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• Yohana Marcela SANCHEZ CANON

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ESTADISTICA INFERENCIAL INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA Es un rango de valores que probablemente incluye la media de la población. Para ello es importante recordar: • Nivel de confianza: es el grado de certeza o probabilidad, expresado en porcentaje con el que queremos realizar la estimación de un parámetro a través de un estadístico muestral. (z) • Nivel de significación: es la diferencia que existe entre la certeza y el nivel de confianza (α/2). Probabilidad de quedar fuera del intervalo.

TABLA DE TRABAJO

INTERVALOS DE CONFIANZA

PARA LA MEDIA

PARA LA PROPORCIÓN

PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS Y PROPORCIONES

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA µc = Ⴟ ±

𝜎 𝑧(𝛼Τ2) 𝑛

µ = media de la población Ⴟ = media muestral Z = nivel de confianza α = nivel de significación σ= desviación estándar o típica (s) n= muestra

Ejemplo 1 La media y la desviación estándar muestrales para todos los pesos de llenado de las 100 cajas son Ⴟ= 12,05 kg y S = 0,1kg. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de los pesos de la caja. Solución Ⴟ = 12,05 kg Z = ? Para un intervalo de confianza del 95% α = (95/100)=0,95 (0,95/2) = 0,475 σ= 0,1 kg n= 100 cajas

µ95% = 12,05 ± 1,96*0,1/ 100 µ95% = 12,05 ± 0.0196 12,03 ≤

𝜇 ≤ 12,07

[12,03;12,07]

Por lo tanto, podemos concluir que con una confianza del 95%, la media de llenado de las cajas está entre 12.03 y 12.07 kilogramos.

𝛼Τ2 = 5%

5% = 𝛼Τ2

12,03 kg

-1,96

12,05 kg

12,07 kg

1,96

Ejemplo 2 Una empresa de investigación lleva cabo una muestra para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La empresa descubrió que la distribución de cantidades que gastan por semana tiende a seguir una distribución normal con una desviación estándar de 1500 pesos. Una muestra de 64 fumadores reveló que el promedio que gastan semanalmente es de 7000 pesos. Con un nivel de confianza del 90% determine el intervalo de confianza de la media poblacional que gasta en el consumo de cigarrillos de manera semanal Ⴟ = $ 7000 Z = ? Para un intervalo de confianza del 90% α = (90/100)=0,90 (0,90/2) = 0,450 σ= $ 1500 n= 64 µ90% = 7000 ± 1,645*1500/ 64

µ90% = 7000 ± 308,4375

6691,5625 ≤ 𝜇 ≤ 7308,4375

[6692;7308]

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LAS PROPORCIONES µp =

P ± 𝑧(𝛼Τ2)

𝑃𝑄

𝑛

µ = media de la población Z = nivel de confianza α = nivel de significación 𝑃= probabilidad de que suceda un evento Q= probabilidad de que no suceda un evento n= muestra

Ejemplo 1 El depto. de control de calidad de una empresa produce bombillos; se sabe por experiencia que debido a factores como equipo, materia prima y personal operativo, un porcentaje de la producción es rechazada por algún defecto. Si se extrae una muestra de 35 unidades se obtiene que el porcentaje es del 9%. Fije los límites de confianza del 95% dentro del cual se encuentra la proporción de la población. Solución 𝑃 = 9% = 0,09 Z = ? Para un nivel de confianza del 95% Z= 1,96 α = (95/100)=0,95 (0,99/2) = 0,475 Q= 91% = 0,91 n= 35 𝜇95%= [0;0,18]

Por lo tanto, podemos concluir que con una confianza del 95% que el porcentaje de producción que saldría defectuosa estaría entre el 0% y el 18%.

𝛼Τ2 = 5%

5% = 𝛼Τ2

0

-1,96

0,09

0,18

1,96

Ejemplo 2 En la Universidad se toma una muestra de 50 estudiantes para aplicar una prueba de conocimientos en una determinada materia. En dicha prueba 40 estudiantes aprobaron el examen. ¿ Cuál es el estimado del intervalo para la proporción poblacional para un nivel de confianza del 99% ? 𝑃 = 40/50 = 0,8 Z = ? Para un nivel de confianza del 99% α = (99/100)=0,99 (0,99/2) = 0,495 𝑃= 0,8 Q= 0,2 Z= 2,575 n= 50 𝜇99%= [0,66;0,94] Hay un 99% de confianza de que la proporción de la población que aprobaría el examen estaría entre un 66% y 94%