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CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE

Índice

Introducción Contenido.................................................................................................................... 4 Respuesta natural....................................................................................................... 4 1.2 Respuesta forzada................................................................................................. 9 1.3 Respuesta total................................................................................................... 11 1.4 Identificación de circuitos...................................................................................... 13 Conclusiones............................................................................................................... 15 Bibliografía.................................................................................................................. 16 Anexos....................................................................................................................... 18

Introducción. El siguiente trabajo de invetigacion tiene como objetivo comprender y explicar el uso que tiene el análisis de circuitos en el dominio de Laplace, ya que con esta herramienta es posible resolver circuitos de cualquier tipo.,mostraremos la importacia y la fuerza que tiene laplace, a lo que resolvermos circuitos como RC. En relación con laplace tratrermos de explicar circutios de los siguientes tipo: respuesta natural RC (en serie y paralelo), respuesta forzada y repuesta total, así mismo daremos ejemplos de cada uno de los métodos, por consecuencia es de vital importacia identificar de qué tipo de circuito se trata, es decir, si es un circuito RC en serie o en paralelo, un circuito RLC de igual forma este también puede estar en serie o paralelo y determinar de acuerdo al número de elementos almacenadores de energía.

Contenido Respuesta natural Respuesta natural de un circuito RC. La un 13.10) de la

respuesta natural de circuito RC (figura por medio de técnicas transformada de Laplace.

El

capacitor se encuentra inicialmente cargado V0 volts y nos interesa conocer la expresiones dominio del tiempo que

hasta en

el

corresponde a

v . consiste en determinar

El

primer

i y paso

i . Al transformar el circuito de la figura 13.10 al dominio de Laplace,

se tienen que elegir dos circuitos equivalentes para el capacitor cargado. Debido a que lo que queremos encontrar es la corriente, es más ncillo tomar el circuito equivalente en serie; esto nos origina un circuito de una malla con respecto al dominio de la frecuencia. El circuito equivalente en serie en el dominio de Laplace se muestra en la figura 13.11. Sumando los voltajes alrededor de la malla se generan la siguiente expresión:

V0 1 = I + RI . s sC Resolviendo la ecuación anterior para

I

se obtiene:

I=

CV0 V 0 /R = RCs+1 1 s +( ) RC

Se toma en cuenta que la expresión para

I

s y puede

es una función racional propia de

ser transformada inversamente por inspección:

i=

V 0 −t e RC u ( t ) , R

Que es equivalente a la expresión de la corriente que se obtiene mediante los métodos clásicos. Después de que se ha encontrado

i , la manera más sencilla de determinar

v

es aplicar

única y sencillamente la ley de Ohm; esto es de acuerdo al circuito que tengamos, en este caso estamos hablando de un circuito en serie; −t

v =Ri=V 0 e RC u ( t ) .

Ejemplo de respuesta natural en un circuito transitorio de primer orden donde hay ausencia de fuentes.

El análisis de la respuesta natural que contienen tanto capacitores como inductores se ve limitado a dos formas simples de circuitos: el circuito RLC en paralelo y el circuito RLC en serie. Se siguen aplicando las leyes básicas de corriente y voltaje ya sea para un circuito en serie o un circuito en paralelo respectivamente.

Respuesta natural de un circuito RLC en serie. Para un circuito en serie determinar la respuesta natural consiste en determinar la corriente que se genera en cada uno de los elementos conectados en serie por la liberación de la energía almacenada inicialmente en el capacitor, en el inductor o en ambos elementos. La corriente del inductor inicial, I0, y el voltaje del capacitor inicial, V 0, representan la energía almacenada al principio, esto se representa en la figura 8.3.

Respuesta natural de un circuito RLC en paralelo.

Para un circuito en paralelo dada su naturaleza, la respuesta natural del circuito es contraria a la del circuito en serie, en este caso la respuesta natural consiste en determinar el voltaje que se genera en las ramas paralelas mediante la liberación de la energía almacenada en el inductor o el capacitor dependiendo del caso o de igual manera que el circuito en serie, en ambos elementos. El voltaje inicial en el capacitor, V 0, representa la energía almacenada en el capacitor. La corriente inicial que circula por el inductor, I 0, representa la energía inicial que se almacena en el inductor, lo anterior se representa gráficamente en la figura 8.1. El primer paso en la determinación de la respuesta natural del circuito de la figura 8.1 consiste en plantear la ecuación diferencial que debe satisfacer el voltaje

v . Se decide determinar

primeramente el voltaje, dado que es el mismo en cada elemento almacenador de energía. Una vez hecho esto, es posible encontrar el voltaje para la componente de la rama. Se obtiene de manera sencilla una ecuación diferencial para el voltaje sumando las corrientes que se salen del nodo superior, donde cada una de las corrientes esta expresada en función del voltaje indeterminado

v : t

v 1 dv + ∫ vdt +I 0+C =0. R L0 dt Posteriormente se elimina la integral de la ecuación anterior diferenciando una vez con respecto a

t , y, dado que

I0

es una constante, se obtiene:

2

1 dv v d v + +C 2 =0. R dt L dt Después vamos a dividir la ecuación por la capacitancia

C

y se ordenan las derivadas en

orden descendente:

d 2 v 1 dv v + + =0. dt 2 RC dt LC

Formas de la respuesta natural de un circuito RLC en paralelo. Hasta el momento se ha analizado el comportamiento de un circuito RLC de segundo orden y que depende de los valores de

s1 y

s 2 , lo que a su vez depende de los parámetros del circuito R, L y C. por

ende el primer paso para determinar la respuesta natural consiste en obtener estos valores, y enseguida, determinar si la respuesta es sobreamortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada. Para completar la descripción de la respuesta natural se requiere encontrar dos coeficientes desconocidos, tales como

A1

y

A 2 . El método utilizado para hacer esto se

basa en hacer corresponder la solución para la respuesta natural con las condiciones impuestas por el circuito, las cuales son el valor inicial de la corriente y/o voltaje así como el valor inicial de la primera derivada de la corriente y/o voltaje. Las formas de respuesta natural de un circuito RLC se obtienen de igual forma ya sea que el circuito este en paralelo o en serie, dicho esto en las siguientes ecuaciones donde aparece

X , le corresponde a v

o

i dependiendo de la naturaleza del circuito.

Cuando las raíces del polinomio característico son reales y distintas, la respuesta de voltaje o corriente de un circuito RLC, se dice que esta sobreamortiguada.

Cuando

ω20 > α 2 , y las raices del polinomio caracteristico la respuesta es subamortiguada.

son complejas,

Cuando

2

ω0 =α

2

o

ω0 =α

, y las raíces del

polinomio característico son reales e iguales, la respuesta es críticamente amortiguada.

1.2 Respuesta forzada La respuesta forzada de un circuito es el comportamiento mostrado como reacción a una o más fuentes independientes de señales. Esto

se debe a que la respuesta del circuito proviene de someterlo a una fuente por eso se le denomina respuesta forzada. La respuesta forzada es la salida ante la entrada no nula y condiciones iniciales nulas y equivale a la solución particular de la ecuación diferencial. La respuesta forzada

xf

del circuito general de segundo orden debe satisfacer la ecuación

diferencial o forzada mostrada a continuación:

d2 xf dxf +a1 + a0 x f =f (t) 2 dt dt Ecuación 1 Existen diversos métodos para obtener

x f , pero en este caso utilizaremos el procedimiento

que consiste en tratar de adivinar una solución tentativamente que ya nos haya funcionado bien hasta el momento. Analizando la ecuación 1, nos damos cuenta que para que la ecuación cierta, la combinación lineal de

xf

y sus derivadas debe de ser igual a

cuenta una solución tentativa en la cual

xf

f (t) . Tómese en

se adivina como combinación lineal de

f (t)

y

sus derivadas. Dado que una combinación lineal de combinaciones lineales sigue siendo una combinación lineal, esto nos dice que el planteamiento tentativo si podría funcionar. Dicho de otra forma, las diferencias de la combinación lineal de

f (t)

y sus derivadas requeridas en el

lado izquierdo de la ecuación 1 pueden producir que se cancelen términos, dejando solo a

f (t) , que es lo que se requiere para satisfacer la ecuación 1. El planteamiento tentativo, en último análisis, será calificado por la capacidad de satisfacer la ecuación diferencial. Ejemplo: Como ejemplo, consideremos la fuente dc Vg=16 V en el circuito de la figura 7.1.Entonces,por (7.4),

La ecuación característica es

Con respuesta natural

Puesto que el termino forzado f(t) es una constante f(t)=32,sus derivadas primera, segunda, y todas las demás, son cero. Entonces, la combinación lineal más general de F(f) y todas las derivadas, son simplemente una constante:

Sustituyendo esta solución forzada tentativa en (7.36)

La forma tentativa funciona si se fija A=2. Entonces, la solución total es:

Si conocemos la energía inicial almacenada en los inductores (o la corriente inductiva inicial) esto puede utilizarse para evaluar K1 y K2 como lo discutiremos en la siguiente sección. En el caso de tener funciones forzada constantes, como en este ejemplo, podemos obtener la solución forzada directamente del diagrama de circuito. En el estado estable de todas las corrientes y voltajes serán constantes, incluyendo la incógnita en la ecuación descriptiva. Por consiguiente, la solución forzada constante debe de ser idéntica al valor de estado estable dc. Recuérdese que este puede obtenerse reemplazando inductores por circuitos cerrados, y capacitores por circuitos abiertos. Este puede verificarse fácilmente para el circuito en la fig. 7.1, reemplazando los inductores por circuitos cerrados, de forma que por LVK alrededor de la trayectoria cerrada exterior

1.3 Respuesta total La respuesta total de un circuito está dada por la suma de la respuesta natural y forzada de la misma, debido que la respuesta natural contiene constantes indeterminadas, de igual forma la respuesta total. En el caso de circuitos de primer orden solo hay una constante indeterminada en la respuesta natural, en este caso es necesario especificar el valor de la constante para comprobar que la solución total concuerde con la energía inicial en el elemento de almacenamiento, es decir, la corriente inicial para el caso de un inductor o el voltaje inicial si se habla de un capacitor. En términos generales la respuesta total está dada por las siguientes ecuaciones, dependiendo del caso:

i t=i n +i f

v t =v n+ v f

Dónde:

i = corriente

n =natural

v = voltaje

f =forzada

Lo mencionado anteriormente también se aplica a circuitos de segundo orden, tanto en serie como en paralelo, que en este caso tienen dos elementos de almacenaje de energía y se mostrara gráficamente. Cada elemento (capacitor e inductor) abastece un valor inicial necesario para definir las dos constantes indeterminadas que va a contener la respuesta total del circuito. Se trata de dos corrientes inductivas iniciales y/o voltajes capacitivos, dependiendo del caso, pueden ser utilizadas para determinar las condiciones iniciales que se requieren para la resolución de la ecuación descriptiva de segundo orden.

Por ejemplo, considérese el circuito en serie RLC de la figura 7.6 supongamos que se nos da el voltaje inicialn Vc(0)= -6V en la corriente inductiva i(0)= 1A Por LVK.

FIGURA 7.6 Circuito RLC en serie forzado.

Diferenciando, la ecuación descriptiva para i(t) es:

Obtendremos la solución tota sumando las soluciones natural y forzada. La ecuación característica es:

Con una respuesta natural para este circuito RLC en serie sobre amortiguando (con raíces reales distintas).

De la tabla 7.1, la solución forzada tentativa es if= A e^-2t, y sustituyendo la (7.44)

O A=2.la solución total es entonces:

Evaluando la solución total (7.45) en t=0, el valor inicial de la derivada de la incógnita debe ser

Diferenciando la solución total y evaluándola en t=0,el valor inicial de la derivada de la incógnita debe ser:

Pueden utilizarse estas dos ecuaciones para determinar K1 y K2 si podemos relacionar las condiciones iniciales i(0) y di/dt|o con la variables iniciales del circuito, la corriente inductiva y el voltaje capacitivo. El primero de estos es fácil, puesto que i(O)=1A es justamente la corriente inductiva. Para relacionar di/dt|o con los valores dados, escribimos LVK sin alrededor de la trayectoria cerrada y la evaluación en t=0:

utilizando estos valores, podemos reescribir (7.46) como

Sumando la ecuación (7,47a,b)

K2=-2. Volviendo a sustituir en (7.47a), K1=1. La solución total (7.45) queda totalmente especificada como:

Los voltajes capacitivos y/o corrientes inductivas iniciales para determinar las condiciones iniciales requeridas pueden estar dadas, como en la ilustración anterior.

1.4 Identificación de circuitos Para poder resolver un circuito por el método que sea, es de vital importancia analizarlo primero e identificar de qué tipo de circuito se trata, es decir, si es un circuito RC en serie o en paralelo, un circuito RLC de igual forma este también puede estar en serie o paralelo y determinar de acuerdo al número de elementos almacenadores de energía (capacitor y/o inductor) si es un circuito transitorio de primer o segundo orden, para poder hacer el planteamiento correspondiente y poder obtener la respuesta natural, forzada y total de un circuito. Dependiendo si se trata de un circuito de primer o segundo orden, de esto va a depender también el número de constantes indeterminadas de la respuesta natural del circuito y a su vez estas también se ven reflejadas en la respuesta total del mismo. Orden del circuito transitorio: Número de elementos almacenadores de energía (Ceq y/o Leq) que tenga el circuito.

Circuitos transitorios de primer orden:

Circuitos transitorios de segundo orden:

Diagrama de circuitos RLC en serie y en paralelo:

CONCLUSIÓN El dominio de Laplace en el análisis de corriente alterna es un método muy extenso que ayuda a resolver dichos problemas de una manera más sencilla y variada que si se realizara de la

forma convencional, ya que para poder solucionarlos necesitas plantear ecuaciones que contienen integrales como derivadas y se hace un poco más complejo al resolverlo por lo cual es más factible dominio de Laplace en el análisis de circuitos por lo cual son sencillos de resolverlos. Para poder aplicar la ecuación de la transformada de Laplace primero tienes que saber analizar el circuito correctamente dependiendo de la naturaleza que este sea conforme a los elementos que se encuentran en el circuito ya sean capacitores, inductores y resistores y asi plantear las ecuaciones correspondientes.

Bibliografía Análisis básico de circuitos eléctricos David E. Johnson, John L. Hilburn, Johnny R. Johnson, Peter D. Scott Quinta edición Editorial Prentice Hall

Cicuitos eléctricos Joseph A. Edminister, Mahmood Nahvi Tercera edición Editorial Mc Graw Hill

Cicuitos eléctricos James W. Nilsson, Susan A. Riedel Sexta edición Editorial Pentrice Hall

Circuitos eléctricos introducción al análisis y diseño Dorf, Svoboda Tercera edición Editorial Alfaomega

Teoria de sistemas y circuitos Victor Gerez Greiser, M. A. Murray-Lasso

Editorial Alfaomega

http://linux0.unsl.edu.ar/~rlopez/circuitos/lab2.pdf

Anexos