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• Jhon Ambrosio Nayra

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Muchas de las situaciones en la vida exigen una de dos respuestas posibles: si o no. Así muchas de las situaciones en la vida exigen una de dos respuestas posibles: si o no. Así es que podemos representar éstas posibilidades con los valores 0 (no) y 1 (si), y aprovechar las matemáticas para que nos den una mano ante decisiones difíciles; a esto es lo que solemos llamar -por obvias razones- programación binaria. Una de las muchísimas aplicaciones de la programación binaria, es el problema de la asignación. Este método analiza el problema de asignar un cierto número de recursos a un determinado número de tareas, con base en algún tipo de valoración para cada recurso. Cada recurso, podrá ser asignado a una sola tarea. El PA consiste en asignar recursos a tareas en función de un objetivo ligado a la eficiencia del sistema. Un ejemplo típico es el de asignación de personas a turnos horarios, o el de asignar personas a máquinas

Problema de asignación es un caso especial del problema de transporte en el que lo que se asigna son recursos para realizar tareas. Los asignados no solo pueden ser personas, sino también maquinas, vehículos, plantas, periodos de trabajo, etc.

Debe de cumplir con:

1.

2.

El número de asignados debe ser igual al número de tareas, a cada trabajador se le asigna una tarea, cada tarea debe ser realizada por un trabajador, existen costos relacionados Cij , el objetivo es determinar cómo asignar los trabajadores a las tareas al menor costo. Es un modelo de programación binario, es decir, que solo toma valores de cero y uno.

El esquema tabular del PA es: MAQUIN AS M1

TAREAS

c22

cm1

cm2

............... ...............

...............

1

c2n

1

cmn

Tm bj

c1n

............... 1

ai

.........

c12

Mn

...............

.........

.........

c12

.........

T2

c11

.........

T1

M2

1

................

1 1

Formulación del Programa Minimizar el costo total de operación de modo que: • cada tarea se asigne a una y sólo una máquina • cada máquina realice una y sólo una tarea m

Min

n

 c x

ij ij

i 1 j 1

s.a. m

x

 1, j  1..n

x

 1,i  1..m

ij

i 1 n

ij

j 1

xij  0,1

Xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina j cij: costo de realizar la tarea i con máquina j n tareas m máquinas Si hay más máquinas que tareas se formula con desigualdades, y se resuelve con tareas ficticias

Descripción Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los “destinos”

La oferta disponible en cada fuente es 1 como también lo es la demanda en cada destino. cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a la máquina j El costo puede representar también características de competencia de cada trabajador

En el caso que un trabajo no deba ser asignado (porque no cumple con los requisitos) a una máquina (actividad) en particular, este costo debe tener un valor alto (M) En el caso de existir desequilibrio, esto es, más trabajos que máquinas o más máquinas que trabajos, hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados (ficticios), logrando de esta forma que m = n

Es un algoritmo de optimización el

Este fue revisado por James Munkres en 1957,

cual resuelve problemas de

y ha sido conocido desde entonces como el

asignación.

algoritmo Húngaro, el algoritmo de la

La primera versión conocida del método Húngaro, fue inventado y

asignación de Munkres, o el algoritmo de Kuhn-Munkres.

publicado por Harold Kuhn en 1955. El método Húngaro resuelve este tipo de asignaciones de una manera mas sencilla. El enfoque general de este algoritmo consiste en "reducir" la matriz de costos mediante una serie de operaciones aritméticas.

Posibles Casos

Minimización

Desbalanceado

Maximización

Machineco tiene 4 máquinas y 4 tareas. Cada máquina se debe asignar para completar una tarea. El tiempo (horas) requerido para preparar cada maquina para completar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Machineco desea reducir el tiempo de preparación total necesario para completar cada tarea

MÁQUINA

TAREA 1

TAREA 2

TAREA 3

TAREA 4

1

14

5

8

7

2

2

12

6

5

3

7

8

3

9

4

2

4

6

10

El método húngaro se utiliza para resolver algoritmos de

minimización, los pasos para la aplicación del método son: 1.

Encontrar el numero más

3.

Trazar

el

número

mínimo

de

líneas

pequeño de cada fila y

(horizontales o verticales o ambas únicamente

restárselo a cada fila

de esta manera) que se requieren para cubrir la

(Reducción de filas).

matriz de costo reducida ( el número de líneas es igual al numero de asignaciones que se deben

2.

Encontrar el numero más pequeño

de

cada

realizar) 4.

Encontrar el menor elemento diferente de cero

columna y restárselo a

(k) que no este cubierto por las líneas dibujadas,

cada columna (Reducción

restárselo a cada elemento no cubierto y

de columnas).

sumárselo a la intersección (es).

Si el número de filas y de columnas en la matriz de costo son

diferentes, el problema de asignación esta desbalanceado debido a lo anterior se debe balancear, para poder resolverlo por el método húngaro.

Una empresa de logística con 4 maquinas para realizar 3 tareas, cada máquina realiza la tarea según el tiempo en que esta pueda ejecutarla. En la siguiente tabla se muestran los tiempos en horas para dicha tarea. Para resolver el problema con el método húngaro será necesario equilibrar la tabla de costo.

MÁQUINA 1 2 3 4

TAREA 1 1 10 9 4 7

TAREA 2 2 7 6 10 9

TAREA 2 3 3 8 11 2

Un administrador enfrenta el problema de asignar cuatro nuevos métodos a tres medios de producción. La asignación de nuevos

métodos aumenta las utilidades, según las cantidades mostradas en la siguiente tabla. Determinar la asignación óptima si solo puede asignarse un método a un medio de producción

MÉTODO DE PRODUCCIÓN

TAREA 1

TAREA 2

TAREA 3

A

12

9

13.5

B

10

11

12.5

C

11.5

10

10

D

13

12

10.5

El procedimiento a seguir es el explicado en el caso de minimización, excepto que después del paso 1 se deberá realizar un paso intermedio el cual consiste, en:

Seleccionar de toda la

Seleccionado este término,

En caso de que la tabla no tenga

tabla del paso 1 el

se debe restar todos los

igual número de renglones que de

término numérico

demás valores de la

columnas se debe completar dicha

mayor.

tabla original..

matriz en renglones o columnas, según faltaren para que éstos sean iguales. Los costos o términos numéricos de las casillas deberán ser cero

Paso 0: Construir la matriz de asignación Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignación debe satisfacer:

Propiedad 1: Todos los números son no negativos Propiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con un valor cero Paso 1: a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la fila correspondiente y/o b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columna a la columna correspondiente Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2

Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad). Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas para cubrir todos los ceros. Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se dice que esta matriz es reducida. Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4 Paso 3: Movimiento De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menor valor y haga lo siguiente:

a) Restar el valor a cada celda no cruzada b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas Volver al paso 2

Paso 4: Solución óptima (Asignación) Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se van marcando y así sucesivamente Determinar el costo: Se suman todos los costos correspondientes a las asignaciones (o sumar todos los pi y qj). ¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaron en las reducciones de filas y columnas?

Juan Manuel necesita asignar cuatro trabajos que recibió a cuatro empleados de planta. Las diversas habilidades de éstos dan origen a costos variados por el desempeño de los trabajos. La tabla siguiente resume los datos del costo de las asignaciones. Los datos indican que el empleado 1 no puede desempeñarse en el trabajo 3 y que el empleado 3 no puede desempeñarse en el trabajo 4. Determine la asignación óptima. TRABAJO 1

2

3

José Luís

50

50

José Paúl

70

40

20

José Miguel

90

30

50

José Antonio

70

20

50

4 20 30 70

1

50

1 J. Luís

50

1 Trabajo

1

2 Trabajo

1

3 Trabajo

1

4 Trabajo

1

20 70

1

2 J. Paúl

40 20 30

90

1

3 J. Miguel

30 50 20

70

1

4 J. Antonio

50 70

Expresiones que indican el tiempo necesario para completar los proyectos: Costo de asignación para José Luís

= 50x11 + 50x12 + 20x14

Costo de asignación para José Paúl

= 70x21 + 40x22 + 20x23 + 30x24

Costo de asignación para José Miguel

= 90x31 + 30x32 + 50x33

Costo de asignación para José Antonio

= 70x41 + 20x42 + 50x43 + 70x44

Min 50x11+50x12+0x13+20x14+70x21+40x22+20x23+30x24+90x31 +30x32+50x33+0x34+70x41+20x42+60x43+70x44

José Luís ≠ trabajo 3 José Miguel ≠ trabajo 4 xij≥0 para i=1,2,3,4 y para j =1,2,3,4

   

Solo problemas de minimización Número de personas a asignar, es igual al número de lugares m Todas las asignaciones son posibles Una asignación por persona y una persona por asignación

TRABAJO 1

2

3

4

Costo menor

José Luís

50

50

-

20

20

José Paúl

70

40

20

30

20

José Miguel

90

30

50

-

30

José Antonio

70

20

50

70

20

Restar el menor valor de cada fila TRABAJO 1

2

3

4

Costo menor

José Luís

50-20=30

50-20=30

-

20-20=0

20

José Paúl

70-20=50

40-20=20

20-20=0

30-20=10

20

José Miguel

90-30=60

30-30=0

50-30=20

-

30

José Antonio

70-20=50

20-20=0

50-20=30

70-20=50

20

Restar el menor valor de cada columna TRABAJO 1

2

3

4

Costo menor

José Luís

30-30=0

30

-

0

20

José Paúl

50-30=20

20

0

10

20

José Miguel

60-30=30

0

20

-

30

José Antonio

50-30=20

0

30

50

20

Costo menor

30

0

0

0

Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

30

-

0

José Paúl

20

20

0

10

José Miguel

30

0

20

-

José Antonio

20

0

30

50

Como se puede ver existen 3 líneas y no es igual al número de filas que son 4 por lo tanto esta no es una solución óptima

Identificar el menor valor no rayado

TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

30

-

0

José Paúl

20

20

0

10

José Miguel

30

0

20

-

José Antonio

20

0

30

50

Restar el numero identificado a los demás números no rayados y sumar a los números que están en la intersección de las líneas

TRABAJO

1

2

3

4

José Luís

0

40

-

0

José Paúl

20-10=10

20

0

10-10=0

José Miguel

30-10=20

0

20

-

José Antonio

20-10=10

0

30

50-10=40

TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

40

-

0

José Paúl

10

20

0

0

José Miguel

20

0

20

-

José Antonio

10

0

30

40

Como se puede ver existen 3 líneas y es igual al número de filas que son 4 por lo tanto esta no es una solución óptima

Por lo tanto debemos encontrar el valor mínimo de la los nuevos valores que obtuvimos en todas las filas no seleccionadas TRABAJO

1

2

3

4

José Luís

0

40

-

0

José Paúl

10

20

0

0

José Miguel

20

0

20

-

José Antonio

10

0

30

40

El menor valor es 10 y procedemos a restar TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

40+10=50

-

0

José Paúl

10

20+10=30

0

0

José Miguel

20-10=10

0

20-10=10

-

José Antonio

10-10=0

0

30-10=20

40-10=30

TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

50

-

0

José Paúl

10

30

0

0

José Miguel

10

0

10

-

José Antonio

0

0

20

30

Después de realizar la resta vemos que la fila uno nos dio 2 nuevos ceros Otra opción de tachado TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

50

-

0

José Paúl

10

30

0

0

José Miguel

10

0

10

-

José Antonio

0

0

20

30

Empezar asignar donde hay solo un 0 en la fila o en la columna

TRABAJO 1

2

3

4

José Luís

0

50

-

0

José Paúl

10

30

0

José Miguel

10

0

José Antonio

0

3

1

0

2

4

0

10

-

20

30

La asignación resultante es: TRABAJO José Luís

4

José Paúl

3

José Miguel José Antonio

TRABAJO 1

2

José Luís

50

50

2

José Paúl

70

40

20

1

José Miguel

90

30

50

José Antonio

70

20

50

Costo Asignación: 70+30+20+20= 140

3

4 20 30 70

Ejemplo: La compañía Cauchos ABC del Sur va a realizar cuatro proyectos, por falta de personal la Gerencia General planifico la subcontratación de cuatro firmas especializadas para que cada una realice un proyecto. Todas las firmas están en condiciones de realizar cualquiera de los proyectos. El gerente general no sabe cómo distribuir los proyectos entre las cuatro firmas. Usted es la mano derecha del Gerente General, ¿Qué le aconsejaría (Partiendo del Análisis Científico del Proceso de Toma de Decisiones)? MATRIZ DE AHORROS EN COSTOS DE INVERSIÓN (M COP)

PROYECTO. 1

2

3

4

FIRMA A

10

15

22

19

FIRMA B

20

18

15

14

FIRMA C

16

17

12

20

FIRMA D

11

18

16

15

Cómo podemos observar, la matriz que tenemos relaciona los aspectos a tener en cuenta para poder analizar la viabilidad de asignar a cada firma un proyecto por lo tanto procedemos a realizar análisis por medio del método húngaro en donde debemos realizar como primer medida a partir de la matriz de costos una reducción de filas.

FIRMA A FIRMA B FIRMA C FIRMA D

1

2

3

4

10

15

22

19

20

18

15

14

16

17

12

20

11

18

16

15

Tomamos el menor valor de cada fila y lo restamos al resto de valores en la fila para obtener.

1

2

3

4

FIRMA 0 A FIRMA 6 B

5

12

9

4

1

0

FIRMA 4 C FIRMA 0 D

5

0

8

7

5

4

Luego de obtener nuestra matriz reducida por filas procedemos a realizar la reducción por columnas para aquellas en las que aún no haya un cero.

1

2

3

4

FIRMA A FIRMA B FIRMA C

0

5

12

9

6

4

1

0

4

5

0

8

FIRMA D

0

7

5

4

Tomamos el menor valor de la segunda columna que es la única sin un cero y lo restamos al resto de valores en la columna para obtener.

1

2

3

4

FIRMA 0 A FIRMA 6 B FIRMA 4 C

1

12

9

0

1

0

1

0

8

FIRMA 0 D

3

5

4

El paso a seguir es cubrir la máxima cantidad de ceros existentes en la matriz de costos reducida con mínima cantidad de líneas, en este caso en particular como tenemos una matriz de cuatro por cuatro en total deben ser 4 las líneas que deben cubrir los ceros presentes en la misma. 1

2

3

4

FIRMA A

0

1

12

9

FIRMA B

6

0

1

0

FIRMA C

4

1

0

8

FIRMA D

0

3

5

4

Como podemos ver, solo hay tres líneas cubriendo los ceros de la matriz, por lo tanto el paso a seguir es tomar el menor valor que aún no está cubierto por las líneas y restarlo al resto de valores descubiertos, además de sumarlo a los cruces entre líneas así:

FIRMA A FIRMA B FIRMA C FIRMA D

1

2

3

4

0

1

12

9

6

0

1

0

4

1

0

8

0

3

5

4

Como hay dos valores iguales (1) seleccionamos arbitrariamente uno de ellos y realizamos el procedimiento indicado.

1

2

3

4

FIRMA A

0

0

12

8

FIRMA B FIRMA C FIRMA D

7

0

2

0

4

0

0

7

0

2

5

3

Nuevamente cubrimos con líneas todos los ceros de la matriz obteniendo está vez las cuatro líneas requeridas para nuestra matriz de 4 x 4. 1

2

3

4

FIRMA A 0

0

12

8

FIRMA B 7

0

2

0

FIRMA C

4

0

0

7

FIRMA D 0

2

5

3

A continuación se presenta la matriz de ceros.

1

2

3

4

FIRMA A 0

0

12

8

FIRMA B 7

0

2

0

FIRMA C 4

0

0

7

FIRMA D 0

2

5

3

A partir de nuestra matriz de ceros seleccionamos los ceros que representaran, los proyectos que se asignaran a cada firma, por lo tanto se debe tener en cuenta que a todas las firmas se les debe asignar un proyecto y que un proyecto no puede ser asignado dos veces de está manera: 1

2

3

4

FIRMA A

0

0

12

8

FIRMA B

7

0

2

0

FIRMA C

4

0

0

7

FIRMA D

0

2

5

3

A cada cero que seleccionamos le asignamos el valor correspondiente de la matriz de costos para presentar la solución.

1

2

3

4

FIRMA A FIRMA B

0

0

12

8

7

0

2

0

FIRMA C

4

0

0

7

FIRMA D

0

2

5

3

FIRMA A FIRMA B FIRMA C FIRMA D

1

2

3

4

10

15

22

19

20

18

15

14

16

17

12

20

11

18

16

15

SOLUCIÓN: FIRMA A B C

PROYECTO 2 4 3

COSTO 15 14 12

D

1 TOTAL

11 52 (M COP)

Por lo tanto, a la firma A se le asignará el proyecto 2 cuyo costo es 15 millones de pesos, a la firma B se le asignará el proyecto 4 que tiene un costo de 14 millones de pesos, a la firma 3 le será asignado el proyecto C con un valor de 12 millones de pesos y a la firma D se le asignará el proyecto número 1 que tiene un valor de 11 millones de pesos para un total de 52 millones de pesos para obtener el mayor ahorro en la ejecución de los proyectos.

Ejemplo: La gerencia general de RPG (ejemplo de transporte) con sede en Bruselas, este año, como parte de su auditoría anual, decidió que cada uno de sus cuatro vicepresidentes visite e inspeccione cada una de sus plantas de ensamblaje durante las primeras dos semanas de junio. Las plantas están ubicadas en Leipzig (Alemania), Nancy (Francia, Lieja (Bélgica) y Tilburgo (Holanda). Para decidir a que vicepresidente enviar a una planta determinada, se asignaron puntos (costos) a cada uno de ellos de acuerdo a su experiencia, habilidades lenguísticas, tiempo que durará la inspección y otros. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:

Ejemplo PLANTA Leipzig (1) Nancy(2) Lieja (3) Tilburgo(4) Finanzas (F) (1) 24 10 21 11 Mercadotecnia(M) (2) 14 22 10 15 Operaciones (O) (3) 15 17 20 19 Personal(P) (4) 11 19 14 13

Plantear el modelo de PL

Ejemplo: Modelo de PL MIN Z = 24 X11 + 10 X12 + ... + 14 X43 + 13 X44 sujeto a: a) Oferta

X11 + X12 + X13 + X14 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 = 1 b) Demanda X11 + X21 + X31 + X41 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 = 1 c) No negatividad Xij >= 0 i=1,...,4, j=1,....,4

Métodos de Solución Existen varias formas de obtener la solución: a) Listar todas las alternativas posibles con sus costos y seleccionar la de menor costo (algoritmo exhaustivo)

b) Método Húngaro: método iterativo a) Listar todas las alternativas: ¿Cuántas alternativas posibles existen? - El primer trabajo se puede asignar de n formas formas posibles - El segundo de n-1 formas

- El último sólo de 1 forma En total existen n! formas de hacer la asignación completa

Ejemplo: Paso 0: Matriz de Asignación

F M O P qj

1 24 14 15 11

2 10 22 17 19

3 21 10 20 14

Nota: En negrita los menores de cada fila

4 11 15 19 13

pi

Paso 1: Reducción de filas y columnas

F M O P qj

F M O P qj

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 1 5 4 2

pi 10 10 15 11

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 0 4 3 1

pi 10 10 15 11

0

0

0

1

Paso 2: Determinar si la matriz es reducida

F M O P qj

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 0 4 3 1 1

pi 10 10 15 11

No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4) Ir al paso 3

Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las no tachadas, sumar a las intersecciones)

F M O P qj

F M O P qj

1 14 4 0 0

2 0 12 2 8

3 11 0 5 3

4 0 4 3 1

pi

1 15 4 0 0

2 0 11 1 7

3 12 0 5 3

4 0 3 2 0

pi

Volver al paso 2 !!

Iteración paso 2:

F M O P qj

1 15 4 0 0

2 0 11 1 7

3 12 0 5 3

4 0 3 2 0

pi

Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es óptima

Ir al paso 4 !!

Paso 4: Asignación

F M O P qj

1 15 4 0 0

2 0 11 1 7

3 12 0 5 3

Costo = c12 + c23 + c31 +c44 = 10+10+15+13 = 48 Costo   pi   q j

=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48 Ver Asignación RPG

4 0 3 2 0

pi

Modelo de Asignación: Otras consideraciones El modelo de asignación es un modelo de minimización en el cual el número de vicepresidentes es igual al número de plantas, y todas las asignaciones posibles son aceptables. Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas las condiciones anteriores se cumplen. En particular se considerarán situaciones en las que: 1 Hay una desigualdad entre el número de “personas” por asignar y el número de “destinos” que requieren personas asignadas. 2 Hay un modelo de maximización 3 Existen asignaciones inaceptables

CASO 1: MATRIZ NO CUADRADA Cuatro trabajadores requieren el uso de una cualesquiera de las de las maquinas A, B, C y D. Los tiempos tomados por cada maquina para realizar cada trabajo son mostradas en la matriz siguiente:

A B C D E

I II III IV 10 5 9 18 13 19 6 12 3 2 4 4 18 9 12 17 11 6 14 19

Encuentre la asignación que minimice el tiempo total.

CASO 2: ASIGNACIONES IMPOSIBLES El hospital de Chiclayo ha comprado tres máquinas nuevas de diferentes tipos. Existen cuatro lugares dentro de la planta de quirófanos en donde se podría instalar cada una de estas máquinas. Algunos de ellos son más adecuados que otros para una máquina en particular por su cercanía a las mesas de cirugía que tendrían un flujo intenso de trabajo hacia estas máquinas y desde ellas. Por lo tanto el objetivo es asignar las nuevas máquinas a los lugares disponibles de manera que se minimice el costo total del manejo de materiales. En la tabla siguiente se proporciona el costo estimado por unidad de tiempo del manejo de los materiales en cuestión con cada una de las máquinas en los sitios respectivos. El lugar 2 no se considera adecuado para la máquina 2. No habrá flujo de trabajo entre las nuevas máquinas. El costo estimado por unidad de tiempo es el siguiente: El

Máquinas

Costo estimado por unidad de tiempo

1

Ubicación 2 3

4

1

13

16

12

11

2

15

....

13

20

3

5

7

10

6

CASO 3: MAXIMIZACION

Se desea instalar 4 fabricas: una de papel, otra de vidrio, fibra artificial y llantas. Se ha tomado la decisión de invertir en una fabrica para Arequipa, Huancayo, Iquitos y Chiclayo, para lo cual es necesario conocer el tipo de fabrica en cada una de estas ciudades. La matriz que se muestra a continuación muestra las utilidades netas mensuales en miles de $. Haga la asignación óptima CIUDAD FABRICA

AREQUIPA

HUANCAYO

IQUITOS

CHICLAYO

DE PAPEL

27 35 12 15

13 22 30 26

15 10 40 14

28 22 32 28

DE VIDRIO DE FIBRA ARTIFICIAL DE LLANTAS

MÉTODO HÚNGARO, CASO MAXIMIZACIÓN

Paso 1: Determine la tabla de costo de oportunidad

Llenamos la tabla y seleccionamos Resolver Paso por paso