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¿Por qué los métodos numéricos? 5-1C Con la difusión de poderosas computadoras y paquetes de software, ¿cree que llegará el momento en que la búsqueda de soluciones analíticas para los problemas de ingeniería desaparecer del programa de estudios de los ingenieros?

5-3C Considere un problema de conducción de calor que se puede resolver analíticamente, al resolver la ecuación diferencial que rige y mediante las condiciones de frontera, o numéricamente por medio de un paquete de software del que disponga en su computadora. ¿Qué procedimiento utilizaría para resolver dicho problema? Explique su razonamiento.

5-5C ¿En qué difieren los métodos numéricos de resolución con respecto a los analíticos? ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de los métodos numéricos y los analíticos?

Formulación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales 5-7C Defina estos términos usados en la formulación en diferencias finitas: nodo, malla (red nodal), elemento de volumen, espaciamiento nodal y ecuación en diferencias.

5-9 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3 y 4, con un espaciamiento nodal uniforme de Δx. Mediante la forma de diferencias finitas de la primera derivada (no el enfoque del balance de energía), obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de flujo de calor uniforme 𝑞̇ 0 en la frontera izquierda (nodo 0) y convección en la frontera derecha (nodo 4), con un coeficiente de convección de h y una temperatura ambiente de T∞.

Conducción unidimensional de calor en estado estacionario 5-11C Explique cómo se obtiene la forma de diferencias finitas de un problema de conducción de calor por el método del balance de energía.

5-13C Considere un medio en el que la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general se da en su forma más simple como 𝑇𝑚−1 −2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚+1 ∆𝑥 2

+

𝑒̇𝑚 𝑘

=0

a) ¿La transferencia de calor en este medio es de estado estacionario o en régimen transitorio? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Se tiene generación de calor en el medio? d) ¿El espaciamiento nodal es constante o variable? e) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 5-15C ¿Cómo se puede tratar un nodo sobre una frontera aislada como uno interior en la formulación en diferencias finitas de una pared plana? Explique.

5-17 Una aleta circular de sección transversal uniforme, con un diámetro de 10 mm y longitud de 50 mm, se adhiere a una pared con temperatura superficial de 350ºC. La aleta es de un material con una conductividad térmica de 240 W/m · °C y está expuesta a una condición de aire ambiental de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 250 W/m2· °C. Suponga que la transferencia de calor unidimensional se produce a lo largo de la aleta y que el espaciamiento nodal es uniforme de 10 mm, a) mediante el método de balance de energía, obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para determinar las temperaturas nodales, b) determine las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver esas ecuaciones y compare los resultados con la solución analítica y c) calcule la transferencia de calor y compare el resultado con la solución analítica.

5-19 Considere la conducción de calor en estado estacionario en una pared plana cuya superficie izquierda (nodo 0) se mantiene a 40°C en tanto que la derecha (nodo 8) se sujeta a un flujo de calor de 3 000 W/m2. Exprese la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera 0 y 8 para el caso en el que no hay generación de calor. Asimismo, obtenga la formulación en diferencias finitas para la razón de la transferencia de calor en la frontera izquierda.

5-21 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3, 4 y 5, con un espaciamiento nodal uniforme de Δx. Mediante el enfoque del balance de energía, obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de aislamiento en la frontera izquierda (nodo 0) y radiación en la frontera derecha (nodo 4), con una emisividad de ε y una temperatura de los alrededores de Talred.

5-23 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una aleta de pasador de diámetro constante D, con conductividad térmica constante. La aleta pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a T∞, con un coeficiente de convección de h, y por radiación hacia las superficies circundantes que están a una temperatura promedio de Talred. La red nodal de la aleta consta de los nodos 0 (en la base), 1 (a la mitad) y 2 (en la punta), con un espaciamiento nodal uniforme de Δx. Mediante el enfoque del balance de energía, obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema con el fin de determinar T1 y T2 para el caso de temperatura específica en la base de la aleta y transferencia de calor despreciable en la punta de la misma. Todas las temperaturas están en °C.

5-31 Considere una pared plana grande de espesor L= 0.3 m, conductividad térmica k=2.5 W/m · °C y área superficial A=12 𝑚2 . El lado izquierdo de la pared está sujeto a flujo de calor de 𝑞̇ 0 =350 W/𝑚2 al mismo tiempo que se mide la temperatura en esa superficie, la cual resulta ser 𝑇0 =60°C. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toma el espaciamiento nodal de 6 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los seis nodos, y b) determine la temperatura de la otra superficie de la pared al resolver esas ecuaciones.

5-33I Repita el problema 5-32I descartando la transferencia de calor por radiación desde la superficie superior. Respuestas: b) 78.7°F, 78.4°F

5-35 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una aleta de pasador de diámetro constante D, con conductividad térmica constante. La aleta pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a T∞, con un coeficiente de transferencia de calor de h. La red nodal de la aleta consta de los nodos 0 (en la base), 1 (a la mitad) y 2 (en la punta), con un espaciamiento nodal uniforme de Δx. Mediante el enfoque del balance de energía obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema con el fin de determinar T1 y T2 para el caso de temperatura específica en la base de la aleta y transferencia de calor despreciable en la punta de la misma. Todas las temperaturas están en °C.

5-37 Uno de los lados de una placa vertical de 2 m de alto y 3 m de ancho que está a 80°C se va a enfriar al sujetarle aletas de aluminio (k =237 W/m · °C) de perfil rectangular, en un medio ambiente a 35°C. Las aletas tienen 2 cm de largo y 0.3 cm de espesor, y están separadas 0.4 cm entre sí. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor entre las aletas y el aire circundante, para convección y radiación combinadas, es de 30 W/𝑚2 · °C. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a lo largo de la aleta y se toma el espaciamiento nodal como de 0.5 cm, determine a) la formulación en diferencias finitas de este problema, b) las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver estas ecuaciones, c) la razón de la transferencia de calor desde una sola de las aletas, y d) la razón de la transferencia de calor desde la superficie completa con aletas de la placa.

5-39 Repita el problema 5-38 al usar aletas de cobre (k =386W/m · °C) en lugar de las de aluminio. Respuestas: b) 98.6°C, 97.5°C, 96.7°C, 96.0°C, 95.7°C, 95.5°C

5-41 Un motor DC alimenta de energía mecánica a un eje giratorio de acero inoxidable (k =15.1 W/m · °C) con una longitud de 25 cm y un diámetro de 25 mm. El motor DC está rodeado por aire ambiental de 20ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 25 W/m2 · °C, mientras que la temperatura base del eje del motor es de 90°C. Mediante un espaciamiento nodal uniforme de 5 cm a lo largo del eje del motor, determine las ecuaciones en diferencias finitas y tras resolverlas, también las temperaturas nodales. Respuestas: 52.03°C, 34.72°C, 26.92°C, 23.58°C, 22.55°C

5-43 Una pared plana de acero inoxidable (k =15.1 W/m ·°C) con un espesor de 1 m experimenta una generación uniforme de calor de 1 000 W/m3. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de 70°C y el lado derecho de la pared está expuesto a una temperatura del aire ambiental de 0°C con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 250 W/m2 · °C. Mediante un espaciamiento nodal uniforme de 0.2 m, a) obtenga las ecuaciones en diferencias finitas y b) tras resolverlas, determine las temperaturas nodales. Respuestas: 62.5°C, 52.3°C, 39.5°C, 24.0°C, 5.87°C

Conducción de calor bidimensional en estado estacionario 5-49C ¿Qué es una frontera irregular? ¿Cuál es una manera práctica de manejar las superficies con fronteras irregulares con el método de las diferencias finitas?

5-51C Considere un medio en el cual se da la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general en su forma más simple, como

Tizquierda _ Tsuperior _ Tderecha _ Tinferior _ 4Tnodo +

𝑒̇ 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑙 2 𝑘

=0

a) ¿La transferencia de calor en este medio es en estado estacionario o en régimen transitorio? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿El espaciamiento nodal es constante o variable? e) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 5-53 Considere la transferencia bidimensional de calor en una sección transversal rectangular (60 cm x 30 cm) con temperaturas preestablecidas de 0°C a la izquierda, derecha y superficies inferiores, mientras que la superficie superior está dada como 100 sen(πx/60). Con un tamaño uniforme de malla de Δx = Δt, determine a) las ecuaciones en diferencias finitas y b) las temperaturas nodales.

5-55 Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en una barra sólida larga cuya sección transversal se da en la figura. Las temperaturas medidas en puntos seleccionados sobre las superficies exteriores son como se muestran. La conductividad térmica del cuerpo es k = 20 W/m · °C y no hay generación de calor. Mediante el método de las diferencias finitas con un tamaño de malla de Δx = Δy = 1.0 cm, determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio. Sugerencia: Aproveche la ventaja de la simetría. Respuestas: T1 = T4 = 93°C, T2 = T3= 86°C

5-57 Considere la transferencia estacionaria bidimensional de calor en una barra larga y sólida de secciones transversales a) cuadrada y b) rectangular, como se muestra en la figura. Las temperaturas medidas en los puntos seleccionados de las superficies exteriores son como se muestra. La conductividad térmica del cuerpo es k=20 W/m · °C y no hay generación de calor. Usando el método de diferencias finitas con una malla de dimensiones Δx = Δy = 1.0 cm, determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio. Respuestas: a) T1 = 185°C, T2 = T3 = T4 = 190°C

5-59 Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en un cuerpo sólido largo cuya sección transversal se da en la figura P5-59. Las temperaturas en los nodos seleccionados y las condiciones térmicas en las fronteras son como se muestran. La conductividad térmica del cuerpo es k =150 W/m · °C y se genera calor en éste de manera uniforme con una velocidad de 𝑒̇ = 3 x 107 W/𝑚3 . Mediante el método de las diferencias finitas, con un tamaño de malla de Δx = Δy = 10cm, determine a) las temperaturas en los nodos 1, 2, 3 y 4, y b) la razón de la pérdida de calor desde la superficie superior a través de una sección de 1 m de largo del cuerpo.

5-69 Los gases calientes de la combustión de un horno fluyen por una chimenea de concreto (k=1.4 W/m · °C) de sección transversal rectangular. La sección de flujo de la chimenea tiene 20 cm x 40 cm y el espesor de la pared es de 10 cm. La temperatura promedio de los gases calientes en la chimenea es Ti =280°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección dentro de esta última es hi = 75 W/m2 · °C. La chimenea pierde calor por convección desde su superficie exterior hacia el aire ambiente que está a To =15°C, con un coeficiente de transferencia de calor de ho = 18 W/m2 · °C, y hacia el cielo por radiación. La emisividad de la superficie exterior de la pared es ε = 0.9 y se estima que la temperatura efectiva del cielo es de 250 K. Mediante el método de las diferencias finitas con Δx = Δy = 10 cm y si se aprovecha plenamente la ventaja que da la simetría, a) obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario, b) determine las temperaturas en los puntos nodales de una sección transversal y c) evalúe la razón de la transferencia de calor para una sección de 1 m de largo de la chimenea.

5-73 Considere una barra sólida larga cuya conductividad térmica es k = 5 W/m · °C y su sección transversal se da en la figura. La superficie superior de la barra se mantiene a 50°C, en tanto que la inferior se mantiene a 120°C. La superficie izquierda está aislada y las tres superficies restantes están sujetas a convección con el aire ambiente que está a 𝑇∞ = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 40 W/m2 ·°C. Mediante el método de las diferencias finitas con un tamaño de malla de Δx = Δy = 10 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para transferencia de calor bidimensional en estado estacionario y b) determine las temperaturas nodales desconocidas al resolver esas ecuaciones.