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FÍSICA MATEMÁTICA II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Tema 5. Ecuaciones Parabólicas. Problemas de tipo mixto y de Cauchy para ecuaciones parabólicas. El principio del máximo para la ecuación del calor. Fórmula de Poisson. Métodos de Fourier. Representación integral de las soluciones. Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • Las Ecuaciones Parabólicas, sus principales propiedades y el Método de Solución de Separación de Variables.

La hipótesis de la sustancia calórica fue apoyada por la Teoría de la Conducción del Calor desarrollada por Fourier entre 1811y 1822, él fue el primero en lograr construir una teoría matemática del calor con su ecuación de conducción y el Método de Series de Fourier utilizado por primera vez al resolverla. La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En diversas áreas matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En Estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker-Planck. La Ecuación de Difusión, es una versión más general de la Ecuación del Calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

La conducción de calor en un medio se le denomina en estado estable o estacionario, si la temperatura no cambia con el tiempo, y se le llama en estado transitorio o transiente si cambia con el tiempo; por otra parte, se le denomina unidimensional, si su transferencia es significativa en una dirección del sistema donde se haga el análisis.

2𝑈 𝜕𝑈 𝜕 = 𝛽2 2 𝜕𝑡 𝜕𝑥

U(0,t)=0, U(L,t)=0 U(x,0)=f(x)

El Método de Separación de Variables I.

Se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias. II. Se buscan las soluciones de estas edo, que satisfagan las condiciones de frontera. III. Se formará una combinación lineal de las soluciones, para satisfacer las condiciones iniciales del problema.

El Método de Separación de Variables I) Busquemos las soluciones en la forma U(x,t) = X(x) T(t) Sustituyendo en la ecuación

X ( x)T ' (t )   X ' ' ( x)T (t ) , 0  x  L, t  0. this leads to the following eq. T ' (t ) X ' ' ( x)  k  T (t ) X ( x) T ' (t )   kT (t )  0, X ' ' ( x)  kX ( x)  0.

Condiciones de Frontera II) Buscamos soluciones X(x) no triviales que satisfagan

X ' ' ( x)  kX ( x)  0 X (0)  X ( L)  0 k = 0, k > 0 y k < 0

k = 0, tenemos X(x) = 0, solución trivial k > 0, pongamos k = 2, entonces X-2X=0. La solución general está dada por X(x) = c1ex + c2e-x X(0) = 0  c1 + c2 = 0, X(L) = 0  c1 e L + c2 e -L = 0 , por tanto c1(e2L -1) = 0  c1 = 0 de donde c2 =0. Nuevamente tenemos la solución trivial X(x)  0 .

k 0. Entonces tenemos X(x)+2 X(x) = 0, en este caso la solución general está dada por X(x) = c1 cos  x + c2 sin  x. Las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 implican: c1 = 0 y c2 sin  L= 0, como antes, esto nos lleva a L=n , i.e.,  = n /L o k=-(n/L)2. Pongamos Xn(x) = an sin (n /L)x, n = 1, 2, 3, ...

T(t)-kT(t) = 0, k = - 2 Tn (t )  bn e

  ( n / L ) 2 t

, n  1, 2, 3, ...

U n ( x, t )  X n ( x)Tn (t )

III) U(x,t) =  un(x,t), para todo n.  n     t  L  2

 n  U ( x, t )   C n e sen x .  L  1   n  U ( x,0)   Cn sen  x  f ( x)  L  1 

2 nx Cn   f ( x) sen dx L0 L L

f(x) tiene que ser continua, f’(x) continua a trozos y tal que f(0)=f(L)=0.

Resolver

u u  7 2 , 0  x   , t  0. t x u (0, t )  u ( , t)  0 , t  0 , u ( x,0)  3sen2 x  6 sen5 x , 0  x  π. 2

Escribamos 3sen 2x - 6sen 5x =  cn sen (n/L)x, y comparando coeficientes obtenemos que c2=3 , c5=-6, y cn=0 para los demás valores de n. Así tenemos la solución u(x,t) = u2(x,t) + u5(x,t) .

Limitaciones: 1) La ecuación debe admitir una solución en variables separadas. 2) Las condiciones de contorno y las condiciones iniciales están restringidas a rectas.