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• DENNIS PABEL RAMIRO MAMANI SIMEON

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL - DISTRIBUCIONES MUESTRALES

[email protected] Material de Clases © G.P..P 14/06/2017

OBJETIVO DE LA INFERENCIA

MUESTRA (n) E S T I M A D O R

Población (N)

x

µ

S2

INFERENCIA p

σ2 π

P A R A M E T R O

La distribución de probabilidad de una estadística (estimadosr) recibe el nombre de distribución muestral, por ejemplo la distribución de probabilidad de recibe el nombre de distribución muestral de la media Material de Clases © G.P..P 14/06/2017

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

n1

N

n2

n3 n4

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Ejemplo 1: El tiempo de atención por cliente de un cajero de un Banco es normal con media 6 minutos y desviación estándar 2.5 minutos. a) Si se selecciona a un cliente ¿Cuál es la probabilidad que se demoren mas de 7 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de atención para una muestra de 15 clientes sea menor de 7 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención a un grupo de 15 clientes sea más de una hora y 15 minutos? d) Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar medias menores a 7 minutos fuese 0,9981? Solución: a) 𝑃(𝑋 >7)=0.3446 b) Si 𝑥𝑖 minutos de atención 𝑃 𝑥 < 7 = 𝑃 𝑍 < 1.549 = 0.9393 c)

Un tiempo de atención de 75 minutos a 15 clientes equivale a un tiempo promedio de atención de 75/15 = 5 minutos por cliente Luego, hay que hallar 𝑃 𝑥 > 5 = 0.9393 otra forma 75 − 𝑛𝜇 𝑃 𝑥𝑖 > 75 = 𝑃 𝑍 > = 𝑃 𝑍 > −1.549 = 0.9393 𝜎 𝑛 d) 𝑃 𝑥 < 7 = 0.9981 ⇒ 𝑛 = 53 Material de Clases © G.P..P 14/06/2017

Ejemplo2: Supóngase que el tiempo que un artículo que permanece en stock es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (1,7). De una producción de 100 de estos artículos, calcular la probabilidad de que el tiempo medio de permanencia en stock de los mismos sea mayor que 4.5 Solución: 1 𝑓 𝑥 = 6 1≤𝑥≤7 0 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐸 𝑥 =

𝑎+𝑏 1+7 = =4 2 2

𝑏−𝑎 𝑉 𝑥 = 12 𝑋 ≈ 𝑁 4,

2

7−1 = 12

2

=3

3 100

𝑃 𝑋 > 4.5 = 𝑃 𝑍 >

4.5 − 4 3 /10

= 𝑃 𝑍 > 2.89 = 0.001926

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Ejemplo 3: Los pesos de las personas que suben a un ascensor se distribuyen normalmente con media igual a 70.5 kg y desviación estándar de 13.7 kg. Un grupo de 9 personas sube al ascensor. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio del grupo sea menor de 68 kilos? b) El ascensor tiene una capacidad máxima de 1000 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que se exceda ésta capacidad con un grupo de 9 personas? Ejemplo 4: Consideremos las alturas de los estudiantes es una variable aleatoria normal de media 172 cm y desviación típica 11 cm. a)

¿Cuál es la probabilidad de que la distancia entre la media muestral y la media poblacional sea menor que 1 cm, en una muestra de 300 estudiantes? R: 0.8847

b) ¿Cuál será el tamaño de la muestra para tener una probabilidad del 0.95 de la media muestral difiera de la media poblacional en menos de 1 cm? R: n= 465

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Ejemplo5 La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12. a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una puntuación de 45? b) Si extraemos una muestra aleatoria simple de 16 alumnos:. ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58? c) ¿Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar medias superiores a 52 fuese 0,2578? Rpta: a) 0.6628; b) 0.9962; c) n=15 Ejemplo6: El proceso de envasado de cierto producto tiene un distribución normal con una desviación estándar de 20 gramos y con una media μ que debe ser bien regulada. a) La media μ del proceso este bien regulada si sólo el 1% de los pesos de las bolsas producidas tienen pesos mayores a 546,6 gramos. ¿Cuánto vale la μ bien regulada? Rpta: μ=500 b) Con la media del proceso bien regulada, se programará el siguiente control: cada hora se escogerán al azar 4 bolsas , si el promedio de los pesos no esta en el intervalo [480, 520] gramos, se para el proceso para realizar un mantenimiento, en caso contrario, se continua con el proceso. ¿ Cuál es la probabilidad de que se pare el proceso cuando realmente este bien regulado? Rpta: 0.0456 c) Si el proceso este bien regulado. ¿Con que tamaño de muestra se consigue que el peso promedio muestral sea a lo mas 490.2 gramos con probabilidad igual a 0.025? Rpta: n=16

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Ejemplo 1: De acuerdo a los registros de calificaciones de la universidad, los resultados de los exámenes del curso de marketing, siguen una distribución normal con una media de 78 y una varianza de 36. a) Qué calificación mínima debe obtener un alumno, para ser considerado dentro del quinto superior del curso? b) Si se selecciona al azar una muestra de 30 exámenes correspondientes al parcial de Marketing en este ciclo ¿Cuál debe ser la calificación promedio mínima en dicha muestra, para que sea considerada dentro del quinto superior de los promedios de todas las muestras posibles del mismo tamaño? Solución .a) La población o variable aleatoria X, está formada por los resultados o calificaciones de los exámenes de marketing, de modo que: X ~ N(78, 36). La calificación mínima A, del 20% superior del curso, se obtiene de:

P ( x  A)  0,20

Esto es: P(x  A)  0.80  A  83.0496

jueves, 21 de junio de 2018

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b) En este caso, la muestra es de tamaño: n=30, y 𝑥= { Resultados o calificaciones promedio de las muestras de tamaño 30}, de modo que:

x ~ N 78, 1.2 

La calificación promedio minina A, del 20% superior de los promedios de todas las muestras de tamaño 30, se obtiene de:

P( x  A)  0,20 Esto es : P( x  A)  0,80  A  78,9219

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Ejemplo 2: El gerente de producción de una fábrica de productos marinos envasados asegura que el producto presentado en el nuevo envase tiene un peso promedio de 100 gramos. La gerencia antes de lanzar el producto al mercado, exige al jefe del área de control de calidad que someta a una prueba de pesos y medidas a dicho producto. El jefe del Área de CC, selecciona al azar 10 envases y obtienen los siguientes resultados: 97; 102; 103; 92; 103; 96; 98; 97; 99; y 95. ¿Cuál será la probabilidad de que el peso promedio de la muestra supere los 102 gramos? Solución .De los datos se obtiene que:  = 100; n = 10; s = 3,6148

En este caso no se conoce la varianza de la población. La distribución t de Student con (n-1) gl: 𝑡~𝑡(9) Por tanto, se tiene que calcular:

 102  100  P ( x  102)  P  t    P (t  1,75195)  3,61 10   0,05685 Material de Clases © G.P..P 14/06/2017

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION Si de una población distribuida Binomialmente con probabilidad de éxito p, se extrae una muestra aleatoria de tamaño n, entonces se puede mostrar que la media de X: número de éxitos en la muestra, es µ= np y que su varianza es σ2= npq PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL MUESTRAL

1. La distribución es aproximadamente normal y la aproximación se considera buena para np≥0.5 y n(1-p)≥0.5 2. Donde

E ( p)   p  p

Donde: p : Proporción poblacional x p  : proporción muestral n

y

p 

z

pq pq  p  N ( p, ) n n

p  p

p

p  p x  np   pq npq n

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Ejemplo1: El fabricante de maquinas despachadoras de café indica que de cada 1000 vasos servidos, sólo 15 vasos tienen una cantidad de café por debajo de las 8 onzas (medida estándar establecida). Una empresa que va comprar este tipo de máquina quiere evaluar si esto es verdad. Esto es, desea estimar la proporción de vasos servidos con cantidad de café por debajo de las 8 onzas, en base a los datos de una muestra aleatoria de 100 vasos de café que ha servido esta máquina. ¿Cuál es la probabilidad que esta proporción en la muestra se encuentre entre 1,2% y 2,0%? Solución.X: Vasos que tienen un contenido de café por debajo de las 8 onzas. 𝑥 15 𝑝 = 𝑁 = 1000 = 0,015 proporción de vasos con un contenido menor que 8 onzas. n = 100 muestra de vasos observados p  p p p z  Donde:

p

𝜇𝑝 = 𝑝 = 0.015 𝑦 𝜎𝑝 =

𝑝𝑞 = 𝑛

pq n

(0.015)(0.985) = 0.012155 100

𝑃 0.012 < 𝑝 < 0.020 = 𝑃 −0.2468 < 𝑍 < 0.4113 = 0.2570 Material de Clases © G.P..P 14/06/2017

Ejemplo2 : Suponga que el 15% de los artículos que se producen en una línea de ensamble son defectuosos, pero que el gerente de producción no se ha enterado. También suponga que el departamento de aseguramiento de la calidad prueba 50 piezas para determinar la calidad de la operación de armado. Sea la p proporción muestral de piezas defectuosas que encontró la prueba de aseguramiento de calidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de la muestra esté a ± 0,03 o menos de la proporción de piezas defectuosas en la población? Sol: 0,4448 b) Si la prueba indica que p = 0,10 o más, de piezas defectuosas, la línea de ensamble se para y se investiga la causa de los defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de 50 piezas lleve a la conclusión de que debe pararse la línea de ensamble? Sol: 0,8389 Ejemplo3: Una encuesta el 2015 por Datamotion encontró que el 34% de los encuestados utilizaban aplicaciones basadas en Windows en su computadora. a) Si se toma una muestra de 500, ¿cuál es la probabilidad de que el error muestral sea superior al 3%? Sol: 0,1528 b) Si se toma una muestra de 1000. ¿Cuál es la probabilidad de que el error muestral sea superior al 3%? Sol: 0,0456

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Distribución de la Varianza Muestral Sea X una población que tiene una distribución normal; si se toma una muestra aleatoria x1, ..., xn se puede calcular la estadística varianza muestral, que esta dada por: 𝑛 2 𝑥 − 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑠2 = 𝑛−1 de donde se puede deducir: 2 𝜒𝑛−1 =

𝑛 𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑥 𝜎2

2

(𝑛 − 1)𝑠 2 = 𝜎2

Así se puede afirmar que: 2 𝜒𝑛−1 es una distribución Chi- cuadrada con (n-1)grados de libertad

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Ejemplo 1: Un investigador afirma que la varianza de una determinada población, que sigue una distribución normal, es igual a 21.3. Sin embargo, podría rechazar tal afirmación si la varianza de una muestra aleatoria de tamaño 15 excede a 39,74. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha afirmación sea rechazada? Solución.- La probabilidad de rechazar la afirmación está dada por:

 ( n  1) s 2 (15  1)(39.74)  P( s  39.74)  P    2 21.3     P  142  26.12   1  P  142  26.12   1  0.975  0,025 2

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Ejemplo 2: Se sabe que la duración de paneles luminosos fabricados por una compañía tiene una distribución normal, con una media de 2000 horas y una desviación típica de 60 horas. Si se seleccionan al azar 10 paneles, ¿Cuál será la probabilidad que la desviación estándar muestral: a) No supere las 50 horas? R=0.7147 b) Se encuentre entre 50 y 70 horas? R=0.5151 Ejemplo 3: Las bolsas de plástico empleadas para empaquetar productos se fabrican de forma que la resistencia a la rotura tenga una distribución normal con  = 5 kg/cm2 . Si se toma una muestra al azar de 16 bolsas. ¿Qué valor máximo tendrá la desviación estándar de la muestra con probabilidad 0.95?

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