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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Unidad 8 INTEGRALES MULTIPLES. OPERADORES VECTORIALES. Integral doble. Región de integración. Norma Definición de integral doble. Propiedades de la integral doble. Calculo de integrales dobles. Integrales iteradas. Divergencia de un vector. Interpretación física. El rotor. Líneas de rotor. El operador “Nabla”. El Laplaciano de un vector. Funciones armónicas. Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos conozcan: • La definición e interpretación geométrica de la Integral Doble. • Los diferentes operadores vectoriales, utilizados en el Cálculo de varias variables y sus principales aplicaciones.

∆A = ∆𝑥∆𝑦

Suponga que f es una función de dos variables que es integrable en el rectángulo R=[a,b]X[c,d]. Usamos la notación para indicar que x se mantiene fija y que f(x,y) es integrable con respecto a y de y=c a y=d. Entonces, definamos A(x) una función que depende de solo x, al integrar

Si integramos ahora A(x) con respecto a x de a a b

Que se le denomina Integral Iterada.

𝑏

𝑑

න 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝐴 𝑦 𝑑𝑦 𝑎

𝑐

Teorema (Fubini). Si fC(R), entonces la anterior igualdad se cumple. 𝑑

𝑑

𝐴 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐴(𝑥) = න 𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 − න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 ≤ 𝑑

𝑐

𝑐

≤ න 𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 ≤ ∆𝑦(𝑑 − 𝑐) 𝑐

Regiones I

Regiones II

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

INTEGRALES TRIPLES

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que implican simetría alrededor de un eje, y el eje-z se elige para coincidir con este eje de simetría. Por ejemplo, el eje del cilindro circular con ecuación cartesiana x2+y2=c2 es el eje-z. En coordenadas cilíndricas, este cilindro tiene un ecuación muy simple r = c. Esta es la razón para el nombre de coordenadas “cilíndricas”.

Integrales triples en coordenadas esféricas

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR El Gradiente es un operador de carácter vectorial que se representa por grad o por el operador nabla ∇ y cuyas componentes son:

La aplicación de Nabla a un campo escalar o el calculo del gradiente de un campo escalar, supone un vector, cuyas componentes son las derivadas del campo escalar, respecto a x,y,z respectivamente.

Gradiente y derivada direccional

𝑑𝑓 = 𝛻𝑓 𝑑𝑟 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝛻𝑓

𝑑𝑟 𝑑𝑟

𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

= 𝛻𝑓𝑢 = 𝛻𝑓 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐷𝑢 𝑓

Por tanto, la derivada direccional alcanza su mayor valor, cuando el vector u, tiene la misma dirección que el gradiente.

El tiburón que aplica el cálculo del gradiente para llegar a su presa y

r

x

C ( x, y)  e

 ( x 2  2 y 2 ) / 104

..la sangre

... y el tiburón

Los tiburones carecen de vejiga natatoria (órgano que, lleno de un líquido de densidad variable, permite a los peces mantenerse a distintas profundidades ), por lo que deben moverse constantemente para no hundirse. Pero esta no es la única razón, su sistema respiratorio, también muy primitivo, lo obliga a moverse continuamente hacia adelante, para que el agua penetre en sus branquias y le aporte el oxígeno vital que necesita. En consecuencia, podemos suponer que cuando un tiburón detecta la presencia de sangre responderá moviéndose continuamente en la dirección del olor más fuerte, o lo que es equivalente en la dirección de mayor concentración de sangre. El problema es ¿qué trayectoria sigue un tiburón para llegar a una presa que está sangrando?

El desplazamiento de un tiburón se rige por un modelo vectorial y

Dr r+Dr r

x

De modo que dr = x i + y j es el desplazamiento infinitesimal del tiburón

Supongamos que la concentración C de sangre en partes por millón de agua se modela mediante el campo escalar

C ( x, y)  e

 ( x 2  2 y 2 ) / 104

donde x e y son las coordenadas medidas en metros desde la fuente de sangre.

Vamos a determinar las curvas de nivel de la concentración, esto es vamos a encontrar el lugar geométrico de los puntos (x, y) tal que la concentración es constante.

e

 ( x 2  2 y 2 ) / 10 4

 k, 0  k  1

 (x2  2 y2 )  ln k , 4 10

0  k 1

(x2  2 y2 )   ln k 4 10 Y así, para cada valor de k entre 0 y 1 obtenemos las curvas de nivel que son elipses.

x2 y2   1, 0  k  1 4 4  10 ln k  (10 / 2) ln k

Una forma práctica de ver las curvas de nivel es mirar desde “arriba”el mar y obtenemos...

menor concentración de sangre

mayor concentración de sangre

Esquematicamente, las curvas de concentración de sangre son ...

y

C

C

x

Sabemos que el gradiente en cualquier punto será ortogonal a la curva de nivel en ese punto.

y

C

x

El gradiente de C en cualquier punto (x, y) es 4

C  10 e

( x 2  2 y 2 ) / 104

(2 x i  4 y j)

y

4

C  10 e

( x 2  2 y 2 ) / 104

(2 x i  4 y j) dr

C

dr  dx i  dy j

x

Entonces el desplazamiento infinitesimal dr del tiburón será en la dirección del gradiente C ... responderá moviéndose continuamente en la dirección del olor

más fuerte...

y

4

C  10 e

( x 2  2 y 2 ) / 104

(2 x i  4 y j) dr

C

dr  dx i  dy j

x

...para esto basta que 2 x i  4 y j

y

dr  C  0

dx i  dy j sean paralelos

i j k dx dy dx dy 0  0    2x  4 y  2x  4 y 0

y

C  104 e ( x

2

 2 y 2 ) / 104

(2 x i  4 y j) dr

C

dr  dx i  dy j

x

dx dy 2dx dy      y  Ax 2  2x  4 y x y

y

(x0, y0)

x

 x y0 y  Ax  A  2  y  y0   x0  x0  2

2

¡la trayectoria de JAW es una parábola!

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

𝐹Ԧ = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 =

𝐽=

𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑖Ԧ + 𝑗Ԧ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕2𝜑 𝜕𝑥 2 𝜕2𝜑 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2𝜑 𝜕𝑥𝜕𝑧

𝜕2𝜑 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕2𝜑 𝜕𝑦 2 𝜕2𝜑 𝜕𝑦𝜕𝑧 2

2

𝜕2𝜑 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕2𝜑 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕2𝜑 𝜕𝑧 2 2

𝜕 𝜑 𝜕 𝜑 𝜕 𝜑 𝑑𝑖𝑣𝐹Ԧ = 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑧 2

𝑑𝑖𝑣 𝛻𝜑 = 𝛻 2 𝜑

𝛻2𝜑 = 0