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Dise˜nos de Muestreo Estad´ıstico Giovany Babativa, MSc. Especializaci´ on en Estad´ıstica Departamento de Ciencias B´ asicas Fundaci´ on Universitaria Los Libertadores

19 de octubre de 2013

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Definici´on Sea s ⊆ U una muestra probabil´ıstica y sea S el conjunto de todas las muestras posibles. La funci´ on de medida de probabilidad:

P :S → (0, 1) si 7→ p(si ) Dado el conjunto S, un dise˜ no de muestreo es una funci´on p(·), tal que p(si ) es la probabilidad de que la muestra i sea la seleccionada.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Ejemplos:

1. Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

p(si ) =

 

1

(Nn )  0

Para toda muestra de tama˜ no n de N sin repocisi´on en otro caso (1)

n corresponde al tama˜ no de la muestra mientras que N corresponde al tama˜ no del universo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on

1

Algoritmo Coordinado Negativo: Sea ξk ∼ U(0, 1) usando Y : y1 y2 . . . yN el arreglo ξ: ξ1 ξ2 . . . ξN se puede obtener una muestra de tama˜ no n donde todos los elementos y muestras tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. El algoritmo consiste en ordenar el marco muestral desde el aleatorio m´as peque˜ no hasta el m´as grande y seleccionar los primeros n elementos, as´ı: Y: yl yk . . . yj . . . yi ξ: ξ(1) ξ(2) . . . ξ(n) . . . ξ(N)

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on 2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominado m´etodo de selecci´on rechazo que consiste en ir descartando o seleccionando cada elemento en la muestra: Procedimiento 1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 < Nn entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1 n−n

sel,1 2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 < N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 en caso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

.. . n−n

sel,i−1 i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi < N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 en caso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene autom´aticamente cuando nsel,i = n. Giovany Babativa, MSc. Ejemplo en excel Fan-Muller.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on 2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominado m´etodo de selecci´on rechazo que consiste en ir descartando o seleccionando cada elemento en la muestra: Procedimiento 1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 < Nn entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1 n−n

sel,1 2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 < N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 en caso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

.. . n−n

sel,i−1 i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi < N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 en caso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene autom´aticamente cuando nsel,i = n. Giovany Babativa, MSc. Ejemplo en excel Fan-Muller.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on 2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominado m´etodo de selecci´on rechazo que consiste en ir descartando o seleccionando cada elemento en la muestra: Procedimiento 1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 < Nn entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1 n−n

sel,1 2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 < N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 en caso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

.. . n−n

sel,i−1 i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi < N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 en caso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene autom´aticamente cuando nsel,i = n. Giovany Babativa, MSc. Ejemplo en excel Fan-Muller.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on 2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominado m´etodo de selecci´on rechazo que consiste en ir descartando o seleccionando cada elemento en la muestra: Procedimiento 1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 < Nn entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1 n−n

sel,1 2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 < N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 en caso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

.. . n−n

sel,i−1 i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi < N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 en caso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene autom´aticamente cuando nsel,i = n. Giovany Babativa, MSc. Ejemplo en excel Fan-Muller.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on 2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominado m´etodo de selecci´on rechazo que consiste en ir descartando o seleccionando cada elemento en la muestra: Procedimiento 1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 < Nn entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1 n−n

sel,1 2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 < N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 en caso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

.. . n−n

sel,i−1 i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi < N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 en caso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene autom´aticamente cuando nsel,i = n. Giovany Babativa, MSc. Ejemplo en excel Fan-Muller.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Aleatorio Simple. MAS(N, n)

Mecanismo de selecci´on 2. Algoritmo Fan-Muller & Rezucha (1962): denominado m´etodo de selecci´on rechazo que consiste en ir descartando o seleccionando cada elemento en la muestra: Procedimiento 1. Generar ζ1 ∼ U(0, 1) y si ζ1 < Nn entonces y1 ∈ s y I1 = 1 en caso contrario I1 = 0. Haga nsel,1 = I1 n−n

sel,1 2. Generar ζ2 ∼ U(0, 1) y si ζ2 < N−1 entonces y2 ∈ s y I2 = 1 en caso contrario I2 = 0. Haga nsel,2 = nsel,1 + I2

.. . n−n

sel,i−1 i. Generar ζi ∼ U(0, 1) y si ζi < N−i+1 entonces yi ∈ s y Ii = 1 en caso contrario Ii = 0. Haga nsel,i = nsel,i−1 + Ii

El proceso se detiene autom´aticamente cuando nsel,i = n. Giovany Babativa, MSc. Ejemplo en excel Fan-Muller.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Ejemplos

2. Muestreo Bernoulli. Ber (N, π)

p(si ) = π.π . . . π} (1 − π)(1 − π) . . . (1 − π) | {z | {z } ns veces

N−ns veces

( π ns (1 − π)N−ns Para toda muestra de tama˜ no ns elementos sin r p(si ) = 0 en otro caso (2) π se fija a priori por experiencia y es igual para todos los elementos de U, n´otese que ns es un tama˜ no de muestra aleatorio que puede incluir a todos o a ning´ un elemento en la muestra.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Ejemplos

2. Muestreo Bernoulli. Ber (N, π)

p(si ) = π.π . . . π} (1 − π)(1 − π) . . . (1 − π) | {z | {z } ns veces

N−ns veces

( π ns (1 − π)N−ns Para toda muestra de tama˜ no ns elementos sin r p(si ) = 0 en otro caso (2) π se fija a priori por experiencia y es igual para todos los elementos de U, n´otese que ns es un tama˜ no de muestra aleatorio que puede incluir a todos o a ning´ un elemento en la muestra.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Ejemplos

2. Muestreo Bernoulli. Ber (N, π)

p(si ) = π.π . . . π} (1 − π)(1 − π) . . . (1 − π) | {z | {z } ns veces

N−ns veces

( π ns (1 − π)N−ns Para toda muestra de tama˜ no ns elementos sin r p(si ) = 0 en otro caso (2) π se fija a priori por experiencia y es igual para todos los elementos de U, n´otese que ns es un tama˜ no de muestra aleatorio que puede incluir a todos o a ning´ un elemento en la muestra.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Bernoulli

2. Mecanismo de selecci´on

1

Fijar el valor de π tal que 0 < π < 1.

2

Asignar ξk ∼ U(0, 1) para todos los elementos de U.

3

El elemento k pertenece a la muestra si ξk < π. As´ı la probabilidad de que el k-´esimo elemento pertenezca a la muestra es igual a π.

Ejemplo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Bernoulli

2. Mecanismo de selecci´on

1

Fijar el valor de π tal que 0 < π < 1.

2

Asignar ξk ∼ U(0, 1) para todos los elementos de U.

3

El elemento k pertenece a la muestra si ξk < π. As´ı la probabilidad de que el k-´esimo elemento pertenezca a la muestra es igual a π.

Ejemplo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Bernoulli

2. Mecanismo de selecci´on

1

Fijar el valor de π tal que 0 < π < 1.

2

Asignar ξk ∼ U(0, 1) para todos los elementos de U.

3

El elemento k pertenece a la muestra si ξk < π. As´ı la probabilidad de que el k-´esimo elemento pertenezca a la muestra es igual a π.

Ejemplo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Bernoulli

2. Mecanismo de selecci´on

1

Fijar el valor de π tal que 0 < π < 1.

2

Asignar ξk ∼ U(0, 1) para todos los elementos de U.

3

El elemento k pertenece a la muestra si ξk < π. As´ı la probabilidad de que el k-´esimo elemento pertenezca a la muestra es igual a π.

Ejemplo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Bernoulli

2. Mecanismo de selecci´on

1

Fijar el valor de π tal que 0 < π < 1.

2

Asignar ξk ∼ U(0, 1) para todos los elementos de U.

3

El elemento k pertenece a la muestra si ξk < π. As´ı la probabilidad de que el k-´esimo elemento pertenezca a la muestra es igual a π.

Ejemplo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Ejemplos

3. Muestreo Sistem´atico. SIS(N, n, r ) Cuando no se dispone de un marco de muestreo de manera expl´ıcita pero se sabe que la poblaci´ on est´a ordenada por un r´otulo en particular. Por ejemplo, los hogares dentro de una manzana est´an ordenados por su direcci´ on o n´ umero de apartamento.

p(si ) =

 

1

(ar)  0

Con una muestra por aj , ak , r = 2 elementos en otro caso

(3) N = an + r , el tama˜ no de muestra se define como la parte entera del cociente N/a.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Ejemplos

3. Muestreo Sistem´atico. SIS(N, n, r ) Cuando no se dispone de un marco de muestreo de manera expl´ıcita pero se sabe que la poblaci´ on est´a ordenada por un r´otulo en particular. Por ejemplo, los hogares dentro de una manzana est´an ordenados por su direcci´ on o n´ umero de apartamento.

p(si ) =

 

1

(ar)  0

Con una muestra por aj , ak , r = 2 elementos en otro caso

(3) N = an + r , el tama˜ no de muestra se define como la parte entera del cociente N/a.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Sistem´atico

Mecanismo de selecci´on

1

Seleccionar con probabilidad 1a un arranque aleatorio. Es decir, un valor q tal que 1 ≤ q ≤ a.

2

La muestra estar´a definida por el siguiente conjunto: sq = {k : k = q + (j − 1)a; j = 1, . . . , ns }

Ejemplo: Tabla aleatoria

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Sistem´atico

Mecanismo de selecci´on

1

Seleccionar con probabilidad 1a un arranque aleatorio. Es decir, un valor q tal que 1 ≤ q ≤ a.

2

La muestra estar´a definida por el siguiente conjunto: sq = {k : k = q + (j − 1)a; j = 1, . . . , ns }

Ejemplo: Tabla aleatoria

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Sistem´atico

Mecanismo de selecci´on

1

Seleccionar con probabilidad 1a un arranque aleatorio. Es decir, un valor q tal que 1 ≤ q ≤ a.

2

La muestra estar´a definida por el siguiente conjunto: sq = {k : k = q + (j − 1)a; j = 1, . . . , ns }

Ejemplo: Tabla aleatoria

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

Muestreo Sistem´atico

Mecanismo de selecci´on

1

Seleccionar con probabilidad 1a un arranque aleatorio. Es decir, un valor q tal que 1 ≤ q ≤ a.

2

La muestra estar´a definida por el siguiente conjunto: sq = {k : k = q + (j − 1)a; j = 1, . . . , ns }

Ejemplo: Tabla aleatoria

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de primer orden del elemento k X πk = p(si ) (4) k∈si

Sea: ( 1 si k ∈ s Ik = 0 en otro caso Entonces πk = P(Ik = 1) ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de primer orden del elemento k X πk = p(si ) (4) k∈si

Sea: ( 1 si k ∈ s Ik = 0 en otro caso Entonces πk = P(Ik = 1) ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de primer orden del elemento k X πk = p(si ) (4) k∈si

Sea: ( 1 si k ∈ s Ik = 0 en otro caso Entonces πk = P(Ik = 1) ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de primer orden del elemento k X πk = p(si ) (4) k∈si

Sea: ( 1 si k ∈ s Ik = 0 en otro caso Entonces πk = P(Ik = 1) ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de segundo orden de los elementos k y l X πkl = p(si ) k,l∈si

Entonces πk,l = P(Ik Il = 1)

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

(5)

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de segundo orden de los elementos k y l X πkl = p(si ) k,l∈si

Entonces πk,l = P(Ik Il = 1)

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

(5)

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Definici´on Se define probabilidad de inclusi´ on de segundo orden de los elementos k y l X πkl = p(si ) k,l∈si

Entonces πk,l = P(Ik Il = 1)

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

(5)

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Assumption 1

πkk = πk .

2

Por definici´on de muestra probabil´ıstica πk > 0.

3

En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . , N son conocidos de antemano.

ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Assumption 1

πkk = πk .

2

Por definici´on de muestra probabil´ıstica πk > 0.

3

En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . , N son conocidos de antemano.

ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Assumption 1

πkk = πk .

2

Por definici´on de muestra probabil´ıstica πk > 0.

3

En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . , N son conocidos de antemano.

ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Assumption 1

πkk = πk .

2

Por definici´on de muestra probabil´ıstica πk > 0.

3

En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . , N son conocidos de antemano.

ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Assumption 1

πkk = πk .

2

Por definici´on de muestra probabil´ıstica πk > 0.

3

En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . , N son conocidos de antemano.

ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Probabilidades de Inclusi´ on

Assumption 1

πkk = πk .

2

Por definici´on de muestra probabil´ıstica πk > 0.

3

En muestreo de elementos πk para todo k = 1, . . . , N son conocidos de antemano.

ejemplo MAS

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b b = P p(si ) θb − E (θ) Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica y Estimador Definici´on Cuando una estad´ıstica se usa para estimar un par´ametro se denomina estimador y las realizaciones de ´este en una muestra aleatoria se denominan estimaciones. Sea θb una estad´ıstica o estimador entonces bajo el dise˜ no muestral p(·) se define: P b 1 Valor esperado: EP (θ) = p(si )θb S

2 3 4 5 6 7

b = EP (θ) b −θ Sesgo: B(θ) h i2 b = P p(si ) θb − E (θ) b Varianza: VP (θ) S b = V (θ) b + B 2 (θ) b Error Cuadr´atico Medio: ECM(θ) q b Error est´andar: VP (θ) √ b VP (θ) Coeficiente de variaci´ on (error relativo): b EP (θ)

Coeficiente de variaci´ on estimado: cve( %) = 100 ∗ Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

√ bP (θ) b V b θ

2. Estad´ıstica Ik

Ejemplo E (Ik ) =

X

p(si )Ik (si )

S

=

X

p(si )

k∈si

= πk ejemplo MAS ejemplo BER

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica Ik

Ejemplo E (Ik ) =

X

p(si )Ik (si )

S

=

X

p(si )

k∈si

= πk ejemplo MAS ejemplo BER

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica Ik

Ejemplo E (Ik ) =

X

p(si )Ik (si )

S

=

X

p(si )

k∈si

= πk ejemplo MAS ejemplo BER

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica Ik

Ejemplo V (Ik ) =

X

=

X

p(si ) [Ik (si ) − E (Ik (si ))]2

S

p(si )Ik2 (si ) − 2

S

X S

= πk −

2πk2

+

p(si )Ik (si )πk +

X S

πk2

= πk (1 − πk ) ejemplo MAS ejemplo BER

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

p(si )πk2

2. Estad´ıstica Ik

Ejemplo V (Ik ) =

X

=

X

p(si ) [Ik (si ) − E (Ik (si ))]2

S

p(si )Ik2 (si ) − 2

S

X S

= πk −

2πk2

+

p(si )Ik (si )πk +

X S

πk2

= πk (1 − πk ) ejemplo MAS ejemplo BER

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

p(si )πk2

2. Estad´ıstica Ik

Ejemplo V (Ik ) =

X

=

X

p(si ) [Ik (si ) − E (Ik (si ))]2

S

p(si )Ik2 (si ) − 2

S

X S

= πk −

2πk2

+

p(si )Ik (si )πk +

X S

πk2

= πk (1 − πk ) ejemplo MAS ejemplo BER

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

p(si )πk2

2. Estad´ıstica Ik Ejemplo Cov (Ik , Il ) =

X

p(si ) (Ik (si ) − πk ) (Il (si ) − πl )

S

=

X

p(si )Ik (si )Il (si ) − πl

X

S

p(si )Ik (si )

S

− πk

X

p(si )Il (si ) + πk πl

X

S

=

X

p(si ) − πl

k,l∈si

X

p(si ) − πk

k∈si

X

p(si ) + πk πl

l∈si

= πkl − πk πl − πk πl + πk πl = πkl − πk πl = ∆kl ejemplo MAS, ejemplo BER Giovany Babativa, MSc.

p(si )

S

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica Ik Ejemplo Cov (Ik , Il ) =

X

p(si ) (Ik (si ) − πk ) (Il (si ) − πl )

S

=

X

p(si )Ik (si )Il (si ) − πl

X

S

p(si )Ik (si )

S

− πk

X

p(si )Il (si ) + πk πl

X

S

=

X

p(si ) − πl

k,l∈si

X

p(si ) − πk

k∈si

X

p(si ) + πk πl

l∈si

= πkl − πk πl − πk πl + πk πl = πkl − πk πl = ∆kl ejemplo MAS, ejemplo BER Giovany Babativa, MSc.

p(si )

S

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica Ik Ejemplo Cov (Ik , Il ) =

X

p(si ) (Ik (si ) − πk ) (Il (si ) − πl )

S

=

X

p(si )Ik (si )Il (si ) − πl

X

S

p(si )Ik (si )

S

− πk

X

p(si )Il (si ) + πk πl

X

S

=

X

p(si ) − πl

k,l∈si

X

p(si ) − πk

k∈si

X

p(si ) + πk πl

l∈si

= πkl − πk πl − πk πl + πk πl = πkl − πk πl = ∆kl ejemplo MAS, ejemplo BER Giovany Babativa, MSc.

p(si )

S

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica ns Ejemplo E (ns ) =

X

p(si )ns

S

=

X

p(si )

S

= =

Ik

U

XX U

X

p(si )Ik

S

XX

p(si )

U k∈si

=

X

πk

U

ejemplo MAS ejemplo BER Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica ns Ejemplo E (ns ) =

X

p(si )ns

S

=

X

p(si )

S

= =

Ik

U

XX U

X

p(si )Ik

S

XX

p(si )

U k∈si

=

X

πk

U

ejemplo MAS ejemplo BER Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

2. Estad´ıstica ns Ejemplo E (ns ) =

X

p(si )ns

S

=

X

p(si )

S

= =

Ik

U

XX U

X

p(si )Ik

S

XX

p(si )

U k∈si

=

X

πk

U

ejemplo MAS ejemplo BER Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Par´ ametros de inter´es

Para un universo U de tama˜ no N, sea y la caracter´ıstica de inter´es, entonces podr´ıamos estar interesados en: P 1 Total: ty = U yk (personas con cierta enfermedad) P

yk

2

Media: y U =

3

Proporci´ on: pU =

4

U

N

ty P N U yk N

=

(dinero) =

ty N

para yk = {1, 0} (desplazados)

ty tz .

Raz´ on:R = Unidades del producto por establecimiento con la intenci´on de venderlo.

N´otese que todos los par´ametros pueden ser expresados como funci´on de totales, por tanto hay un particular inter´es encontrar estimadores para este par´ametro.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Par´ ametros de inter´es

Para un universo U de tama˜ no N, sea y la caracter´ıstica de inter´es, entonces podr´ıamos estar interesados en: P 1 Total: ty = U yk (personas con cierta enfermedad) P

yk

2

Media: y U =

3

Proporci´ on: pU =

4

U

N

ty P N U yk N

=

(dinero) =

ty N

para yk = {1, 0} (desplazados)

ty tz .

Raz´ on:R = Unidades del producto por establecimiento con la intenci´on de venderlo.

N´otese que todos los par´ametros pueden ser expresados como funci´on de totales, por tanto hay un particular inter´es encontrar estimadores para este par´ametro.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Par´ ametros de inter´es

Para un universo U de tama˜ no N, sea y la caracter´ıstica de inter´es, entonces podr´ıamos estar interesados en: P 1 Total: ty = U yk (personas con cierta enfermedad) P

yk

2

Media: y U =

3

Proporci´ on: pU =

4

U

N

ty P N U yk N

=

(dinero) =

ty N

para yk = {1, 0} (desplazados)

ty tz .

Raz´ on:R = Unidades del producto por establecimiento con la intenci´on de venderlo.

N´otese que todos los par´ametros pueden ser expresados como funci´on de totales, por tanto hay un particular inter´es encontrar estimadores para este par´ametro.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Par´ ametros de inter´es

Para un universo U de tama˜ no N, sea y la caracter´ıstica de inter´es, entonces podr´ıamos estar interesados en: P 1 Total: ty = U yk (personas con cierta enfermedad) P

yk

2

Media: y U =

3

Proporci´ on: pU =

4

U

N

ty P N U yk N

=

(dinero) =

ty N

para yk = {1, 0} (desplazados)

ty tz .

Raz´ on:R = Unidades del producto por establecimiento con la intenci´on de venderlo.

N´otese que todos los par´ametros pueden ser expresados como funci´on de totales, por tanto hay un particular inter´es encontrar estimadores para este par´ametro.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Par´ ametros de inter´es

Para un universo U de tama˜ no N, sea y la caracter´ıstica de inter´es, entonces podr´ıamos estar interesados en: P 1 Total: ty = U yk (personas con cierta enfermedad) P

yk

2

Media: y U =

3

Proporci´ on: pU =

4

U

N

ty P N U yk N

=

(dinero) =

ty N

para yk = {1, 0} (desplazados)

ty tz .

Raz´ on:R = Unidades del producto por establecimiento con la intenci´on de venderlo.

N´otese que todos los par´ametros pueden ser expresados como funci´on de totales, por tanto hay un particular inter´es encontrar estimadores para este par´ametro.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Par´ ametros de inter´es

Para un universo U de tama˜ no N, sea y la caracter´ıstica de inter´es, entonces podr´ıamos estar interesados en: P 1 Total: ty = U yk (personas con cierta enfermedad) P

yk

2

Media: y U =

3

Proporci´ on: pU =

4

U

N

ty P N U yk N

=

(dinero) =

ty N

para yk = {1, 0} (desplazados)

ty tz .

Raz´ on:R = Unidades del producto por establecimiento con la intenci´on de venderlo.

N´otese que todos los par´ametros pueden ser expresados como funci´on de totales, por tanto hay un particular inter´es encontrar estimadores para este par´ametro.

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Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Para un universo U se desea estimar el total de una caracter´ıstica de inter´es y denotado como ty . Por ejemplo, Definici´on P Para θ = ty = U yk se define: θb = bty ,π =

X yk πk s i

1 πk

se denomina Factor de expansi´ on

Cada elemento se representa a s´ı mismo y a una fracci´on de la poblaci´on.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Para un universo U se desea estimar el total de una caracter´ıstica de inter´es y denotado como ty . Por ejemplo, Definici´on P Para θ = ty = U yk se define: θb = bty ,π =

X yk πk s i

1 πk

se denomina Factor de expansi´ on

Cada elemento se representa a s´ı mismo y a una fracci´on de la poblaci´on.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Para un universo U se desea estimar el total de una caracter´ıstica de inter´es y denotado como ty . Por ejemplo, Definici´on P Para θ = ty = U yk se define: θb = bty ,π =

X yk πk s i

1 πk

se denomina Factor de expansi´ on

Cada elemento se representa a s´ı mismo y a una fracci´on de la poblaci´on.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Propiedades

Resultado E (bty ,π ) = ty demost. PP yk yl V (bty ,π ) = U ∆kl πk πl b (bty ,π ) = P P ∆kl yk yl V si πkl πk πl b (bty ,π )) = V (bty ,π ) ∆kl = πkl − πk πl , adem´as E (V

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Propiedades

Resultado E (bty ,π ) = ty demost. PP yk yl V (bty ,π ) = U ∆kl πk πl b (bty ,π ) = P P ∆kl yk yl V si πkl πk πl b (bty ,π )) = V (bty ,π ) ∆kl = πkl − πk πl , adem´as E (V

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Propiedades

Resultado E (bty ,π ) = ty demost. PP yk yl V (bty ,π ) = U ∆kl πk πl b (bty ,π ) = P P ∆kl yk yl V si πkl πk πl b (bty ,π )) = V (bty ,π ) ∆kl = πkl − πk πl , adem´as E (V

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Propiedades

Resultado E (bty ,π ) = ty demost. PP yk yl V (bty ,π ) = U ∆kl πk πl b (bty ,π ) = P P ∆kl yk yl V si πkl πk πl b (bty ,π )) = V (bty ,π ) ∆kl = πkl − πk πl , adem´as E (V

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Propiedades

Resultado E (bty ,π ) = ty demost. PP yk yl V (bty ,π ) = U ∆kl πk πl b (bty ,π ) = P P ∆kl yk yl V si πkl πk πl b (bty ,π )) = V (bty ,π ) ∆kl = πkl − πk πl , adem´as E (V

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Propiedades

Resultado E (bty ,π ) = ty demost. PP yk yl V (bty ,π ) = U ∆kl πk πl b (bty ,π ) = P P ∆kl yk yl V si πkl πk πl b (bty ,π )) = V (bty ,π ) ∆kl = πkl − πk πl , adem´as E (V

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VMAS (bty ,π ) = bMAS (bty ,π ) = V

= N2 n N2 n

N n

P

si

1− 1−

yk
n

2 N SyU
2 n N Sysi

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VMAS (bty ,π ) = bMAS (bty ,π ) = V

= N2 n N2 n

N n

P

si

1− 1−

yk
n

2 N SyU
2 n N Sysi

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VMAS (bty ,π ) = bMAS (bty ,π ) = V

= N2 n N2 n

N n

P

si

1− 1−

yk
n

2 N SyU
2 n N Sysi

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VMAS (bty ,π ) = bMAS (bty ,π ) = V

= N2 n N2 n

N n

P

si

1− 1−

yk
n

2 N SyU
2 n N Sysi

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Bernoulli

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VBer (bty ,π ) = bBer (bty ,π ) = V

yk si π

=

P

1 π

−1

1 π

1 π

yk2
P 2 −1 si yk
P

U

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoulli calcule bty ,π y VBer (bty ,π ), este u ´ltimo v´ıa definici´ on y por el estimador dado por la expresi´ on. Para ambas expresiones compruebe el insesgamiento del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Bernoulli

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VBer (bty ,π ) = bBer (bty ,π ) = V

yk si π

=

P

1 π

−1

1 π

1 π

yk2
P 2 −1 si yk
P

U

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoulli calcule bty ,π y VBer (bty ,π ), este u ´ltimo v´ıa definici´ on y por el estimador dado por la expresi´ on. Para ambas expresiones compruebe el insesgamiento del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Bernoulli

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VBer (bty ,π ) = bBer (bty ,π ) = V

yk si π

=

P

1 π

−1

1 π

1 π

yk2
P 2 −1 si yk
P

U

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoulli calcule bty ,π y VBer (bty ,π ), este u ´ltimo v´ıa definici´ on y por el estimador dado por la expresi´ on. Para ambas expresiones compruebe el insesgamiento del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Bernoulli

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VBer (bty ,π ) = bBer (bty ,π ) = V

yk si π

=

P

1 π

−1

1 π

1 π

yk2
P 2 −1 si yk
P

U

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoulli calcule bty ,π y VBer (bty ,π ), este u ´ltimo v´ıa definici´ on y por el estimador dado por la expresi´ on. Para ambas expresiones compruebe el insesgamiento del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Bernoulli

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VBer (bty ,π ) = bBer (bty ,π ) = V

yk si π

=

P

1 π

−1

1 π

1 π

yk2
P 2 −1 si yk
P

U

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoulli calcule bty ,π y VBer (bty ,π ), este u ´ltimo v´ıa definici´ on y por el estimador dado por la expresi´ on. Para ambas expresiones compruebe el insesgamiento del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimador de Horvitz-Thompson (1952)

Muestreo Bernoulli

Resultado P bty ,π = s

i

yk πk

VBer (bty ,π ) = bBer (bty ,π ) = V

yk si π

=

P

1 π

−1

1 π

1 π

yk2
P 2 −1 si yk
P

U

Ejercicio: Para los ejercicios hechos en clase de MAS y Bernoulli calcule bty ,π y VBer (bty ,π ), este u ´ltimo v´ıa definici´ on y por el estimador dado por la expresi´ on. Para ambas expresiones compruebe el insesgamiento del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimaci´ on de la media poblacional

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado ybU =

b ty ,π N

VMAS (ybU ) = bMAS (yb ) = V U

1 n 1 n

1− 1−

n 2 N SyU
2 n N Sysi





Al factor 1 − Nn se le conoce como factor de correcci´on para poblaciones finitas.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimaci´ on de la media poblacional

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado ybU =

b ty ,π N

VMAS (ybU ) = bMAS (yb ) = V U

1 n 1 n

1− 1−

n 2 N SyU
2 n N Sysi





Al factor 1 − Nn se le conoce como factor de correcci´on para poblaciones finitas.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimaci´ on de la media poblacional

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado ybU =

b ty ,π N

VMAS (ybU ) = bMAS (yb ) = V U

1 n 1 n

1− 1−

n 2 N SyU
2 n N Sysi





Al factor 1 − Nn se le conoce como factor de correcci´on para poblaciones finitas.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimaci´ on de la media poblacional

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado ybU =

b ty ,π N

VMAS (ybU ) = bMAS (yb ) = V U

1 n 1 n

1− 1−

n 2 N SyU
2 n N Sysi





Al factor 1 − Nn se le conoce como factor de correcci´on para poblaciones finitas.

Giovany Babativa, MSc.

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3. Estimaci´ on de la media poblacional

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado ybU =

b ty ,π N

VMAS (ybU ) = bMAS (yb ) = V U

1 n 1 n

1− 1−

n 2 N SyU
2 n N Sysi





Al factor 1 − Nn se le conoce como factor de correcci´on para poblaciones finitas.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Estimaci´ on de la media poblacional

Muestreo Aleatorio Simple

Resultado ybU =

b ty ,π N

VMAS (ybU ) = bMAS (yb ) = V U

1 n 1 n

1− 1−

n 2 N SyU
2 n N Sysi





Al factor 1 − Nn se le conoce como factor de correcci´on para poblaciones finitas.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Observaci´ on

Remark Sarndal, et.al. (1992, p´ag. 47) menciona que la expresi´on b (bty ,π ) = V

X X ∆kl yk yl πkl πk πl s i

puede producir estimaciones negativas de la varianza para algunas configuraciones de muestra, para evitarlo se debe garantizar que ∆kl = πkl − πk πl < 0 para k 6= l lo cual se tiene para los dise˜ nos de muestra fijo.

Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Ejemplo: Dise˜ no NO convencional aplicando

π-Estimador Ejemplo Considere una poblaci´ on de tama˜ no N = 3, U = {1, 2, 3}. Sea s1 = {1, 2}, s2 = {1, 3}, s3 = {2, 3}, s4 = {1, 2, 3} con P(s1 ) = 0,4, P(s2 ) = 0,3, P(s3 ) = 0,2 y P(s4 ) = 0,1. a. Calcule todos los πk y πkl . b. Encuentre el valor de E (ns ) de dos formas: por c´alculo directo usando la definici´on y por uso de la f´ ormula que expresa a E (ns ) como funci´on de πk . c. Usando la definici´on, calcular el valor esperado y la varianza del π-estimador. ˆ (ˆty π ) para cada una de las d. Calcule la varianza estimada V cuatro muestras posibles. ¿Es este un estimador insesgado de la varianza real?. Giovany Babativa, MSc.

Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

3. Ejemplo: Dise˜ no NO convencional aplicando

π-Estimador Ejemplo Considere una poblaci´ on de tama˜ no N = 3, U = {1, 2, 3}. Sea s1 = {1, 2}, s2 = {1, 3}, s3 = {2, 3}, s4 = {1, 2, 3} con P(s1 ) = 0,4, P(s2 ) = 0,3, P(s3 ) = 0,2 y P(s4 ) = 0,1. a. Calcule todos los πk y πkl . b. Encuentre el valor de E (ns ) de dos formas: por c´alculo directo usando la definici´on y por uso de la f´ ormula que expresa a E (ns ) como funci´on de πk . c. Usando la definici´on, calcular el valor esperado y la varianza del π-estimador. ˆ (ˆty π ) para cada una de las d. Calcule la varianza estimada V cuatro muestras posibles. ¿Es este un estimador insesgado de la varianza real?. Giovany Babativa, MSc.

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3. Ejemplo: Dise˜ no NO convencional aplicando

π-Estimador Ejemplo Considere una poblaci´ on de tama˜ no N = 3, U = {1, 2, 3}. Sea s1 = {1, 2}, s2 = {1, 3}, s3 = {2, 3}, s4 = {1, 2, 3} con P(s1 ) = 0,4, P(s2 ) = 0,3, P(s3 ) = 0,2 y P(s4 ) = 0,1. a. Calcule todos los πk y πkl . b. Encuentre el valor de E (ns ) de dos formas: por c´alculo directo usando la definici´on y por uso de la f´ ormula que expresa a E (ns ) como funci´on de πk . c. Usando la definici´on, calcular el valor esperado y la varianza del π-estimador. ˆ (ˆty π ) para cada una de las d. Calcule la varianza estimada V cuatro muestras posibles. ¿Es este un estimador insesgado de la varianza real?. Giovany Babativa, MSc.

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3. Ejemplo: Dise˜ no NO convencional aplicando

π-Estimador Ejemplo Considere una poblaci´ on de tama˜ no N = 3, U = {1, 2, 3}. Sea s1 = {1, 2}, s2 = {1, 3}, s3 = {2, 3}, s4 = {1, 2, 3} con P(s1 ) = 0,4, P(s2 ) = 0,3, P(s3 ) = 0,2 y P(s4 ) = 0,1. a. Calcule todos los πk y πkl . b. Encuentre el valor de E (ns ) de dos formas: por c´alculo directo usando la definici´on y por uso de la f´ ormula que expresa a E (ns ) como funci´on de πk . c. Usando la definici´on, calcular el valor esperado y la varianza del π-estimador. ˆ (ˆty π ) para cada una de las d. Calcule la varianza estimada V cuatro muestras posibles. ¿Es este un estimador insesgado de la varianza real?. Giovany Babativa, MSc.

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3. Ejemplo: Dise˜ no NO convencional aplicando

π-Estimador Ejemplo Considere una poblaci´ on de tama˜ no N = 3, U = {1, 2, 3}. Sea s1 = {1, 2}, s2 = {1, 3}, s3 = {2, 3}, s4 = {1, 2, 3} con P(s1 ) = 0,4, P(s2 ) = 0,3, P(s3 ) = 0,2 y P(s4 ) = 0,1. a. Calcule todos los πk y πkl . b. Encuentre el valor de E (ns ) de dos formas: por c´alculo directo usando la definici´on y por uso de la f´ ormula que expresa a E (ns ) como funci´on de πk . c. Usando la definici´on, calcular el valor esperado y la varianza del π-estimador. ˆ (ˆty π ) para cada una de las d. Calcule la varianza estimada V cuatro muestras posibles. ¿Es este un estimador insesgado de la varianza real?. Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m) Definici´on Se realizan m eventos aleatorios con probabilidad contante 1/N, es decir se selecciona uno de los N elementos, se realiza su medici´on yk1 , se repone en el universo y se selecciona de nuevo uno de los N elementos con medici´on yk2 y as´ı sucesivamente hasta completar m elementos. Sea: Z : N´ umero de veces que el elemento k aparece en la muestra Z = 0, 1, . . . , m Z ∼ Bin(m, 1/N)
P(Z = r ) = mr (1/N)r (1 − 1/N)m−r P(Z = 0) = (1 − 1/N)m πk = P(Z ≥ 1) = 1 − P(Z = 0) = 1 − (1 − Giovany Babativa, MSc.

1 m N)

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4. Muestreo con Reemplazamiento. Muestreo Proporcional al Tama˜no PPT (pk , m)

Una generalizaci´on conduce al dise˜ no de Probabilidad Proporcional al Tama˜ no (PPT) cuando cada elemeto se selecciona con P probabilidad pk , tal que U pk = 1. Para este dise˜ no se debe contar con informaci´on auxiliar disponible para todos los elementos de U, este dise˜ no tienes varios beneficios entre los que se encuentra que reduce costos y que su uso es relativamente simple.

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Algoritmo de Selecci´on: Acumulativo Total Ejemplo Suponga que U = 9, para un estudio de mercados se desea seleccionar una muestra de 4 tiendas, pero basado en la informaci´on auxiliar se desea darle m´as peso a las tiendas que tienen una mayor rotaci´ on del producto. La informaci´on auxiliar para las 9 tiendas es: Tienda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Giovany Babativa, MSc.

Ventas Unid 32 96 65 140 22 78 65 47 106 Dise˜ nos de Muestreo Estad´ıstico

4. Muestreo PPT (pk , m) Estimaci´on - π-Estimador

La muestra ordenada es de tama˜ no m mientras que la muestra no ordenada (sin repetici´on) es de tama˜ no n. Resultado bty ,π =

X yk X yk = πk 1 − (1 − pk )m s s i

i

El estimador cuenta con n sumandos, es decir, que los elementos repetidos solo cuentan una vez dentro del estimador.

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Estimador de Hansen-Hurwitz (1943)

Resultado m

bty ,MCR =

1 X yki m pki i=1

donde pki es la probabilidad de selecci´ on del elemento k. Cada elemento se representa as´ı mismo y al resto del universo → promedio.

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Estimador de Hansen-Hurwitz (1943) Resultado m




E bty ,MCR = E

1 X yki m pki

!

i=1

! X yk 1 = E Zk m pk U 1 X yk = E (Zk ) m pk U 1 X yk mpk = m pk U X = yk = ty U Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Estimador de Hansen-Hurwitz (1943) Resultado m




E bty ,MCR = E

1 X yki m pki

!

i=1

! X yk 1 = E Zk m pk U 1 X yk = E (Zk ) m pk U 1 X yk mpk = m pk U X = yk = ty U Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Estimador de Hansen-Hurwitz (1943) Resultado m




E bty ,MCR = E

1 X yki m pki

!

i=1

! X yk 1 = E Zk m pk U 1 X yk = E (Zk ) m pk U 1 X yk mpk = m pk U X = yk = ty U Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Estimador de Hansen-Hurwitz (1943)

Resultado
V bty ,MCR =

1 m


b bty ,MCR = V

1 m(m−1)

P

U pk



yk pk

− ty

Pm  yki i=1

p ki

2

− bty ,MCR

2



 b bty ,MCR = V bty ,MCR E V

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Ejemplo Ejemplo Para el estudio de mercados suponga que so = {4; 7; 7; 9}; pk = {0,215; 0,1; 0,1; 0,163} y que los valores de las ventas semanales recolectados los establecimientos seleccionados fueron yk = {12; 7; 7; 11} 1

Usando el π−estimador, estime el total de ventas semanales (demanda) del producto en las nueve tiendas.

2

Usando el MCR−estimador, estime el total de ventas semanales (demanda) del producto en las nueve tiendas y calcule el cve..

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Ejemplo Ejemplo Para el estudio de mercados suponga que so = {4; 7; 7; 9}; pk = {0,215; 0,1; 0,1; 0,163} y que los valores de las ventas semanales recolectados los establecimientos seleccionados fueron yk = {12; 7; 7; 11} 1

Usando el π−estimador, estime el total de ventas semanales (demanda) del producto en las nueve tiendas.

2

Usando el MCR−estimador, estime el total de ventas semanales (demanda) del producto en las nueve tiendas y calcule el cve..

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Ejemplo Ejemplo Para el estudio de mercados suponga que so = {4; 7; 7; 9}; pk = {0,215; 0,1; 0,1; 0,163} y que los valores de las ventas semanales recolectados los establecimientos seleccionados fueron yk = {12; 7; 7; 11} 1

Usando el π−estimador, estime el total de ventas semanales (demanda) del producto en las nueve tiendas.

2

Usando el MCR−estimador, estime el total de ventas semanales (demanda) del producto en las nueve tiendas y calcule el cve..

Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Notas Remark
Es f´acil comprobar que V bty ,MCR si yk = cpk , c constante. Es decir, si yk es exactamente proporcional a pk . En la pr´actica eso es imposible !!!... primero es la probabilidad y luego la medici´on.. En la pr´actica, sea xk una variable auxiliar altamente . correlacionada con yk as´ı yk /xk = c entonces se puede determinar xk pk = P U

xk

=

xk , k = 1, . . . , N tx

Entre m´as
est´e correlacionado xk con yk entonces V bty ,MCR → 0 Si los pk no var´ıan casi, me voy con MAS pero si var´ıan mucho me voy con PPT . Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Notas Remark
Es f´acil comprobar que V bty ,MCR si yk = cpk , c constante. Es decir, si yk es exactamente proporcional a pk . En la pr´actica eso es imposible !!!... primero es la probabilidad y luego la medici´on.. En la pr´actica, sea xk una variable auxiliar altamente . correlacionada con yk as´ı yk /xk = c entonces se puede determinar xk pk = P U

xk

=

xk , k = 1, . . . , N tx

Entre m´as
est´e correlacionado xk con yk entonces V bty ,MCR → 0 Si los pk no var´ıan casi, me voy con MAS pero si var´ıan mucho me voy con PPT . Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Notas Remark
Es f´acil comprobar que V bty ,MCR si yk = cpk , c constante. Es decir, si yk es exactamente proporcional a pk . En la pr´actica eso es imposible !!!... primero es la probabilidad y luego la medici´on.. En la pr´actica, sea xk una variable auxiliar altamente . correlacionada con yk as´ı yk /xk = c entonces se puede determinar xk pk = P U

xk

=

xk , k = 1, . . . , N tx

Entre m´as
est´e correlacionado xk con yk entonces V bty ,MCR → 0 Si los pk no var´ıan casi, me voy con MAS pero si var´ıan mucho me voy con PPT . Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Notas Remark
Es f´acil comprobar que V bty ,MCR si yk = cpk , c constante. Es decir, si yk es exactamente proporcional a pk . En la pr´actica eso es imposible !!!... primero es la probabilidad y luego la medici´on.. En la pr´actica, sea xk una variable auxiliar altamente . correlacionada con yk as´ı yk /xk = c entonces se puede determinar xk pk = P U

xk

=

xk , k = 1, . . . , N tx

Entre m´as
est´e correlacionado xk con yk entonces V bty ,MCR → 0 Si los pk no var´ıan casi, me voy con MAS pero si var´ıan mucho me voy con PPT . Giovany Babativa, MSc.

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4. Muestreo PPT (pk , m) Tarea (Ejercicio 8 del taller) Tarea Suponga que se tiene U = {1, 2, 3, 4, 5} y que se conocen todos los valores de la variable de inter´es, que est´an dados por: Y 79 76 54 39 12

pk 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Para un muestreo con reemplazamiento con m = 3, determine si es mejor la estrategia usando π-estimador o MCR-estimador.

Giovany Babativa, MSc.

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