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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL DINAMICA

SOLUCIONARIO DE EXAMEN PARCIAL

ALUMNO: ORTEGA CASAS CARLOS JESUS PROFESOR ARICA

CURSO: DINAMICA

TURNO: MAÑANA

CICLO: V

EXAMEN PARCIAL TURNO NOCHE

1. La posición de una partícula se encuentra representado por r = 2t3 + 8cos 2 θ θ = 1.45sen 4t Para las condiciones mostradas, encontrar la velocidad y la aceleración cuando t =sen67º

𝑟 = 2𝑡 3 + 8 cos 2𝜃

𝜃 = 1.45 sen 4𝑡

t =sen67º Hallar la velocidad y la aceleración t = 0.92 sg 𝑟̇ = 6𝑡 2 − 16 sen 2𝜃𝜃̇ 𝑟̈ = 12𝑡 − ⌈16 sen 2𝜃 𝜃̇ ]′ 𝑟̈ = 12𝑡 − ⌊32 cos 2𝜃𝜃̇ + 16 sen 2𝜃𝜃̈ ⌋

𝜃̇ = 5.8 cos 4𝑡 𝜃̈ = −23.2 sen 4𝑡

Reemplazando t = 0.92pg

𝜃 = −0.74 𝑟𝑎𝑑

𝑟 = 2.28 𝑚

𝜃̇ = −4.97 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑟̇ = −74.11 𝑚/𝑠

𝜃̈ = 11.89 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2

𝑟̈ = 214.82 𝑚/𝑠 2

𝑉 = √(−74.11)2 + (2.28𝑥 − 4.97)2 𝑚 𝑠 𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 = (214.82) − (2.28)(−4.97)2 = 158.50 𝑉 = 74.97

𝑎𝜃 = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ = (2.28)(11.89) + 2(−74.11)(−4.97) = 763.75 𝑎 = √𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑦 2 𝑎 = √(158.50)2 + (763.75)2 𝑎 = 780.02 𝑚/ 2. Una partícula P está restringida a moverse a través de una trayectoria espiral inscrita en el interior de un cono. La partícula completa una revolución en el eje Z en 2 segundos y durante este tiempo se desplaza hacia abajo 125 mm. La partícula parte del punto A. Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula en el punto B, o sea después de completar una revolución. ṙ = constante, Ӫ = π= constante b=250 mm

A B H= 500mm

θ y x

R = 25 cm

𝑡𝐴/𝐵 = 2 𝑠𝑒𝑔 𝑡𝐴/𝐵 = 12.5 𝑐𝑚

Z = 50 cm

⃗ 𝐵 =? 𝑉 𝑎𝐵 =? 𝑟̇ = 𝐶𝑇𝐸 𝜃̈ = 𝜋 𝐶𝑇𝐸 25 cm

𝑧̈ = 0 𝑟

12.5 r

𝑧

=

𝑟= 𝑑𝑟 50

𝛿

𝑑𝑡 z

25

𝑧 =50-12.5

50 7

𝑧 = 37.5 𝑐𝑚

2

=

𝑧̇

𝑧

𝑟 = = 18.75 𝑐𝑚

2

2

𝑟̇ =

Δ𝑟 Δ𝑡

=

25−𝑟 2

=

3.125 𝑐𝑚/𝑠

𝑡 ∫0 𝜃̈ 𝑑𝑡 = 𝜃̇

𝑟̇ =

𝜃̇ = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝑧̇ = 6.25 𝑐𝑚/𝑠

2 𝑣 = √𝑟̇ 2 + (𝑟 𝜃̇ ) + 𝑧̇ 2

|𝑣| = √(3.125)2 + ⌊(18.75)(2𝜋)⌋2 + (6.25)2 |𝑣| = 118.01 𝑐𝑚/𝑠

𝑧̇ 2

𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2

𝑎𝜃 = 𝑟𝜃 + 2𝑟

𝑎𝑟 = 0 − (18.75)(2𝜋)2 2(3.125)

𝑎𝜃 = (18.75)(𝜋) +

𝑎𝑟 = −740.22 𝑐𝑚/𝑠 2

𝑎𝜃 = 65.15 𝑐𝑚/𝑠 2

𝑎 = √𝑎𝑟 2 + 𝑎𝜃 2 + 𝑧̈ 2 |𝑎| = 743.08 𝑐𝑚/𝑠 2

3. La barra 0B gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante de ω = 2.5 rad/s mientras que la corredera A sube por la barra a una rapidez constante de VS = 5 m/s. Cuando S = 3 m, calcule el módulo de la velocidad y la aceleración en coordenadas esféricas.

Z ω

50°

S Y

X

DATOS

𝑅 = 3𝑚 5𝑚 𝑅̇ =

𝜃̇ = 2.5 rad/s ∅ = 50𝑜 =

5𝜋 18

𝑠

; ∅̇ = 0

𝑅̈ = 0𝑚/𝑠 2

Piden: Velocidad y aceleración en coordenadas esféricas

2

𝑉 = √𝑅̇ 2 + (𝑅𝜃̇ cos ∅) + (𝑟∅̇)

2

2 5𝜋 𝑉 = √(5)2 + (3𝑥2.5𝑥 cos ( )) + (3𝑥0)2 18

𝑉 = 6.94 𝑚/𝑠

𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟∅̇2 − 𝑅𝜃̇ 2 𝑐𝑜𝑠 2 ∅ 𝑎𝜃 = cos ∅ [2𝑅̇ 𝜃̇ + 𝑅𝜃̈ ] − 2𝑅𝜃̇ ∅̇ sen ∅ 𝑎∅ = 2𝑅̇ ∅̇ + 𝑅∅̈ + 𝑅𝜃̇ ̇2 sen ∅ cos ∅ 𝑎𝑅 = 0 − (3)(0)2 − (3)(2.5)2 𝑐𝑜𝑠 2 (

5𝜋 ) = 7.74 18

𝑎𝑅 = 7.74 𝑎𝜃 = cos

5𝜋 5𝜋 [2(5)(2.5) + (3)(0)] − 2(3)(2.5)(0) sin 18 18

𝑎𝜃 = 16.06 𝑎∅ = 2(5)(0) + (3)(0) + (3)(2.5)2 sin ( 𝑎∅ = 9.23 𝑎 = √𝑎𝑅 2 + 𝑎𝜃 2 + 𝑎∅ 2 𝑎 = √(7.74)2 + (16.06)2 + (9.23)2 𝑎 = 20.07 𝑚/𝑠 2

5𝜋 5𝜋 ) cos ( ) 18 18

4.-Un vehíulo A viaja según se muestra en el eje de las X a 18 m/s y 3 m/s2 en forma constante y otro vehículo B en la trayectoria espiral que se muestra definido por las siguientes relaciones: r = 12t2; y θ = 9t2 Si en t =0 el móvil se encuentra en la posición O, determinar la aceleración del vehículo B respecto del vehículo A, cuando θ = π/4 rad.

A +

θ r B

DATOS 𝑉𝐴 = 18𝑚/𝑠 = cte 𝑟 = 12𝑡 2 𝜃 = 9𝑡 2 PIDEN 𝑎𝐵𝐴 𝑎̅𝐵𝐴 = 𝑎 ̅̅̅𝐵̅ − 𝑎𝐴

𝑎𝐴 = 3𝑚/𝑠 2 = cte 𝜋

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃 = 𝑟𝑎𝑑 4

𝐶𝑜𝑛 𝐵 𝑒𝑛 𝑟

𝐶𝑜𝑛 𝜃

𝑟 = 12𝑡 2 = 1.0092

𝜃 = 9𝑡 2 = 0.75

𝑟̇ = 24𝑡 = 6.96

𝜃̇ = 18𝑡 = 5.22

𝑟̈ = 24 = 24

𝜃̈ = 18 = 18

𝜋

𝜃 = 𝑟𝑎𝑑 4

𝜃 = 9𝑡 2

--------------

𝜋 = 9𝑡 2 4 0.29 𝑠𝑒𝑔 = 𝑡

𝑎𝑟 = 24 − (1.0092)(5.22)2 = −3.49 𝑎𝜃 = (1.0092)(18) + 2(6.96)(5.22) = 90.828 𝑎̅𝐵 = (−90.828𝑖̂, −3.49𝑗̂) 𝑎𝑎 = (3𝑖̂, 0𝑗̂) 𝑎̅𝐵𝐴 = (−90.828𝑖̂ − 3.49𝑗̂) − (3𝑖̂, 0𝑗̂) 𝑎 ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐴 = (−93.828𝑖̂, −3.49𝑗̂) |𝑎𝐵𝐴 | = √(−93.828)2 + (−3.49)2 |𝑎𝐵𝐴 | = 93.89 𝑚/𝑠 2

5.-Calcular la aceleración del embolo B según los datos observados

+

-

ax =0,5m/s2 Vx = 0,89m/s

A

85² = 𝑥² + 53² − 2𝑥 (53)𝑐𝑜𝑠107

0 = 𝑥² + 31𝑥 −

𝑥 = 0.5274 𝑚. 𝐿² = 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥𝑅𝑐𝑜𝑠107 𝑂 = 2𝑥 ẋ + 2𝑦𝑦̇ − 2𝑐𝑜𝑠107 (ẋ𝑦 + 𝑦̇ 𝑥 ) Ordenando: 𝑦̇ = −

ẋ(x−ycos107) (y−xcos107)

𝑦̇ = −0.48 𝑚/𝑠

derivando ÿ = −[

Ẍ(x − ycos107) (y − xcos107)

(ẋ − 𝑦̇ 𝑐𝑜𝑠107)(𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠107) − (𝑦̇̇ − ẋcos107)(x − ycos107 + ẋ[ ]] (𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠107)²

ÿ = −2.1432 m/s²

EXAMEN PARCIAL TURNO MAÑANA

1. Una partícula se mueve sobre una trayectoria tal que su vector de posición en cualquier instante es: •r = tı + (t2/ 2) j+ tk. Determine: a) la velocidad, b) la rapidez c) la aceleración, d)la magnitud de la aceleración tangencial y e) la magnitud de la aceleración normal.

⃗ = (t , 𝒓 𝑑𝑟 𝑑𝑡

𝒕𝟐 𝟐

, t)

= 𝑣 = √( 1, 2𝑡, 1) = √4𝑡 2 + 2

𝑑𝑣 = (0,2,0) = 2 𝑑𝑡

ACELERACION NORMAL 𝑎𝑛 =

𝑣. 𝑎 4𝑡 = ‖𝑣‖ √4𝑡 2 + 2

ACELERACION TANGENCIAL 𝑎𝑡 =

𝑣 𝑥 𝑎 (−2,0,2) = ‖𝑣‖ √4𝑡 2 + 2

2. Durante un breve lapso de tiempo el brazo robótico se extiende tal que r = (5sen2θ – 1.8cosθ) θ = 3Cos2t Para las condiciones mostradas, encontrar la velocidad y la aceleración cuando θ =1.5

θ

Con 𝜽 (derivando) θ = 3Cos2t 𝜃̇ = −6 sin 2𝑡 𝜃̈ = −12 cos 2𝑡 Por el dato θ = 1.5 Entonces hallamos t reemplazando θ = 1.5 en 0.15=3Cos2t 1

= Cos2t

2

t = 30=

𝜋 6

-----------→ reemplazar t=30 𝜋

θ = 3Cos (2x )= 1.5 6

𝜋 𝜃̇ = −6 sin(2𝑥 )= -5.2 6

𝜋 𝜃̈ = −12 cos(2𝑥 )= -6 6

Con r: r = (5sen2θ – 1.8cosθ) 𝑟̇ = (10 cos 2𝜃 𝜃̇ + 1.8 𝜃̇ sin 𝜃) 𝑟̈ = 10𝜃̈ cos 2𝜃 − 20𝜃̇ 2 sin 2𝜃 + 1.8 𝜃̈ sin 𝜃 + 1.8𝜃̇ 2 cos 𝜃

-----------→ reemplazar t=30 𝜋

θ = 3Cos (2x )= 1.5 6

𝜋 𝜃̇ = −6 sin(2𝑥 )= -5.2 6

𝜋 𝜃̈ = −12 cos(2𝑥 )= -6 6

-----------→ reemplazar en (a)…… trabajando con radianes r = (5sen2θ – 1.8cosθ) = 0.58 𝑟̇ = (10 cos 2𝜃 𝜃̇ + 1.8 𝜃̇ sin 𝜃) = 42.14 𝑟̈ = 10𝜃̈ cos 2𝜃 − 20𝜃̇ 2 sin 2𝜃 + 1.8 𝜃̈ sin 𝜃 + 1.8𝜃̇ 2 cos 𝜃=24.25 Velocidad: 𝟐 𝐯 = √𝐫̇ 𝟐 + (𝐫 𝛉̇) =√42.142 + (0.58(−5.2))2 = 42.25𝑚/𝑠

aceleración: 𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 =−24.25 − 0.58(−5.2)2 =-39.93

𝑎𝜃 = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ =0.58(-6)+2(42.14)(-5.2)=-441.74 𝑎 = √𝑎𝑟 2 + 𝑎𝜃 2 = √−39.932 + (−441.74)2 = 443.54𝑚/𝑠 2

3.- La ecuación de un paraboloide de revolución es h(x2 + y 2) hr2 = b2Z. La partícula P describe una Trayectoria inscrita en la superficie del paraboloide de acuerdo con θ = 0.2 πt r = 10 – 0.5t Con h = 20 cm, calcular la velocidad y la aceleración en t = 10segundos en coordenadas cilíndricas

Con 𝜃 t=10 t=10

con r…(i)

𝜃=0.2πt =6.28

r=10-0.5t = 5

𝜃̇ =0.2π = 0.63

𝑟̇ =0.5=0.5

𝜃̈ =0

𝑟̈ =0

hr2 = b2Z remplazamos Con h = 20 cm y b= 10cm 20 r2 = 102Z 20 r2 =100z Derivando (reempllazando (i) 20

r2

=

102Z

-------------- z=

20𝑥52 100

=5

20 (2r 𝑟̇)=100𝑧̇ 40 r 𝑟̇ = 100𝑧̇ Derivando

--------- 𝑧̇

=

40𝑥5𝑥0.5 100

=1

2

40𝑟̇ +40r𝑟̈ =100𝑧̈ ----------- 𝑧̈ =

40𝑥0.52 +40𝑥5𝑥0

=0.1

100

Hallando la velocidad: 2 𝑣 = √𝑟̇ 2 + (𝑟 𝜃̇ ) + 𝑧̇ 2 = √0.52 + (5 𝑥0.63)2 + 12 = 3.34

Hallando a aceleracion: 𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 = 0 − 5𝑥0.632 = 1.98 𝑎𝜃 = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ = 8𝑥0 + 2𝑥0.5𝑥0.63= 0.63 𝑎𝑧 = 𝑧̈ = 0.1 𝑎 = √𝑎𝑟 2 + 𝑎𝜃 2 + 𝑧̈ 2 = √1.982 + 0.632 + 0.12 = 2 4.-- Calcular la componente radial aR de la aceleración de un tiovivo de un parque de atracciones, necesaria para que los brazos de los barquillos formen un ángulo β = π/5 t, con la vertical sabiendo que N =16,5 Rpm para un tiempo de t = 2 segundos. N 5.6m

10.2m β

𝑅 2 = 5.62 + 10.22 − 2(5.6)(10.2) cos(

7𝜋 10

𝑡) .------- CUANDO

t= 2 𝑅 =170.70 DERIVANDO 7𝜋 7𝜋 2𝑅𝑅̇ = 114.24( )sin( 𝑡) ------- cuando t= 2 10

10

𝑅̇ = -0.69 DERIVANDO 2

7𝜋 7𝜋 2𝑅̇ 2 + 2𝑅̈ 𝑅̇=114.24 ( ) cos ( 𝑡) -------- cuando t= 2 10

10

𝑅̈ = 89.228 10.2sin

𝜋 5

𝑡

∅

𝜋

10.2 cos 𝑡 5

𝜋

tan ∅=

10.2 cos 5 𝑡

𝜋

5.6+10.2 sin 5 𝑡

------ t = 2 ………(i)

tan ∅ = 0.206 ∅ = 0.20rad DERIVANDO (I) 𝜋

(sec ∅)2 ∅̇ =

𝜋

−10.2( 5 ) sin( 5 𝑡) 𝜋

𝜋

10.2( 5 )cos( 5 𝑡)

= - 3.07

∅̇ = −2.95 Remplazar todo en la ecuación (1) 𝑎𝑅 = 𝑅̈ − 𝑅∅̇2 − 𝑅𝜃̇ 2 (cos ∅)2 = 89.23 − 170.70(−2.95)2 − 170.70(1.73)2 (cos 0.20)2 𝑎𝑅 = -1887.01

5.-El avión A vuela horizontalmente a la rapidez constante de 300 Km/h remolcando al planeador B que está ganando altura. Si la longitud del cable del remolque es de 60 y θ crece a razón constante de 5°/seg. Encontrar la velocidad del avión B respecto del avión A.

Vb

θ

r =60 5°/seg … convertir a gradianas 5° 𝜋 𝜋 = = = 𝜃̇ 𝑠𝑒𝑔 180 36 𝜋 ̇ 𝜃= 36 𝑟̇ = 0 2 La rapidez= 𝑣 = √𝑟̇ 2 + (𝑟 𝜃̇ )

𝜋 2 )) 36 𝑚 𝑣𝑏 = 5.24 𝑠 √02 + (60. (

𝑉𝑏⁄ = 𝑣𝑎 − 𝑣𝑏 𝑎

𝑉𝑏⁄ = 78.06 𝑚⁄𝑠 𝑎

= 83.3-5.240

Va=300km/h