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• Deivid Mamani Torres

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Métodos de optimización son de gran importancia en la practicas, particularmente en la ingeniería, experimentos científicos y toma de decisiones económicas.

OPTIMIZACIÓN INTRODUCCIÓN.

Aumentar la presión para reducir costes, mejorar la calidad del producto, minimizar riesgos medio ambientales, son algunas de las motivaciones para desarrollar herramientas de optimización

El concepto de optimización fue incluido en las empresa cuando el mercado comprador que caracterizó las primeras décadas de la revolución industrial comenzó a transformarse hasta convertirse en el mercado vendedor fuertemente competitivo de nuestros días. (Marta B. Ferrero y Omar J. A. Chiotti, MODELADO, SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS QUÍMICOS)

Definimos la optimización al proceso de seleccionar, a partir de un conjunto de alternativas posibles, aquella que mejor satisfaga el o los objetivos propuestos. (Marta B. Ferrero y Omar J. A. Chiotti, MODELADO, SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS QUÍMICOS)

Para resolver un problema de optimización se requieren dos etapas principales:

Se puede aplicar la Programación Matemática a cualquier problema en el que haya que tomar una decisión, realizar una planificación de cualquier tipo, elegir entre diferentes opciones, etc…: • Distribución de productos desde la planta de producción hasta destino a mínimo costo. •

Asignación de tareas a trabajadores Planificación de rutas optimas de distribución (mínimo recorrido – o mínimo tiempo- para repartir mercancía y volver al origen.

•

Asignación óptima de recursos en producción: Dentro de una serie de posibles productos decidir qué producir y en qué cantidad para maximizar beneficios

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos.

El nombre de Investigación de Operaciones fue

dado aparentemente porque el equipo estaba llevando

a

cabo

la

operaciones (militares).

actividad

de

investigar

Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias.

La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio de Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig

Desde entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperación de las personas interesadas tanto en el área académica como en el área industrial.

Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigación de Operaciones fue el desarrollo de la computadora, que con sus tremendas capacidades de velocidad de cómputo y de almacenamiento y recuperación de información, permitieron al tomador de decisiones rapidez y precisión.

Si no hubiera sido por la computadora, la Investigación de Operaciones con sus grandes problemas de computación no hubiera crecido al nivel de hoy en día.

Actualmente la Investigación de Operaciones se está aplicando en muchas actividades. Estas actividades han ido más allá de las aplicaciones militares e industriales, para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización

Algunas fechas, nombres y temas • 1759 Quesnay (ecónomo) - Programación Matemática

• 1874 Walras • 1873 Jordan - Precursor de modelos lineales • 1896 Minkowsky - Precursor de modelos lineales

• 1903 Farkas - Precursor de modelos lineales

• 189~ Markov - Precursor modelos dinámicos probabilísticos • 192~ - Primer desarrollo de modelos de inventarios • 191~ Erlang - Primeros estudios de líneas de espera • 1920-30 Koning y Egervary - Métodos de asignación (analíticos) • 1937 von Neuman - Teoría de juegos y de preferencias • 1939 Kantorovich - Problemas de distribución

• 2da guerra - Logística estratégica para vencer al enemigo • 1945 Finales 2da guerra - Logística de distribución de recursos de los aliados (Rand Corporation- Fuerza aérea norteamericana) • 1947 Dantzig, George - Método simplex en base al trabajo de precursores, • • • • •

Inicio a la Programación Lineal. 1950-60 - Bellman - Programación dinámica. - Kuhn y Tucker - Programación No Lineal. - Gomory - Programación Entera. - Ford y Fulkerson - Redes de optimización.

- Markowitz - Simulación. - Arrow, Karloin, Scarf, Whitin - Inventarios. - Rafia - Análisis de Decisiones. - Howard - Procesos Markovianos de Decisión. - Churchman, Ackoff, Arnoff - Orientación a sistemas, generalización de la Investigación Operativa.

1970 y parte década 80 - Receso en el uso de la Investigación de Operaciones

1985 en adelante Reflorecimiento de la disciplina con el devenir del control automático industrial, las microcomputadoras y las nuevas interfaces gráficas que impulsan el desarrollo de los Sistemas Automatizados de Apoyo a la toma de decisiones, donde la Investigación Operativa juega un papel preponderante.

NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización.

La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima)

para el problema bajo consideración.

EL GRUPO INTERDICIPLINARIO Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en los campos apropiados.

¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES?

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

Sobre la definición: •Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.

•La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.

•La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.

SOLUCIÓN DE MODELOS OPERACIONES

DE

INVESTIGACIÓN

DE

Ejm1. Imagine usted que tiene un compromiso de negocios por 5 semanas entre Arequipa y Lima. Sale de Arequipa el lunes y regresa el miércoles. Un boleto regular de viaje redondo(ida y vuelta) cuesta S/.400 pero se ofrece el 20% de descuento si las fechas del boleto comprende un fin de semana. Un boleto sencillo en cualquier dirección cuesta 75% del precio regular.

¿Como debo comprar los boletos para el periodo de 5 semanas?

Podemos considerar la situación como un problema de toma de decisiones cuya solución requiere responder tres preguntas: 1.- ¿ Cuales son las Alternativas de decisión? 2.- ¿ Bajo que restricciones se toma la decisión? 3.- ¿ Cual es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas?

En general el primer paso es: La definición de las alternativas o las variables de la decisión del problema, a continuación, se usan las variables de decisión para construir la función objetivo y las restricciones del modelo, terminado los 3 pasos, el modelo se suele organizar en el siguiente formato:

donde f(x,y) es la función objetivo a minimizar (maximizar) – función escalar- que está sujeta a restricciones de desigualdad, igualdad, tanto de variables continuas x, como variables discretas y.

Maximizar o Minimizar la Función Objetivo

Sujeta a:

Restricciones

La solución del modelo es: •Factible si satisface todas las restricciones •Optima si además de ser factible, produce el mejor valor ( máximo o mínimo) de la función objetivo

En la investigación de operaciones no solo se tiene una sola técnica general con la que se resuelven todos los modelos matemáticos. En lugar de ello, la clase y la complejidad del modelo matemático determina la naturaleza del método de solución, por ejemplo:

La técnicas mas importante de investigación de operaciones es la programación lineal para modelos con funciones objetivo y restricciones estrictamente lineales.

Existen otras técnicas, como la programación entera, en las que las variables toman valores enteros La programación dinámica, en la que el modelo original se puede descomponer en sub-problemas mas pequeños

La programación en red en la que el problema se puede modelar como una red La programación no lineal, en la que las funciones del modelo son no lineales

Una peculiaridad de la mayoría de las técnicas de investigación de operaciones es que en general las soluciones no se obtienen en formas cerradas, es decir parecidas a formulas, en lugar de ello se determina mediante Algoritmos.

Un algoritmo proporciona reglas fijas de computo que se aplican en forma repetitiva al problema y cada repetición (llamada iteración) obtiene una solución cada vez mas cercana a la optima. Como los cálculos asociados con cada iteración son tediosas y voluminosas, es necesario ejecutar esos algoritmos en una computadora.

Algunos modelos matemáticos pueden ser tan complicados que es imposible resolverlos con cualquier algoritmo de optimización. En esos casos se podrá necesitar abandonar la búsqueda de la solución optima, para solo buscar una solución buena usando heurísticas o reglas simples.

Ejm:

Una empresa produce enormes cargas, mediante el calentamiento de un a mezcla química en un contenedor presurizado. Cada vez que se procesa una carga, se produce una cantidad distinta de químico( wozac). La cantidad producida es el rendimiento del proceso (medido en libras). A la empresa le interesa maximizar el rendimiento del proceso

Solución: Lo primero que le interesa a la empresa es determinar los factores que influyen en el rendimiento del proceso. A esto se le podría llamar modelo descriptivo, porque describe el comportamiento del rendimiento real como una función de varios factores. La empresa podría determinar ( mediante métodos de regresión) cuales son los factores siguientes influyen en el rendimiento:

•Volumen del contenedor (V) •Presión del contenedor en mililitros (P) •Temperatura del contenedor en grados Celsius (T) •Composición química de la mezcla procesada

Si A, B y C son los porcentajes de la mezcla compuesta por los productos químicos A, B, y C, entonces, la empresa podría descubrir por ejm que : Rendimiento = 300 + 0.8V +0.01P1 + 0.06T1 + 0.001T1*P - 0.01T2 – 0.001P2 + 11.7A + 9.4B + 16.4C + 19A*B + 11.4A*C – 9.6B*C

Restricciones: •El volumen debe estar entre 1 y 5 litros •La presión debe ser entre 200 y 400 mililitros •La temperatura debe estar entre 100 y 200 grados Celsius •La mezcla debe estar compuesta solo de A, B, y C •Para que el fármaco se comporte de manera adecuada, solo la mitad de la mezcla cuando mucho puede ser del producto A

Maximizar z = 300 + 0.8V +0.01P1 + 0.06T1 + 0.001T1*P - 0.01T2 – 0.001P2 + 11.7A + 9.4B + 16.4C + 19A*B + 11.4A*C – 9.6B*C

Mediante el paquete Lingo, se establece la solución optima para este modelo es: V= 5, P=200,

T=100, A= 0.294,

B=0, C=0.706 y z= 209.384

Por consiguiente un rendimiento máximo de 209.384 libras se obtiene con un contenedor de 5 litros, presión de 200 mililitros, temperatura de 100 ºC, y 29% de A y 71% de C. Esto quiere decir que con ninguna otra combinación factible de las variables de decisión es posible obtener un rendimiento que sobrepase 209.384 libras.

FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Se debe practicar el siguiente procedimiento de construcción de modelos, en siete pasos: 1.- Plantear el problema.- El investigador de operaciones define el problema, se incluyen los objetivos específicos y las partes que se deben estudiar para resolver el problema

2.- Observar el problema.- El investigador de operaciones reúne información para estimar el valor de los parámetros que afectan el problema

3.- Formular un modelo matemático del problema.- El investigador de operaciones elabora un modelo matemático del problema.

4.- Verificar el modelo y usar el modelo para predecir.El investigador de operaciones trata de determinar si el matemático (paso 3) es una representación de la realidad

5.- Seleccionar una opción adecuada.- El investigador de operaciones, dado un modelo y un conjunto de opciones, selecciona la opción que cumple mejor los objetivos.

6.- Presentar los resultados y la conclusión del estudio a la empresa.- El investigador de operaciones presenta el modelo y las recomendaciones surgidas del paso 5

7.- Poner en marcha y evaluar las recomendaciones.- Si la empresa acepta el estudio, entonces se pone en marcha las recomendaciones, se debe monitorear en forma continua el sistema

Ejemplo: Klingman y Col.(1987), aplicaron una variedad de técnicas de la ciencia de la administración a CITGO Petroleum. Mediante su trabajo, la compañía, ahorro unos 70 millones de dólares al años. CITGO es una compañía que refina y comercializa petróleo Se trata dos aspectos de la investigación del equipo de CITGO.

1.- Un modelo matemático para optimizar la operación de las refinerías de CITGO

2.Un modelo matemático-sistema de abastecimiento, distribución y comercialización (ADC)- que se uso para elaborar un plan de 11 semanas para comercializar, distribuir y abastecer, que funcionara para toda la empresa

OPTIMIZACION DE LAS OPERACIONES DE REFINACIÓN Paso 1: Klingman y col, quería minimizar el costo de operación de las refinerías de CITGO

Paso 2: La refinería fue sometida a estrecha observación en un intento por estimar las relaciones clave, como:

1. Cuanto depende el costo de producción de cada uno de los productos de CITGO (lubricantes para motores, aceite combustible numero 2, turbosina, gasolina y varios lubricantes para motor mezclados) en los insumos usados para manufacturar cada producto. 2. Cantidad de energía necesaria par producir cada producto. Esto requiere la instalación de un sistema nuevo de medición.

3. El rendimiento asociado con cada combinación de insumos-producto. Por ejemplo, si un galón de aceite crudo rinde 0.52 galones de lubricante, entonces el rendimiento seria igual a 52 %. 4. Para disminuir los costos de mantenimiento, la información se reunió a partir de inventarios de piezas y fallas de equipo. Para obtener datos precisos, se requirió la instalación de un sistema nuevo de administración de bases de datos y de un sistema integrado de información de mantenimiento.

También se instalo un sistema de control de procesos, con el fin de monitorear con toda seguridad los insumos y recursos usados para elaborar cada producto.

Paso 3. Se ideo un modelo para optimizar las operaciones de las refinerías usando programación lineal. El modelo establece el método para minimizar los costos de combinar todos los insumos para manufacturar los productos deseados.

El modelo contiene restricciones que aseguran que los insumos se mezclan de tal manera, que cada producto es de calidad especificada. El modelo impide que se exceda la capacidad de la planta, y facilita a todas las refinerías llevar un inventario de cada producto final. Paso 4. Se reunieron los insumos y productos de un mes en la refinería, para validar el modelo y dados los insumos reales en la refinería en dicho mes, el rendimiento real se comparo con el pronosticado por el modelo. Luego de cambios notables, el rendimiento pronosticado por el modelo estaba cercano al rendimiento real.

Paso 5. La aplicación de la programación lineal proporciono diariamente una estrategia para administrar la refinería. Por ejemplo, el modelo podría producir, digamos, 400000 galones de turbosina utilizando 300000 galones de aceite crudo 1 y 200000 galones del crudo 2 Paso 6 y 7. Una vez que el control de la base de datos y el proceso estuvieron en su lugar, el modelo se uso para guiar día tras día las operaciones de las refinerías. CITGO estimo que los beneficios globales del sistema de las refinerías fueron mayores a los 50 millones de dólares por año.

EL SISTEMA DE ABASTECIMIENTO, DISTRIBUCIÓN Y COMERCIALIZACION (ADC) Paso 1: CITGO deseaba un modelo matemático que se pudiera usar para tomar decisiones respecto a abastecimiento, distribución y comercialización, como 1 ¿ Dónde se debía comprar el petróleo crudo? 2 ¿Dónde se debían vender los productos? 3 ¿Qué precios se debían pedir por los productos? 4 ¿Cuánto de cada producto se debía conservar en inventario?

El objetivo era, naturalmente, maximizar la utilidad de estas decisiones

Paso 2. Se instalo una base de datos que seguía con atención ventas, inventario, comercio e intercambios de todos los productos refinados. Además, se uso un análisis de regresión para elaborar pronósticos para precios mayoreo y demandas de mayoreo para todos los productos de CITGO.

Paso 3 y 5. Se uso un modelo de flujo de redes de costo mínimo para determinar una estrategia de 11 semanas de abastecimiento, comercialización y distribución. El modelo toma todas las decisiones que se mencionan en el paso 1. correr un modelo característico de 3000 ecuaciones y 15000 variables de decisión, requiere solo 30 segundos en una computadora

Paso 4. Los módulos de predicción se evalúan en forma continua, para tener la seguridad de que dan predicciones exactas Paso 6 y 7. Poner en marcha, requirió varios cambios en la empresa. Se busco un nuevo vicepresidente para que coordinara la operación del ADC y del modelo de programación lineal de las refinerías. Los departamentos de abastecimiento de productos y programación de productos, se combinaron para mejorar la comunicación y flujo de información.

METODOLOGÍA DE OPERACIONES ( I O)

LA

INVESTIGACION

DE

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización

Los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.

FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.

La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:

a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

PRUEBA DEL MODELO Antes

de

usar

el

modelo

debe

probarse

exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar

VALIDACIÓN DEL MODELO

Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor

conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible.

ESTABLECIMIENTO DE CONTROL SOBRE LA SOLUCION Esta fase consiste en determinar los rangos de variación

de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.

Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios

en

los

parámetros

Usualmente esto se conoce como ANALISIS DE SENSIBILIDAD

del

modelo.

IMPLANTACIÓN DE LA SOLUCION El paso final se inicia con el proceso de "vender"

los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de

decisiones.

ÁREAS DE APLICACIÓN DE LA IO  Manufactura.  Transporte.

 Telecomunicaciones.  Salud.  Planeación.

 Servicios.  Finanzas.  Otros.

Organización Ministerio holandés de Infraestructura y Medio Ambiente (The Netherlands Rijkswaterstaat)

Monsanto Corp.

Weyerhaeuser Co.

Electrobras/CEPAL Brasil

Aplicación Desarrollo de la política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operaciones y costes Optimización de las operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo Optimización del corte de árboles para maximizar la producción de productos derivados de la madera Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía

Año

Ahorros anuales

1985

$15 millones

1985

$2 millones

1986

$15 millones

1986

$43 millones

Programación de turnos de trabajo en oficinas de United Airlines reservas y aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo Optimización de las operaciones de refinación y CITGO Petroleum de la oferta, distribución y Corp. comercialización de productos Optimización de inversiones de capital para producir gas Santos, Ltd. natural durante 25 años en Australia

1986

$6 millones

1987

$70 millones

1987

$3 millones

Administración de inventarios de petróleo y carbón para el Electric Power servicio eléctrico con el fin de Research Institute equilibrar los costos de inventario y los riesgos de déficit Optimización de la San Francisco programación y asignación de Police Department oficiales de patrulla con un sistema informatizado Optimización del diseño de una red nacional de Yellow Freight transporte y la programación System, Inc. de rutas de envío en Estados Unidos

1989

$59 millones

1989

$11 millones

1992

$17.3 millones

Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que Texaco, Inc. los combustibles obtenidos cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad Integración de una red nacional de IBM inventario de recambios para mejorar el apoyo al servicio Rapidez en la coordinación de aviones, tripulación, carga y U.S. Military Airlift pasajeros para manejar la Command evacuación por aire en el proyecto "Tormenta del Desierto" en el Medio Oriente Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventas American Airlines (exceso de reservas) y coordinación de vuelos para mejorar los beneficios

1989

$30 millones

1990

$20 millones + $250 millones en menor inventario

1992

Victoria

1992

$500 millones más de ingresos

Diseño de un programa efectivo de cambio de agujas para combatir el contagio del SIDA Desarrollo de un sistema informático en el diseño del centro AT&T de llamadas para guiar a los clientes del negocio Maximización de ganancias a partir de la asignación de los tipos Delta Airlines de aviones en 2.500 vuelos nacionales en Estados Unidos Reestructuración de toda la cadena de suministros entre Digital Equipment proveedores, plantas, centros de Corp. distribución, sitios potenciales y áreas de mercado Selección y programación óptima de proyectos masivos para cumplir China con las necesidades futuras de energía del país

New Haven Health Dept.

1993

33% menos contagios

1993

$750 millones

1994

$100 millones

1995

$800 millones

1995

$425 millones

Cuerpo de defensa Rediseño óptimo del tamaño y de la República de forma del cuerpo de defensa y su Sudáfrica sistema de armas Rediseño del sistema de producción y distribución Procter & Gamble norteamericano para reducir costos y mejorar la rapidez de llegada al mercado Programación óptima de empleados para proporcionar el Taco Bell servicio a clientes deseado con un costo mínimo Rediseño de tamaño y localización de inventarios de Hewlett-Packard seguridad en la línea de producción de impresoras para cumplir metas de producción

1997

$1.100 millones

1997

$200 millones

1998

$13 millones

1998

$280 millones de ingreso adicional