo 14: Datos originales: 20, 49, 59, 18, 32, 32, 63, 24, 20, 32, 53, 48. X=

20 + 49 + 59 + 18 + 32 + 32 + 63 + 24 + 20 + 32 + 53 + 48 450 = = 37, 5 años 12 12

Así, S2 =

(20 − 37, 5)2 + (49 − 37, 5)2 + ... + (48 − 37, 5)2 = 260, 1 11

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

9

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas (b) Datos agrupados:

S2

PN =

− X)2 · fi = n−1

i=1 (xi

PN

2 i=1 xi

· fi − nX 2 . n−1

ejemplo 14: Datos originales: 20, 49, 59, 18, 32, 32, 63, 24, 20, 32, 53, 48. Edad

x2i

fi

18 20 24 32 48 49 53 59 63 total

1 2 1 3 1 1 1 1 1 12

324 400 576 1024 2304 2401 2809 3481 3969 -

fi · x2i

324 800 576 3072 2304 2401 2809 3481 3969 19736

19736 − 12 · 1406, 25 = 260, 1. 11 PN PN 2 xc2 · fi − nX 2 i=1 (xci − X) · fi 2 S = = i=1 i . n−1 n−1

También sabemos X 2 = 1406, 25, Finalmente S 2 = (c) Datos de clases (Intervalos) agrupados:

ejemplo 14: Tabla de frecuencia de clases: Clase 0-5 5-10 10-20 20-42 total Primero, X =

xci

2,5 7,5 15 31 -

fi

14 8 3 3 28

fi · xci

35 60 45 93 233

xc2i

6 56 225 961 -

fi · xc2i

87,5 450 675 2883 4095,5

233 = 8, 32 puntos porcentuales. Finalmente, 28 S2 =

4095, 5 − 28 · 8, 322 = 77, 1 28

4. Desviación estándar: Es la medida más frecuentemente usada de variabilidad y se calcula como la raíz cuadrada de la varianza. Expresa la cantidad de variabilidad promedio en una distribución. Nos permite determinar cómo se distribuyen los valores en relación con la media en relación con la media. S=

√

S2.

5. Coeciente de variación: Hace referencia a la variabilidad relativa, relaciona la media con el desvío. Nos indica el porcentaje de variación que existe con respecto al valor promedio de la distribución. FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

10

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

CV =

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

S · 100 X

11

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas Ejercicios.-

Medidas de Tendencia Central 1. Se realizó un estudio a un grupo de clientes de un banco respecto a la cantidad de créditos que han pedido, obteniendo: 0 3

2 4

1 3

2 4

0 3

1 1

3 0

1 4

2 0

5 1

1 0

5 0

1 1

3 2

2 3

4 1

5 0

1 1

4 2

1 0

4 0

0 4

5 1

0 3

4 2

(a) Determine y clasique la variable (b) Complete la tabla de frecuencias (c) Determine la cantidad media de créditos pedido por los clientes (d) Determine la cantidad de créditos más frecuente de los clientes (e) Determine la cantidad de créditos de la mitad de los clientes

2. Se hizo un estudio respecto al sueldo de los empleados de una empresa

Sueldo ( ciento de miles de pesos ) Empleados 2.5 - 4.5 4.5 - 6.5 6.5 - 8.5 8.5 - 10.5

24 32 21 11

(a) Determine y clasique la variable (b) Complete la tabla de frecuencias (c) ¾Es verdad que el sueldo medio supera al sueldo de la mitad de los empleados?

3. A los clientes atendidos por una constructora se les consultó respecto a como consideraban la atención recibida, obteniendose:

Atención Clientes Pésima Mala Regular Buena Excelente

21 30 14 11 4

Calcule las medidas de tendencia central de ser posible. FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

12

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

4. Se le consultó a las personas que fueron atendidas en urgencia de un hospital, la cantidad de operaciones que habían tenido, la que se presenta en el siguiente gráco:

(a) Complete la tabla de frecuencias (b) Calcule las medidas de tendencia central

5. Se hizo un estudio respecto al tiempo que tardaban los cajeros de una sucursal bancaria en atender a los clientes en un día cualquiera, lo que se entrega en el siguiente gráco:

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

13

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

(a) Determine el tiempo medio de atención (b) Determine el tiempo de atención más frecuente (c) Determine el tiempo de atención que presenta la mitad de los clientes

Medidas de Posición 1. Se hizo un estudio respecto al tiempo de duración de unos marcapasos, en años

Duración 1-5 5-9 9 - 13 13 - 18

ni

25 11 22 4

(a) Determine el tiempo máximo que presenta el 13% de marcapasos (b) Determine el tiempo mínimo que presenta el 7% de marcapasos que más dura (c) Determine el porcentaje de marcapasos que dura menos de 8 años (d) Determine el porcentaje de marcapasos que dura más de 9,5 años (e) Determine cuantos marcapasos duran entre 2 y 11 años

2. Se hizo un estudio respecto al sueldo de los empleados de una constructora

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

14

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Sueldo ( miles de pesos ) Empleados 260 - 470 470 - 680 680 - 890 890 - 1100

32 37 25 14

(a) Determine el sueldo mínimo que presenta el 11% de empleados que más gana (b) Determine el porcentaje de empleados que gana más de $924.000 (c) Determine cuantos empeados ganan entre $515.000 y $712.000

Medidas de Dispersión 1. Se realizó un estudio a un grupo de pacientes de un hospital respecto a la cantidad de accidentes que ha sufrido, obteniendo: 0 3

2 4

1 3

2 4

0 3

1 1

3 0

1 4

2 0

5 1

1 0

5 0

1 1

3 2

2 3

4 1

5 0

1 1

4 2

1 0

4 0

0 4

5 1

0 3

4 2

(a) Determine la desviación de accidentes (b) Determine si los datos son homogéneos 2. Se hizo un estudio respecto al sueldo de los empleados de una empresa

Sueldo ( miles de pesos ) Empleados 260 - 470 470 - 680 680 - 890 890 - 1100

32 37 25 14

(a) Determine el rango intercuartílico (b) Determine si los sueldos son heterogéneos 3. Usted ha sido contratado por una Administradora de Fondos de Pensiones, para realizar un análisis en lo referente a la situación de sus cotizantes, y dispone de la siguiente información resumida en las siguientes distribuciones de frecuencias, según grupo etáreo: Renta imponible (miles de $) 400 − 1200 1200 − 1800 1800 − 2500

Jóvenes 280 450 280

Adultos 20 30 48

Determine si los Jóvenes presentan una renta imponible más heterogénea que los adultos FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

15

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

Ejercicios de pruebas anteriores 1. Una fábrica compuesta por 1800 obreros, se ha dividido en dos unidades estratégicas: Muebles de Exportació n ubicados en la Planta Sur y Muebles de Consumo Interno en la planta Norte. Los datos se presentan a continuación, en miles de pesos: 1500

990

780

890

900

Sueldos en M$ 1050 – 1250 1250 – 1450 1450 – 1650 1650 – 1850 1850 – 2050 2050 – 2550 TOTAL

Planta Norte

1120

1000

788

789

980

750

980

1160

Planta Sur ni

15

1 100

Ni

65

fi

Fi

0.2 0.04

Xi

0.95

(a) Determine Cuál de las dos plantas presenta mayor homogeneidad frente al salario de sus trabajadores. (b) ¿Qué porcentaje de los trabajadores con mejor salario de la Planta Sur presenta un sueldo inferior a $1.500.000? 2. El Ingeniero a cargo del control de calidad del agua de una ciudad, es responsable del nivel de cloración del agua. Dicho nivel debe acercarse bastante al que exige el Departamento de Sanidad. Para vigilar el cloro sin necesidad de vericar cada galón de agua que sale de la planta, el Ingeniero muestrea diariamente algunos galones, mide el contenido de cloro y saca una conclusión sobre el nivel promedio de cloración que tiene el agua tratada ese día. La siguiente tabla presenta las concentraciones de cloro correspondiente a 30 galones seleccionados como muestra de un día: Concentraciones de Cloro (ppm) 15,2 - 15,5 15,5 - 15,8 15,8 - 16,1 16,1 - 16,4 16,4 - 16,7 16,7 - 17,0

Nø de galones 2 5 11 6 3 3

(a) ¿Entre que valores uctúa el 40% de los galones que tienen una mayor Concentración de Cloro? (b) El Ingeniero debe vericar que el porcentaje de variabilidad de la Concentración de Cloro no supera el 5%, ¿se puede corroborar esto con los datos obtenidos? (c) ¿Qué porcentaje de los galones es superior al promedio más una desviación estándar? 3. La inversión mensual en publicidad, en millones de pesos, correspondiente a ciertas empresas de dos sectores productivos, A y B, se presentan a continuación: FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

16

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Departamento de matemáticas

SECTOR A Inversión (M$) Número 70 - 80 80 - 90 90 - 100 100 - 110 110 - 120

de empresas 10 19 30 23 8

SECTOR B Inversión (M$) Número 90 – 100 100 – 110 110 – 120 120 – 130 130 – 140

de empresas 8 24 38 14 6

4. ¿Cuál es la inversión mensual mínima en publicidad en las empresas del sector A, para el 25% de las empresas que más invierten? 5. Analice descriptivamente si la inversión en publicidad es mayor en promedio en el sector B, pero con mayor variabilidad que en el sector A.

FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]

17