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TAREA 1 - MÉTODO SIMPLEX PRIMAL Y SIMPLEX DUAL

Estudiantes NELSON ANDRES QUINTERO ROMERO LINA PAOLA MARÍN GÓMEZ LINA MIRLEY YUSUNGUAIRA GUSTAVO ADOLFO URDIALEZ

Tutor LEONARDY HERRERA

Curso PROGRAMACIÓN LINEAL

Grupo 100404_101 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Cundinamarca, Bogotá marzo de 2019

Introducción

El método simplex es un método analítico capaz de resolver numerosas variables para toma de decisiones y de resultados diferentes, se puede utilizar en producción y en costos para saber el valor del producto o productos a elaborar así facilitando el poder tomar una decisión sobre un planteamiento de una problemática, en este método podemos utilizar elementos como; Variables, Restricciones y función objetivo. Siendo las Variables las incógnitas del problema, las restricciones las limitaciones y las funciones objetivo es la meta a la cual se debe alcanzar y tomar decisiones como aumento de producción o disminución de costos.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES Ejercicio 1. Una empresa de jugos naturales produce tres tipos de bebidas que se venden en los supermercados de cadena y que cuyas compradoras potenciales son las madres para poner en las loncheras de sus hijos (Jugo 1 de pera, Jugo 2 de manzana y Jugo 3 tropical). El jugo 1 está compuesto por 20 mililitros el componente A, 30 mililitros el componente B y 20 mililitros el componente C. El jugo 2 está compuesto por 30 mililitros el componente A, 20 mililitros el componente B y 20 mililitros vez el componente C y finalmente el jugo 3 está compuesto por 20 mililitros el componente A, 10 mililitros el componente B y 20 mililitros el componente C. Se deben gastar como minino 1500 mililitros del componente A, máximo 1700 mililitros del B y máximo 1300 mililitros del C por producción al día. La utilidad de los jugos 1, 2 y 3, es respectivamente de 600, 400 y 500 pesos. El componente A, hace relación al agua usada, el B al saborizante que incluye concentración de azúcar y el C al conservante. Formule el problema expuesto en la situación 1 y resuélvalo por el método simplex por los algoritmos simplex algebraico y simplex de las dos fases. Responda: ¿Qué cantidad de cada uno de los jugos debe fabricarse, según el método algebraico del simplex primal? ¿Qué cantidad de cada uno de los jugos debe fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal? ¿Cuál es la utilidad del problema?

¿Las respuestas de producción según las condiciones varían de acuerdo a cada método usado? Solución: 𝑥1 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑎

𝑥1 = 20(𝐴) + 30(𝐵) + 20(𝐶)

𝑥2 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎

𝑥2 = 30(𝐴) + 20(𝐵) + 20(𝐶)

𝑥3 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎𝑙

𝑥3 = 20(𝐴) + 10(𝐵) + 20(𝐶)

𝐴 ≥ 1500 𝐵 ≤ 1700 𝐶 ≤ 1300 Utilidad: 600, 400, 500

Método simplex por los algoritmos simplex algebraico y simplex de las dos fases. Modelo canónico 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 600𝑥1 + 400𝑥2 + 500𝑥3 𝑠. 𝑎:

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1700 20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1300

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Modelo simplex algebraico Modelo estándar (Se iguala la ecuación a 0) 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 − 600𝑥1 − 400𝑥2 − 500𝑥3 = 0 𝑠. 𝑎:

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 − 1𝑆1 + 1𝑀1 = 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 + 1𝑆2

= 1700

20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 + 1𝑆3

= 1300

Añadimos la variable de holgura y la variable artificial según el caso.

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑀1 ≥ 0 X1 Z -600 M1 20 S2 30 S3 20 ENTRA

X1 Z M1 X1 S3

X1 Z M1

0 0

X2 -400 30 20 10

X3 -500 20 20 20

S1

X2 0 0 0 16,667 1 0,6667 0 -3,333

X3 -100 6,6667 0,6667 6,6667 ENTRA

S1

X2 -50 20

X3

0 -1 0 0

S3 0 0 1 0

S2 0 20 -1 -0,667 0 0,0333 0 -0,667

S1 0 0

S2

0 -1

S2 10 0

M1 0 0 0 1

1 0 0 0

S3

M1 0 0 0 1

S3 15 -1

SOL

M1 1 0

0 1500 1700 SALE 1300

SOL 1 34000 0 366,6667 0 56,66667 0 166,6667 SALE

SOL 36500 200 SALE

X1 X3

1 0

X1

1 -0,5 ENTRA

X2

Z X2 X1 X3

0 0 1 0

Z X2 S1 X3

X1 50 1 20 0,5

0 1

X3 0 1 0 0

X2

0 0 0 1

X3 0 1 0 0

0 0

S1 -2,5 -0,05 0,05 -0,025 ENTRA

S1 0 0 0 1

0 0 1 0

0,1 -0,1

S2 S3 10 12,5 0 -0,05 0,1 -0,05 -0,1 0,125

S2 15 0,1 2 -0,05

𝑍 = 38500 𝑥1 = 0 𝑥2 = 40 𝑥3 = 45

Método simplex de las dos fases 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 600𝑥1 + 400𝑥2 + 500𝑥3 𝑠. 𝑎:

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1700

-0,1 0,15

S3 10 -0,1 -1 0,1

0 0

M1 1 0 0 0

M1 1 0 0 0

40 25

SOL 37000 10 30 SALE 30

SOL 38500 40 600 45

20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1300 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Nivelo el sistema de ecuaciones 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 − 600𝑥1 − 400𝑥2 − 500𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 𝑠. 𝑎:

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 − 1𝑥4 + 1𝑥7 ≥ 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 + 1𝑥5

≤ 1700

20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 + 1𝑥6

≤ 1300

Añadimos la variable de holgura y la variable artificial según el caso.

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7 ≥ 0 Pasamos a construir la primera tabla de la fase I del método de las dos fases Iniciamos la primera fase con el método transformado 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 − 1𝑥7 𝑠. 𝑎:

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 − 1𝑥4 + 1𝑥7 ≥ 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 + 1𝑥5

≤ 1700

20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 + 1𝑥6

≤ 1300

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7 ≥ 0 Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ 0 Base CB BJ X1 X2 P7 -1 1500 20 P5 0 1700 30

0

0

0

0

0

-1 X3 X4 X5 X6 X7 30 20 -1 0 0 1 SALE 20 20 0 1 0 0

P6

0 ZJ

1300 -1500

ZJ - CJ

20 -20 -20

10 -30 -30

20 -20 -20

0 1 1

0 0 0

1 0 0

0 -1 0

ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ 0 0 0 0 0 0 -1 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X2 0 50 0,6667 1 0,6667 -0,0333 0 0 0,03333 P5 0 700 16,667 0 6,6667 0,6667 1 0 -0,6667 P6 0 800 13,333 0 13,333 0,3333 0 1 -0,3333 ZJ 0 0 0 0 0 0 0 0 ZJ - CJ 0 0 0 0 0 0 1

Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la fase II para calcularla. Fase II. Se sustituye en cj por los originales y se recalcula la solución Se eliminan las variables artificiales Recalcula los zj y los cj-zj. Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ 600 400 500 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X2 400 50 0,6667 1 0,6667 -0,0333 0 0 P5 0 700 16,667 0 6,6667 0,6667 1 0 SALE P6 0 800 13,333 0 13,333 0,3333 0 1 ZJ 20000 266,67 400 266,67 -13,333 0 0 ZJ - CJ -333,33 0 -233,33 -13,333 0 0 ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ 600 400 500 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X2 400 22 0 1 0,4 -0,06 -0,04 0 X1 600 42 1 0 0,4 0,04 0,06 0 P6 0 240 0 0 8 -0,2 -0,8 1 SALE ZJ 34000 600 400 400 -4E-15 20 0 ZJ - CJ 0 0 -100 -4E-15 20 0 ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 3 CJ 600 400 500 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X2 400 10 0 1 0 -0,05 0 -0,05 X1 600 30 1 0 0 0,05 0,1 -0,05 SALE x3 500 30 0 0 1 -0,025 -0,1 0,125 ZJ 37000 600 400 500 -2,5 10 12,5 ZJ - CJ 0 0 0 -2,5 10 12,5 ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 4 CJ 600 400 500 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X2 400 40 1 1 0 0 0,1 -0,1 X4 0 600 20 0 0 1 2 -1 x3 500 45 0,5 0 1 0 -0,05 0,1 ZJ 38500 650 400 500 0 15 10 ZJ - CJ 50 0 0 0 15 10

La solución óptima es:

𝑍 = 38500 𝑥1 = 0 𝑥2 = 40 𝑥3 = 45 ¿Qué cantidad de cada uno de los jugos debe fabricarse, según el método algebraico del simplex primal? R/. Según el método algebraico del simplex primal debe fabricarse: 𝑥2 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 40 𝑥3 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎𝑙 = 45

¿Qué cantidad de cada uno de los jugos debe fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal? R/. Según el método de las dos fases del simplex primal debe fabricarse: 𝑥2 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 = 40 𝑥3 = 𝐽𝑢𝑔𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎𝑙 = 45

¿Cuál es la utilidad del problema? R/. La utilidad del problema es de 38500 ¿Las respuestas de producción según las condiciones varían de acuerdo a cada método usado?

R/. Las respuestas de la producción no cambiaron según el método utilizado, por ambos métodos dio el mismo resultado. Ejercicio 2. De acuerdo a las siguientes condiciones de un problema productivo, donde se han tomado los datos de utilidades y restricciones, según ciertas condiciones y necesidades, determine: Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método simplex algebraico. Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal. Utilidad del problema. Compare los resultados obtenidos por cada uno de los métodos propuestos y justifíquelos.

Función objetivo

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 6𝑋1 + 7𝑋2 + 5𝑋3 + 3𝑋4

Sujeto a las restricciones:

3𝑋1 + 3𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑋4 ≤ 75 3𝑋1 + 2𝑋2 + 3𝑋3 + 2𝑋4 ≤ 100 2𝑋1 + 2𝑋2 + 4𝑋3 + 3𝑋4 ≥ 30 2𝑋1 + 2𝑋2 + 1𝑋3 + 2𝑋4 ≤ 68 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 ≥ 0

Método simplex algebraico

Se iguala la ecuación a 0

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 − 6𝑥1 − 7𝑥2 − 5𝑥3 − 3𝑥4 = 0 s.a:

3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 1𝑆1

= 75

3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 + 1𝑆2

Añadimos la variable de holgura y la variable artificial según el caso.

= 100

2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 − 1𝑆3 + 1𝑀1 = 30 2𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 + 2𝑥4 + 1𝑆4

= 68

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑀1 ≥ 0

X1 -6 3 3 2 2

Z M1 S2 S3 S4

X1

X2 1 0 1 1 0

Z M1 S2 X2 S4

X1 Z S3

X2 -7 3 2 2 2 Entra

1 0

X3 0 0 0 1 0

X2

X3 -5 2 3 4 1

9 -4 -1 2 -3

X4 -3 1 2 3 2

S1

X4 7,5 -3,5 -1 1,5 -1

S1

S2 0 1 0 0 0

S3 0 0 1 0 0

0 0 0 -1 0

0 0 1 0 0

S3 -3,5 1,5 1 -0,5 1 Entra

S2 0 1 0 0 0

X3 X4 S1 0 -0,3333 -0,6667 2,3333 0 -2,6667 -2,3333 0,6667

S4

S2

0 0 0 0 1

M1 SOL 3,5 105 -1,5 30 Sale -1 70 0,5 15 -1 38

S4

S3 0 0

0 0 0 0 1

M1 SOL 0 0 0 75 0 100 1 30 sale 0 68

S4 0 1

0 0

M1 SOL 0 175 -1 20

1 1 0

S2 X2 S4

X1

0 1,6667 1 0,6667 0 -0,3333

X2

Z S3 S2 X2 X4

1 0 1 1 0

Z S3 X3

X1 1,25 1,625 0,5

X2 X4

0,625 0,125

0 0 0 1 0

X2

1,3333 -0,667 0,3333 0,3333 1,3333 -0,667 entra

X3 -0,5 -3,25 2 0,75 -0,25 Entra

X4

X3

X4

S1 0 0 0 0 1

2 -0,5 0 0,5 -0,5

S1

0 0 0

0 0 1

0 0 0

2 -0,5 0

1 0

0 0

0 1

0,5 -0,5

1 0 0

S2

0 0 0

S3 0 0 1 0 0

S2 0,25 1,625 0,5 0,375 0,125

0 1 0 0 0

S3

S4 0,5 1,75 -1 -0,25 0,75

S4 0 0,25 1 0,125 0 -0,5 0 0,125 0 0,625

𝑍 = 192 𝑥1 = 0 𝑥2 = 8,5 𝑥3 = 16 𝑥4 = 17,5 Método de las dos fases 𝐹. 𝑂 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 6𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 s.a:

3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 ≤ 75 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 ≤ 100

0 0 1

0 0 0

50 25 18 sale

M1 SOL 0 184 -1 51,5 0 32 Sale 0 20,5 0 13,5

M1 SOL 0 192 -1 103,5 0 16 0 0

8,5 17,5

2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 ≥ 30 2𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 + 2𝑥4 ≤ 68 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ≥ 0 Nivelo el sistema de ecuaciones. 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = −6𝑥1 − 7𝑥2 − 5𝑥3 − 3𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 + 0𝑥9 s.a:

3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 1𝑥5 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 + 1𝑥6

≤ 75 ≤ 100

Añadimos la variable de holgura y la variable artificial según el caso.

2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 − 1𝑥7 + 1𝑥9 ≤ 30 2𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 + 2𝑥4 + 1𝑥8

≤ 68

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9 ≥ 0

Pasamos a construir la primera tabla de la fase I del método de las dos fases Iniciamos la primera fase con el método transformado

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 − 1𝑥9 s.a:

3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 1𝑥5

≤ 75

3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 + 1𝑥6

≤ 100

2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 − 1𝑥7 + 1𝑥9 ≤ 30 2𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 + 2𝑥4 + 1𝑥8

≤ 68

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9 ≥ 0

Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ 0 Base CB BJ X1 P9 -1 75 3 X6 0 100 3 X7 0 30 2 X8 0 68 2 ZJ -75 -3 ZJ - CJ -3

0 X2 3 2 2 2 -3 -3

0 0 0 0 0 0 -1 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2 1 1 0 0 0 0 3 2 0 1 0 0 0 4 3 0 0 -1 0 1 Sale 1 2 0 0 0 1 0 -2 -1 -1 0 0 0 0 -2 -1 -1 0 0 0 1

Entra

Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 P9 -1 30 0 0 -4 X6 0 70 1 0 -1 X2 0 15 1 1 2 X8 0 38 0 0 -3 ZJ -30 0 0 4 ZJ - CJ 0 0 4

Tabloide original del sistema Tabla 3 CJ 0 0 Base CB BJ X1 X2 X7 0 20 0 0 X6 0 50 1 0 X2 0 25 1 1 X8 0 18 0 0 ZJ 0 0 0 ZJ - CJ 0 0

0 0 0 X4 X5 X6 -3,5 1 0 -1 0 1 1,5 0 0 -1 0 0 3,5 -1 0 3,5 -1 0

0 0 X7 X8 1,5 0 1 0 -0,5 0 1 1 -1,5 0 -1,5 0 Entra

0

0

0

X3 -2,667 1,667 0,667 -0,333 0 0

X4 -2,333 1,3333 0,3333 1,3333 0 0

X5 0,6667 -0,667 0,3333 -0,667 0 0

-1 X9 -1,5 Sale -1 0,5 -1 1,5 2,5

0 0 0 -1 X6 X7 X8 X9 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la fase II para calcularla.

Fase II. Se sustituye en cj por los originales y se recalcula la solución Se eliminan las variables artificiales Recalcula los zj y los cj-zj.

Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ 6 7 Base CB BJ X1 X2 X7

0

20

0

0

X6

0

50

1

0

X2

7

25

1

1

X8

0

18

0

0

175

7

7

1

0

ZJ ZJ - CJ

5

3

X3

X4

0 X5 0,666 7

-2,667 -2,333 1,333 1,667 3 -0,667 0,333 0,333 0,667 3 3 1,333 -0,333 3 -0,667 2,333 2,333 4,667 3 3 2,333 -0,333 -0,667 3 Entra

Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ 6 7 5 Base CB BJ X1 X2 X3 X5 0 51,5 0 0 -3,25 X6 0 32 1 0 2 X2 7 20,5 1 1 0,75

3

0

0 0 0

X5 -0,5 0 0,5

X4

0

0 X6

0 X7

0 X8

0

1

0 Sale

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0 0 X6 X7 X8 0 1 1,75 1 0 -1 Sale 0 0 -0,25

x4 3 ZJ ZJ - CJ

13,5 184

0 7 1

0 -0,25 7 4,5 0 -0,5 Entra

Tabloide original del sistema Tabla 3 CJ 6 7 Base CB BJ X1 X2 X5 0 103,5 1,625 0 X3 5 16 0,5 0 X2 7 8,5 0,625 1 X4 3 17,5 0,125 0 ZJ 192 7,25 7 ZJ - CJ 1,25 0

1 3 0

5 X3

3 X4

0 1 0 0 5 0

0 0 0 1 3 0

-0,5 2 2

0

0 0 0

0

X5 X6 -0,5 1,625 0 0,5 0,5 -0,375 -0,5 0,125 2 0,25 2 0,25

0 0 0

0,75 0,5 0,5

0 0 X7 X8 1 0,125 0 -0,5 0 0,125 0 0,625 0 0,25 0 0,25

𝑍 = 192 𝑥1 = 0 𝑥2 = 8,5 𝑥3 = 16 𝑥4 = 17,5

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método simplex algebraico.

R/. La cantidad de cada una de las variables a fabricarse por el método simplex algebraico es: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 8,5 𝑥3 = 16 𝑥4 = 17,5

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal. R/. La cantidad de cada una de las variables a fabricarse según el método de las dos fases es: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 8,5 𝑥3 = 16 𝑥4 = 17,5

Utilidad del problema. R/. La utilidad es: 𝑍 = 192

Compare los resultados obtenidos por cada uno de los métodos propuestos y justifíquelos. R/. Los resultados obtenidos al aplicar los dos métodos simplex, es el mismo, tanto de la producción como de la utilidad.

Ejercicio 3: Raúl García es el heredero de un taller de carpintería que le ha dejado su padre como parte de tradición familiar. Raúl es un comerciante de vehículos importados que nunca se interesó por el negocio con el que su padre le crió y le pagó sus estudios universitarios. Ahora con la muerte de su padre Raúl debe hacerse cargo del negocio, el cual heredará algún día a uno de sus hijos. Cuando Raúl visita el taller para hacerse cargo, encuentra que el producto que mayor atención merece por ser el de mayor venta es el de escritorios tipo deko que su padre diseñó y que se fabrican según especificaciones de los clientes, tipo 1 para hogar, tipo 2 para oficinas y tipo 3 para colegios. Cada escritorio pasa por 3 procesos básicos el corte de la madera, el ensamblado y la pintura del producto terminado que se miden en horas de trabajo.

Raúl seguirá la política de contratación de personal de su padre, los turnos rotativos, por lo cual el tiempo de trabajo es variable entre una y otra semana, las horas mínimas a contratar por semana se muestran en la tabla 1. A partir de los datos siguientes que se consignan en

la tabla 1, formule el problema de programación lineal y resuélvalo a partir del método simplex primal de las dos fases para ayudar a Rubén a minimizar los costos del proceso.

Tipo de escritorio

Corte

Ensamble

Pintura

1 2 3 Horas

2 2 3 33

3 2 1 31

2 3 1 35

Tabla 1. Datos del ejercicio 3

Solución: 𝑥1 = 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 1 𝑥2 = 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 2 𝑥3 = 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 3

𝑥1 = 2(𝐶) + 3(𝐸) + 2(𝑃)

𝐶 = 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 ≥ 33

𝑥2 = 2(𝐶) + 2(𝐸) + 3(𝑃)

𝐸 = 𝐸𝑛𝑠𝑎𝑚𝑏𝑙𝑒 ≥ 31

𝑥3 = 3(𝐶) + 1(𝐸) + 1(𝑃)

𝑃 = 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 ≥ 35

𝑍 = 17,

17,

23

Método Simplex de las dos fases:

Costos por producto semanales US 17 US 17 US 23

Modelo canónico 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 17𝑥1 + 17𝑥2 + 23𝑥3 𝑠. 𝑎:

2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 33 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 31 3𝑥1 + 1𝑥2 + 1𝑥3 ≥ 35 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Nivelo el sistema de ecuaciones 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 − 17𝑥1 − 17𝑥2 − 23𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 + 0𝑥9 𝑠. 𝑎:

2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 1𝑥4 + 1𝑥7 ≥ 33 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 1𝑥5 + 1𝑥8 ≥ 31 3𝑥1 + 1𝑥2 + 1𝑥3 − 1𝑥6 + 1𝑥9 ≥ 35 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9 ≥ 0

Pasamos a construir la primera tabla de la fase I del método de las dos fases

Iniciamos la primera fase con el método transformado

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 − 1𝑥7 − 1𝑥8 − 1𝑥9 𝑠. 𝑎:

2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 1𝑥4 + 1𝑥7 ≥ 33 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 1𝑥5 + 1𝑥8 ≥ 31 3𝑥1 + 1𝑥2 + 1𝑥3 − 1𝑥6 + 1𝑥9 ≥ 35 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9 ≥ 0

Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 P7 -1 33 2 3 2 -1 0 0 1 0 0 P8 -1 31 2 2 3 0 -1 0 0 1 0 P9 -1 35 3 1 1 0 0 -1 0 0 1 SALE ZJ -99 -7 -6 -6 1 1 1 -1 -1 -1 ZJ - CJ -7 -6 -6 1 1 1 0 0 0 ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ 0 0 Base CB BJ X1 X2 P7 -1 9,67 0 2,333 P8 -1 7,67 0 1,333 X1 0 11,7 1 0,333 ZJ -17,3 0 -3,67 ZJ - CJ 0 -3,67 ENTRA

0 0 0 X3 X4 X5 1,333 -1 0 2,333 0 -1 0,333 0 0 -3,67 1 1 -3,67 1 1

0 -1 -1 X6 X7 X8 0,667 1 0 0,667 0 1 -0,333 0 0 -1,333 -1 -1 -1,333 0 0

-1 X9 -0,667 SALE -0,667 0,3333 1,3333 2,3333

Tabloide original del sistema Tabla 3 CJ 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X2 0 4,14 0 1 0,571 P8 -1 2,14 0 0 1,571 X1 0 10,3 1 0 0,143 ZJ -2,14 0 0 -1,57 ZJ - CJ 0 0 -1,57 ENTRA

0 X4 -0,43 0,571 0,143 -0,57 -0,57

0 X5 0 -1 0 1 1

0

-1 -1 X7 X8 0,4286 0 -0,571 1 -0,143 0 0,5714 -1 1,5714 0

X6 0,286 0,286 -0,429 -0,286 -0,286

Tabloide original del sistema Tabla 4 CJ 0 0 0 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X2 0 3,36 0 1 0 -0,64 0,364 0,182 X3 0 1,36 0 0 1 0,364 -0,636 0,182 X1 0 10,1 1 0 0 0,091 0,091 -0,455 ZJ 0 0 0 0 0 0 0 ZJ - CJ 0 0 0 0 0 0

-1

-1 X9 -0,286 -0,286 SALE 0,4286 0,2857 1,2857

-1

-1

X7 X8 0,6364 -0,364 -0,364 0,636 -0,091 -0,091 0 0 1 1

X9 -0,182 -0,182 0,4545 0 1

Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la fase II para calcularla. Fase II. Se sustituye en cj por los originales y se recalcula la solución Se eliminan las variables artificiales Recalcula los zj y los cj-zj. Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ -17 -17 -23

0

0

0

Base CB BJ X1 X2 X3 X2 -17 3,36 0 1 0 X3 -23 1,36 0 0 1 X1 -17 10,1 1 0 0 ZJ -260 -17 -17 -23 ZJ - CJ 0 0 0

X4 -0,64 0,364 0,091 0,909 0,909

X5 0,364 -0,636 0,091 6,909 6,909

X6 0,182 0,182 -0,455 0,455 0,455

La solución es: 𝑍 = 260 𝑥1 = 10,1 𝑥2 = 3,36 𝑥3 = 1,36

Ejercicio 4. De acuerdo a las siguientes condiciones de un problema productivo, donde se han tomado los datos de costos y restricciones, según ciertas condiciones y necesidades, determine: Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal. Valor de la función objetivo del problema.

Función objetivo

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 720𝑋1 + 215𝑋2 + 120𝑋3 + 70𝑋4

Sujeto a las restricciones:

30𝑋1 + 5𝑋2 + 3𝑋3 + 7𝑋4 ≥ 510 17𝑋1 + 7𝑋2 + 3𝑋3 + 5𝑋4 ≥ 320 11𝑋1 + 5𝑋2 + 4𝑋3 + 2𝑋4 ≥ 280 7𝑋1 + 6𝑋2 + 5𝑋3 + 1𝑋4 ≥ 170 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 ≥ 0

Solución: Nivelo el sistema de ecuaciones

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 − 720𝑥1 − 215𝑥2 − 120𝑥3 − 70𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 + 0𝑥9 + 0𝑥10 + 0𝑥11 + 0𝑥12 𝑠. 𝑎:

30𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 7𝑥4 − 1𝑥5 + 1𝑥9 ≥ 510 17x1 + 7x2 + 3x3 + 5x4 − 1𝑥6 + 1𝑥10 ≥ 320 11𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥4 − 1𝑥7 + 1𝑥11 ≥ 280 7𝑥1 + 6𝑥2 + 5𝑥3 + 1𝑥4 − 1𝑥8 + 1𝑥12 ≥ 170 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12 ≥ 0

Pasamos a construir la primera tabla de la fase I del método de las dos fases Iniciamos la primera fase con el método transformado 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 − 1𝑥9 − 1𝑥10 − 1𝑥11 − 1𝑥12

𝑠. 𝑎:

30𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 7𝑥4 − 1𝑥5 + 1𝑥9 ≥ 510 17x1 + 7x2 + 3x3 + 5x4 − 1𝑥6 + 1𝑥10 ≥ 320 11𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥4 − 1𝑥7 + 1𝑥11 ≥ 280 7𝑥1 + 6𝑥2 + 5𝑥3 + 1𝑥4 − 1𝑥8 + 1𝑥12 ≥ 170 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12 ≥ 0

Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 P9 -1 510 3 5 3 7 -1 0 0 0 1 0 0 0 P10 -1 320 17 7 3 5 0 -1 0 0 0 1 0 0 SA P11 -1 280 11 5 4 2 0 0 -1 0 0 0 1 0 P12 -1 170 7 6 5 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 ZJ -960 -38 -23 -15 -15 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 ZJ - CJ -38 -23 -15 -15 1 1 1 1 0 0 0 0 ENTRA Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 P9 -1 453,5 0 3,765 2,4706 6,118 -1 0,176 0 0 1 -0,176 0 0 X1 0 18,82 1 0,412 0,1765 0,294 0 -0,06 0 0 0 0,059 0 0 P11 -1 72,94 0 0,471 2,0588 -1,235 0 0,647 -1 0 0 -0,647 1 0 P12 -1 38,24 0 3,118 3,7647 -1,059 0 0,412 0 -1 0 -0,412 0 1 SA ZJ -564,7 0 -7,353 -8,294 -3,824 1 -1,24 1 1 -1 1,235 -1 -1 ZJ - CJ 0 -7,353 -8,294 -3,824 1 -1,24 1 1 0 2,235 0 0 ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 3 CJ 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 P9 -1 428,4 0 1,719 0 X1 0 17,03 1 0,266 0 P11 -1 52,03 0 -1,234 0

0

0 X4 X5 6,813 -1 0,344 0 -0,656 0

0

0 X6 X7 -0,09 0 -0,08 0 0,422 -1

0 -1 X8 X9 0,656 1 0,047 0 0,547 0

-1 -1 X10 X11 0,094 0 0,078 0 -0,422 1

-1 X12 -0,66 -0,05 SA -0,55

X3

0 ZJ ZJ - CJ

10,16 -480,5

0 0 0

0,828 -0,484 -0,484

Tabloide original del sistema Tabla 4 CJ 0 Base CB BJ X1 P9 -1 90,91 -19,82 X4 0 49,55 2,909 P11 -1 84,55 1,909 X3 0 24,09 0,818 ZJ -175,5 17,91 ZJ - CJ 17,91

Tabloide original del sistema Tabla 5 CJ 0 Base CB BJ X1 X6 0 62,5 -13,63 X4 0 63,75 -0,188 P11 -1 67,5 5,625 X3 0 21,25 1,438 ZJ -67,5 -5,625 ZJ - CJ -5,625 ENTRA

1 0 0

-0,281 -6,156 -6,156 ENTRA

0 1 1

0 0 0 0 X2 X3 X4 X5 -3,545 0 0 -1 0,773 0 1 0 -0,727 0 0 0 1,045 1 0 0 4,273 0 0 1 4,273 0 0 1

0 X2 -2,438 0,219 -0,062 1,156 0,062 0,062

Tabloide original del sistema Tabla 6 CJ 0 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X6 0 226 0 -2,589 0 0 X4 0 66 0 0,217 0 1 X1 0 12 1 -0,011 0 0

0 0 X3 X4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

0

0,109 -0,33 -0,33

0 1 1

-0,266 0 -1,203 -1 -1,203 0

-0,109 0,328 1,328

0 0 X6 X7 1,455 0 -0,23 0 0,273 -1 0,045 0 -1,73 1 -1,73 1 ENTRA

0 -1 X8 X9 -0,273 1 0,136 0 0,636 0 -0,227 0 -0,364 -1 -0,364 0

-1 -1 X10 X11 -1,455 0 0,227 0 -0,273 1 -0,045 0 1,727 -1 2,727 0

0 X5 -0,69 -0,16 0,188 0,031 -0,19 -0,19

0 X5 X6 -0,23 1 -0,15 0 0,033 0

0 0 X6 X7 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 1

0

-1

X8 -0,188 0,094 0,688 -0,219 -0,688 -0,688

X9 0,688 0,156 -0,188 -0,031 0,188 1,188

0

0

X7 -2,42 -0,03 -0,18

X8 1,478 0,117 0,122

-1

0 -1 0

-1 -1 X10 X11 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 1 0

-1 X9 X10 0,233 -1 0,15 0 -0,033 0

-1 X11 2,422 0,033 0,178

0,266 1,203 2,203

-1 X12 0,273 SA -0,14 -0,64 0,227 0,364 1,364

-1 X12 0,188 -0,09 -0,69 SA 0,219 0,688 1,688

-1 X12 -1,48 -0,12 -0,12

X3

0 ZJ ZJ - CJ

4 0

0 0 0

1,172 0 0

1 0 0

0 0 0

-0,02 0 0

0 0 0

0,256 0 0

-0,394 0 0

0,017 0 1

0 0 1

-0,256 0 1

Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la fase II para calcularla. Fase II. Se sustituye en cj por los originales y se recalcula la solución Se eliminan las variables artificiales Recalcula los zj y los cj-zj.

Tabloide original del sistema Tabla 1 CJ -720 -215 -120 70 0 0 0 0 Base CB BJ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X6 0 226 0 -2,589 0 0 -0,23 1 -2,42 1,478 X4 -70 66 0 0,217 0 1 -0,15 0 -0,03 0,117 X1 -720 12 1 -0,011 0 0 0,033 0 -0,18 0,122 SALE X3 -120 4 0 1,172 1 0 -0,02 0 0,256 -0,394 ZJ -9120 -720 -147,8 -120 70 -11,5 0 99,67 -48,83 ZJ - CJ 0 67,17 0 0 -11,5 0 99,67 -48,83 ENTRA

Tabloide original del sistema Tabla 2 CJ -720 Base CB BJ X1 X6 0 80,91 -12,09

-215 -120 -70 X2 X3 X4 -2,455 0 0

0

0 X5 X6 -0,64 1

0

0 X7 X8 -0,27 0

0,394 0 1

X4 X8 X3

-70 0 -120 ZJ ZJ - CJ

54,55 98,18 42,73 -8945

-0,955 8,182 3,227 -320,5 399,5

0,227 0 1 -0,091 0 0 1,136 1 0 -152,3 -120 -70 62,73 0 0

-0,18 0,273 0,091 1,818 1,818

0 0 0 0 0

0,136 -1,45 -0,32 28,64 28,64

0 1 0 0 0

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal. R/. Las cantidades de las variables a fabricarse son: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 0 𝑥3 = 42,73 𝑥4 = 54,55

Valor de la función objetivo del problema. 𝑍 = 8945

Ejercicio 5. Resuelva el ejercicio 1 de maximización por el método simplex dual, recuerde que en éste método la solución comienza siendo infactible y óptima en comparación con el método simplex primal que comienza siendo factible, pero no óptimo. Resuelva por cualquier método, recomendado simplex algebraico:

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex dual. Valor de la función objetivo del problema. Solución: Método simplex dual Modelo canónico

Buscamos simetría a los signos ≤

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 600𝑥1 + 400𝑥2 + 500𝑥3

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 600𝑥1 + 400𝑥2 + 500𝑥3

𝑠. 𝑎:

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 1500

𝑠. 𝑎:

30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1700 20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1300 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

− 20𝑥1 − 30𝑥2 − 20𝑥3 ≤ −1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1700 20𝑥1 + 10𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1300 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Modelo dual

Buscamos simetría del modelo dual multi. *-1

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = −1500𝑦1 + 1700𝑦2 + 1300𝑦3

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 1500𝑦1 − 1700𝑦2 − 1300𝑦3

𝑠. 𝑎:

𝑠. 𝑎: 20𝑦1 − 30𝑦2 − 20𝑦3 ≤ −600

− 20𝑦1 + 30𝑦2 + 20𝑦3 ≥ 600 −30𝑦1 + 20𝑦2 + 10𝑦3 ≥ 400

30𝑦1 − 20𝑦2 − 10𝑦3 ≤ −400

−20𝑦1 + 20𝑦2 + 20𝑦3 ≥ 500

20𝑦1 − 20𝑦2 − 20𝑦3 ≤ −500

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 ≥ 0 Estandarización

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 ≥ 0

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 1500𝑦1 − 1700𝑦2 − 1300𝑦3 + 0𝐻1 + 0𝐻2 + 0𝐻3 𝑠. 𝑎: 20𝑦1 − 30𝑦2 − 20𝑦3 + 1𝐻1 = −600 30𝑦1 − 20𝑦2 − 10𝑦3 + 1𝐻2 = −400 20𝑦1 − 20𝑦2 − 20𝑦3 + 1𝐻3 = −500 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 ≥ 0

Base Z H1 H2 H3

Tabla inicial para Simplex Y1 Y2 Y3 H1 H2 H3 SOL -1500 1700 1300 0 0 0 0 20 -30 -20 1 0 0 -600 30 -20 -10 0 1 0 -400 20 -20 -20 0 0 1 -500

Base Y1 Z -1500 H1 20 H2 30 H3 20 75

Base

Y1

Z Y2 H2

-366,7 -0,667 16,67

ENTRA Y2 Y3 1700 1300 -30 -20 -20 -10 -20 -20 56,667 65

ENTRA Y2 Y3 0 1 0

166,7 0,667 3,333

H1

H2

H3

0 1 0 0

0 0 1 0

H1

H2

56,67 -0,033 -0,667

0 0 1

0 0 0 1

H3

SOL 0 -600 SALE -400 -500

SOL 0 34000 0 20 0 0

H3

6,667 55

ENTRA Base Y1 Z Y2 H2 Y3

Base

0

-6,667 25

Y2

Y3

-200 0 20 -1 10

Y1

0 1 0 0

Y2

-0,667

H1 0 0 0 1

Z Y2 Y1

0 0 1

0 1 0

0 0 0

30 -0,1 -0,05

Y3

0

0

1

0,05 600

Base Z Y2 H1 Y3

Y1 600 -2 -20 1

Y2

Y3 0 1 0 0

SOLUCIÓN TOMA VALOR ABSOLUTO Z 38500

H1 0 0 0 1

H2

40 -0,1 -1 0,1 40

ENTRA H1

Y3

0

0 0 1 0

0 0 1 0

H2

1

-100 SALE

H3

SOL

25 0,1 0,5 -0,15

36500 10 -50 SALE 15

H3

SOL

10 30 37000 0 0,1 10 0,05 0,025 -2,5 SALE 0,05 0,125 12,5

H2

H3

SOL

40 -0,1 -1 0,1

45 38500 0,05 15 -0,5 50 -0,1 10

Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3

0 40 45

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex dual. R/. La cantidad de las variables a fabricarse es: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 40 𝑥3 = 45

Valor de la función objetivo del problema. R/. El valor de la función objetivo es: 𝑍 = 38500

Ejercicio 6.

Resuelva el ejercicio 3 de minimización por el método simplex dual, recuerde que en éste método la solución comienza siendo infactible y óptima en comparación con el método

simplex primal que comienza siendo factible, pero no óptimo. Resuelva por cualquier método, recomendado simplex algebraico

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex dual. Valor de la función objetivo del problema.

Solución: Modelo canónico

Modelo estándar

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 17𝑥1 + 17𝑥2 + 23𝑥3

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 − 17𝑥1 − 17𝑥2 − 23𝑥3 = 0

𝑠. 𝑎:

𝑠. 𝑎:

2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 33

2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 1𝐻1 = 33

2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 31

2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 1𝐻2 = 31

3𝑥1 + 1𝑥2 + 1𝑥3 ≥ 35

3𝑥1 + 1𝑥2 + 1𝑥3 − 1𝐻3 = 35

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Nuevo modelo estándar (Convertimos variables de holgura en positivas multiplicando por -1 𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 − 17𝑥1 − 17𝑥2 − 23𝑥3 = 0

𝑠. 𝑎:

− 2𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 + 1𝐻1 = −33 −2𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 + 1𝐻2 = −31 −3𝑥1 − 1𝑥2 − 1𝑥3 + 1𝐻3 = −35 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Base Z H1 H2 H3

Base Z H1 H2 H3

Base

Tabla inicial para Simplex X1 X2 X3 H1 H2 H3 SOL -17 -17 -23 0 0 0 0 -2 -3 -2 1 0 0 -33 -2 -2 -3 0 1 0 -31 -3 -1 -1 0 0 1 -35

Entra X1 X2 -17 -17 -2 -3 -2 -2 -3 -1 5,667 17

X1

Entra X2

X3 H1 -23 0 -2 1 -3 0 -1 0 23

X3

H2 0 0 1 0

H1

Z

0 -11,33 -17,3

0

H1

0 -2,333 -1,33

1

H2

0 -1,333 -2,33

0

H3 0 0 0 1

H2

H3

SOL 0 -33 -31 -35 Sale

SOL 0 5,667 198 0 0,667 -9,7 Sale 1 0,667 -7,7

1 0,3333 0,333 4,8571 13

X1

Base Z X2 H2 X1

X1 0 0 0 1

X2

Base Z X2 X3 X1

X1 0 0 0 1

X2

0 1 0 0

0 1 0 0

0

0 0,333 11,7

Entra X3 -10,9 0,571 -1,57 0,143 6,909

H1 -4,86 -0,43 -0,57 0,143

H2 0 0 1 0

X3 0 0 1 0

H1 -0,91 -0,64 0,364 0,091

H2 -6,909 0,364 -0,636 0,091

H3 SOL -2,429 245 0,2857 4,14 -0,286 -2,1 Sale -0,429 10,3

H3 -0,455 0,1818 0,1818 -0,455

SOL 260 3,36 1,36 10,1

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex dual. R/. La cantidad de cada una de las variables a fabricarse es: 𝑥1 = 10,1 𝑥2 = 3,36 𝑥3 = 1,36

Valor de la función objetivo del problema. R/. El valor de la función objetivo es: 𝑍 = 260

Ejercicio 7. Actividad Grupal Pantallazos de la solución de los ejercicios con el complemento Solver: Ejercicios 1 y 5:

Ejercicio 2:

Ejercicio 3 y 6:

Ejercicio 4:

Analizando los resultados obtenidos por los métodos manuales simplex algebraico, simplex de las dos fases y simplex dual, encontramos que son iguales a los obtenidos utilizando el complemento Solver, el cual resulta ser una herramienta muy fácil de usar y muy útil para resolver problemas operacionales, lo cual permite facilitar la interpretación y análisis de resultados para la toma de decisiones.

REFERENCIAS



Martínez, S. (2014). Investigación de operaciones. (1a. ed.) (pp. 44-67), México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/detail.action?docID=32279 13



Goberna, T. (2004). Optimización lineal: teoría, métodos y modelos (pp. 277-298), Alicante, España: Editorial Mc Graw Hill. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/detail.action?docID=3195264



Pineda, R. (2018, diciembre 7). OVI – modelos de decisión en la programación lineal [Archivo de video]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/22660