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PROGRAMA DE CÓMPUTO Usando el programa Excel en el CD que acompaña este libro, se trazan gráficas X y R, gráficas Md y R, gráficas X y MR, gráficas EWMA, y capacidad del proceso. Los nombres de sus archivos son X-bar & R Charts, Md & R Charts, X & MR Charts, EWMA Charts y Process Capability, respectivamente.

EJERCICIOS 1. Se adjunta un formato típico de gráfica X y R con información sobre contenido de ácido, en mililitros. Termine los cálculos para los subgrupos 22, 23, 24 y 25. Trace la gráfica de los puntos para completar la gráfica de corrida. Trace una

GRÁFICA DE CONTROL PARA VARIABLES

DEPTO/ÁREA

IDENT. GRÁFICA: Problema 1

IDENT. OPERACIÓN

CARACTERÍSTICA: Contenido de ácido

MÉTODO DE VERIF.

VALOR NOMINAL: 0.70 mL

TOLERANCIA: ± 0.20

VALORES DE LA MUESTRA

IDENT. PARTE:

SUMA, ΣX

RANGOS

PROMEDIOS

PROMEDIO⎯X RANGO, R

244

CAPÍTULO

5

gráfica de control calculando y dibujando la línea central y los límites tentativos. Analice los puntos graficados para determinar si el proceso es estable. 2. Se van a establecer gráficas de control para X y R en determinada dimensión, en milímetros, de una parte. Se reunieron datos en tamaños de subgrupo igual a 6, y se citan a continuación. Determine la línea central y los límites de control tentativos. Suponga que hay causas asignables, y revise la línea central y los límites. NÚMERO DE SUBGRUPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X

R

20.35 20.40 20.36 20.65 20.20 20.40 20.43 20.37 20.48 20.42 20.39 20.38 20.40

0.34 0.36 0.32 0.36 0.36 0.35 0.31 0.34 0.30 0.37 0.29 0.30 0.33

NÚMERO DE SUBGRUPO

X

R

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

20.41 20.45 20.34 20.36 20.42 20.50 20.31 20.39 20.39 20.40 20.41 20.40

0.36 0.34 0.36 0.37 0.73 0.38 0.35 0.38 0.33 0.32 0.34 0.30

3. La tabla siguiente muestra el promedio y el rango, en kilogramos, obtenidos en pruebas de tensión para una cuerda de plástico, mejorada. El tamaño de subgrupo es 4. Determine la línea central y los límites de control tentativos. Si hay puntos fuera de control, suponga que hay causas asignables, y calcule los límites y la línea central revisados. NÚMERO DE SUBGRUPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X

R

476 466 484 466 470 494 486 496 488 482 498 464 484

32 24 32 26 24 24 28 23 24 26 25 24 24

NÚMERO DE SUBGRUPO

X

R

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

482 506 496 478 484 506 476 485 490 463 469 474

22 23 23 25 24 23 25 29 25 22 27 22

GRÁFICAS DE CONTROL PARA VARIABLES

245

4. Vuelva a resolver el ejercicio 2, suponiendo que los tamaños de subgrupo son 3, 4 y 5. Compare los límites de control. 5. Se llevan gráficas de control X y R para el peso, en kilogramos, de un pigmento para un proceso por lotes. Después de 25 subgrupos de tamaño 4, – Σ X ⫽ 52.08 kg (114.8 lb), y ΣR ⫽ 11.82 kg (26.1 lb). Suponiendo que el proceso se encuentra bajo control, calcule la línea central y los límites de control en la gráfica X y R, para el siguiente periodo de producción. 6. Se van a establecer gráficas de control para la dureza Brinell de acero endurecido para herramientas, en kilogramos por milímetro cuadrado. A continuación se muestran los datos para tamaños de subgrupo igual a 8. Determine la línea central y los límites de control tentativos para las gráficas X y s. Suponga que los puntos fuera de control tienen causas asignables, y calcule los límites y línea central revisados. NÚMERO DE SUBGRUPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X

S

540 534 545 561 576 523 571 547 584 552 541 545 546

26 23 24 27 25 50 29 29 23 24 28 25 26

NÚMERO DE SUBGRUPO

X

S

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

551 522 579 549 508 569 574 563 561 548 556 553

24 29 26 28 23 22 28 33 23 25 27 23

7. Se llevan gráficas de control de X y s, para la resistencia (en Ω) de una parte eléctrica. El tamaño de subgrupo es 6. Después de 25 subgrupos, – ΣX ⫽ 2046.5, y Σs ⫽ 17.4. Si el proceso está bajo control estadístico, ¿cuáles son los límites de control y la línea central? 8. Repita el ejercicio 6, suponiendo que el tamaño de subgrupo es 3. 9. Copie las gráficas de la figura 5-8 en papel transparente. Ponga esa copia sobre la gráfica R de la figura 5-5, y compare los patrones de variación. 10. Al llenar bolsas con fertilizante nitrogenado, se desea mantener un exceso promedio tan bajo como sea posible. El límite inferior de especificación es 22.00 kg (48.50 lb), el peso promedio de la población de sacos es 22.73 kg (50.11 lb), y la desviación estándar de la población es 0.80 kg (1.76 lb). ¿Qué porcentaje de

246

CAPÍTULO

5

las bolsas contiene menos de 22 kg? Si se puede admitir que 5% de las bolsas tengan menos de 22 kg ¿cuál sería el peso promedio? Suponga que la distribución es normal. 11. Las platinas (es decir, las bases) plásticas que se usan en un instrumento electrónico sensible se fabrican con una especificación máxima de 305.70 mm (unas 12 pulg), y especificación mínima de 304.55. Si las platinas tienen menos que la especificación mínima, se desechan; si tienen más que la especificación máxima, se reprocesan. Las dimensiones de esas partes tienen distribución normal, con la media poblacional de 305.20 mm y desviación estándar de 0.25 mm. ¿Qué porcentaje del producto es desperdicio? ¿Qué porcentaje es reprocesamiento? ¿Cómo se puede centrar el proceso para eliminar todo el desperdicio, salvo 0.1%? En ese caso ¿cuál será el porcentaje de reprocesamiento? 12. Una empresa fabrica sellos de aceite y ve que el promedio de población es 49.15 mm (1.935 pulg), la desviación estándar poblacional es 0.51 mm (0.020 pulg), y que los datos tienen distribución normal. Si el diámetro interno del sello es menor que el límite inferior de especificación, de 47.80 mm, se reprocesa la parte. Sin embargo, si es mayor que el límite de especificación superior de 49.80 mm, el sello se desecha. (a) ¿Qué porcentaje de los sellos se reprocesa? ¿Qué porcentaje se desecha? (b) Por diversas razones se cambia el promedio de proceso a 48.50 mm. Con esta nueva media o centro de proceso, ¿qué porcentaje de los sellos se reprocesa? ¿Qué porcentaje se desecha? Si el reproceso es económicamente factible, ¿es una decisión correcta el cambio de centro de proceso? 13. Los datos históricos del ejercicio 37 tienen un tamaño de subgrupo igual a 3. No hay tiempo de reunir datos para un estudio de capacidad del proceso usando un tamaño de subgrupo de 4. Determine la capacidad del proceso usando los primeros 25 subgrupos. Use un valor de D2 para n ⫽ 3. 14. Repita el ejercicio 13 usando los últimos 25 subgrupos y compare los resultados. 15. Determine la capacidad del proceso de cementación (endurecimiento superficial) en el ejercicio 6. 16. Determine la capacidad del proceso con pruebas de resistencia de la cuerda mejorada a la tensión del ejercicio 3. 17. ¿Cuál es la capacidad del proceso en: (a) El ejercicio 2? (b) El ejercicio 5? 18. Determine el índice de capacidad antes (s0 ⫽ 0.038) y después (s0 ⫽ 0.030) de la mejora en el problema de ejemplo 5-8, usando las especificaciones 6.40 ⫾ 0.15 mm. 19. Se inicia un nuevo proceso, y la suma de las desviaciones estándar muestrales para 25 subgrupos de tamaño 4, es 750. Si las especificaciones son 700 ⫾ 80 ¿cuál es el índice de capacidad del proceso? ¿Qué acción recomienda usted?

GRÁFICAS DE CONTROL PARA VARIABLES

247

20. ¿Cuál es el valor de Cpk después de la mejora en el ejercicio 18, cuando el centro del proceso es 6.40? ¿Cuando el centro del proceso es 6.30? Explique por qué. 21. ¿Cuál es el valor de Cpk para la información del ejercicio 19, cuando el promedio del proceso es 700, 740, 780 y 820? Explique por qué. 22. Determine la línea central y los límites de control revisados para una gráfica de suma de subgrupo, usando los datos de: (a) El ejercicio 2 (b) El ejercicio 3 23. Determine la línea central y los límites de control tentativos para una gráfica de promedio móvil y rango móvil usando un periodo de 3. Los datos, en litros, son los siguientes: 4.56, 4.65, 4.66, 4.34, 4.65, 4.40, 4.50, 4.55, 4.69, 4.29, 4.58, 4.71, 4.61, 4.66, 4.46, 4.70, 4.65, 4.61, 4.54, 4.55, 4.54, 4.54, 4.47, 4.64, 4.72, 4.47, 4.66, 4.51, 4.43, 4.34. ¿Hay puntos fuera de control? 24. Repita el ejercicio 23, con un intervalo de tiempo de 4. ¿Cuál es la diferencia en la línea central y los límites de control? ¿Hay puntos fuera de control? 25. En un hospital se terminó un proyecto de mejoramiento de la calidad para el tiempo de admisión de un paciente usando gráficas X y R. Ahora, el hospital desea vigilar la actividad usando gráficas de mediana y rango. Determine la línea central y los límites de control con los últimos datos, en minutos, presentados a continuación: NÚMERO DE

OBSERVACIÓN

NÚMERO DE

OBSERVACIÓN

SUBGRUPO

X1

X2

X3

SUBGRUPO

X1

X2

X3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6.0 5.2 5.5 5.0 6.7 5.8 5.6 6.0 5.5 4.3 6.2 6.7

5.8 6.4 5.8 5.7 6.5 5.2 5.1 5.8 4.9 6.4 6.9 7.1

6.1 6.9 5.2 6.5 5.5 5.0 5.2 6.0 5.7 6.3 5.0 6.2

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

6.1 6.2 4.9 7.0 5.4 6.6 4.7 6.7 6.8 5.9 6.7 7.4

6.9 5.2 6.6 6.4 6.5 7.0 6.2 5.4 6.5 6.4 6.3 6.8

7.4 6.8 6.6 6.1 6.7 6.8 7.1 6.7 5.2 6.0 4.6 6.3

26. Determine la línea central y los límites de control tentativos para las gráficas de mediana y rango, con los datos de la tabla 5-2. Suponga que hay causas asignables para los puntos fuera de control que haya, y determine la línea central y los límites de control revisados. Compare el patrón de variación con las gráficas X y R de la figura 5-4.

248

CAPÍTULO

5

27. Se va a llevar una gráfica de X y R sobre el pH del agua en una piscina de un hotel muy importante. Cada día se toma una lectura, durante 30 días. Los datos son 7.8, 7.9, 7.7, 7.6, 7.4, 7.2, 6.9, 7.5, 7.8, 7.7, 7.5, 7.8, 8.0, 8.1, 8.0, 7.9, 8.2, 7.3, 7.8, 7.4, 7.2, 7.5, 6.8, 7.3, 7.4, 8.1, 7.6, 8.0, 7.4 y 7.0. Ponga los datos en papel milimétrico, determine la línea central y los límites tentativos, y evalúe la variación. 28. Determine los límites superior e inferior de rechazo para la gráfica X del ejercicio 2. Las especificaciones son 20.40 ±0.25. Compare estos límites con los límites de control revisados. 29. Repita el ejercicio 28 para las especificaciones 20.40 ⫾ 0.30. 30. Está comenzando un nuevo proceso, y existe la posibilidad de que haya problemas con la temperatura. Cada día se hacen ocho mediciones, a las 8:00 A.M., 10:00 A.M., 12:00 A.M ., 2:00 P.M., 4:00 P.M., 6:00 P.M., 8:00 P.M. y 10:00 P.M. Prepare una gráfica de corrida y evalúe los resultados con los siguientes datos: DÍA

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

TEMPERATURA

78.9 80.7 79.0 79.7 79.3

80.0 80.5 80.6 79.9 80.2

79.6 79.6 79.9 80.2 79.1

79.9 80.2 79.6 79.2 79.5

(0°C)

78.6 79.2 80.0 79.5 78.8

80.2 79.3 80.0 80.3 78.9

78.9 79.7 78.6 79.0 80.0

78.5 80.3 79.3 79.4 78.8

31. Cada media hora se mide la viscosidad de un líquido, durante un día con tres turnos. Prepare un histograma con 5 clases y el valor de punto medio de la primera clase igual a 29 y evalúe la distribución. Prepare una gráfica de corrida y de nuevo evalúe la distribución. ¿Qué indica la gráfica de corrida? Los datos son 39, 42, 38, 37, 41, 40, 38, 36, 40, 36, 35, 38, 34, 35, 37, 36, 39, 34, 38, 36, 32, 37, 35, 34, 33, 35, 32, 32, 38, 34, 37, 35, 35, 34, 31, 33, 35, 32, 36, 31, 29, 33, 32, 31, 30, 32, 32 y 29. 32. Use el programa del CD y resuelva: (a) El ejercicio 1. (b) El ejercicio 25. (c) El ejercicio 27. 33. Use Excel para escribir una plantilla para gráficas de promedio móvil y rango móvil, para 3 periodos, y trace las gráficas con los datos de: (a) El ejercicio 23. (b) El ejercicio 30. (c) El ejercicio 31. 34. Use Excel para escribir una plantilla para gráficas X y s y trace las gráficas para el ejercicio 1.

GRÁFICAS DE CONTROL PARA VARIABLES

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35. Use el programa del CD para obtener una gráfica de X y MR para los datos de: (a) El ejercicio 30. (b) El ejercicio 31. 36. Use el programa del CD para determinar la capacidad del proceso de bolsas con corteza de ciprés, en kilogramos, para los datos de la tabla siguiente. También determine los coeficientes Cp y Cpk para un límite superior de tolerancia (USL) de 130 kg, y límite inferior de tolerancia (LSL) de 75 kg. SUBGRUPO

X1

X2

X3

X4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

95 76 107 83 105 88 100 97 90 93 106 89 92 87 97 82 100 81 98 78 91 76 95 92 92

90 81 80 77 93 76 87 91 91 79 97 91 83 90 95 106 95 94 101 96 91 91 97 99 85

93 81 87 87 95 95 100 92 95 91 100 80 95 100 95 99 95 97 87 100 87 106 100 97 90

120 83 95 90 103 97 103 94 101 94 90 82 75 98 90 101 90 90 89 72 89 80 93 94 90

37. Con el programa del CD adjunto en el libro, prepare las gráficas X y R para los datos siguientes, sobre pesos de champú en kilogramos. NÚMERO DE

250

CAPÍTULO

5

NÚMERO DE

SUBGRUPO

X1

X2

X3

SUBGRUPO

X1

X2

X3

1 2 3 4

6.01 5.99 6.00 6.01

6.01 6.03 5.96 5.99

5.97 5.99 6.00 5.99

16 17 18 19

6.00 5.97 6.02 5.99

5.98 6.01 5.99 5.98

6.02 5.97 6.02 6.01

NÚMERO DE

NÚMERO DE

SUBGRUPO

X1

X2

X3

SUBGRUPO

X1

X2

X3

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6.05 6.00 6.04 6.01 6.00 5.98 6.00 5.98 5.97 6.01 6.00

6.00 5.94 6.02 5.98 6.00 5.99 5.98 5.99 6.01 6.03 5.98

6.00 5.99 6.01 5.99 6.01 6.03 5.96 5.99 6.00 5.99 6.01

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6.01 5.97 6.02 5.98 6.02 5.97 6.00 5.99 5.99 5.99 5.97

5.98 5.95 6.00 5.99 6.00 5.99 6.02 5.96 6.02 5.98 6.01

5.99 5.99 5.98 6.00 5.98 6.02 5.99 6.01 5.98 5.96 5.98

38. Con el programa del CD adjunto en el libro, prepare una gráfica de promedio móvil ponderado exponencial (EWMA) para los datos del (a) Ejercicio 2, usando l ⫽ 0.10 y 0.20. (b) Ejercicio 3, usando l ⫽ 0.05 y 0.25. Verifique sus respuestas con algunos cálculos a mano. 39. Escriba un programa en Excel para hacer una gráfica EWMA usando los datos individuales del ejercicio 27. Sugerencia: Consulte la información acerca de la gráfica para valores individuales.

GRÁFICAS DE CONTROL PARA VARIABLES

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