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• Katherine Gisselle Abata Murillo

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UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABÌ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMATICAS ESCUELA DE TECNOLOGIA DE LA INFORMACION

MATERIA: CALCULO DE UNA VARIABLE

TAREA – MEDIO CICLO

LIMITES, LIMITES LATERALES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO ESTUDIANTE: CATAGUA BRAVO JESUS ALEXANDER

DOCENTE: ING. FABRINA CEDEÑO MENDOZA MG. SC

NIVEL: PRIMERO

PARALELO: “O” PORTOVIEJO-MANABÍ-ECUADOR

AÑO 2020

INTRODUCCIÓN Con cálculo en una variable nos referimos al área de conocimientos de las ciencias exactas que se encarga de analizar diferentes propiedades de las funciones matemáticas que dependen de una única variable. Una variable es una forma simbólica de denotar a algo que tiene un valor pero que no está definido, sino que puede tomar cualquiera de los valores contenidos en un cierto conjunto. Ese conjunto recibe el nombre de dominio de la función. En virtud de que la variable no tiene un valor constante, la función tampoco; pero cuando le damos un valor a la variable (un valor cualquiera, elegido entre todos los que nos permite el dominio de la función), el valor de la función quedará fijado. Es por esto que recibe ese nombre ya que su valor se obtiene en base a o en función del valor de la variable. El conjunto de todos los valores que puede tomar la función recibe el nombre de conjunto imagen o recorrido, de modo que una función se puede considerar como una aplicación entre dos conjuntos: el conjunto origen (dominio) y el conjunto imagen (recorrido). Dado que podemos definir la aplicación de infinitas maneras, existen tantas funciones como la imaginación de uno pueda concebir, y para cada una de ellas el análisis matemático da resultados diferentes. No obstante, hay ciertas estructuras de funciones genéricas que presentan un comportamiento extrapolable a todas las que se parecen a ellas. MARCO TEÓRICO LÍMITES Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite. Es preferible comenzar con una función f(x) = x2. Sabemos que f (2) = 4. Sin embargo, seamos un poco más ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así

f ( x )=

x 2 ( x−2) x−2

Esta última función es igual a x 2 {\displaystyle x^{2}} en toda función la parte o las partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como

lim f ( x )=4 x →2

Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.

Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebraicamente como sigue

lim f ( x )=4 x →2

Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(x) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido. Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí LIMITES LATERALES En el cálculo de límites, hay ocasiones, en las que la función a tratar no es la misma para todos los valores de existencia de dicha función. En esos casos debemos de decir que función tenemos que utilizar. Para eso utilizamos los limites laterales. Por ejemplo

f ( x )= 2 x +1 si x ≤ 2 3 x−2 si x> 2

{

}

2x+1 3x-2

2 Cuando vallamos a resolver el limite cuando tienda a 2, debemos de elegir cuál de las funciones utilizamos. Pues bien, ante este problema, utilizamos los llamados limites laterales, es decir, limites cuando x tiende a 2 por la derecha (es decir, para valores mayores a 2), y limites cuando x tienda a 2 por la izquierda (es decir, para valores menores que 2).

lim +¿

x→ 2 f ( x ) =

+¿

¿ lim

x →2 ( 3x−2 )=3 .2−2=6−2=4

¿¿¿

lim −¿

x→ 2 f ( x ) =

−¿

¿ lim

x →2 ( 2 x+1 ) =2 .2+1=4 +1=5

¿¿¿

CONTINUIDAD Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite. Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes: La función existe en a. Existe límite de f(x) cuando x tiende a a. El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto. Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.

Ejemplo de función continua.

La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.

FUNCIONES CONTINUAS Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales: Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales. Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador. Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición. Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2). PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que: La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo. El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo. El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula. Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a. PREGUNTAS 1) ¿Qué son límites? 2) ¿Qué es infinito y como resolver ejercicios de límites? 3) Calcule el límite:

lim ( √ x 2 +3 x−¿ √ x2 + x )¿ x→ ∞

4) ¿Qué son limites laterales? 5) Realice un ejemplo de límites laterales 6) describa la definición de continuidad 7) Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

RESPUESTAS ¿Qué son límites? La noción de límites se refiere en términos coloquiales a lo que nos lleva nuestra intuición: es aquello a lo que nos podemos acercar hasta que queramos. El límite es una noción muy importante en el cálculo matemático. Fundamental para áreas, continuidad, asíntotas, convergencia, derivadas o integrales. [ CITATION Ber18 \l 12298 ] ¿Qué es infinito y como resolver ejercicios de límites? Cuando resolvemos límites con frecuencia necesitamos operar con el infinito. Sin embargo, debemos recordar que el infinito no es un número. En algunas ocasiones lo vamos a operar como un número con el fin de encontrar límites, no obstante, debemos tener en cuenta que en muchas ocasiones el infinito no se comporta como un número. [ CITATION mar20 \l 12298 ] Calcule el límite:

lim ( √ x 2 +3 x−¿ √ x2 + x )¿ x→ ∞

Notemos, primero, indeterminada:

que,

si

"evaluamos

en infinito",

obtenemos una

forma

Como el valor de   no está determinado, necesitamos realizar una manipulación algebraica de nuestra función. Antes de hacer la manipulación algebraica, transformemos el límite utilizando la propiedad:

Con lo que el límite resulta ser:

Ahora necesitamos manipular algebraicamente los límites con el fin de eliminar la resta de infinitos. Esto se logra "racionalizando" (es decir, multiplicar y dividir por el conjugado):

Observemos que

si

evaluamos

en infinito,

volvemos a tener

una

nueva

indeterminación. En este caso se trata de una indeterminación  . Para deshacernos de esta indeterminación debemos realizar otra manipulación algebraica. En este caso se trata de multiplicar y dividir por 

:

[ CITATION Mar20 \l 12298 ] El cuál es el resultado que buscábamos. ¿Qué son limites laterales? Conviene recordar el concepto de límite: Decimos que la función f(x) tiende a L cuando x tiende a  a (o que el límite de f(x) en a es L ) si la función  toma valores cada vez más próximos a  L cuando x se aproxima al punto a. Lo expresamos mediante

Por ejemplo, el límite de la función x2 cuando x tiende a 2 es 4: El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto a sólo por su derecha o por su izquierda. [ CITATION ano \l 12298 ] Realice un ejemplo de límites laterales

Hasta ahora, habíamos visto que el límite de una función f(x) en el punto a, es el valor al cuál se acercan las imágenes ( las y o las f(x) ) cuando las x se acercan al valor de a. Pero, ¿qué pasaría si solo nos acercamos a x por la izquierda? ¿qué pasaría si solo nos acercamos a x por la derecha? Para ello, usamos los límites laterales. Los límites laterales los representamos usando la siguiente notación: [ CITATION ano20 \l 12298 ]

Veamos el siguiente ejemplo: Tomando en cuenta la función f(x):

a) Calcular el valor de      Las imágenes f(x) se acercan al valor de 2, cuando x se acerca a 3 por la izquierda.

b) Calcular el valor de      Las imágenes f(x) se acercan al valor de 3, cuando x se acerca a 3 por la derecha. En este caso, podemos ver que cuando x se acerca a 3, el límite por la izquierda es diferente al límite por la derecha de la función f(x). Límites laterales Debemos en tener en cuenta lo siguiente:

En resumen, si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha e igual a L, entonces el límite existe, y es igual a L. Si el límite por la izquierda, es diferente del límite por la derecha, entonces el límite no existe. describa la definición de continuidad

Cuando se habla que un obrero ha permanecido en su puesto de trabajo de forma continua por ocho (8), implica que ha seguido en su labor sin para en ningún momento.

Lo mismo ocurre en el estudio del cálculo. Una función es continua en un intervalo si al trazar su grafica se logra sin interrupción. Esto es no existe un hueco o salto [ CITATION DrJ \l 12298 ] Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

 

 

En 

 hay una discontinuidad esencial.

[ CITATION mar18 \l 12298 ]

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