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• Alma Guerrero

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CLASE 21 28-11-12 APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS PRINCIPOS DIRECTORES PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS. PASO 1: identificar todas las variables involucradas en el problema. Denota cada una de ellas mediante un símbolo. PASO 2: destaque la variable que ha de ser maximizada o minimizada y expréselo en términos de las otras variables del problema. PASO 3: determine todas las relaciones entre las variables. Exprese estas relaciones matemáticamente. PASO 4: exprese la cantidad por maximizar o minimizar en términos de una sola variable. Con objeto de hacer esto. Se utiliza las relaciones obtenidas en el paso 3 a fin de eliminar todas excepto una de las variables. Ejemplo 1 (conservación óptima) un ecólogo cultiva peces en un lago. Entre más peces introduzca habrá más competencia por alimento disponible y el pez ganara peso en forma más lenta. De hecho se sabe por experimentos previos cuando hay n pez por unidad de área de lago, la cantidad promedio de peso que cada pez gana durante una temporada está dada por w=600-30n gramos. ¿Qué valores de n conduce a la producción total máxima en el peso de los peces? SOLUCION: la ganancia de peso en cada pez es w=300-30n. Puesto que hay n peces por unidad e área, P. es igual a nw por consiguiente. Con el objeto de encontrar el valor de n para P máxima, derivamos u hacemos igual a cero con la derivada dP/dn Y dP/dn =0 cuando 600-60n=0 esto es si n =10. Así que la densidad de 10 peces por unidad de área de la producción total máxima. El valor máximo de P es Es decir 3000 gramos por unidad de área. Podemos verificar que esto es un máximo local usando la regla de la segunda derivada:

La segunda derivada es negativa (de hecho para todos los valores de n) por lo que el valor critico n=0 corresponde a un máximo de P. La grafica de P aparece en la figura de abajo: P es cero cuándo n es cero ya que en este momento no hay peces. A medida que n aumenta, P se incrementa hasta un valor máximo, liego decrece hasta cero otra vez cuando n=20. Si n sigue creciendo. P decrece porque para los valores grandes de n los peces ganaran muy poco peso y algunos de ellos morirán, de modo quela producción total será pequeña.

EJEMPLO 2. Determine dos números cuya suma sea 16 de tal forma que su producto sea tan grande como sea posible. SOUCION: Sean los dos números x y y de modo que x+y=16. Si P =xy denota su producto, entonces necesitamos determinar os valores de x y y que produzcan que P sea máximo. No podemos derivar P de inmediato, puesto que es una función de dos variables, x y y. sin embargo, estas dos variables no son independientes sino que están relacionadas por la condición x+y=16. Debemos usar esta condición a fin de eliminar una de las variables de P, dejando a P como función de una sola variable. Tenemos que y=16 –x, y así Debemos de encontrar el valor de que x haga a P máximo.

Así que cuando 16-2x =0, esto es si, x=8. La segunda derivada de corresponde a un máximo de P. Cuándo x =8, también y=8 de modo que el valor máximo de P es igual.

y x=8

EJERCICIOS 2. encuentre dos números con suma igual a 8 de modo que la suma de sus cuadrados sea un mínimo.

6. Cual es área del máximo rectángulo que puede inscribirse en un circulo de radio a. a El área máxima del círculo es 3.1416 10. un folleto impreso a de contener 48 pulgadas 2 de espacio impreso con márgenes de 3 pulgadas en la parte superior e inferior y márgenes laterales de una pulgada. ¿Qué dimensiones del folleto consumirán la mínima cantidad de papel. Las dimensiones

Las dimensiones cuando sube 40cm

14 . El costo de producción anual de un artículo es de en donde x es el tamaño promedio de lote por serie de producción encuentre el valor de x que hace mínimo a C

Hace mínimo a 0 22. Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función de costo de producto como peso por unidades producidas. Encuentre una expresión para utilidad total si se producen y venden x unidades. Determine el número de unidades producidas que maximizaran la utilidad. ¿Cuál es la cantidad de utilidad máxima? ¿Cuál sería la utilidad si se produjeron 6000 unidades? a) b) c) d)

36. Se corta un cuadro de tamaño x de cada esquina de una cartulina rectangular que mide 12 por 18 pulgadas y las cuatro aristas se doblan para formar una caja de profundidad x. Encuentre en valor de x que da la caja un volumen máximo.

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