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• Luis Chino Sarsuri

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1.- HG 2.- KK 3.- Simplificar la expresión: n 1 20 E  n n2 4  22 n  2

4.- Simplificar la expresión:

En

90n

9

9n

9

2

9

1

 32 n

9

2

5.- simplificar la expresión:

E  2 n 3

 225

2n4

4 52 n 5  25 

n 3

6.- simplificar la expresión: n n n n n n a  b  a  c  b c  En a n  bn  cn

7.- simplificar la expresión:

E  a b

a a b  b a b a b a  bb a

8.- simplificar la expresión:

E

4 n

n

1 4

1 2

2n  2 2n

9.- simplificar la expresión

n n n 2  3  4 E  n n n 6  8  12 n 10.- simplificar la expresión:

Em

2m 3 7 2 m 1 2m 1 7 2 m 2m5 7 2 m 2m 1 7 2m 1

 1  m   3

11.- simplificar la expresión:

2

E

2

2

2

2 2 2 2

2

12.- simplificar la expresión:



1 1 1   ab bc ac a b c



E  

1  a 2 b2 c2 abc    abc 

 1    abc

E

a

a a a 4 a a a b

a



ba 4 a

14.- simplificar la expresión:



a



a

x a 1  x a

E  

a



2

2

a

x

1 3

 a3 3

  

x a x 2 a x3 

15.- simplificar la expresión:

E

 a  aa  a aa a          

1 a 2

1 a

a

16.- simplificar la expresión:

E

ba

a a b bb b a b a a a 2b b a b 2 a ab

17.- simplificar la expresión:

E

7x 7

2

x

x

x 27 x 2 7 7 x14 7 x 7

x7

x

7

18.- simplificar la expresión:

a



 

13.- simplificar la expresión:

a 2 a a a b



3

aa

abc



a b c

E  

x

ab 

1

x 

a 1  b 1  c 1



bc 

1

x x ab

x

bc

ac 

x

abc



1

 

ac

1 a 2 b2 c 2



19.- Simplificar:



L  

4n  2  1  42 n  1

n2



20.- Reducir:

 K

3 2 2

3 2 2

 5 2 6 ab 

21.-

si

1 2

5 2 6

  3 2 2  5 2 6  3 2 2

5 2 6

ba  2

y

 ab  ba  1a

n 3

  5n  3  1     3 n  5 1  

calcular:

2

1b

E 

 a b1a  b a1b   

22.-

x

x x 

23.-

si

E

24.-

xx

calcular:

x2 x  x 2 x x

 a x   b

Si

ab a  b2 2

E

x

1 3

  x 

x



x2 x

x

x3 x  x3 x x

2ab a 2 b 2

, simplificar: a b

a2 b2

 x   b a

 a a2 b2    b

x  m 1 m 1 m m 25.-

Si

, simplificar:

x



x3 x

x

x 4 x  x 4 x x

x

1  4 2    3   

29

42

1

E 26.-

27.-

m

A

ab  ba

Si

m 2 1

1  x  x   m  m 1  m

2 ab  a

a  b  b b  a

Simplificar:



a

J  x 28.29.-

Si Simplificar:



xy

 

xy





Simplificar:

 xy  yx  1  x y  y x  x y  y x   1 xy  yx 

F

30.-



a  b  c  abc



a a b

x b  c  b x a c  c x a b   x ab  x bc  x ac 

xy

Reducir:

B 31.-



a    

 a aa  a  aa    

1 a 2

1 a

aa

aa



Reducir: n

C 32.-

3

81

 

2163

33



3n 1

 

Simplificar:



D

2a



33.-



3n

1  a 2

8a

1 8





8

Simplificar:



E

1 1 x



x  x 2



x 2 1

x x 1

 

34.- simplificar la expresión:

a

2a

  4 a

8

a

4a



2 a

a a b bb b a b a a a 2b b a b 2 a ab

E  ba

35.- simplificar la expresión: 7x 7

x

E

x

x 27 x 2 7 7 x14

2

7 x 7

x7

x

7

36.- simplificar la expresión:



x

a b c

E  

ab 

1

a 1  b 1  c 1



x 

bc 

1

x x ab

x

bc

ac 

x

abc



1

 

ac

1 a 2 b2 c 2



37.- Reducir: 5

5

H

5

5

5

5

5

5

5

 5

38.- Reducir: 

6

A  

6

66

6

6

6

6

66

66

66 6



6 6

66

6 6

 





PRODUCTOS NOTABLES 39.-

40.-

41.-

42.-

Simplificar:

E   a  b  a  b  c   b  c  b  c  a    c  a   c  a  b Simplificar:

A   x  y  z   x  y  z    x  y  z   x  y  z    x  y  z   y  z  x    y  z  x   y  z  x   4 xy Simplificar:

W   a  b  c  d   a  b  c  d    a  b  c  d   a  b  c  d   2   a  b   a  b    c  d   c  d  Simplificar

A   a  b  x    b  x  a    x  a  b   4  a2  b2  x2    a  b  x  2

43.-

2

Simplificar

E   x 2  y 2   x 4 y 4   x 2  xy  y 2   x 2  xy  y 2   2 x 2 y 2  x 2  y 2  4

44.-

2

2

2

Simplificar

E   x  2   x  3  x  4   x  5    x  3  x  4   2  x 2  x  13 2

45.-

Simplificar

2

2

2

E

  x      y      

y  x  y     x y  x    2 3 3 x  y         y  x     2

2

x F 46.47.-



x

2

   4    

x y

2

2  y      x 

3  x   y  y  x    

2

3

 x x    x x  x x   2  x x  x x   x x  x x  2

2

x  x  x 2 x  x 2 x



x x  x x  x x  x x

3

3

2

Simplificar: 3

3

2c  a  b  2c  a  b  2c  a  b  A      2 2   2    

x3  y 3  10 49.-



2

Simplificar: Simplificar

 a  b  c  b  a  c   a A     6  b  c b  c  bc    48.-

2

Sabiendo



3

2c  a  b    2

3

xy  6

que

,

E   x  y   18  x  y   20

Hallar

el

valor

3

50.-

Sabiendo que

x 4  x 4  34

,Hallar el valor de:

E  x  x 1

9

51.-

52.-

Sabiendo que

Sabiendo que

a x  7 x9 a

4

, el valor de la expresión

a b  7 b a

es: 8

, el valor de la expresión

E 53.-

a 4 x9  a x9

Si: a + b + c = 0. Simplificar:

a b c abc 3

3

a 8b  b a

a 5  b5  c5 E abc

54.-

Si: a + b + c = 0 y ab + ac + bc = 1. Simplificar:

55.-

Si: a + b + c = 5; a2 + b2 + c2 = 41 y a2b2 + b2c2 + a2c2 = 184. Simplificar:

E  a3  b3  c3

es:

3

de:

x 56.-

Si

1 1 x

E  5 x5 

1 x5

el valor de

es:

E 57.-

Si a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1 el valor de

a 3  b3  c3  3abc a 4  b 4  c 4  4abc E

58.-

Si: a + b + c = 1; además abc = 0. Simplificar:

x  xz  y  yz 59.-

Si:

a 2  b 2  c 2 a 3  b3  c3  2 3

E

x y ; además:

es:

x y z   yz xz xy

; Simplificar:

a b c   x y z 60.-

Si se sabe que:

calcular el valor de M dado por:

x a y  b z  c3  x  y  z    a  b  c  M 2 2 2 2 2 2 x a y  b z  c  x  y  z 2   a  b  c 3 3

3

3

3

3

3

3

BINOMIO DE NEWTON

61.62.-

Hallar el término central del desarrollo del binomio

a7

Determinar el lugar que ocupa el término

 33 2 2  a  a  3   4

1  a  2  x  x 

16

del desarrollo del binomio

12

  63.-

Hallar el lugar que ocupa el término del desarrollo del binomio

´que contiene

a

y

b

b  3  a

21

elevados a la misma potencia



a 1  

64.-



3

a  b

Simplificar la expresión

desarrollo que no contiene

a

.

2 3

1 3



10

a 1 

 

1 2

 a  a 1 a  a 

y determinar el término del

65.-

3

El exponente de un binomio excede en

al de otro. Determinar estos exponentes

sabiendo que la suma de los coeficientes de ambos binomios es

144

 66.Hallar el término decimotercero del desarrollo de coeficiente del tercer término del desarrollo es 105

x

x  3 x

67.Hallar el término del desarrollo del binomio que la suma de todos los coeficientes es igual a 128.



5

  68.-

x

En la expresión



a x 1

desarrollo del binomio valga

 69.-

  a x 1 a x 1  

a4

56a

En la expresión



m

,

sabiendo que el

m

que contiene

x5

, sabiendo

5

determinar

x

par que el curto término del

5,5

.

4   2 2  4 x  4  x

1   9x   3 x 

6

1

determinar

x

para que el tercer término del

240

desarrollo del binomio valga



3

 

x

1 2 3  3

x

70.Determinar en la expresión , sabiendo que en el desarrollo del binomio la relación entre el séptimo término contado desde el principio y el séptimo término contado desde el final vale

71.-

1 6

.

Determinar para el valor de

x

x

, en el desarrollo del binomio



6

x

1 x



12

, el termino

que contiene elevado a una potencia doble de la del termino siguientes menor en unidades que el ultimo mencionado.

  72.-

1 x  2 3x 

30

10

Hallar el término independiente de x en el desarrollo de:



4  2 2  4 x  4 x

6

1

73.En la expresión desarrollo del binomio valga 240.

determinar x para que el tercer término del

74.-

Hallar para que valores de x, la diferencia entre los términos cuarto y sexto en el



x

2  8



16

16



32  2 x

m

desarrollo del binomio es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor que el coeficiente binómico del tercer término del desarrollo en 20 unidades. 75.Determinar para que valores de x, el cuarto término del desarrollo del binomio

 

2

x 1



m

1 3

 2 x

, es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente binómico del cuarto término es 5 veces mayor que el segundo término. 76.Hallar para que valores de x, la suma de los términos tercero y quinto en el

 

2  x

1 

m

 2 x1

desarrollo de , es igual a 135, sabiendo que la suma de los coeficientes binómicos de los tres últimos términos es igual a 22. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 77.- Hallar el resto y el cociente en :

x 3  2 x 2   2  a 2  2a  x  2a  2 xa2

78.- Calcular A+B=? si la división es exacta

2 x 4  3 x 2  Ax  B 2x2  2 x  3

79.- Calcular m+n+p=? si la división deja como resto

3x  2 x  3x  mx  nx  p 3x 3  2 x 2  1 5

4

3

2

80.- Calcular m+n=? si la división es exacta

x3  mx 2  nx  1 x 1 81.- Cuál es el valor de “k” que haga exacta la división

x3  3kx 2  26 x  8k xk 82.- Determinar el valor de “k” si la división es exacta

2x2  x  5

en:

x5  4k x3  2k 3 3x 32 x2 83.- Determinar E=abc si el resto de la división es cero

x 5  2 x 4  6 x 3  ax 2  bx  c  x2  1  x  3 84.- Calcular a+b+c=? si la división es exacta

2 x 5  2 x 4  3 x3  ax 2  bx  c 2 x3  x  2 85.- Calcular el valor de “k” para que el resto valga 4

2 x 3  kx 2   k 2  k  x  5k  10 xk

86.- Calcular el valor de “ab” si la división deja como resto

10 x  5

donde

b Z

20 x 4  13x3  4 x 2  ax  1 5x2  2 x  b 87.- Determinar el valor de “ m “ y ” n” si la división deja como resto

7 xa3  3a 4

x 4  3ax3  a 2 x 2  mxa 3  na 4 x 2  ax  a 2 88.- En la división el cociente es

3x  B

el resto

4 x 2  Cx  15

hallar ABC=?

3x  2 x  Ax  7 x  12 x3  x 2  3 4

3

2

89.- SI a y m son mayores que cero calcular

E am

sabiendo que el

3 x 4  4 x3  ax 2  5 x  2 x2  x  m TEOREMA DEL RESTO 90.- hallar el resto de :

x n 1   n  1 x  n x 1

91.- hallar el resto de la división:

 y  3c 

11

  y11  c11   47  y  c  y  2c

11

Re sto  8 x  2

92.- hallar el resto en :

 5x

4

 7 x 2  5   5x 4  7 x 2  7   8 2

3

5x4  7 x2  8 93.- hallar el resto en :

 x  1  x3  8   x  4  3

4n

3

x2  2x  2 94.- hallar el resto en :

x 3a  2 x 3b 1  x 3c  2  1 x2  x  1 95.- determinar

E  abc

si el polinomio

x  2 x  6 x  ax 2  bx  c 5

4

3

 x  1  x  1  x  3 Es divisible entre: 96.- determinar

a

, b si el polinomio

ax8  bx 7  1

 x  1

2

Es divisible entre:

97.- hallar n y

x

2

a

si la división es exacta

 x  2   a   x  1  x  1  nx 4  x  1   3 x 1 4

2

3

4

.

98.- calcular

a

y b si el polinomio

Es divisible entre:

99.-

2 x 4  ax 3  bx 2  27 x  10 x2  6x  5

Hallar mn si la siguiente división:

R  x  2x  7

x 24  ax  b

100.- Si es exacta.

se divide entre

 x  1 2

x 5  mx 3  nx 2  x  2 x2  3

tiene por residuo

, determine los valores de a y b si la división

x 5  2 x 4  6 x 3  ax 2  bx  c

101.- Calcular a, b, c para que

 x  3  x  1  x  1

sea divisible por

.

Ax 4   A  B  x 3   A  B  C  x 2   B  C  x  A  B Ax 2  Bx  C

102.- Hallar A + B + C si la división es exacta: 103.- Encontrar los valores de m y n para que P(x) sea divisible entre Q(x) donde:

P  x   x 5  2 x 4  3 x 3  4 x 2  mx  n

Q  x   x2  x  2

y

a 2 x 2  acx  k  b 2 x

104.- Dado el cociente que el residuo sea igual a 3abc.

entre



ax  b

encontrar el valor de k para



x 3   2a  m  x 2  a 2  b  n x  ab x  ax  b 2

105.- En la división exacta

; hallar el valor de la

n a m 2a 2 m 2  m 2 b 2 2

J expresión:

2

2

COCIENTES NOTABLES

x 21  y 21 xn  y m 106.- Dado el cociente notable determinar el valor de m y n sabiendo que el cuarto término es a la vez el término central.

xa  yb x3  y 7 107.- En el cociente generado por:

existe un término central que es igual a

x c y 231 , hallar el valor de a + b + c.

x5 n 3  y10 n 15 x n 1  y 2 n1

x a b y ab 108.- Si

es el quinto término del cociente notable:

x

20 m  35

x 109.- Si:

m 1

hallar: a + b.

20 m  57

y  y m 3

da lugar es un C.N. hallar el número de términos (n)

a 4 x  b4 x 110.- Si el quinto termino del C.N.

a5

y

9

 b5

y

9

es

a 48b 64

hallar el número de términos.

x  n297 n

27

1



n 2 1

 y



n 29  7 n n

2 1

1

x 27  81 y 9

111.- En el C.N.

hallar el número de términos.

t4  a 4b12

t5  a 2b16

112.- Sabiendo que y de un cociente notable de la forma calcular p, q, r, s y el número de términos (n).

ar  bs a p  bq

,

 x  a  14  a14

x 2  2a 2  2ax

113.- Determinar el término central de

2

2

x 2 n 3  y 2 n  22 x n3  y n 2 114.- Siendo “n” un número natural, en el C.N. a) Hallar el valor de n. b) Hallar el número de términos (N).





m 4x  1 115.- Si

 2 x  1

25

2

  2 x  1 x

. .

n

es

uno

de

los

términos

del

siguiente

cociente

notable

25

; Hallar m + n, y el termino que ocupa.

 5 x  1 116.- Si la división

99

  5 x  1 x

a  25 x 2  1

99

, origina un cociente notable en el cual un

b

término tiene la forma . el valor de a + b es: 117.- En el siguiente cociente notable se sabe q el segundo término es: x 210y15. n

x3 x

2

p2

n

3

 y3

1

y

2

3

p2

1

p n Calcular el valor de

.

x m  y12 x2  y n 118.- Uno de los términos del cociente notable tendrá su desarrollo?

x14 y 4 es

¿Cuántos términos

3

3

x a b y ab  y a b  ab

 xy 

ab

 ya

2

 b2

119.- Qué relación debe cumplir a y b en: notables. FRACCIONES ALGEBRAICAS

para que sean cocientes

 a  b   2b3  6ab2   a  b  A 3 3  a  b   2a 3  6a 2b   a  b  3

3

120.- Simplificar:

A

a 4   a  1

a

2

2

 1  a 2 2



a 2   a 2  1

2

a 2  a  1  1 2

a 2  a  1  1 2



a 4   a  1

2

121.- Simplificar: 2

122.- Simplificar:

123.- Simplificar:

 1  x   1    2x  1  x   E  2  1  1  x  x  1    x  1  x x2  4 x  3  2 x  5 x  6 E 2 x  8 x  15  x 2  7 x  12

x2  5x  6 x2  6 x  8 x 2  8 x  15 x 2  7 x  10

2

124.- Simplificar:

3  3x  1  x 4    1  3x 1  3x  E 2 13  13 x  1  x 3 4   1  3x  1  3 x

E 125.- Simplificar:

a3 b3 c3    a  b  a  c  b  c   b  a   c  a   c  b

E 126.- Simplificar:

127.- Si se sabe que:

A

1 1 1   a  a  b  a  c b  b  a   b  c c  c  a   c  b

x y z x yz    x 1 y 1 z 1 3

xy  x  3 yz  y  3 xz  z  3   y 1 z 1 x 1

calcular el valor de A dado por:

SIMPLIFICACIONES ALGEBRAICAS



y x 

x y

K  128.- Simplificar:







3a

130.- Simplificar: 131.- Simplificar:

 

x  y   x y y   x

y x

  

 y  x 

 1  a 3 1  a 3

A

M 



  1 x 1 x    2 1 x  1 x 1  x  x  1 

A 129.- Simplificar:

2

x  y 

1 x 2  1   x

3 1

9  18a  9a 2

a  b a b b a 4a 2  b 2  1 3     2   2 2 2 2 4a  b  3ab  2a 2a  ab  b  a  b a b  ab a 







 a A 

 



 

132.- Simplificar:

1 a  b    2a b  1 1   b  ab  a  ab      2ab  2ab  

a  b  2b a 

1

  b 



 2a  C   2 x4  a2 x2     1  a 2 x 2 2

2

x 2 a 2  4  4 a 2 x 2



2ax x 2  a

133.- Simplificar:

1

134.- Simplificar:

1 B  2 135.- Simplificar:

x 1 2 x  a x a x2  a     2 2 x  a x  x2  a 2

 ab  3 b 3 2  a  b    2b 2

E 136.- Simplificar:

x

 x  x2  1 D  2 x  x2  1  1  2   x  1  x  x2  1 2

2 2

3

8b3 2a



2



2a  2c 3 3  a c

1 2 2







1 2

2

    

G 137.- Simplificar:

 

 2 x  a  3  3 x  a  x  2a 

x3a

3

3

3

3

2



 a3  3a 2 x  3ax2  x3  3 a

3

a b    2a a  b b ab  a a  b  2 3a  3b ab a a b a  

H 138.- Simplificar: RADICACIÓN

4

S

x

x 1  4

139.- Simplificar:

x

4

x 1

x 1

2  1 4 3  2 2  3  x  12 x  6 x  8

L

x x  x 1

140.- Simplificar: n

E

2 14 3  2 2



2  3 2 n 2  3 4 n 2  3 n

141.- Simplificar:

3

3  2 2 n 5 2 6

 2x  L   2x



4x2  1



2

2  2 4 x 2  1  4 x2

2





2x  4x2  1 

1

  1  1  2 x 2  2 x 2 142.- Simplificar:

2 b 1   M   1   1  b  1    

143.- Simplificar:

E 144.- Simplificar: :

2 b  1  b  1 b  2 b  1

3 x  1  3x  1 2 3x  9 x 2  1



2x 1  2x 1 2 2x  4 x2 1



5x2 9 x2 1  4 x2 1

145.- Simplificar:



F 

4x 1 4 x  1    2 2 



RACIONALIZACIÓN

1 3

1 y  3

y 1

146.- Racionalizar la expresión:

1 x 3

147.- Racionalizar la expresión:

x

x

 x  1 3 x 2 3

148.- Racionalizar:

x  3 x2  1

 x  1 5

149.- Racionalizar: 150.- Simplificar:

x 4  5 x  5 x3  5 x 2  1

   x  1  x  2   x  2   x  5   13 E    x 2  3x  11   



A  151.- Simplificar:



153.- Simplificar:

x 2  3x  1  x 2  3x  1 4 3 2   x  6x  9x 1 2 2 x  3x  1  x  3 x  1

  1 x 1 x    1 x  1 x 1  x 2  x  1 

R

x2 1  x 2 x4  x2 2 x2 1  2x2 1 x 1  x 1 x 1  x  1

A

x5  1  x  1  x  1  x   x3  x 2  1  1  x  1  x 

152.- Simplificar:



3 2 x  96 4 x 1  4 x2  5x 16 x 2  1  1  x 4 x  1     4x  1  4x  1 4x 1 x  x 2  96  x  x 2  96

1 x 2  1   x

 1  1  x 2   x  

x 2 x 1

x 154.- Si se sabe que:

2am b  1  m2 

calcular el valor de P dado por:

a  bx  a  bx a  bx  a  bx

P

x 155.- Si se sabe que:

2mn n2  1

calcular el valor de P dado por:

m x  mx m x  mx

E

1

x  2k 2  1  k 

1

156.- Si se sabe que:



 1 x

E

1 2 2



2  

  1   

calcular el valor de P dado por: 

1 2

 

1 2 2







1 x  2

   1   



1 2

ECUACIONES (Con una incógnita)

157.- Resolver:

158.- Resolver:

x  1 2n 2  1  x  2 x  1 1  x    n 1 n4  1 1  n4 1  n

3ab  1 3ab  2a  1 x a2 x   a a  1 a  a  1 2  a  1 3

 a  x  1  x 1  a 1 x  a 1    1    ax  1  x  a 1  1 1 2   x  a a ax  1 



159.- Resolver:

160.- Resolver:

161.- Resolver:



a x ax 3a   a 2  ax  x 2 ax  x 2  a 2 x a 4  a 2 x 2  x 4



2a  b  b 2 x 3abc a 2b 2 bx     3 cx  2 a  b  a  b 3 a a  a  b



1  a 2 x 2  ax 1  a 2 x 2  ax

162.- Resolver:



27  x  27  x 27  x 27  x  27  x

163.- Resolver:

1  a 2 x 2  xa 1 164.-

1  a 2 x 2  xa 1

Resolver:

165.-

Resolver:

166.-

Resolver:

1 c2

 a  x



1 4

a  x   x  b x  b a x  xb

 ab

x  ab x  bc x  ac    abc ab bc ac

SISTEMA DE ECUACIONES



3

b 2  3 a 2  16  2 3 ba

3

b3a 

    167.-

Resolver:

 

3

1

 2 x y 



1 2 ab  1 1

2 x y



 168.-

Resolver:

2 2  15 x  y  15 x  y  8 x  y



x y   

169.-

Resolver:

 x  y  36  

x y   

170.-

Resolver:

1 15

 x  y  36 

1 13  x y 2

1 13  x y 2



12  x 1    

8  x 1  

171.-

Resolver:





x y  x y  4 a 

x2  y 2  x2  y2 



x2  y 2  x2  y 2  y

Resolver:

 173.-

Resolver:

5 1 y 4 10 6 1 y 4

  172.-

5





41  3 a

4 4 4  x  y  144a

ECUACIONES CUADRÁTICAS 174.- Para que valores de “d” las raíces de la ecuación: serán iguales. 175.- Si m y n son raíces de la ecuación:

A

x 2  2  3d  1 x  7  2d  3  0

x2  6 x  c  0

calcular el valor de:

m3  n3  18c 36

176.- Usando la propiedades de una ecuación de la forma:

ax 2  bx  c  0

2 3 i y 2 3 i ecuación, cuyas soluciones son:

Se sabe que:

encontrar la

i 2  1

 2 k  2  x 2   4  4k  x  k  2  0

177.- Hallar el valor de k de la ecuación De tal manera sus raíces sean reciprocas: 178.- Hallar todos los posibles valores de k para que las ecuaciones siguientes posean

3x 2  19 x  2k  0 6 x 2   k  4 x  10  0 una raíz en común. 179.- Para que valores de a tiene la ecuación:

x 2  2a a 2  3 x  4  0 raíces iguales

x  3x m  1  5 x  12 m  1 2

180.- Para que valores de “m” las raíces de la ecuación:

serán simétricos.

181.- Determinar “m” en la ecuación: sea el triple de la otra:

x 2   3m  2 x  m 2  1  0

182.- Hallar “m” para que la ecuación: iguales.

de modo que una raíz

 5m  1 x 2   m  5 x  1  0

183.- Escribir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: PROBLEMAS DE PLANTEO

tenga soluciones

a b y b a

184.- La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades. 185.- Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costo 4 veces los arreos, ¿cuánto costo el caballo y cuanto los arreos? 186.- En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuantas habitaciones hay en cada piso?

Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triplo de la de A 1.- Repartir 133 Bs. entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la B. 2.- El mayor de los números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. Hallar los números. 3.- Repartir 149 quetzales entre A, B y C de modo que la parte B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C. 4.- Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera. 5.- El duplo de un número equivale al número aumentando en 11. Hallar el número. 6.- La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades. 7.- Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentando en 21. Hallar el número. 8.- Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo? 9.- Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triplo de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda. 10.La edad de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132, ¿Qué edad tiene cada uno? 11.Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triplo de la primera y 40 unidades mayor que la tercera. 12.Entre A, B y C tienen 130 balboas y C tiene el doble de lo que tiene A y 15 balboas menos que B ¿cuánto tiene cada uno?

13.La suma de tres números es 838. El primero excede al duplo del segundo en 8 y al tercero en 18. Hallar los números. 14.Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costo 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. 15.- Entre A y B tienen 99 Bs. La parte de B excede el triplo de la de A en 19. Hallar la parte de cada uno. 16.- Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color. 17.- Repartir $152 entre A, B y C de modo que la parte de B sea $8 menos que el duplo de la de A y $32 más que la C. 18.- El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el duplo del número. Hallar el número. 19.- La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triplo del menor en 88. Hallar los números. 20.- La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. hallar los números. 21.- Un perro y su collar han costado $54, y el perro costo 8 veces lo que el collar. ¿cuánto costo el perro y cuanto el collar? 22.- Ente A y B tienen $84. SI A pierde $16 y B gana $20, ambos tienen los mismo. ¿Cuánto tiene cada uno? 23.- En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número de señoritas excede en 15 al duplo de los jóvenes. ¿cuantos jóvenes hay en clase y cuantas señoritas? 24.- Dividir 160 en dos partes tales que el triplo de la parte menor disminuido en la parte mayor equivalga a 16. 25.- La suma de dos números 506 y el triplo del menor excede en 50 al mayor aumentando en 100. Hallar los números. 26.- Una estilográfica y un lapicero han costado 18 bolívares. Si la estilográfica hubiera costado 6 bolívares menos y el lapicero 4 bolívares más, habrán costado lo mismo. ¿cuánto costo cada uno? 27.- Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte. 28.- La edad actual de A es doble que la de B, y hace 10 años la edad de A era el triplo de la de B. hallar las edades actuales. 29.- La edad de A es el triple que la de B y dentro de 5 años será el doble. Hallar las edades actuales 30.- A tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y B pierde $5. A tendrá $20 más que B ¿cuánto tiene cada uno? 31.- A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A gana 66 colones y B pierde 90, A tendrá el doble de lo que tiene B ¿cuánto tiene cada uno? 32.- La edad de un padre es el triplo de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales.

33.- La suma de dos números s 85 y el número menor aumentando en 36 equivale al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números. 34.- Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si enrique le diera a su hermano 50cts. Ambos tendrán lo mismo ¿Cuánto ti8ene cada uno? 35.- Un colono tiene 1400 sucres en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero. ¿cuánto tiene cada bolsa? 36.- El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique 21 días mas, ambos habían trabajado igual número de días. ¿cuantos días trabajo cada uno? 37.- Hace 14 años la edad de un padre era el triplo de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años. 38.- Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triplo. Hallar las edades actuales 39.- Entre A y B tienen $84.Si A gana 480 Y B gana $4, A tendrá el triplo de lo tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno’ 40.- Compre doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costo 2 y cada traje 50 ¿Cuántos sombreros y cuantos trajes compre? 41.- Un hacendado compro caballos y vacas por 40000 bolívares. Por cada caballo, ¿Cuántas vacas y cuantos caballos compro? 42.- Cierto número aumentado en tres , multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24 ¿Cuál es el número? 43.-

La suma de tres números consecutivos es 75 pregunta cuáles son los numero

44.- Si a un numero se le suma 5,se multiplica la suma por 3,se le resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7 se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el numero ¿Cuál es el número 45.- Si me adivinas cuantas nueces tengo, dijo un niño a otro, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo la sexta parte más una mues ¿Cuántas nueces tenia? 46.- En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayo prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados pregunta de cuantos soldados se componía la patrulla 47.- Un gavilán se encontraba en vuelo, con lo que aparece un centenar de palomas, pero una de ellas lo saca de su error: no somos 100 dice si sumamos los que somos, más tantos como los que somos, más la mitad de los que somos y la mitad de la mitad de los que somos en ese caso contigo gavilán seriamos 100 pregunta cuantas palomas había en la bandada 48.- Si al numerador de la fracción 5/7 se le suma un número y al denominador se le resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la reciproca de la fracción dada calcular el número 49.- Un granjero que tiene en su corral vacas y gallinas, se observa que el número total de patas es igual al doble del número de cabezas más 14 ¿cuantas vacas hay en el corral?

50.- Juan pago Bs.350 por un sombrero y un traje. determínese el precio del traje sabiendo que este costo Bs.150 menos que el sombrero 51.- Una joven pago Bs.350 por un vestido y un sombrero. Determínese el precio del vestido sabiendo que este costo Bs.150 más que el sombrero 52.- un cine tiene una capacidad de 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierto monitoreo con el cine lleno, la mitad del auditorio adulto era igual al auditorio infantil y estudiantil juntos. Las entradas totalizaron $3200, ¿Cuántos niños asistieron a la función? 53.- Un mayorista compra bananas por un total de 180 Bs, sin embargo.se da cuenta que comprando de otro distribuidor, habría obtenido por el mismo precio 600 bananas más (de las que compro), ello equivaldría un ahorro de 1 centavo por cada banana ¿determine cuantas bananas adquirió inicialmente? 54.- Dos estudiantes A y B apuestan 10 Bs a que aprobaran el examen de matemática, el dinero de ambos tiene una relación de 10 a 13 inicialmente, luego del examen solo A aprueba y la nueva relación de dinero de ambos es de 12 a 11 ¿Cuánto dinero trajeron A y B al momento de la apuesta? 55.- Una familia está compuesta por padre, madre y dos hijos. La suma de las edades de todos es 136; casualmente la suma de las edades de los hijos es igual a la edad de la madre. El padre es mayor que su esposa por 7 años ¿Cuántos años tiene la madre? 56.- la suma de edades de Andrés y Beatriz es el cuadrado de la edad de Carlos, además Carlos tiene el triple de la diferencia de edades de Andrés y Beatriz, por otra parte, hace 15 años, Andrés tenía el doble de la edad de Beatriz, encuentre las edades actuales de cada uno 57.- En el momento de escribir este problema mi edad más el triple de mi edad que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos 3 , sabes cuantos años tengo 58.- En una encuesta, se preguntó a una señora que edad tenia y ella respondió tengo el doble de la edad que tú tienes , pero en 24 años tendré 68 años menos que el triple de tu edad en ese año 59.- Hallar un numero de dos dígitos , donde la suma del número de las decenas más el número de las unidades es diez , si se invierte el número (el de las decenas por el número de las unidades), el numero resultante es igual a 3 veces el numero original menos dos unidades 60.- Cierto número entre 10 y 100 es 8 veces la suma de sus dígitos, y si se le resta 45,sus dígitos se invierten, hallar el numero 61.- Un obrero puede realizar cierto trabajo en 7 horas menos que otro que tiene menos experiencia ,juntos pueden realizarlo en 12 horas ,cuanto tiempo tarda en realizar el trabajo cada uno 62.- Pablo puede transcribir a la computadora un trabajo de 200 pág. En 5 días y cristina lo puede hacer en 4 días pregunta en cuanto tiempo podrán pablo y cristina transcribirlos si lo hacen juntos 63.- Dos obreros juntos completan una cierta tarea en 8 horas , trabajando individualmente, el 1er obrero podía hacer el trabajo en 12 horas más deprisa que lo podría hacer el segundo , cuantas horas tardaría cada obrero en hacer individualmente el trabajo 64.- En una batalla en el norte de áfrica había cuatro tanques Italianos por cada 3 tanques Ingleses, durante la batalla los Italianos perdieron 20 tanques y los Ingleses 10 tanques y quedaron entonces 5 tanques italianos por cada 4 tanques ingleses

¿Cuántos tanques italianos y cuantos tanques batalla?

ingleses había al comienzo de la

65.- Los jornales de un maestro albañil y su ayudante son 7 Bs y 3 Bs por hora respectivamente entre ambos realizan un trabajo por el que reciben la suma de 53 Bs , si los jornales se disminuyen en 1 Bs por hora , abran cobrado 42 Bs en total, pregunta cuánto tiempo trabaja cada uno de ellos 66.-

Determine un número que sirve de contraseña de tres cifras, donde la suma del digito de las centenas más el digito de las decenas es igual al digito de las unidades. Si se invierte la cifra de las decenas por el de las unidades, el número resultante es igual al número buscado más 18 unidades. Y si se divide el digito de las unidades entre el digito de las centenas, el numero resultantes es igual al digito de las decenas menos 1.

67.-

El hijo de un matrimonio de militares tiene actualmente una edad igual a la suma de los dígitos de las edades de sus padres y nació cuando su madre tenía 27 años. El hombre (padre) le lleva en edad a su esposa (madre) por nueve años y este año los dos dígitos de sus edades son los mismos pero con orden cambiado. Hallar las edades que tienen actualmente el hijo la madre y el padre.

68.-

En una caja se tienen pelotas rojas, negras y blancas. Si se tuvieran tres bolas blancas más se tendría la misma cantidad que las rojas. Al multiplicarse la cantidad de pelotas negras por las blancas, se excede en 3 al cuádruple de la cantidad de pelotas rojas. Sin embargo, si se quitaran 2 de cada color, la cantidad total de pelotas seria el doble de la cantidad real de pelotas negras. ¿Cuántas pelotas se tiene de cada color?

69.-

Un docente del colegio militar tiene un hermano menor. Si el padre de ambos tiene hora dos años más que sus dos hijos juntos, y hace 8 años, tenía tres veces la edad del hijo menor y dos veces la edad del mayor en ese entonces ¿Qué edad tiene ahora el docente del curso pre facultativo? ¿qué edad tiene actualmente su padre? ¿qué edad tiene ahora su hermano?

70.-

En una batalla del norte de Chile, habían 4 tanques Chilenos por cada 3 tanques Bolivianos. Durante la batalla, los Chilenos perdieron 20 tanques y los Bolivianos perdieron 10 tanques y quedaron 5 tanques Chilenos por cada 4 tanques Bolivianos. ¿Cuántos tanques Chilenos y cuantos tanques Bolivianos habían al comienzo de la batalla?

71.-

Un grupo de 20 cadetes de último año entre diferentes armas: Infantería, caballería y artillería descubren un naranjo cuando ya la sed se empezaba a hacerse sentir. El árbol que encontraron contiene 37 naranjas que se reparten de la siguiente manera. Cada cadete de infantería come 6 naranjas. Cada cadete de artillería come una naranja y cada cadete de caballería media naranja ¿cuántos cadetes de infantería, caballería y artillería había en el grupo?

72.-

En el día de los enamorados, un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando alegres altos de 11 cm, al encontrarla con otro ratoncito, regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido en total 1.23 m se detiene a suicidarse ¿Cuánto le faltaba aun por recorrer?

73.-

Un coleccionista compró dos automóviles en un total de 22500 $US. Después de un tiempo decidió venderlos y al hacerlo obtuvo un beneficio del 40%. Cuánto pagó por cada automóvil si uno de los autos dejó un beneficio del 25% y el segundo del 50%?

74.- Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de María, dentro de 20 años sus edades sumaran 90 años. ¿cuál es la edad de María? 75.-

Matías pensó en un número de dos dígitos, de tal manera que sumándolo al número que resulta de invertir sus dígitos, obtiene 99. Además la relación entre el número que pensó y el numero resultante de invertir los dígitos es 7/4. ¿en qué numero pensó Matías?

PROGRESIONES 76.- En una progresión aritmética el primer término es 12, el número de términos es 9 y la suma es 252. En otra progresión aritmética el primer término es 2 y su razón 6. Si dos términos que ocupan el mismo lugar de ambas progresiones son iguales, calcular su valor. 77.- El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones. 78.- En un progresión geométrica la suma del primer y el tercero término es igual a 80 y el cuadrado del segundo es 576 hallar los números. 79.- Las edades de los tres hijos de José y Martha están en progresión aritmética y suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en progresión geométrica y suman 13. Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma; encontrar las edades de los hijos de ambos esposos. 80.- Las edades de los tres hijos de Juan están en progresión aritmética. Hace 9 años la edad del hijo mayor era igual a la suma de las edades de sus dos hermanos, la edad del hijo del medio era igual a su edad actual pero con sus dos dígitos invertidos y cinco veces la suma de estos dígitos es igual a la edad actual del hijo menor. ¿Qué edad tiene actualmente el hijo menor? 81.- Se tienen dos progresiones, una aritmética y la otra geométrica; ambas tienen el mismo primer término, su valor es 4, el segundo término en ambas progresiones también es el mismo, pero no conocemos su valor. El tercer término de la P.G. es 25/16 del tercer término de la P.A. Hallar los tres números 82.El Primer término de una Progresión Aritmética es 2 y el último es 26 con una razón llamada “R”; si se intercalan (R 2 - 2) medios aritméticos, calcular R y construir la Progresión. 83.- Un trabajador debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 21 árboles que están al lado de una calzada; los árboles están a 4 metros de distancia y el montón de arena esta a 10 metros antes del primer árbol. ¿Qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? 84.- Una progresión aritmética tiene 20 términos. La suma de los términos que ocupan lugares pares vale 250 y la de los términos que ocupan lugares impares vale 220. Hallar los dos términos centrales de la progresión. 85.- Hallar una progresión aritmética en la que la suma de un número cualquiera de términos sea siempre el triple del número de términos elevado al cuadrado.

86.- Hallar la suma de todos los números de dos cifras que, al dividirlos por 4, den como resto la unidad. 87.- El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones. 88.- Un periodista se entera un día de una noticia a las 6 a.m. la comunica después de 5 minutos a dos personas; cada una de estas a su vez después de 10 minutos la transmiten a otras dos más; estas a su vez después de 15 minutos le avisan a otras dos y así sucesivamente, tardando cada nuevo grupo 5 más que su predecesor para propagar la noticia. ¿Cuántas personas conocen la noticia a las 12:30 p.m. de dicho día? 89.- Una bola rueda por un plano inclinado, partiendo de reposo, de forma que en el primer segundo recorre 3 cm., en el segundo 5 cm. en el tercero 7 cm., y así sucesivamente. Hallar el tiempo que tardará en recorrer 120 cm. 90.- Una pelota se deja caer de una altura de 10 metros y cada vez rebota hasta una tercera parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta que teóricamente quede en reposo. 91.- Dado un cuadrado de lado a, se toma los puntos medios de sus lados y sc construye un segundo cuadrado. Tomando los puntos medios de este cuadrado se construye un nuevo cuadrado, así sucesivamente. Calcular la suma de todas las áreas así obtenidas. 92.- Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de 153 m uno del otro, se mueven al encuentro mutuo. El primero recorre 100 m por segundo, y el segundo recorrió 3 m en el primer segundo, en cada segundo siguiente recorre 5 m más que el anterior. ¿Después de cuántos segundos los cuerpos se encuentran? 93.- La suma de tres números en P.G. es 70, se multiplican los extremos por 4 y el intermedio por 5, los productos están en PA., hallar el término central. 94.- Un rollo de papel cuyo diámetro es de 300 cm consta de 50 vueltas de papel fuertemente enrollado en un cilindro macizo de 100 cm de diámetro. ¿Qué longitud tiene el papel?. 95.- En un cilindro de radio R se inscribe un cuadrado y a este cuadrado se le inscribe un círculo; en este se inscribe otro cuadrado y así sucesivamente. Hallar la suma total de las áreas de los círculos. 96.- En un almacén se han apilado latas de conservas, formando una torre de 10 filas, en la fila de más arriba esta solo una lata, en la segunda están cinco, en la tercera están trece, vale decir que se aumentan latas en los espacios que existen entre las latas que había en la fila anterior y así sucesivamente. ¿Cuántas latas podrán apilar en las 10 filas? 97.- El primer término y la razón de una progresión aritmética vienen dados por la solución del sistema de ecuaciones adjunto además el ultimo termino es 97. ¿Cuántos términos tiene la progresión?

 a1  r  a1  r  2 a1r  2  

a1  r  8

LOGARITMOS



7 A   log 7  49  98.-

Simplificar:

3



n  1   log 2n  4    

A 99.-

1  log 2 3 1  log3 2  1  log 2 3 1  log 3 2

Simplificar:

A



 8

log 3 27  2log 5 625



3log5 25  log 2

100.- Simplificar:



1 B  log 3  9  3log  0.001  2log5  125  log 8  2  5log 8 4 5 16 2

101.- Simplificar:



4 n

C  log n  m 

 mn  log m n 





4 m1

mn  log

 mm



4 m





 n  log n n  m 

102.- Simplificar:



2m  log b c 103.- Si se cumple que,



log a  

3



 a



1

Lc

b

 a 2 m   b

log 

Calcular:

5 1 2  1     3





N  log a 

5



104.- Si:



 a



3 2  1   



Calcular:

E

49

1 2 log 25 49

5

105.- Simplificar:

E 106.- Simplificar:

   log a  1

25



 2log 2  log 2 log 2 5 

1 log 2 5

1 2 log 49 25

4



3

1 log 2 3

 3 2



2 log5 4

1 log3 4



 2log 2  log 2 log 2 7 

1 log3 4



3

1 log 2 3

 3 2



2log 7 4

1 log3 4

107.- Calcular el valor de x de la siguiente expresión: 108.- Calcular el valor de x de la siguiente expresión:













4 x 1 3x 1

3 16  4 9

7 3x 1 5 x  2 3x  4 5 x 3

4 n 1

m  n

31logx  32 logx  23 logx

109.- Calcular el valor de x de la siguiente expresión:



x 3

2 2



21 x



1 2



x 1

42  0

110.- Resolver: x 2 1

111.- Resolver:

a 3 2 x  2 a 4 a 1  1

3log

xa

2

1 x  log x x  2 2 a

112.- Resolver:

113.- Resolver:

114.- Resolver: 115.- Resolver:

116.- Resolver:

log 4  x  12  log x 2 1 1  a  a 2  a3  ......  a x 1  a x   1  a   1  a 2   1  a 4   1  a8  x 52 54 56 58 ......  52  0.04  28



 3a  b  a 2  ab  1 1  logx  log  b  3 b 2  











1

  4 logb  1 log a 3  ab 2 3 3  





log 2  log 4 x  2  9  1  log 2 x  2  1 117.- Resolver:



log3 4 118.- Resolver:

log3 x

  log  36   8 log3 x

3

 e ln    ln 4 x  2  9  1  ln 2 x  2  1  5









119.- Resolver:

1 1 a3  a  log  x  a  1  a    log  1    log  a2  0 2 a a 1    

120.- Resolver:





1 2





log 41 2

x



1 1 log

121.- Resolver:



2  log 2  1  log 5

x



2



x 2



2 2log 2



 1  log 51

x

5



122.- Resolver:

123.- Resolver:

1  2log 2   1   log 3  log 2 x 



log 3

4 x 1

 24

4 x 1

124.- Resolver:

125.- Resolver:

126.- Resolver:

127.- Resolver:



x



3  27  0

  2  14 log16 

x  0.25log 4

2log 2  log  x  3 1  log  7 x  1  log  x  6   log 3 2 log5120   x  3  2log5  1  5 x 3   log5  0.2  5x 4 

 8  log8 x log x    log8 x 

log a x

logb a

log5 x

1  0

 log 2 x

2 loga b

a

 log b x 

128.- Resolver:

129.- Calcular el valor de

130.- Calcular el valor de

5 2

E  x2  7

2 x 3  4 x1  320 si “x” es la raíz de la ecuación:

6

E  2x  7

131.- La solución de la ecuación



si “x” satisface la ecuación:

2 3  2 3



4x

13

 68

es:

714  7 x 7 7 x  72

132.- El valor de x que verifica la ecuación



1 x 3 2 x





 2(2



) 

2 x 1





x 1



1



133.- Qué valor debe tomar “x” en la ecuación

3

x2

134.- El valor de x que verifica la ecuación



 log x y  log y x  

 xy  8

5 2

  ax  loga   by  logb  0 

logx logy  b  a

Resolver:

 log 3  log y  log 2 8  137.-



 81x  27 32 

2



4x  1



3 y  2

Resolver:

 log  x  y    y  x  log 2  log 3  138.-

x y  4  8

Resolver:

 log  x 2  y 2   1  log13  139.-

 log  x  y   log  x  y   3log 2 Resolver:

x 3

)2

 x  

 3  2.3 2x

x 1

2 x 1



4

 3 x

4

 81 es:

Resolver:



2

4

 2(2

136.-

2

x 1

es:



135.-



x 1

 log xy  x  y   1  140.-

 log xy  x  y   0 Resolver:

 xy  a 2  141.-

2 2 2 2  log x  log y  2.5log  a 

Resolver:

 3x 2 y  576  142.-

 log

 y  x  4

2

Resolver:



143.-

3  log a x  log a 2 y  2   log x  log y  3 b b2  2 Resolver:



x y

 144.-

x y 2 3

yx   x  y  2  3

Resolver:

 91 y 9 x  27 x 27 y  0  145.-

 log  x  1  log  1  y   0 Resolver:





1  1  2 logx  2 logy  log 4  x  0 

 

 25 146.-



y

 125 5

y

Resolver:

 log  

 x 147.-

x

 Resolver:

xx



x 1

log  x 



y x 1

log y x  x

2 2

2

1

0



log x2 y 2  log x2 y 2    

148.-

5 log 2  x  y  log 2  x y 

 log x 2  y 2 log  x  y  7   2  x  y 2  Resolver:









  12





 0

 log 4 2log3  3  log 2 2  log 2  x  y    149.-

 9 x  9 y  2 Resolver:



 log 1  log  1  log 1  log  x  y    a b  c d    2 x  2 y  8

150.- Resolver: SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

E 187.- Simplificar:

1  tg 2 1  tg 2

E 188.- simplificar:

sen7  sen5 cos7  cos5

2cos 2  1 F       2tg    sen 2    4   4 

189.- simplificar:

F 190.- simplificar:

2  sen2  2cos 2  1

F  csc

cos  sen  cos3  sen3

191.- Hallar el valor de:

192.- Hallar el valor de:

RESP.: E  log  tg 25º   log  tg 26º   log  tg 65º   log  tg 64º 

sen60 cos 2 30 E   tg 225  cos 2 315 2 3

E  cos     

sen  a y cos  b 193.-

Si:

Hallar el valor de:

E  4cos

  194.- Si:

la expresión es igual a:

      cos sen   2   2 2

E 195.- Simplificar:

196.-

Simplificar:

197.- Simplificar:

 cos  4cos 2 cos 2 sen  sen3 sen  sen cos   2sen  sen cos  1 

2

2 1  sen  cos   E  tg  sen   cot  cos 

sen 4  cos 4  1 E sen 6  cos 6  1

 sec  tg  1   tg cos  tg sec 1 

E 

Simplificar: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

198.- Calcular el valor de:

E  sen  2arctg 2  1  2 2  arcsen    3     2

E  sen  199.- Calcular el valor de:

 1  4  arccos     7   2

E  cot  200.- Calcular el valor de:

201.- Calcular el valor de:

202.- Calcular el valor de:

203.- Calcular el valor de:

  3   3 1 E  tg  5arctg   arcsen  4  2   3     1  E  sen  3arctg 3  2arccos  2 

  3  1  E  cos  3arcsen   arccos      2   2 







2    2

E  arctg 3  2 2  arctg  204.- Simplificar:



E  arccos  205.- Simplificar:



 2  arccos   3  

6  1  2  3

 a  b   arctg  b   1  ab

F  arctg  206.- Simplificar:

1  1   1   1   F  arctg    arctg   arctg   arctg  8  3   5   7  

207.- Simplificar:

xcos  cos   arccot   1  xsen  x  sen  

E  arctg  208.- Simplificar:

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

209.- Resolver:

2cos 3 x  9sen 2 x  10cosx  12

  2cosx sen  x    1  6 210.-

Resolver:

211.- Resolver:

3senx  5cosx  5  0

  2cosx sen  x    1  6

212.- Resolver:

sen 2 x  2cos 2 x  213.- Resolver:

1 sen 2 x  0 2

    45º  2 

1  senx  cosx  2cos  214.- Resolver:

  3 x    3x  2  senxcos 2 x  sen 2 xcosx   cos     sen    4 2  4  2   

215.- Resolver:

sen  60º  x   sen  60º  x  tgx  2 1  tg 2 x



216.- Resolver:

4cos

x  2 cos x  3 2

4 sin

x  2 cos x  3 2

217.- Resolver:

218.- Resolver: SISTEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS



cotx

  1  cot x  2

2

2

2

 tgx  coty  3  4   cotx  tgy  3

219.- Resolver:



 2 2 x  2cos   sen     2   4cosx cosy 1 

220.- Resolver:

 y   2

  x   2 y 2 sen 2   cos   2    2

3  4

 4   tg  tgy  1 

 x y  221.- Resolver:

 2senx  cosy  1 

2

2

sen x  cos y 4  16

222.- Resolver:



 x y  x  y cos     2 2   2cosx cosy 1   2cos 

223.- Resolver:

1

 cot  x y  0 

 senx  seny  2

224.- Resolver:

 tgx tgy  3  

1



2 2

 cosx cosy  225.- Resolver:



 x  y  arctg 2  3  

 tgy tgx  226.- Resolver:

227.- Calcule resultante.



el



3  2 3 3

modulo

del

vector

228.- Un mapa en el diario de campaña del Capitán tiene directrices para la ubicación del objetivo. Dice que la ubicación del objetivo se encuentra dando 20 pasos al norte del viejo roble y luego treinta pasos al noroeste. Después de encontrar el poste de hierro, se debe caminar 12 pasos al norte y cavar hacia abajo 3 pasos.

¿Cuál es el vector que apunta de la base del viejo roble hasta el objetivo? ¿Cuál es la longitud de este vector?

229.- Dados los vectores: Ā = (−1, 2,−3) y Ī = (0, 4,

1 2 ) realiza las siguientes

operaciones en forma gráfica y analítica:

⃗ A =2 i⃗ + ⃗j y ⃗ B =3 i⃗ + 4 ⃗j

230.- Dados

Determinar el ángulo entre

, además sabiendo que

⃗ U =2 ⃗ A y⃗ V =⃗ B− ⃗ A

⃗ ⃗ U yV

231.- Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

log {2 ( x 4+ y 2−16 ) }

232.- Si:

log ( x 2 + y )

Hallar el valor de

−2=0 5

E= √ ( x 2− y)log 2 49

233.- Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas

{

log 2 √ x +log 4 y−log 2 ( 4−√ x ) =0 9√ xy =27 ( 3√ y )

234.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

√ log √ x=0,5

a.

235.- El área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es 3 por raíz de 3 , entonces el área de la Circunferencia es: ¿? 236.-

6)

237.- 25)

Pasa a radianes o a grados, en cada caso, los siguientes ángulos:

7 rad 4

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica.

Sec x Tag x  Ctg x

 Sen x