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Ejercicios de OPTIMIZACIÓN. 1) Problema del cable más corto. Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste. (R: lmín: 2,32 + 9,83 = 17,20 m). 2) El primer problema de la ventana. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5 metros. (R: ancho: 1,4 m; alto: 1,4 m; r = 0,7 m). 3) Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de área. Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible. (R: 4 30 ; 5 30 ). 4) Un segmento de longitud de 5 cm apoya sus extremos en los semiejes positivos Ox y Oy, de tal manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del triángulo de área máxima así construido. 5) Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máxima. (R: 1,54; 0,99). 6) Dividir un segmento de 6 cm de longitud en dos partes con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máxima. (R: 5,3; 0,7). 7) En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso. (R: x = 5 dm; y = 5 dm; A = 25 dm2; cuantía = 25 euros).

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8) Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible? (R: 40; 20). 9) Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? Razonar el proceso. (R: 100, 100). 10) Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo? (R: 20 x 20 m). 11) Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el costo más bajo? (R: 15 x 40/3 m). 12) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. (R: x = 10, y = 5). 13) Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máxima. (R: 250, 500). 14) Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máxima. (R: x = 1,54; y = 0,99). 15) Se considera una ventana cuya parte inferior es rectangular y la superior es una semicircunferencia. El perímetro de la ventana mide 6 m. Halla las dimensiones “x” e “y” del rectángulo para que la

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superficie de la ventana sea máxima. (Expresa el resultado en función de ). (R: x = 1,68; y = 0,84). 16) Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor? Razonar el proceso seguido. (R: x = 3, y = 3). 17) Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm. (R: 2,2). 18) Se quiere construir un estanque en forma de paralelepípedo cuadrangular y recto cuya área sea 192 m2. Calcule las dimensiones del que tenga mayor volumen. 19) Calcule las dimensiones de un bote cilíndrico de 1 litro de capacidad para que se utilice en su construcción la menor cantidad posible de material. 20) El propietario de un edificio tiene alquilados los 52 pisos del mismo a 266 euros al mes cada uno. Por cada 7 euros que aumente en el alquiler de cada piso pierde un inquilino y, por tanto, queda el correspondiente piso sin alquilar. ¿Cuál es el alquiler que más beneficio producirá para el propietario? 21) Los costes de fabricación C(x) de cierta variedad de salchichas, dependen de la cantidad elaborada x, en kilos, de acuerdo con la siguiente expresión: C(x) = 10 + 170x. El fabricante estima que el precio de venta de cada kg de salchichas viene dado por p(x) = 200 – 0,025 x2. ¿Qué cantidad de salchichas le interesa producir para maximizar sus ganancias?

22) Una empresa de bebidas refrescantes sabe que, si x es el precio (en décimas de euro) de una botella de refresco, los beneficios de la empresa (en miles de euros) vienen dados por la expresión B(x) = 10 – x2 – 21. Se pide: a) Entre qué valores el beneficio es positivo. b) ¿Cuál es el precio de la botella que da el beneficio máximo? c) Beneficio máximo. Clases particulares de Matemática – Física – Química. www.matematicayfisica.com

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23) Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. ( x  10 2  y ). 24) Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo. (R: 2; 4/3). 25) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. (R: 225, 175). 26) Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? (R: 10 dm altura, 20 dm de lado). 27) Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determina su generatriz y su radio. (R: r 

5



;h 

10  

).

28) Entre todos los rectángulos de área 3m2, halla las dimensiones del que tenga mínimo el producto de las diagonales. (R: el cuadrado de lado 3 metros). 29) En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima. (R: base: 10 2 m, h = 5 2 m, Ámáx = 100 m2).

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30) Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesiten exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. (R: x = 48, y = 120; z = 144). 31) Una arquitecta quiere construir un jardín rectangular en un terreno circular de 100 m de radio. Halla las dimensiones de dicho jardín para que el área sea máxima. (R: x = 70,71 m; y = 70,71 m). 32) Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma. (R: x = e/2; S = 2 – 2ln2). 33) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad? (R: A = 3 alarmas, B = 6 alarmas). 34) Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea mínima (R: 19,54; -9,54). 35) Si un cultivador valenciano planta 200 naranjos por hectárea, el rendimiento promedio es de 300 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por hectárea, el cultivador obtendrá 15 naranjas menor por árbol. ¿Cuántos árboles por hectárea darán la mejor cosecha? (R: sin plantar árboles la producción que se obtiene es mejor que si aumentamos el número de frutales de esta variedad). 36) El propietario de un edificio tiene alquilados los 40 pisos del mismo a un precio de 600 euros cada uno. Por cada 60 euros que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. ¿A qué Clases particulares de Matemática – Física – Química. www.matematicayfisica.com

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precio le conviene alquilar los pisos para obtener la mayor ganancia posible? (Ayuda: llamar x = número de 60 euros que aumenta o lo que es lo mismo el número de inquilinos perdidos). ( R: aumentará 15.60 euros = 900). 37) Con una cartulina rectangular de 2 m x 3 m se quiere construir una caja sin tapa. Para ello se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. 38) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

39) Se quiere construir un recipiente cónico cuya generatriz mida 10 cm y que tenga capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?. 40) Se sabe que el rendimiento, r en %, de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por r(t) = 300t(1-t) siendo 0  t  1 , t en horas. a) Explica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b) ¿Cuándo se anula? c) ¿Cuándo es máximo? 41) Un comerciante compra artículos a 350 euros la unidad y sabe que si el precio de venta es 750 euros, vende 30 unidades al mes y que por cada descuento de 20 euros en el precio de venta, incrementa las ventas de cada mes en 3 unidades. Determina el precio de venta que hace máximos los beneficios del comerciante. 42) Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de dicha pista sea de 200 m, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular.

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43) El saldo, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo viene dado por la función: 4  0,2t si 0  t  4 3,2  0,04(t  4) si 4  t  8  f (t )   2 3,36  0,1(t  8) si 8  t  12  

Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue máximo.

44) Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho rendimiento es: R(t) = 30t – 10,5t2 + t3 siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. a) Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. b) Halla la tasa de variación media del rendimiento R(t) entre t = 2 y t = 4. 45) Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 2 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 2,5 euros y el de tramo vertical 3 euros. a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) ¿Cuál será ese coste mínimo? 46) Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) en miles de euros viene dada en función de la cantidad que se invierte, x en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: R(x) = -0,001x2 + 0,4x + 3,5. a) Deduce y razona qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan. b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá? 47) Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función:

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4t 2  4 si 0  t  2 P (t )    (5 / 2)t  25 si 2  t  8

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P(t). b) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzará el artículo? c) ¿Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años? 48) Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. 49) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. 50) Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor? 51) Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible la hojalata. 52) Descomponer el número 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo. (R: el primer sumando es 12 y el segundo, 24). 53) Se quiere construir el marco de una valla publicitaria rectangular de 12 metros cuadrados. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 1,5 euros, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta 2 euros. Determinar: a) Las dimensiones de la valla para que el coste sea mínimo. b) ¿Cuánto cuesta el marco? (R: a) 4 x 3; b) ) 54) Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie interior posible. a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería? (R: a) 2,5; 5; b) 12,5 m2). Clases particulares de Matemática – Física – Química. www.matematicayfisica.com

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55) La función de coste total de producción de x unidades de un determinado producto es C(x) = 1/2x2 + 3x + 200. Se define la función de coste medio por unidad como: Q(x) = C(x)/x. ¿Cuál debe ser la producción para que sea mínimo el coste medio por unidad? (R: 20 unidades). 56) Con una cartulina de 8 x 5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja. (R: 3 x 1 x 6). 57) Un rectángulo está acotado por los ejes y por la gráfica de y = (6 – x)/2. ¿Qué longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima? (R: 3 x 3/2). 58) ¿Qué puntos de la gráfica y = 4 – x2 están más cerca del punto (0,2)? Dato: distancia entre dos puntos (x,y), (x0,y0): d  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2

59)

 3 5  3 5 . (R:  , ,   ,  ). 2 2  2 2 

Un rectángulo está limitado por el eje x y por el semicírculo y  25  x 2 . ¿Para qué longitud y anchura del rectángulo se hace

mínima su área? (R:

5 2

,

5 2

).

60) Se pide calcular el volumen máximo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de ancho + alto + longitud sea 108. (R: 46656) 61) Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: la abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares. (R: 6 x 6 x 3) 62) Con 4 metros de alambre se desean construir un círculo y un cuadrado. ¿Cuánto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible? (R: 0,28; 0,56).

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63) Dado un cilindro de volumen 4 m3, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. (R: r = 0,86 m, h = 1,72 m). 64) Inscribir en una esfera de radio 1 m un cilindro circular que tenga: a) volumen máximo, b) área lateral máxima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura. (R: a) r = 0,817 m; h = 1,15 m; b) r = 0,707 m, h = 1,41 m). 65) El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un ángulo  respecto de la horizontal es R = (v02sen2)/g, donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular el ángulo  que produce alcance máximo.(R:  = /4). 66) Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 40 m/s. Calcule cuál es la máxima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es 10 m/s2. Ecuación que describe la altura en función del tiempo: h(t) = vt – g/2t2. (R: 80 m). 67) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre el eje x y está inscrito en el triángulo determinado por las rectas y = 0, y = x, y = 4 – 2x. (R: 1 x 2/3). 68) Hallar dos números que sumen 18 y que su producto sea máximo. (R: 9 y 9). 69) Hallar dos números que sumen 19 y que el producto del cuadrado de uno por el triple del otro sea máximo. (R: x = 6, y = 3). 70) Se quiere vallar una parcela rectangular junto a una carretera. Si la valla junto a la carretera cuesta 1 euro/m y el resto 50 céntimos/m. ¿Cuáles serán las dimensiones de la parcela para que el área sea máxima si disponemos de 180 euros? (R: 60 x 90 m). 71) Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil rectangular de área máxima, para lo cual aprovecha la pared de la finca y con 100 metros de valla construye ese redil. Halla las dimensiones del rectángulo. (R: 25 x 50).

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72) La suma de las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 36. Halla las dimensiones para que el volumen sea máximo. (R: x = 3, y = 3). 73) Un círculo de diámetro 8 cm se divide en dos trozos para formar los diámetros de otros dos círculos. Halla la medida de los trozos para que la diferencia entre el área del círculo grande y las de los dos pequeños sea máxima. (R: d = d´=4 cm). 74) Hallar los puntos de la curva y2 = x cuya distancia al punto (3/2,0) sea mínima. (R: (1,1) ).

75) La vidriera de una iglesia está formada por un rectángulo y sobre él una semicircunferencia, si se quiere que el perímetro sea mínimo y que el área sea 8 + 2 m2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la vidriera? (R: x = 4, y = 2 m). 76) Entre los pares de números cuyo producto es 64 encuentra aquellos positivos cuya suma de cuadrados sea mínima. (R: 8 y 8). 77) En un campo se quiere limitar una parcela de 24 m2 por medio de una valla rectangular y además dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mínima? (R: 6 m de largo por 4 m de ancho). 78) Se quieren fabricar latas de refresco (cilíndricas) cuyo contenido sea de 1/3 de litro, de manera que el coste de la chapa sea mínimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimensiones de cualquier lata que tengas en casa y comprueba si se fabrican siguiendo ese criterio. (R: R  (6 ) 1 / 3 h  3 36 / 27 ). 79) Se desea abrir una ventana rectangular en una pared de una casa. Queremos que nos salga lo más económico posible sin perder luz, Clases particulares de Matemática – Física – Química. www.matematicayfisica.com

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para ello pretendemos que el área sea de 16/15 m2. Sabemos que el coste en vertical es de 50 euros/m y en horizontal 30 euros/m. ¿Cómo debe ser la ventana? (R: 4/5 x 4/3)

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