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• Yoli Navarrete

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MATEMATICA DISCRETA PROPOSIONES Y TABLAS DE VERDAD 4.20 Sean 𝑝 “Es rico” y 𝑞“Es feliz”. Escriba cada proposición en forma simbólica use 𝑝 y 𝑞. Observe que “Es pobre” y “Es infeliz” son equivalentes a ~𝑝 y ~𝑞. Respectivamente. a) b) c) d)

Si es rico, entonces es infeliz No es rico y feliz Es necesario ser pobre para ser feliz Ser pobre es ser infeliz

Solución a)

𝑝 ≈ Es rico →≈ Si……entonces…… −𝑞 ≈ Es infeliz

b)

∴ 𝑝 → ~𝑞

c)

~𝑝 ≈ Es pobre →≈ Es necesario ser………para……ser 𝑞 ≈ Es feliz ∴ 𝑞 → ~𝑝

d)

~𝑝 ≈ No es rico ^≈Y ~ 𝑞 ≈ No es feliz ∴ −𝑝^~𝑞 ~𝑝 ≈ Es pobre →≈ Ser……es ser….. 𝑞 ≈ Es feliz ∴ ~𝑝 → ~𝑞

4.21 Encuentre las tablas de verdad para a) 𝑝 𝑣 ~𝑞 b) ~𝑝 ^~𝑞

Solución a) 𝑝 V V F f

𝑞 V F V F

b) ~𝑞 F V F V

4.22 Compruebe que la 𝑝 V V F F

𝑝 𝑣 ~𝑞 V V F V

𝑝

𝑞

~𝑝

~𝑞

~𝑝 ^~𝑞

V V F F

V F V F

F F V V

F v F V

F F F V

proposición (𝑝^𝑞)^~(𝑝^𝑞) es una contradicción. 𝑞 𝑝^𝑞 ~ 𝑝^𝑞 𝑝^𝑞 ^~ 𝑝^𝑞 V V F F F F V F V F V F F F V F

Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público

MATEMATICA DISCRETA ARGUMENTOS 4.23 Pruebe la validez de cada argumento: a) Si llueve, Eric se enfermara. No llovió Eric no estaba enfermo

b) Si llueve Eric se enfermara. Eric no estaba enfermo No llovió.

Solución Sean

𝑝 ≈ Llueve 𝑞 ≈ Eric está enfermo a) 𝑝 → 𝑞 ≈ Si llueve, Eric se enfermara ~𝑝 ≈ No llovió ~𝑞 ≈ Eric no estaba enfermo a) 𝑝 𝑞 ~𝑝 ~q 𝑝→𝑞 V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Es una falacia b) 𝑝 𝑞 ~𝑝 ~q 𝑝→𝑞 V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Es valida

b) 𝑝 → 𝑞 ≈ Si llueve Eric se enfermara. ~q ≈ Eric no estaba enfermo ~𝑝 ≈ No llovió (𝑝 → 𝑞)^~𝑝 F F V V

[(𝑝 → 𝑞)^ − 𝑞] → ~𝑞 V V F V

(𝑝 → 𝑞)^~𝑞 F F F V

[(𝑝 → 𝑞)^ − 𝑞] → ~𝑝 V V V V

4.24 Pruebe la validez de cada argumento: a) Si estudio, entonces no reprobare matemáticas Si no juego basquetbol, entonces estudiaré Pero reprobé matemáticas Por tanto, debo haber jugado basquetbol

Solución Sean

𝑝 V V V V F F F F

𝑞 V V F F V V F F

𝑝 ≈ Estudio 𝑞 ≈ Reprobé matemáticas 𝑟 ≈ Juego basquetbol b) 𝑝 → ~𝑞 ≈ Si estudio, entonces no reprobare matemáticas ~𝑟 → 𝑝 ≈ Si no juego basquetbol, entonces estudiaré 𝑞 ≈ Pero reprobé matemáticas 𝑟 ≈ Por tanto, debo haber jugado basquetbol 𝑟 ~𝑞 ~𝑟 𝑝 → ~𝑞 ~𝑟 → 𝑝 𝑝 → ~𝑞 ^ ~𝑟 → 𝑝 𝑝 → ~𝑞 ^ ~𝑟 → 𝑝 ^𝑞 V F F F V F F F F V F V F F V V F V V V F F V V V V V F V F F V V V V F F V V F F F V V F V V V F F V V V F F F

Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público

𝑝 → ~𝑞 ^ ~𝑟 → 𝑝 ^𝑞 → 𝑟 V V V V V V V V

MATEMATICA DISCRETA El argumento es valido

CUANTIFICADORES 4.25 Sea A= 1, 2, … … 9, 10 . Considere cada una de las siguientes oraciones. Si se trata de una proposición, determine su valor de verdad; si se trata de una función proposicional, determine su conjunto de verdad. a) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 + 𝑦 < 14 b) ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 + 𝑦 < 14 c) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 + 𝑦 < 14 d) ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 + 𝑦 < 14

Solución ∀⋮ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 ∃⋮ 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 a) Es verdadera Ejemplo Como 𝑥 puede ser cualquier numero de A, 𝑦 como mínimo un numero de A Supongamos que (10 es el número máximo de A) 𝑥 = 10 entonces 𝑦 solo puede tomar 1,2,3 de A, al menos existe uno para 𝑦 por lo que prueba que la función es verdadera. b) Es verdadera Ejemplo(𝑦 puede ser cualquier numero en este caso tomamos el máximo para disminuir las posibilidades) Si para 𝑦 = 10 entonces 𝑥 + 𝑦 < 14 si y solo si el conjunto de 𝑥 = 1, 2, 3 c) Es falsa Ejemplo Si 𝑦 = 10 y 𝑥 = 10 su suma es igual a 20 y 20 no es menor que 14 por lo que no cumple la proposicion d) Es verdadera Ejemplo Si para 𝑥 = 10 entonces 𝑥 + 𝑦 < 14 si y solo si el conjunto de 𝑦 = 1, 2, 3 Por lo que indica que existe un numero para 𝑦 4.26-4.28 Para estos ejercicios no hay procedimiento por lo que las repuestas son cortas y son ejercicios de análisis

Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS Perito Mercantil Y Contador Público