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• Francisca Ale

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Administración CLASE 8 FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial es aquella de la forma f(x) = ax, siendo “a” un número real positivo. En los gráficos inferiores se puede ver cómo cambia la gráfica al variar “a”. Observe que las gráficas de y = f(x) = ax y de y = f(x) = (1/a)x = a-x son simétricas respecto del eje OY. La expresión general de una función exponencial se establece con “a” un número real positivo y distinto de 1 llamado base de la función. En el dibujo se pueden ver las gráficas de las funciones 2x, ex,(1/2)x y (1/e)x.

Características:  • • • • •

El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos. Es continua. Si a >1 la función es creciente y si 0 < a < 1 es decreciente. Corta al eje OY en (0,1). El eje OX es asíntota. La función es inyectiva, esto es si am=an , entonces m = n.

EJERCICIOS 1.

Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones. a) y = f(x) = 2 x c) y = f(x = (0,2) x e) y = g(x) = 5+2ex g) y = f(x) =

2.



1 32

h) y= f(x) = 2  e x

x



1

Construya las gráficas de las siguientes funciones exponenciales calculando algunos de sus puntos. 3 a) y    2 1  b) y    2 1  c) y    3

x

1  e) y    2

x

x

f) y  3  x

x

2 d) y    3

3.

b) y = f(x) = 2 t d) y = f(u) = 3e u f) y = 3  2e t

g) y  3 x

x

3 h) y    4

x

Determine el valor de x en cada caso. a) 2 x 1  4 x 1 b) 2 x  16 x 1  9 x 2 c) 3

f) 3 x 2  9 g) 3 2x 3  81 2 1 h) 2 x 3  4

d) 25x  5 1 e) 25 x  5

i)

2

3 x 1  3 3

j) 2 x 1  16 x

Soluciones: a) 1 h) ±1

b) -4 i)4/3

c) 5 j) 1/3

d)1/4

e)-1/2

f) ±2

g) 7/2

4.

Resuelva las siguientes ecuaciones: 1 3

e) 3 x

a) 27  x 1 x2

b) c)

3 x2

d) 3

2x

2 2

9 x

5

1  f)    100  10 

 27  27

Soluciones: a) 3 5.

b) 25

c) 9

d) 3/2

e) -3

f) -2

d) 2  3  x

e) 7  2 3x

1  f)   e 3  e 

f) 2

h) 3

Simplifique las siguientes expresiones:

Soluciones: a) 3 3 x  2 h) 3 2 x  x 6.

b) 2 x 2



2 1

c) 2 x 1



i) e 3  1  e  x 1

Resolver:

Soluciones: a) 1 b) 2

c) 1

d) (1,2)

e) 2

g) 1

i) 0

g)

24 3

7.

Resuelve los siguientes sistemas:

Soluciones: a) (1, 3) h) (2,3) 8.

b) (2, 3) i) (2,0)

c) 4,2) (2,4) j) (5,2)

d) (2,1)

e) (3,1)

e) 2

g) 2

i) 4

f) (4,2)

g) (1,2)

Resolver:

Soluciones: a) 0

b) 

9.

Analice y responda.

c) 4

d) 1

f) (-2,3)

h) 3

A)

Debido a una enfermedad, el número de pollos de una granja viene dado por y=10000(0,9)t (t en días). a) ¿Cuál es el número de pollos inicial? b) ¿Qué cantidad de pollos tiene el granjero al cabo de 2 días? c) ¿Y de tres días? d) Representa la función Sol: a) 10000; b) 8100; c) 7290 La masa de una muestra radiactiva, sin desintegrar, disminuye según la función y=100  24t (y en gramos, t en días) a) ¿Qué masa había en el momento inicial? b) ¿Cuánto tiempo tarda en reducirse a la mitad? Sol: a) 100 grs; b) 1/4 hora B)

C) De la función exponencial f(x)=kax conocemos f(0)=3 y f(2)=75. ¿Cuánto valen k y a? Sol: k=3, a=5

D) Las gráficas de las funciones y = ax pasan todas por un mismo punto. ¿Cuál es ese punto? Sol: (0,1) E) ¿Para qué valores de a la función y = ax es creciente? ¿Para cuáles es decreciente? Sol: a>1, 0