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Solución de un modelo de minimización Ejm. En granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 lb de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con mas composiciones siguientes: Alimento

Maiz Soya

lb por lb de Alimento Proteinas Fibras 0.09 0.02

Costo($/lb) 0.30

0.60

0.90

0.06

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo.

Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya, las variables de decisión del modelo se definen como sigue: X1: lb de maíz en la mezcla diaria

X2: lb de soya en la mezcla diaria La función objetivo trata de minimizar el costo diario total de la mezcla de alimentos, se expresa: Minimizar z = 0.3X1+0.9X2

Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dietéticas, como la granja necesita como mínimo 800lb X1+X2  800

Cuanto a restricciones dietéticas de proteína: 0.09X1+0.60X2  0.30(X1+X2) Cuanto a restricciones dietéticas de necesidades de fibras: 0.02X1+0.06X2  0.05(X1+X2)

simplificando las restricciones el modelo completo para solucionar es: Minimizar z = 0.30X1+0.90X2

Bajo las restricciones:

X1+X2  800

0.09X1+0.60X2  0.30(X1+X2)0.21X1-0.30X2  0 0.02X1+0.06X2  0.05(X1+X2) 0.03X1-0.01X2  0 X1,X2  0

Figura Solución grafica del modelo de la dieta

2000 2000 f( x)  800  x

f( x) g ( x) 

h ( x) 

0.21x 0.3 0.03x

g( x) 1000 h( x)

0.01

0 0

0

1000

0

x

2000 2000

ANÁLISIS GRAFICO DE SENSIBILIDAD Un modelo de programación Lineal (PL) es una foto instantánea de una situación real en los que los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y restricciones), asumen valores estáticos. Para aumentar la aplicación de la PL se necesita agregar una dimensión dinámica que investigue el impacto, que se tiene al hacer cambios en los parámetros del modelo, sobre la solución optima

6X1+ 4X2  24

X1 + 2X2  6 z= 5X1+4X2

Figura. Intervalo de optimalidad para el modelo de Reddy Mikks

CAMBIO DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS

En los modelos de PL, las restricciones representan el uso de recursos limitados, ya sea en forma directa o indirecta. En esta caso, se puede imaginar que el lado derecho representa limites de disponibilidad de los recursos.

Figura Intervalo de factibilidad para la materia prima M1 en el modelo de Reddy Mikks

Figura Intervalo de factibilidad para la materia prima M2 en el modelo de Reddy Mikks

VALOR POR UNIDAD DE UN RECURSO Una consecuencia útil de un modelo es determinar como los cambios en sus datos (recursos) pueden influir sobre los resultados( el valor objetivo). Esa medida se puede obtener como subproducto de los cálculos del intervalo de factibilidad.

En forma especifica, se trata de determinar el valor por unidad de un recurso, que se define como la tasa de cambio en el valor de la función objetivo debido a cambios en la cantidad disponible de recurso

Recursos del modelo

Actividades del modelo de Programación lineal

Valor Objetivo del modelo , z

Figura. Representación de un programa lineal de entrada y salida( datos y resultados)

Para el ejemplo de Reddy Mikks se obtiene:

El cambio de 1 tonelada de M1, en el intervalo de 20  M1 36 hará cambiar el valor optimo de z en $750 Para M2 el aumento o disminución de una tonelada en M1, en el intervalo de 4M120/30 aumenta o disminuye la utilidad en $500

SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN COMPUTADORA El procedimiento grafico se usa principalmente para visualizar algunas propiedades fundamentales de la solución de la PL. En la practica, donde los problemas para resolverlos con la PL implican miles de variables y de restricciones, la única forma de resolver esos problemas es en una computadora.

Los programas para resolver programas lineales son: TORA y EXCEL SOLVER solo sirven para problemas de tamaño moderado, para grandes aplicaciones se utiliza el LINGO, AMPL o LINDO.