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• Graciela Santisteban Vilchez

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BIOLOGÍA

MATEMÁTICA 2

OPTIMIZACIÓN ANDRÉS YNOÑÁN JIMÉNEZ

Números críticos El análisis de la FIGURA sugiere que si c es un número en el que la función f tiene un extremo relativo, entonces la tangente es horizontal en el punto correspondiente a x=c o no es diferenciable ahí

DEFINICIÓN: Un número crítico de una función f es un número c en su dominio para el cual f ´(c)= 0 o f ´(c) no existe.

CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS 4 ed Zill & Wright

MÁXIMOS Y MÍNIMOS = EXTREMOS Saber que una función tiene, o no, extremos relativos es importante en su gráfica. Cuando una función tiene un extremo relativo, debe ocurrir en un número crítico. Los números críticos son candidatos, para que ocurran extremos

CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS 4 ed Zill & Wright

MÁXIMOS Y MÍNIMOS = EXTREMOS

CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS 4 ed Zill & Wright

OPTIMIZACIÓN: MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES El problema de encontrar la mejor manera de hacer algo: OPTIMIZAR. Ejemplos: Un granjero necesita elegir la mezcla de cultivos apropiada para producir la mayor ganancia. Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos. A veces, un problema de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizar una función en un conjunto específico. El cálculo proporciona una herramienta poderosa para resolver el problema.

Cálculo diferencial e integral. PURCELL; VARBERG; RIGDON

OPTIMIZACIÓN: MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES

Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

PROBLEMAS TEXTUALES Cuando enfrentamos estos problemas, existe un paso inicial importante: debemos determinar la cantidad que se debe maximizar o minimizar. Esta cantidad será la variable dependiente. Después, la variable dependiente debe expresarse como función de una variable independiente. Resumiendo: 1. Encuentre la cantidad a maximizar o minimizar y etiquetar con una letra descriptiva. 2. Exprese la variable dependiente como función de la variable independiente. Utilizando la información del problema. Siempre dibuje una figura y etiquete las variables; en general, ésta es la mejor manera de encontrar la relación entre las variables. Debe expresar la variable dependiente como función de una sola variable independiente y varias constantes. Encuentre el dominio de esta función al igual que su fórmula. 3. Aplique cálculo para encontrar los puntos críticos 4. Identifique los extremos. 5. Conteste la pregunta planteada en el problema original. En otras palabras, interprete sus resultados.

Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

EJEMPLO. Problema del corral. Debemos construir un corral rectangular para animales. Para ahorrar material, usaremos un muro ya existente como uno de los cuatro lados. La barda para los otros tres lados cuesta $5/ft y cuesta $1/ft pintar el muro que forma el cuarto lado. Si podemos gastar un total de $180, ¿qué dimensiones maximizarán el área que podemos construir?

Cuando tenemos un problema en forma verbal, nuestra primera pregunta es, ¿por dónde empezar? El concepto de función es la clave para descifrar la situación. Si expresamos la cantidad a maximizar —la variable dependiente— como una función de alguna variable independiente: encontrar el valor máximo que alcanza la función. Geométricamente, ¿cuál es el punto más alto en la gráfica de esta función? El área A del corral como una función de la longitud x de la pared A=xy … (7) el costo total C del corral es C=x+5y+5x+5y 6x+10y=180 Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

6x+10y=180 …. (8)

Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

COMENTARIO El dominio de una función es una parte necesaria de su definición y para cada función debe especificarse. En las aplicaciones se usan los valores de la variable independiente que son relevantes al problema que se analiza. El ejemplo ilustra una parte importante de la solución de un problema aplicado típico: La formulación de un modelo matemático de la situación física que se estudia. El área de la función A(x) definida en (10) proporciona un modelo matemático para el problema del corral. La forma del corral óptimo se determina encontrando el valor máximo que alcanza la función A sobre su dominio Si se asigna $180 a los materiales para su construcción, y su área A=f(x) está dada por …..(10) La pregunta del área más grande posible del corral es equivalente al problema de encontrar el valor máximo que logra la función (10) en el intervalo cerrado [0, 30].

Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

Método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado.

Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

Cálculo con trascendentes tempranas Edwards & Penney

EJEMPLO, desplazamiento en agua y tierra: Reducir el tiempo al mínimo Un hombre echa al agua su bote desde el punto A en la margen de un río recto, de 3 km de ancho y desea llegar al punto B, a 8 km aguas abajo en la margen opuesta, en forma tan rápida como sea posible (véase Figura). Él podría remar en su bote directamente al otro lado del río al punto C y luego correr a B, o podría remar directamente a B o remar a algún punto D entre C y B y luego correr a B. Si él puede remar a 6 km/h y correr a 8 km/h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan rápido como sea posible

Cálculo STEWART

Cálculo básico con aplicación a la ciencia de la vida: HAEUSSLER, PAUL, WOOD, SEARS, ZEMANSKY

Cálculo básico con aplicación a la ciencia de la vida: HAEUSSLER, PAUL, WOOD, SEARS, ZEMANSKY

EJEMPLO

Matemática para Ciencias. CLAUDIA NEUHAUSER