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LECHOS POROSOS 1. CONCEPTO Son columnas de partículas sólidas estacionarias cuyas características no varían con el tiempo. Los lechos porosas se forman: •Por cuerpos sólidos atravesados por poros o canales de pequeño tamaño.

•Conjunto de partículas que dejan espacios en contacto entre ellas. En un lecho fijo las partículas no son arrastrados por el fluido pero si desplazado de manera pequeña. 1

En un lecho poroso ocurre una pérdida de carga con la velocidad del fluido. Para la caída de presión se desprecia la rugosidad de la pared. Los lechos porosos se aplican a procesos como destilación, adsorción, intercambio iónico, donde el proceso requiere una superficie de contacto.

2

Ley de Darcy: Permeabilidad.

P v  K( ) L

Ing. Henry Darcy (1856) debía diseñar también filtros de arena para purificar el agua en Dijon, Francia.

v= velocidad media en la sección del lecho. (-ΔP)= caída de presión a través del lecho. L= espesor o altura del lecho. K= constante de proporcionalidad. K=f (propiedad del lecho y a las propiedades del fluido que circula) 3

1 (P) v .  .L v= velocidad media en la sección del lecho. (-ΔP)= caída de presión a través del lecho. L= espesor o altura del lecho. 1/α= coeficiente de permeabilidad. η= viscosidad del fluido.

La unidad de permeabilidad es el Darcy. 1 Darcy es la permeabilidad de un medio poroso al flujo viscoso para el paso de 1 ml/(s.cm2) de un líquido con una viscosidad de 1cP (centipoise) bajo una caída de presión de 1 atm/cm. 4

3. Definiciones previas Las partículas sólidas están generalmente dispuestas al azar. Estas partículas presentan características como: Superficie específica Porosidad 3.1) Superficie específica Puede ser referida a todo el lecho (as) o a la de la partícula (aso)

Para el lecho (as) =

Para la partícula (aS0) =

Área presentada al fluido

(m-1)

Volumen del lecho Área de partícula

Volumen de partícula

(m-1) 5

En el caso de una partícula esférica de diámetro “dr” la superficie específica de la partícula es: Cuando las partículas no son esféricas se define un diámetro equivalente de partícula (dp):

6 dr

d p  ()( d r ) 6 dp  a S0     factor de forma o esfericidad 6

3.2) Porosidad (Fracción de huecos “ε”) Son las zonas libres existentes en el lecho debido a que el lecho no es compacto. Es el volumen del lecho no ocupado por el material sólido. Debido a la porosidad del lecho, la superficie específica del lecho (as) y de partícula (aso) no coinciden sino que están relacionadas según la ecuación:

as  a S 0 (1   ) Si ε↑ → flujo↑ →↑permeabilidad

volumen de huecos en el lecho  volumen total del lecho 7

D Esquematización de un lecho L’ = longitud de canales. De = diámetro equivalente del canal D = diámetro de la columna cilíndrica L = altura del lecho

canal

L

L’ De

Área de cilindro: π r2 = π D2/4 Nota: cilindro ≠ canal 8

D Número de canales por m2 de sección transversal: n’ (importante esta consideración)

Número total de canales del lecho:

n

L



2 n  n'. .D 4 Área interfacial de “1” canal: r

 2. .r.L'

L’

canal

L’ De

Longitud del círculo Área interfacial de “1” canal:

  .De.L' 9

Área interfacial del lecho=(área interfacial de “1” canal)(# total de canales en el lecho) Área interfacial del lecho

Volumen del lecho (VL)



 ( .De.L' )(n'. .D 2 ) 4 VL 

 4

.D2.L

D

Volumen del lecho ocupado por las partículas = (VL)(1-ε)

L

canal

L’ De

10

Cálculo de las superficies específicas tanto del lecho (as) como de las partículas (aso) Cálculo de as a s=

a s=

Área presentada al fluido Volumen del lecho

(# total de canales del lecho) (área de un canal) Volumen del lecho

as 

(n'.

 4

.D 2 )( .De.L' )

 4

.D 2 .L

n'. .De.L'  L

(1)

11

Calculo de as0 Área de partícula

. Volumen de partícula

as0=

as0=

# partículas

# partículas

(# total de canales del lecho) (área de un canal) Volumen total de partículas

as0 

(n'.



.D 2 )( .De.L' )

4 VL (1   )

as0 

(n'. .De.L' ) as0  L(1   )

(n'. (

 4



4

.D 2 )( .De.L' )

.D 2 .L)(1   )

(2) 12

Relacionando (1) y (2)

as ? as0

as aso

n'. .De.L ' L  n'. .De.L ' L (1   )

as L (1   )  aso L

as  aso(1  ε) 13

Relación entre el diámetro equivalente de un canal (De) y el radio hidráulico (RH) De = 4RH

Area de paso De  4( ) Perímetromojado Multiplicando el numerador y denominador por L’n n: Número total de canales del lecho. L’ = longitud del canal. De=

De=

4. (Área de paso).L’n

(Perímetro mojado).L’n 4. (Volumen de un canal). n

(Área interfacial de un canal). n 14

4. (Volumen de huecos)

De=

(Área interfacial total)

4(volumen del lecho)( porosidad)

De 



(n'. .D 2 )( .De.L') 4

Ordenando:

De 

4.(

 4

.D 2 .L)( )

D2 (n'.L'. .De)( . ) 4

De 

4( ) as 0 (1 )

( .D 2 .L)( ) De  D2 (as .L)( . ) 4

De= diámetro equivalente de un canal ε= porosidad (fracción de huecos). as0= superficie específica de la partícula 15

Velocidades de circulación del fluido con y sin partículas Flujo de aire (kg/s) sin partículas = Flujo de aire (kg/s) con partículas

.S.V  .Sc .Vc Sin partículas

(3)

Con partículas

φ= densidad del fluido. S= Sección de paso de la columna (área) V= Velocidad de circulación del fluido a través de la columna Sc= Sección de paso de los canales Vc= Velocidad de circulación del fluido a través del canal 16

Sección de paso de la columna (S)=

.

Sección total de paso de los canales (Sc)=

# de canales

2 D

(4)

4 n. .

2 De 4

Sección de paso de un canal

Otra forma de expresar reemplazando “n”

2 De 2 Sc  n'. .D . . 4 4



(5)

17

Reemplazando (4) y (5) en (3)

.S.V  .Sc .Vc 2 De  . D 2 .V   .n'. D 2 . . .Vc 4 4 4





V  n'.

Vc 

 4

De2 .Vc

4V n'. .De2

V= Velocidad de circulación del fluido a través de la columna Vc= Velocidad de circulación del fluido a través del canal De= diámetro equivalente

n’: Número de canales por m2 de sección transversal 18

Se sabe que:

(a s 0 )( L)(1   ) n'  ( L' )( )( De)

Despejando n’ de la ecuación (2)

Reemplazando n’ en Vc

4V 1 Vc  (a S 0 )( L)(1   ) . .De2 ( L' )( )( De) 4V 1 Vc  ( a S 0 )( L)(1   ) 4 . ( L' ) ( a s 0 )(1   )

19

( L' )

( a s 0 )(1   )

( 4V )( L' ) V .L' Vc   ( L)( 4 ) L.

(6)

Ecuaciones para el flujo a través de lechos porosos. La caída de presión a lo largo de un lecho está en función: Al régimen laminar. Al régimen turbulento

20

a) Régimen laminar: Ecuación de Kozeny-Carman Si el flujo del fluido a través de los canales es laminar se podrá aplicar la ecuación de Fanning:

64 L' Vc2 ( ) . .  Re 2 De P

(7)

-ΔP= caída de presión φ= densidad del fluido Re= número de Reynolds L’= longitud del canal Vc= velocidad del fluido a través del canal con partículas De= diámetro equivalente 21

Si se sabe que el número de Reynolds es:

.Vc .De Re  

(8)

(6) y (8) en (7)

64. L' Vc2 ( ) . .   .Vc .De 2 De P

L' Vc  P  64.. . 2 De2

(9)

-ΔP= caída de presión η= viscosidad L’= longitud del canal

De= diámetro equivalente

Vc= velocidad del fluido a través del canal con partículas

22

Reemplazando Vc (ec 6) y De en la ecuac. (9) tenemos:

L' V .L' 1  P  64. . . . 2 2 L.   4     a s 0 (1   )  

( L' ) 2 .V ( a so ) 2 (1   ) 2  P  64. . . . 2.L. 16. 2 (a so ) 2 (1   ) 2 ( L' ) 2  P  2.V . . . L 3 Como la longitud de cada canal L’ es superior a la del lecho L. L’ = K’.L

K’=factor de corrección

23

b) Régimen turbulento: Ecuación de Burke-Plummer

(

 P



)  3 f '.

.V 2 (1   ) 3 dp.

-ΔP= caída de presión

φ= densidad del fluido f’ =factor de fricción. Se obtiene a partir de experimentación dependiendo del número de Reynolds dp=diámetro equivalente de partícula ε = porosidad V = velocidad del fluido 24

Determinación del factor de fricción (f’) .

f' 2

3f’

Re p

Re'

(1   )

(P)(dp)( )3 3 f ' L.(1   )( )(V 2 )

Rep :Reynolds de partícula

.V .dp Re p  

Rep < 40 : Régimen laminar Rep > 40 : Régimen turbulento Re’ :Reynolds corregidos de partícula

Re' 

.V a s0 (1   ).

25

c) Flujo global laminar-turbulento. Ecuaciones de Ergun y Chilton-Colburn. Ec. de Ergun: permite el cálculo de la pérdida de presión que experimenta el fluido al atravezar un lecho relleno ya sea en régimen laminar o turbulento.

P (1   ) 2 . (1   ). 2 ( )  150 .V  1.75 .V L  3.dp2  3.dp Componente laminar

Componente turbulento

V=velocidad del fluido -ΔP= caída de presión ε = porosidad φ= densidad del fluido η= viscosidad del fluido dp=diámetro equivalente de la partícula 26 L= altura del lecho

FLUIDIZACION Proceso por el cual circula un fluido a través de un lecho de partículas. Si su velocidad de circulación es baja, el lecho permanece estático.

Si su velocidad aumenta, puede ocurrir que el lecho se expanda. Un aumento de velocidad ocasiona: ↑ porosidad del lecho Existe una reordenación de los partículas

27

Log (-ΔP)

B C

A

D

Fluidización discontinua

0

Vmf

Fluidización continua

Va

Log V

OA = La caída de presión es constante a medida que aumenta la velocidad de flujo (lecho estático). AB = La caída de presión y la velocidad guardan una relación lineal; pero la pendiente es menor. El lecho se expansiona lentamente manteniendo todavía las partículas en contacto. 28 La porosidad aumenta.

Log (-ΔP)

B C

A

D

Fluidización discontinua

0

Vmf

Fluidización continua

Va

Log V

B: Las partículas no están en contacto y se dice que el lecho esta fluidizado. BC: La caída de presión disminuye causado por el aumento de velocidad, debido a una reorganización de las partículas. 29

Log (-ΔP)

B C

A

D

Fluidización discontinua

0

Vmf

Fluidización continua

Va

Log V

CD= La caída de presión aumenta linealmente con la velocidad; pero con una pendiente menor (es la fluidización sin arrastre de sólidos). D= Ocurre el arrastre completo de las partículas por el fluido. A partir del punto “D” hacia adelante se aplica el transporte 30 neumático.

Log (-ΔP)

B C

A

D

Fluidización discontinua

0

Vmf

Fluidización continua

Va

Log V

Vmf= velocidad mínima de fluidización Va= velocidad de arrastre

31

Velocidad mínima de fluidización

FG  ( p   ).S.L.(1   ) g FG= fuerza gravitatoria ejercida sobre las partículas.

φp= densidad de la partícula. φ= densidad del fluido. S= sección de paso de la columna que contiene las partículas L= altura del lecho ε= porosidad g= constante de la gravedad. 32

Fp  (P).S Fp = fuerza que el fluido ejerce sobre el lecho. -ΔP = caída de presión que experimenta el fluido al atravesar el lecho. S = sección de paso de la columna que contiene las partículas. Para el cálculo de la velocidad mínima de fluidización Fuerza gravitatoria ejercida = sobre las partículas.

Fuerza que el fluido ejerce sobre el lecho.

FG  FP ( p   )( S )( L)(1   )( g )  (P)( S ) 33

Velocidad mínima de fluidización en régimen laminar:

P (1   ) 2 ( )  150 .V L  3.( dp) 2 ( mf )3

p  1 Vmf  . .( ).g .dp 2 150 (1   mf )  εmf = Porosidad mínima de fluidización φp= densidad de la partícula. φ= densidad del fluido. Vmf= velocidad mínima de fluidización dp = diámetro equivalente de la partícula η = viscosidad del fluido

34

Velocidad mínima de fluidización en régimen turbulento:

P (1   ). 2 ( )  1.75 .V L  3.( dp) 1/ 2  p   3 Vmf  0.756( ).( g ).( mf ) .( dp)    φp= densidad de la partícula. φ= densidad del fluido. ε= porosidad

g= constante de la gravedad.

εmf = Porosidad mínima de fluidización dp = diámetro equivalente de la partícula 35

Velocidad mínima de fluidización en régimen de transición:

(1   mf ) 2 (1   mf ) (1   mf )( p   ).g  150. Vmf  1.75 (Vmf ) 2 ( mf )3 (dp) 2 ( mf )3.dp Vmf= velocidad mínima de fluidización εmf = Porosidad mínima de fluidización φp= densidad de la partícula.

φ= densidad del fluido. g= constante de la gravedad. dp = diámetro equivalente de la partícula

36

POROSIDAD MÍNIMA DE FLUIDIZACIÓN Porosidad A velocidades bajas la porosidad no varia

Log ε

A velocidades altas el lecho se expansiona aumentando el volumen de los huecos

εmf

Vmf

Va

εmf= 1 - 0.356 (log dp - 1)

velocidad Log V dp: diámetro de partícula

dp en micrones (10-6 m) 50