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• eliza1010

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Prueba de hipótesis para la varianza Es frecuente que se desee comprobar si la variación o dispersión de una variable ha tenido alguna modificación, lo cual se hace con la prueba de hipótesis para la varianza. Se pueden presentar tres tipos de hipótesis Prueba de hipótesis a dos colas

Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 :

=x

H0 :

=x ó

H0 :

x

H0 :

=x ó

H1 :

x

H1 :

x

H1 :

>x

H1 :

>x

H1 :

Z no se rechaza H0. Ejemplo Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuidos normalmente con una varianza poblacional de 0,2 pulgadas2, pero se cree que últimamente ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas: 5,5 5,4 5,4 5,6 5,8 5,4 5,5 5,4 5,6 5,7 Con ésta información pruebe si lo que se cree es cierto.

Respuesta Establecer la hipótesis nula u la alternativa H0: H1:

= 0,2 > 0,2

Para realizar esta prueba de hipótesis se usa la fórmula:

Datos conocidos

Cuál es el valor de T

T= (9(0.0181))/0.2 T=0,8145

Plantear gráficamente ¿Cuál es el nivel de confianza? Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento En la tabla de la distribución chi-cuadrado con 9 grados de libertad, se obtiene un valor para Z de 16,919.

Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior

El valor del estadístico de trabajo se ubica en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente con una confiabilidad del 95 por ciento se puede afirmar que la varianza poblacional no ha aumentado. Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas Si de dos poblaciones con distribución normal se seleccionan dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2, se puede comparar la homogeneidad o variabilidad de dichas poblaciones a través de una prueba de hipótesis para el cociente de varianzas. Cuando se planteen las hipótesis debe quedar en el numerador la población cuya muestra tenga mayor varianza. Es decir que la población 1 será la que tenga mayor varianza muestral. Se pueden presentar tres tipos de hipótesis Prueba de hipótesis a dos colas H0 : = H1 :

Prueba de hipótesis a una cola superior H0 : = H1 : >

Prueba de hipótesis a una cola inferior H0 : = H1 :
1

El estadístico de trabajo es:

REGLA DE DECISION

/ /

1

ó H1: / > 1, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución

Z1pertenece a una distribución F con (n1 -1) grado de libertad en el numerador y (n2 -1) grado de libertad en el denominador. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es menor que Z 1- no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir, si T < Z1no se rechaza H0. Si se ha planteado la hipótesis alternativa H1: < ó H1: / < 1, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución.

Z pertenecer a una distribución F con (n1-1) grado de libertad en el numerador y (n2 -1) grado de libertad en el denominador. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir, si T > Z no se rechaza H0. Ejemplo Dos fuentes de materias primas están siendo consideradas. Ambas fuentes parecen tener características similares, pero no se está seguro de su homogeneidad. Una muestra de 10 grupos de la fuente A produce una varianza de 250 y una muestra de 11 grupos de la fuente B produce una varianza de 195. ¿Con base en ésta información se puede concluir que la varianza de la fuente A es significativamente mayor que la de la fuente B? Con un nivel de confianza del 99 por ciento.

Respuesta Establecer la hipótesis nula u la alternativa H0: H1:

A= A>

B B

Para realizar esta prueba de hipótesis se usa la fórmula:

Datos conocidos

Cuál es el valor de T

Plantear gráficamente ¿Cuál es el nivel de confianza? Con un nivel de confianza del 99 por ciento, en la tabla de la distribución F con 9 grados de libertad en el numerador y 10 grados de libertad en el denominador, se obtiene un valor para Z de 4,94.

Regla de decisión para una prueba de Hipótesis a una cola superior

El valor del estadístico de trabajo está en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto, con una confiabilidad del 99 por ciento, no se puede rechazar que la variabilidad de las dos fuentes de materia prima es igual.

Distribución de la diferencia de medias Se tienen dos poblaciones y se toman muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n 2, se puede comparar el comportamiento de dichas poblaciones a través de los promedios. Se pueden presentar tres tipos de hipótesis Prueba de hipótesis a dos colas H0 : = H1 :

Prueba de hipótesis a una cola inferior

Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 : H1 :

=


H0 : H1 :

H0 : H1 :

-

H0 : H1 :

-

-

=x x

=X x

El estadístico de trabajo depende de las características de las poblaciones y del tamaño de las muestras. 

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias, si las muestras se obtienen de poblaciones con distribución normal, con varianzas poblacionales conocidas

El estadístico de trabajo a usar es

REGLA DE DECISION Si se ha planteado la hipótesis alternativa H1: > ó H1: - > x se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la

y pertenecen a una distribución Normal estándar. Si el valor del estadístico de trabajo está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1.

Si se ha planteado la hipótesis alternativa H1: > ó H1: - > x, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución.

Pertenece a una distribución Normal estándar. Si el valor del estadístico de trabajo es menor que se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1.

Si se ha planteado la hipótesis alternativa H1: < ó H1: - < x, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución.

Z pertenece a una distribución Normal estándar. Si el valor del estadístico de trabajo es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1.

Ejemplo Un constructor está considerando dos lugares alternativos para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la comunidad son una consideración importante en ésta selección, desea probar que el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda comunidad en cuando menos $1.500 diarios. Con la información de un censo realizado el año anterior sabe que la desviación estándar del ingreso diario de la primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400 Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la hipótesis con un nivel de confianza del 95 por ciento. Respuesta Establecer la hipótesis nula u la alternativa Se desea probar si la diferencia entre los ingresos de la comunidad 1 y la 2 es de $1.500 o más, por lo tanto: H0: H1:

-

1.500 < 1.500

Datos conocidos

El tamaño de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas, por consiguiente el estadístico de trabajo es:

Cuál es el valor de Z

Plantear gráficamente ¿Cuál es el nivel de confianza? Para un nivel de confianza del 95 por ciento, en la tabla de la distribución normal se tiene un valor de Z de -1,64. Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior

El estadístico de trabajo se ubica en la zona de aceptación de la hipótesis nula; por lo tanto, con una confiabilidad del 95 por ciento, la diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades es mayor a $1.500 diarios.