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• Tatiana Zambrano

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UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas

TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez Repaso de Algebra Lineal y Superficies en el Espacio Rn 1. Las fuerzas F1 , F2 , ·, F6 act´ uan sobre un objeto P , como se ilustra en la figura 1. Calcule la fuerza que se necesita para impedir que P se mueva. 2. Dados los vectores A, B y C en la figura 2, construya el vector A − B + 2C

3. Use suma de vectores y propiedades del producto cruz para demuestrar la ley de los senos para el triangulo de la figura, es decir, demuestre que sen A sen B sen C = = a b c

4. Muestre que u · u ≥ 0 para todo vector u, que u · u = 0 si y s´ olo si u = 0. 5. Sean x y y dos vectores. Demuestre kxk − kyk ≤ kx − yk

Figura 1

6. Demuestre que |A × B|2 + |A · B|2 = |A|2 |B|2 .

7. Use el producto cruz entre vectores para hallar el ´area del tri´angulo de v´ertices (2, −3, 1), (1, −1, 2) y (−1, 2, 3)

8. Sin usar el producto cruz, determine un vector unitario perpendicular al plano generado por A = 2i − 6j − 3k y B = 4i + 3j − k. 9. Cu´al es el volumen del paralelep´ıpedo con lados 2i + j − k, 5i − 3k e i − 2j + k?

Figura 2

10. Hallar los puntos de intersecci´ on de la recta x = 3 + 2t, y = z + 8t, z = −2 + t con los planos coordenados. 11. Encuentre la proyecci´ on del vector A = i − 2j + 3k sobre el vector B = i + 2j + 2k.

12. Calcule el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del vector r = 3i + j − 5k si se aplica la fuerza F=2i-j-k. 13. Demuestre la ley de los cosenos para los tri´angulos planos. 14. Encuentre un vector unitari o u paralelo a la suma de los vectores r1 = 2i + 4j − 5k y r2 = −2i − 2j + 3k.

15. Suponga que r1 = 2i − j + k, r2 = i − 3j − 2k, r3 = −2i + j − 3k. Escriba r4 = −i + 3j + 2k como una combinaci´on lineal de r1 , r2 y r3 . 16. Hallar el punto de intersecci´ on de la recta

x−3 2

=

y−1 3

figura 3

= z, con el plano 2x + y − z = 1.

17. Sea L la intersecci´ on de los planos 3x + y − 4z = 5 y 2x + 3y − z = 4. Si Π es el plano x − 2y + 3z = 1 encuentre L ∩ Π.

18. Determine los ´angulos α, β y θ que el vector r = xi + yj + zk forma con las direcciones positivas de los ejes coordenados, y demuestre que cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1.

19. Considere un tetraedro como el de la figura 4. Sean V1 , V2 , V3 y V4 , vectores cuyas magnitudes sean iguales a las ´areas de las caras del tetraedro, respectivamente, y cuyas direcciones sean perpendiculares a dichas caras en la direcci´on hacia fuera. Demuestre que V1 + V2 + V3 + V4 = 0 20. Los vectores b´asicos a1 , a2 y a3 est´ an dados en t´erminos de los vectores b´asicos b1 , b2

1

Figura 4

y b3 por las relaciones a1 = 2b1 + 3b2 − b3 ,

a2 = b1 − 2b2 + 2b3 ,

a3 = −2b1 + b2 − 2b3

Suponga que F = 3b1 − b2 + 2b3 . Exprese F en t´erminos de a1 , a2 y a3 . 21. Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30◦ , como se muestra en la figura 6. ¿Qu´e fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la rampa? 22. Para cerrar una puerta corrediza, una persona tira de una cuerda con una fuerza constante de 50 libras y un ´angulo constante de 60◦ , como se muestra en la figura 7. Hallar el trabajo realizado al mover la puerta 12 pies hacia la posici´on en que queda cerrada. 23. Rescate de un helic´ optero Dos helic´opteros, H1 y H2 vuelan juntos. En el instante t = 0 se separan y siguen distintas trayectorias rectas dadas por H1 : x = 6 + 40t, H2 : x = 6 + 110t,

y = −3 + 10t,

z = −3 + 2t

y = −3 + 4t,

z = −3 + t.

El tiempo t se mide en horas y todas las coordenadas se miden en millas. Debido a fallas mec´ anicas, H2 detiene su vuelo en (446, 13, 1) y, en un intervalo de tiempo despreciable, aterriza en (446, 13, 0). Dos horas despu´es, H1 recibe un aviso del aterrizaje forzoso de H1 y se dirige hacia H2 a 150 mi/h. ¿Cu´ anto tiempo tardar´a H1 en alcanzar a H2 .? 24. Caza de submarinos Dos barcos maniobran tratando de determinar el curso de un submarino para preparar un ataque a´ereo. Como se muestra, el barco A est´ a en (4, 0, 0), mientras que el barco B est´ a en (0, 5, 0). Todas las coordenadas est´ an dadas en miles de pies. El barco A localiza al submarino en la direcci´on del vector 2i + 3j − (1/3)k y el barco B lo localiza en la direcci´on del vector 18i − 6j − k Cuatro minutos antes, el submarino se encontraba en (2, −1, −(1/3) El ataque estar´a preparado en 20 minutos. Si el submarino se mueve en l´ınea recta con velocidad constante, ¿hacia qu´e posici´on deben dirigir los barcos el ataque?

figura 5

25. Muestre que las rectas x = b1 + ta1 ,

y = b2 + ta2 ,

z = b3 + ta3 ,

x = d1 + sc1 ,

y = d2 + sc2 , a c b −d 1 1 1 1 se cortan o son paralelas si y s´ olo si a2 c2 b2 − d2 a 3 c 3 b3 − d 3

z = d3 + sc3 , =0 x y x y 1 1 26. ¿Qu´e conjunto de puntos en el espacio describe la ecuaci´ on x 2 y2 x 3 y3

z z1 z2 z3

1 1 = 0? 1 1

27. Una c´amara de televisi´ on de 120 libras est´ a colocada en un tr´ıpode, como se muestra en la figura 6. Representar la fuerza ejercida en cada pata del tr´ıpode como un vector. 28. Use vectores para mostrar que la distancia de Q(x0 , y0 , z0 ) al plano ax + by + cz + d es: D=

|ax0 + by0 + cz0 + d| √ a 2 + b2 + c 2

29. Use el ejercico anterior para demostrar que la distancia entre los planos paralelos ax +

2

figura 6

by + cz + d1 y ax + by + cz + d2 es: D=

|d2 − d1 | |ai + bj + ck|

30. Encuentre una ecuaci´ on de la esfera que es tangente a los planos x + y + z = 3 y x + y + z = 9 si los planos 2x − y = 0 y 3x − z pasan por el centro de la esfera. 31. Determine una ecuaci´ on para el plano paralelo al plano 2x − y + 2z = −4 si el punto (3, 2 − 1) equidista de ambos planos. 32. Hallar una ecuaci´ on para la superficie generada por todos los puntos (x, y, z) que est´ an a cuatro unidades del plano 4x − 3y + z = 1 33. Hallar la ecuaci´ on est´ andar de la esfera con el centro en (−3, 2, 4) que es tangente al plano dado por 2x + 4y − 3z = 8 34. Determinar si la declaraci´on es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que pruebe que es falsa. a) Si v = a1 i+b1 j+c1 k es cualquier vector en el plano dado por a2 x+b2 y+c2 z+d2 = 0, entonces a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0 b) Todo par de rectas en el espacio o se cortan o son paralelas. c) Dos planos en el espacio o se cortan o son paralelos. d ) Si dos rectas L1 y L2 son paralelas a un plano P entonces L1 y L2 son paralelas. e) Dos planos perpendiculares a un tercer plano en el espacio son paralelos. f ) Un plano y una recta en el espacio se intersecan o son paralelos. 35. Demuestre que la distancia D de un punto Q a una recta en el espacio est´ a dada por D=

kP Q × uk kuk

donde u es un vector de direcci´on para la recta y P es un punto sobre la recta. Funciones vectoriales 36. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales √ f (t) = (t2 , ln(t − 2), 4 − t) R/ (2, 4)  1 et g(t) = ( t+2 , ln(1 − t) R/ (−3, −2) ∪ (−2, 1) , √9−t 2 37. Trace la imagen de las siguientes funciones a) f (t) = (1 + t3 , t2 ) b) g(t) = (4 cos t, 5 sen t) c) r(t) = (cos t, sen t, t), con t ≥ 0. 38. Halle una funci´on vectorial que represente a las siguientes curvas a) 9x2 + 4y 2 = 36 b) y = x2 − 4x + 7 39. Halle una funci´on vectorial que represente a la curva de intersecci´on de las siguientes superficies. a) x2 + y 2 = 16 y z = xy 2

2

R/ : f (t) = (4 cos t, 4 sen t, 16 cos t sen t), 2

b) z = 16x + 9y y y = x ,

2

2

4

R/ : g(t) = (t, t , 16t + 9t ), 3

t∈R

t∈R

40. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican √ a) f (t) = ( 4 − t2 , ln(3 − t), et−3 ), con t ∈ [−2, 3)  !  π cos(2πt)  2 arc sen t  , si t ∈ (0, 1) , t sen( ), 3t t t b) f (t) =      π , t − 1, ln t + 1 , si t ∈ [1, 2]  3 !    sen t, t , 2t , si t ∈ [0, 1) 1−t c) f (t) =      − 1, 0, 3 , si t ∈ [1, 2]  !  1 arc sen t   4t2 + 5, , sen t sen( ) , si t 6= 0 t t d ) f (t) =      5, 0, 0 , si t = 0 ! t2 − 4 et−2 − 1 e) f (t) = , si t = 2 , |t − 3| − 1 t 41. La imagen de la funci´on vectorial r(t) = (et−1 , e−2(t−1) ) describe la trayectoria de una part´ıcula que se mueve en el plano xy. a) Trace la gr´ afica de la trayectoria de la part´ıcula. (R: y = x12 , x ≥ 0) b) Dibuje los vectores velocidad y aceleraci´on para t = 1. c) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el punto A(e, e−2 ).   on vectorial de la 42. Dada la funci´on vectorial r(t) = 1 − 2t, t2 ; 2e2(t−1) . Halle la ecuaci´ recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r′ (t) es paralelo al vector r(t). R/: l(x, y, z) = (−1, 1, 2) − s(−2, 2, 4).

43. Sean las curvas C1 y C2 dadas por las funciones vectoriales  1 − t2   2t − 1  C1 : f (t) = C2 : g(t) = , 2t + 1, 1 + e2−t , 4 − t, 3 − et+1 2 2 a) Halle el punto de intersecci´ on de las curvas C1 y C2 R/: f (2) = g(−1) = (− 32 , 5, 2) b) Calcule la medida del ´ angulo forman las curvas C1 y C2 en su punto de  que √  3 intersecci´ on. R/: θ = arc cos − 3 44. La fuerza que act´ ua sobre una part´ıcula de masa m = 2 en el plano est´ a dada en funci´on del tiempo t por la ecuaci´ on   F(t) = 2(cos t − t sen t), 2(sen t + t cos t)

Cuando t = 0 la posici´on y la velocidad de la part´ıcula son f (0) = (2, 0) y v(0) = (1, 0). Halle la velocidad y la posici´on de la part´ıcula como funciones de t. Ayuda: Ley de R: f (t) = (t sen t + cos t + t + 1, −t cos t + sent) Newton, F(t) = ma(t).

45. Una part´ıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, 0, 0) con velocidad inicial v(0) = i − j + k. Su aceleraci´on es a(t) = (2t, 3t2 , 6t). Determine la funci´on velocidad  3  y la posici´on de la t t4 3 part´ıcula en cualquier instante t. R: f (t) = 3 + t + 2, 4 − t, t + t   x2 + y 2 + z 2 = R 2 R>0 46. Halle una parametrizaci´ on para la curva C :  z=a 0 0, entonces la gr´ afica en el espacio de la ecuaci´ on x2 +y 2 = a2 es un cilindro. h) La gr´ afica en el espacio de 4y 2 + 9z 2 = 36 es un cilindro el´ıptico.

7

i ) La gr´ afica de 4x2 + 4y 2 + z 2 = 4 es un elipsoide. j ) La gr´ afica de z 2 = x2 + y 2 es un cono. k ) La gr´ afica de la ecuaci´ on l ) La gr´ afica de la ecuaci´ on

x2 a2 2

z c2

+ −

m) Si c > 0, entonces la gr´ afica de

y2 b2 2

x a2

2

y b2

− − −

z2 c2

= 1 es un hiperboloide de una hoja.

2

y b2

= 1 es un hiperboloide de una hoja.

2

x a2

=

z c

es un paraboloide hiperb´olico.

n) La gr´ afica en el espacio de la ecuaci´ on z = ax2 + by 2 es un paraboloide el´ıptico si a y b son ambos positivos, pero es un paraboloide hiperb´olico si esos dos coeficientes son ambos negativos. n ˜) El punto P con coordenadas esf´ericas (8, 65 π, 31 π) tiene coordenadas rectangulares √ (2, 2 3, −12).

o) El paraboloide con ecuaci´ on en coordenadas rectangulares z = x2 + y 2 tiene ecuaci´on en coordenadas esf´ericas ρ = csc φ cot φ. p) La gr´ afica de la ecuaci´ on en coordenadas esf´ericas ρ = 2 cos φ es una esfera de radio 1. 70. Pregunta Las siguientes preguntas se relacionan con las gr´ aficas posibles de la ecuaci´ on de segundo grado Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + H = 0

(1)

a) ¿En qu´e condiciones de los coeficientes A, B y C es la gr´ afica a) un elipsoide; b) un paraboloide; c) un hiperboloide? b) ¿En qu´e condiciones de los coeficientes es la gr´ afica un cono o un cilindro? c) Adem´ as de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cu´ ales son las otras posibilidades para la gr´ afica de la ecuaci´ on en (1)? D´e un ejemplo que ilustre cada posibilidad. 71. Pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “ topol´ ogicas” cl´asicas. La esfera y el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior? Explicar.

72. Asociar la ecuaci´ on dada en terminos de coordenadas cilindricas o esfericas con su grafica a) r = 5 b) ρ = 5

e) φ = π4 f ) ρ = 4 sec φ

c) r2 = z d ) θ = π4

73. Dibujar el s´ olido que tiene la descripci´on dada en coordenadas cil´ındricas 8

a) 0 ≤ θ ≤ π/2,

0 ≤ r ≤ 2,

0≤z≤4

c) 0 ≤ θ ≤ 2π,

0 ≤ r ≤ a,

r≤z≤a

b) −π/2 ≤ θ ≤ π/2,

d ) 0 ≤ θ ≤ 2π,

0 ≤ r ≤ 3,

0 ≤ r ≤ 4,

0 ≤ z ≤ r cos θ

z 2 ≤ −r2 + 6r − 8

74. Convertir la ecuaci´ on rectangular a una ecuaci´ on a) en coordenadas cil´ındricas y b) en coordenadas esf´ericas. a) x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0

c) y = 4

e) 4(x2 + y 2 ) = z 2

b) x2 + y 2 = z

d ) x2 − y 2 = 9

f ) x2 + y 2 = 4y

75. Dibujar el s´ olido que tiene la descripci´on dada en coordenadas esfericas a) 0 ≤ θ ≤ 2π,

0 ≤ φ ≤ π/6,

b) 0 ≤ θ ≤ 2π,

π/4 ≤ φ ≤ π/2,

0≤ρ≤1

c) 0 ≤ θ ≤ π/2,

0 ≤ φ ≤ π/2,

0≤ρ≤2

d ) 0 ≤ θ ≤ π,

0 ≤ φ ≤ π/2,

0 ≤ ρ ≤ a sec φ

1≤ρ≤3

76. Determinar si la declaraci´on es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que pruebe que es falsa a) Las coordenadas esf´ericas la gr´ afica de θ = c es un semiplano y no un plano entero b) En coordenadas cil´ındricas, la ecuaci´ on r = z es un cilindro. c) Las ecuaciones ρ = 2 y x2 + y 2 + z 2 = 4 representan la misma superficie. d ) Las coordenadas cil´ındricas de un punto (x, y, z) son u ´nicas. e) Las coordenadas esf´ericas de un punto (x, y, z) son u ´nicas. 77. Identificar la curva de intersecci´ on de las superficies (en coordenadas cil´ındricas) z = sin θ y r = 1. 78. Identificar la curva de intersecci´ on de las superficies (en coordenadas esf´ericas ρ = 2 sec φ y ρ = 4. 79. Pruebe que la proyecci´ on en el plano yz de la curva de intersecci´on de las superficies x = 1−y 2 2 2 y x = y + z es una elipse 80. Demuestre que la proyecci´ on en el plano xy de la intersecci´on del plano z = y y el paraboloide z = x2 + y 2 es una circunferencia. 81. Una esfera de radio 2 est´ a centrada en el origen. Se perfora un agujero de diametro 2 a trav´es de la esfera, donde el eje del agujero coincide con el eje z. Describa la regi´ on s´ olida que queda en a) coordenadas cil´ındricas; b) coordenadas esf´ericas.

9

Funciones en varias variables 1. Relacione las figuras con el dominio de una de las funciones a) f (x, y) =

p

y − x2

b) f (x, y) = ln (x − y 2 ) √ √ c) f (x, y) = x + y − x √ d ) f (x, y) = xy

e) f (x, y) =

x4 + y 4 xy

f ) f (x, y) =

r

x −1 y

g) f (x, y) = sin−1 (xy)

h) f (x, y) =

2. Relacione las curvas de nivel con su respectiva funci´on grafica.

10

p

x2 + y 2 − 1 y−x

3. Determine el dominio y rango de la funci´on f (x, y) = p 4. Dado f (x, y) = 6 + 31 36 − 9x2 − 4y 2

p 36 − x2 − y 2

a) Encuentre el dominio y rango de la funci´on. b) Trace la gr´ afica de f .

5. Determine anal´ıtica y gr´ aficamente el dominio de las siguientes funciones p a) f (x, y) = ln(y 2 − x2 ) + arcsin(y − 2) − 9 − x2 − y 2 √ √ 2 16−x2 −y 2 y −1 b) g(x, y) = ln(x2 +y2 −4) + √ 2 2 c) f (x, y) =

√

e) f (x, y) =

y 3 +ln(x) x−4)3 +y 6

x −y

y sen x p d ) g(x, y) = sen(x2 + y 2 ) + arc sen( xy ) 6. Si f (x + y, x − y) = xy + y 2 , halle f (x, y) 7. Para el paraboloide el´ıptico z = f (x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 haga un bosquejo de la grafica utilizando curvas de nivel para c = 1, 2, 3, 4. 8. Sea f (x, y) = 8 − x2 − 2y haga un bosquejo de la grafica utilizando curvas de nivel. r y2 9. Bosqueje las superficies de nivel de la funci´on f (x, y, z) = x2 + + z2 4 10. Encuentre una ecuaci´ on para la curva de nivel de la funci´on f (x, y) que pasa por el punto dado. a) f (x, y) = y 2 arctan(x2 ), punto P (1, 4) ˆ y √ √ dt b) f (x, y) = , punto P (− 2, 2) 2 x 1+t ∞ X  x n , punto P (1, 2) c) f (x, y) = y n=0 11. Encuentre una ecuaci´ on para la superficie de nivel de la funci´on f (x, y, z) que pasa por el punto dado. √ a) f (x, y, z) = x − y − ln(z), punto P (3, −1, 1) ˆ z ˆ y du dt √ + √ √ , punto P (0, 1/2, 2) b) f (x, y, z) = 2 2−1 1 + t u 2 2 x ∞ X (x + y)n c) f (x, y, z) = , punto P (ln 2, ln 4, 3) n!z n n=0 12. Una compa˜ n´ıa fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su volumen sea de 36 m3 . El material para la base y la tapa cuesta $12 el metro cuadrado; para los lados de enfrente y de atr´as. $10 el metro cuadrado; y los otros dos lados $8 el metro cuadrado. 11

a) Si C denota el costo total de la caja, determine C en funci´on de las dimensiones de la base de la caja. b) Calcule el costo total de construir una caja cuyas dimensiones de la base son: largo 2 metros y ancho 3 metros. 13. Trace la gr´ afica de las siguientes funciones: a) f (x, y) = 3 −

p

x2 + y 2 − 4y + 4

p

x2 + y 2 − 4x − 6y + 12 p d ) j(x, y) = 5− 34 16x + 4y − 4x2 − y 2 − 4 c) h(x, y) = 3 +

p b) g(x, y) = 4 + 9 + x2 + y 2

14. Demostrar que los siguientes limites NO existe x3 + yz 2 (x,y,z)→(0,0) x4 + y 2 + z 2 x2 + y 2 − z 2 b) l´ım (x,y,z)→(0,0) x2 + y 2 + z 2 x4 + yx3 + z 2 x2 c) l´ım x4 + y 4 + z 4 (x,y,z)→(0,0)

a)

l´ım

d)

x2 y 2 z 2 (x,y,z)→(0,0) x6 + y 6 + z 6

e)

x2 z 3 y (x,y,z)→(0,0) x6 + z 6

l´ım

l´ım

15. Demostrar que los siguientes limites SI existe a)

y 3 + xz 2 + y2 + z2

l´ım

b)

(x,y,z)→(0,0) x2

16. Determine los siguientes Limites a) b) c) d) e) f)

xy 2 + y3 2xy 2 − 3 l´ım (x,y)→(−2,3) x2 + y 2 x3 y 3 − 1 l´ım (x,y)→(−1,−1) x2 y 2 − 1 2x2 y l´ım (x,y)→(0,0) x4 + y 2 cos x − 1 − x2 /2 l´ım x4 + y 4 (x,y)→(0,0) 2 x − xy √ l´ım √ x− y (x,y)→(0,0) l´ım

(x,y)→(0,0) x3

9y 2 (x + 1) + 3x2 3y 2 + x2 (x,y)→(0,0)

k)

x2 − y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2

m) n) n ˜)

1−e sin2 (2x + y) ln(43 + 7xy)) h) l´ım (x,y)→(−3,2) arctan(3xy + 18) 4xy p i) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 g)

j)

l)

(2x+y)2

xy + xz + yz p (x,y,z)→(0,0) x2 + y 2 + z 2 l´ım

l´ım

(x,y)→(−1,2)

o) p)

l´ım

l´ım

l´ım

(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz + xz x2 + y 2 + z 2

1 − cos(x2 + y 2 ) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) l´ım

l´ım

(x2 + y 2 ) ln(x2 + y 2 )

l´ım

tan−1

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,1)



 x2 + 1 x2 + (y − 1)2

x2 − y 2 p (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

x−y (x,y)→(1,1) x3 − y l´ım

17. Demuestre usando la definici´on ǫ − δ que a) b)

l´ım

(x,y)→(1,2)

l´ım

x + y2 = 5

(x,y)→(3,−1)

x2 + 2xy = 3

18. Usando la definici´on ǫ − δ determine si existen los siguientes limites 12

4xy 3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 p b) l´ım 2 (x,y)→(0,0) x + y2

a)

l´ım

c) d)

3x2 y (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

x4 y + y4

l´ım

(x,y)→(0,0) x4

19. Determine la continuidad de las siguientes funciones 2xy 2 x + y2 a) f (x, y) =  0    sin(xy) xy b) f (x, y) =   1  2   xy x2 + y 2 c) f (x, y) =   0  

(x, y) 6= (0, 0)

d ) f (x, y) =

(x, y) = (0, 0)

  

x2 y

x3 y 3 + (y − x)2 0

(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0)  x2 +y2  cos x  2 ln 2 − 1 (x, y) 6= (0, 0) + (x, y) 6= (0, 0) 2 2 e) f (x, y) = x +y 1 + x2   (x, y) = (0, 0) 2 (x, y) = (0, 0)  3   x y (x, y) 6= (0, 0) (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f ) f (x, y) =   (x, y) = (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)  

  4 4   arctan x + y (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 20. Dada la funci´on f (x, y) = Calcule el valor de A   A (x, y) = (0, 0) para que la funci´on f sea continua en (0, 0).  y(x − 3)   (x, y) 6= (3, 0) 2 4y + (x − 3)2 a) Determine los puntos donde la 21. Sea f (x, y) =   2 (x, y) = (3, 0) funci´on no es continua. b) Indique el tipo de discontinuidad que presenta f . 22. Determine si la funci´on dada es continua en el punto (0, 0).  p p  15x2 + 15y 2 + 16 − 16 − x2 − y 2  x2 + y 2 f (x, y) =   2

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

23. Dada la funci´on f (x, y) = ln(4x2 + 9y 2 − 36). Halle el conjunto donde f es continua.

24. Determinar si la declaraci´on es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que demuestre que es falsa p a) El dominio de la funci´on f definido por la f´ormula f (x, y) = 25 − x2 − y 2 es el conjunto de todos los puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0) es menor que 5. b) La gr´ afica de la funci´on f de dos variables es el conjunto de todos los puntos en el espacio con coordenadas de la forma (x, y, f (x, y)).

c) La gr´ afica de la funci´on f (x, y) = 2 − 12 x − 31 y es un plano. p d ) La gr´ afica de la funci´on g(x, y) = 41 4 − 4x2 − y 2 es un elipsoide.

e) Una curva de nivel de una funci´on f de dos variables es precisamente lo mismo que una curva de contorno de f . f ) Si k es una constante, entonces la gr´ afica de la funci´on x2 + y 2 − z 2 = k es un hiperboloide de una hoja, debido a que s´ olo hay un signo menos en el lado izquierdo de la ecuaci´ on.

g) Si

l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0, entonces

l´ım

(x,0)→(0,0)

13

f (x, 0) = 0

h) Si

l´ım

(x,y)→(0,0)

f (0, y) = 0, entonces

l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0

i ) Si f es continua para todo x y para todo y distintos de cero, y f (0, 0) = 0 entonces l´ım f (x, y) = 0 (x,y)→(0,0)

j ) Si k ) Si l ) Si m) Si

l´ım

f (x, y) = 4, entonces

l´ım

f (x, 3) = 4, entonces

l´ım

f (x, 3) =

l´ım

f (x, y) = 0, entonces para cualquier n´ umero real k,

(x,y)→(2,3) (x,3)→(2,3) (x,3)→(2,3) (x,y)→(0,0)

l´ım

(2,y)→(2,3)

l´ım

f (x, 3) = 4

l´ım

f (x, y) = 4

(x,3)→(2,3) (x,y)→(2,3)

f (2, y) = 4, entonces

l´ım

(x,y)→(2,3)

f (x, y) = 4 l´ım

(x,y)→(0,0)

f (kx, y) =

0.   x+y 25. Determine si la funci´on f (x, y) =  0 en el plano xy. (a) x2 + y 2 < 1,

27. Demuestre que

l´ım

xy x2 +y 2 −25

(b) |x| + |y| < 1

(x,y)→(0,0)

x x

es continua en los conjuntos dados en el (c) (x − 2)2 + y 2 < 1

1 sin(xy) = 0 (Ayuda: |sen(w)| ≤ |w| para valores peque˜ nos) x

14

UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas

TALLER II Profesor: H. Fabian Ramirez Derivadas parciales 1. Encuentra la derivada direccional del campo escalar f (x, y, z) = ex cos y + ey sin z en el punto P (2, 1, 0) en direcci´on al punto Q(−1, 2, 2). b) ¿En qu´e direcci´on es m´axima la derivada direccional? c) ¿Cu´ al es el valor de ese m´aximo? 2. Suponga que ψ(x, y, z) = xy 2 z y F = xi + j + xyk. Encuentre P (1, 2, 2).

∂3 (ψ ◦ F ) en el punto ∂x2 ∂z

3. Encuentre un vector normal unitario a la superificie −x2 yz 2 + 2xy 2 z = 1 en el punto P (1, 1, 1). 4. Encuentre una ecuaci´ on para el plano tangente a la superificie x2 yz − 4xyz 2 = −6 en el punto P (1, 2, 1). 2 2 5. Encuentre  √ el√´angulo  entre las superificies z = x + y y z = (x − 1 punto 66 , 126 , 12 .

√

6 2 6 )

+ (y −

√

6 2 6 )

en el

6. Sea R la distancia desde un punto fijo A(a, b, c) a cualquier punto P (x, y, z). Demuestre que ∇R es un vector unitario en la direcci´on AP .

7. Sea P cualquier punto sobre una elipse cuyos focos son los puntos A y B, como se ilustra en la figura. Demuestre que las rectas AP y BP forman ´angulos iguales con la tangente a la elipse en P . 8. Obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas a) f (x, y) = arc sen xy + arc cos xy b) f (x, y) = (2x + 3y)x + (2x + 3y)y x

y

c) f (x, y) = xy + y x + (xy )x (y x )y d ) f (x, y, z, u) = xy+z+u z x+y+u 9. Sea f (x1 , x2 , . . . xn ) = ln(x1 x2 . . . xn ). Calcule

n X ∂f ∂x i i=1

10. Sea g : R → R una funci´on continua y positiva definida en R. Considere la funci´on f : R2 → R dada por ˆ y g(t)dt f (x, y) = x

2

¿Para qu´e puntos (x, y) ∈ R se tiene que f (x, y) > 0? ¿Para qu´e puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f (x, y) < 0? ¿Cu´ al es el nivel cero de f (x, y)?

Calcule las derivadas parciales de la funci´on f . 11. Calcule las derivadas parciales de cada una de las funciones, donde g : R → R una funci´on continua.

15

a) f (x, y) =

ˆ

y

(x2 + y 2 )g(t)dt

c) f (x, y, z) =

xy

ˆ y b) f (x, y) = ˆ x

ˆ

x+y+z

g(t)dt

xyz

g(g)dt

g(t)dt

d ) f (x, y, z) =

ˆ

ˆ

ˆ

y

g(t)dt

x

g(t)dt

x+y+z

g(t)dt

x+y+z

1

12. Para cada una de las siguientes funciones, en las que g, h : R → R son funciones definidas en R, diferenciables (es decir, tal que g ′ (t) y h′ (t) existen para todo t ∈ R), calcule sus derivadas parciales. a) f (x, y) = ln(1 + x2 )


(ln(1+g2 (x)))h2 (y)

b) f (x, y, z) = g(g(x)g(g(y)g(h(z)))) c) f (x, y, z) = (g(x))(h(y))

g(z)

d ) f (x, y, Z) = yz(sen(1 + h2 (x)))(x

2

+1)

13. Sea ψ una funci´on real de variable real, diferenciable en R Demuestre que la funci´on dada satisface la expresi´ on indicada. a) f (x, y) = x2 ψ(3x + y 2 ), b) f (x, y) = ex+y ψ(xey ), c) f (x, y) =

x+y x2 + y 2

∂f 2xy ∂f ∂x − 3x ∂y = 4yz

x ∂f ∂x −

∂f ∂y

= z(x − 1)

∂2f ∂2f + 2 =0 2 ∂x ∂y

∂2f ∂z ∂2z −x − =0 2 ∂x ∂y∂x ∂y  2   x y (x, y) 6= (0, 0) x4 + y 2 Demuestre que 14. Sea f : R2 → R la funci´on f (x, y) =   0 (x, y) = (0, 0) esta funci´on no es continua en (0, 0) y Demuestre que esta funci´on posee derivadas direccionales en (0, 0) en todas direcciones, es decir, calcule Dv f donde v = (a, b) ∈ R2 un vector unitario dado. Ahora conteste la siguiente pregunta ¿una funci´on f : U ⊂ ∂f (x0 ) Rn → R es diferenciable en el punto x0 ∈ U si las derivadas direccionales ∂x i n existen para todo vector v ∈ R ? d ) z = sin(x2 + y 2 ),

y

15. Identifique las expresiones dadas como derivadas direccionales de funciones de varias variables en la direcci´on de un vector unitario v. Obtenga la derivada direccional que se indica. √ x2 (y − 3t/2)(z − t/2) − x2 yz a) l´ım t→0 t (y + t)2 cos3 (xy + xt) − y 2 cos3 (xy) b) l´ım t→0 t 16. Sea f : U ⊂ Rn → R una funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de Rn . u . Sea u ∈ Rn un vector no nulo de Rn , no necesariamente de norma 1 y sea v = kuk Demuestre que ∂f 1 ∂f = ∂v kuk ∂u Verifique este resultado con la funci´on f (x, y) = x2 + y 2 , y el vector u = (1, 1).

17. Calcule la derivada direccional de la funci´on dada en la direcci´on del vector indicado. p v = (0, 1). a) f (x, y) = x3 1 + 3 tan6 (x2 + x102 ), 16

b) f (x, y) = 3x + 2y + 7z en la direcci´on del vector u = (3, 2, −5).

c) f (x, y, z) = x ln y + y ln z + z ln x, en el punto p = (1, 1, 1), en la direcci´on del vector v = (a, a, a) (a > 0)

18. Calcule la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = 5x2 y 3 en el punto p = (1, 1) a) en la direcci´on del vector que va de p al punto (3, −2), b) en la direcci´on del vector que va de p al origen,

c) en la direcci´on del vector tangente al c´ırculo x2 + y 2 = 2 en p, d ) en la direcci´on del vector p. 19. Calcule la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = x sen y en el punto (3, O), en la direcci´on del vector tangente a la par´ abola y = x2 en el punto (1, 1). x2 + y 2 en los puntos x del c´ırculo x2 + y 2 − 2y = 0, en la direcci´on de la normal a este c´ırculo, es igual a cero.

20. Demuestre que la derivada direccional de la funci´on f (x, y) =

21. Sea f (x, y) = x2 + y 2 . ¿En qu´e direcci´on es igual a cero la derivada de esta funci´on en el punto (1, 1)?, ¿En qu´e direcci´on es igual a cero la derivada de esta funci´on en los puntos del c´ırculo unitario x2 + y 2 = 1? 22. En cada uno de los siguientes ejercicios, se da una funci´on f : U ⊂ R2 → R y un punto p ∈ U . Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la direcci´on de (la tangente a) la curva de nivel que pasa por p (es decir, la curva f (x, y) = f (p)) es igual a cero. a) f (x, y) = 5x2 + 6y 2 , b) f (x, y) = sin xy, x y

c) f (x, y) = e e ,

p = (−1, 0) p = (2, 3)

p = (0, 0)

23. Sea f : U ⊂ R2 → R una funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de ∂f ∂f R2 y sea p ∈ U . Suponga que (p) = 3. (p) = 4. ¿En qu´e direcci´on se tiene ∂x ∂y ∂f ∂f (p) = 2?, ¿en qu´e direcci´on se tiene (p) = 0?, ¿en qu´e direcci´on se tiene que ∂v ∂v ∂f ∂f (p) = −5? ¿Hay alguna direcci´on en la que (p) = 6? ∂v ∂v 24. Seaf : U ⊂ R3 → R una funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de R3 ∂f ∂f ∂f ∂f y sea p ∈ U . Suponga que (p) = 6, (p) = 0, (p) = 8. Demuestre que = 10 ∂x ∂y ∂z ∂v es el m´aximo valor que puede tomar la derivada direccional de f en p, y que este se logra en la direcci´on del vector unitario u = (3/5, O, 4/5). ¿Cu´ al es el m´ınimo valor ∂f (absoluto) que puede tomar ?, ¿en qu´e direcci´on se tiene este valor? ∂v 25. Sea f : U ⊂ R2 → R una funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de √ √ ∂f ∂f (p) = 3. (p) = 2, donde u = (1/ 2, −1/ 2), R2 y sea p ∈ U . Suponga que ∂u ∂v √ v = ( 3/2, 1/2). Calcule las derivadas parciales de f en p. 26. Sea f : R3 → R la funci´on f (x, y, z) = z − x2 − y. a) Determine los puntos (x, y, z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funci´on forma un angulo de π/3 con el vector u = (2, 1, 1). ´ b) Determine los puntos (x, y, z) ∈ R3 donde el gradiente de esta funci´on est´e en la direcci´on del vector u = (1, 1, 1). c) Detemine los puntos (x, y, z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funci´on es perpendicular al vector u = (2, −1, 1). 17

√ 27. Considere las funciones f (x, y) = 3x2 + 2y 2 , g(x, y) = 7 ln x + 3y. Demuestre que la derivada de la funci´on f en el punto p = (1, 1) en la direcci´on del gradiente de la funci´on g en p es igual a la derivada de la funci´on g en p en la direcci´on del gradiente de la funci´on f en p. ¿Ocurre lo mismo con las funciones f (x, y) = x2 + y 2 , g(x, y) = 2x + y, en el punto p = (2, 1)? 28. Para cada una de las siguientes funciones z = f (x, y) o w = F (x, y, z), determine un vector normal a su gr´ afica en el punto indicado. a) f (x, y) = −128π 2 en un punto cualquiera p = (x0 , y0 ) b) f (x, y) = ey cos x en el punto p = (0, 1)

c) f (x, y) = sen(sen x cos y) en el punto p = (π, π) d ) x2 y 2 + x2 z 2 + y 2 z 2 + xyz − 4 = 0 en el punto p = (1, 1, 1) e) xy + xz + z x − 3xyz = 0 en el punto p = (1, 1, 1)

29. En los siguientes ejercicios se da una funci´on z = f (x, y) o una ecuaci´ on de una superficie S y un vector n ∈ R3 . Determine el (los) punto(s) de la gr´ afica de la funci´on (si los hay) para los que el vector n es un vector normal a) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 5y 2 ,

n = (3, 2, −3)

b) f (x, y) = ln(l + x + 2y), n = (−1, −3, 4) p c) f (x, y) = sen x2 + y 2 , n = (0, 0, −3)

d ) x2 + y 2 + z 2 = 4, 2

2

2

2

2

e) x + 2y + 3z = 1,

n = (2, 2, 2)

n = (−2, 3, 6)

2

f ) x + 4y − z = 1, n = (0, 3, 4) 30. hallar la ecuaci´ on del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = x2 y+ex en el punto en que x = 1, y = 1.

2

+y 2

31. En los siguientes ejercicios se da la ecuaci´ on de una superficie en el espacio tridimensional y un punto p de ella. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie en el punto p. a) z 2 + 3z − x2 − y 2 − 2 = 0, 2

b) x − y − z2 = 0, 2

2

p = (l, 1, 1)

p = (0.0, 0)

2

c) x + y + z − 4x − 8y − 16z + 54 = 0,

p = (1, 2, 3)

32. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x2 + y 2 que sea paralelo al plano 3x + 8y − 5z = 10. 33. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x2 + xy que sea perpendicular a los planos x + y − z = 3 y 2x − y + z = 4. 34. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = 3x2 − 8xy + 5y 2 en el punto en que la recta normal tenga por vector paralelo a v = (−1, 0, 2). 35. Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x2 +y 2 −4x que sea perpendicular a la recta x = 3 + 4t, y = −2t, z = 1 + t, t ∈ R. 36. Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x2 + 3y 2 + 5z 2 = 1 que sean paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto p = (l.l.1), 37. Hallar los puntos del elipsoide x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6 en los que la recta normal que pasa por ellos es perpendicular al plano 4x − 6y + 3z = 7. 38. Determine las ecuaciones de Jos planos tangentes al elipsoide x2 + y 2 + 2z 2 = 2 en los puntos de intersecci´ on de ´este con la recta x = 3t, y = 2t, z = t, t ∈ R 18

39. Demostrar que el plano 2x − 6y + 3z − 49 = 0 es tangente a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 49. ¿En qu´e punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al dado. 40. Los puntos A = (2, 5, 3) y B = (−1, −2, −3) son los extremos de un di´ametro de una esfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B. 41. Obtenga la diferencial de la funci´on dada a) f (x) = sen3 x2 b) f (x, y, z, u, w) = xyz + xzw + yuw + zuw 2

c) w = e−z cos(x2 + y 4 ) d ) g(r, θ) = r2 cos θ 42. Calcule aproximadamente el incremento de la funci´on f (x, y) =

x2 − y 2 cuando el 3x + 2y

punto (x, y) de su dominio pasa de (2, 1) a (2.05, 1.1).  3 2 3   x y − xy (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 43. Sea f : R2 → R, f (x, y) =   0 (x, y) = (0, 0) a) Calcule las derivadas parciales

∂2f ∂2f (0, 0) y (0, 0) usando directamente la delinici´on de derivadas parciales ∂x∂y ∂y∂x  xy  (x, y) 6= (0, 0) 2 + y2 2 x 44. Sea f : R → R, f (x, y) = Demuestre  0 (x, y) = (0, 0) b)

a) f es discontinua en (0, 0)

b) Calcule las derivadas parciales, existen? c) ¿Explique en pocas palabras porque f NO es diferencable en (0, 0)? d ) *Demuestre matematicamente porque f no es direnciable 45. Demuestre matematicamente que las siguientes funciones f : R2 → R son diferenciables en el punto dado a) f (x, y) = x2 + y 2 en un punto arbitrario (x0 , y0 ). b) f (x, y) = xy 2 en el origen (0, 0). 46. Demuestre que la funci´on f : R2 → R, dada por f (x, y) = (0, 0), pero NO es diferenciable en el (0, 0). 47. Justifique brevemente porque las funciones f (x, y) = e−(x z 3 ) son diferenciables.

2

p

+y 2 )

x2 + y 2 ES continua en y g(x, y) = cos(x + y 2 +

48. Para cada una de las siguientes funciones, escriba la expresi´ on del residuo de la definici´on de diferenciabilidad en el punto en cuesti´on, Pruebe que la funci´on es diferenciable. a) f (x, y) = 4x − 10y, p = (x0 , y0 )

c) f (x, y) = x sen y, p = (0, 0)

2 3

d ) f (x, y, z) = ex+y+z , p = (0, 0, 0)

b) f (x, y) = 4x y , p = (1, 1)

49. Considere la funci´on f : R2 →→ R, f (x, y) = |x| + |y|. ¿Qu´e aspecto tiene la gr´ afica de f ? Demuestre que esta funci´on NO es diferenciable en el origen. ¿En qu´e otros puntos no es diferenciable?

19

50. (A manera de recapitulaci´on: ¿qu´e implica qu´e?). Sea f : U ⊂ R2 → R una funci´on definida en el conjunto abierto U de R2 , y sea p un punto de U . A continuaci´on se dan 8 afirmaciones sobre la funci´on f . a) f es diferenciable en p. b) f es continua respecto de su primera variable en p. c) f es continua respecto de su segunda variable en p. d ) f es continua en p en la direcci´on de alg´ un vector v ∈ R2 . e) f es continua en p en la direcci´on de todo vector v ∈ R2 . f ) f tiene derivadas parciales en p.

g) f tiene derivadas direccionales en p en la direcci´on de cualquier vector v ∈ R2 .

h) f tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B contenida en U con centro en p. Llene el siguiente cuadro, indicando con una V en la l´ınea i y columna j, cuando la afirmaci´on de la l´ınea i implique la afirmaci´ on de la columna j, y con una F cuando no la implique. Por ejemplo, la afirmaci´ on (a) implica laafirmaci´ on (f ), pero la afirmaci´on (f ) no implica la (a). Estas respuestas ya aparecen en la tabla.

51. Considere la funci´on f : R2 → R.   (x2 + y 2 ) sin √ 1 x2 +y 2 f (x, y) =  0

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

a) Demuestre que las derivadas parciales de esta funci´on est´ an dadas por   (2x) sin √ 1 − √ 2x 2 cos √ 21 2 (x, y) 6= (0, 0) ∂f x2 +y 2 x +y x +y = ∂x  0 (x, y) = (0, 0)   (2y) sin √

∂f = ∂x 

1 x2 +y 2

y x2 +y 2

−√ 0

cos √

1 x2 +y 2

(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0)

b) Demuestre que las derivadas parciales de f son discontinuas en el origen, probando que el l´ımite de ellas cuando (x, y) tiende a (0, 0) no existe. c) Constate que el residuo de la definci´ on de diferenciabilidad aplicada a f en el origen se ve como 1 r(h1 , h2 ) = (h21 + h22 ) sen p 2 h1 + h22 20

d ) Demuestre que l´ım

(h1 ,h2 )→(0,0)

r(h1 , h2 =0 k(h1 , h2 )k

y concluya entonces que la funci´on es diferenciable en el origen. e) Responda VERDADERO o FALSO: ¿Si una funcion f : U ⊂ R2 → R es diferenciable en el punto (x0 , y0 ) ∈ U , entonces implica que las derivadas parciales de f sean continuas en (x0 , y0 ).? 52. Considere la superficie en R3 definida impl´ıcitamente por F (x, y, z) = xyz + ln(xyz) − z = O Hallar la ecuaci´ on del plano tangente en p = (1, 1, 1). 53. Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada impl´ıcitamente por F (x, y, z) = 36x2 + 9y 2 + 4z 2 − 72x − 36y − 24z + 72 = O en el punto p = (1, 4, 3). 54. Suponga que la expresi´ on ˆ

y+z

g(t)dt +

xz

ˆ

z2

(t)dt

3x+y

donde g, h : R → R son funciones continuas, define impl´ıcitamente una funci´on diferenciable z = f (x, y). Halle sus derivadas parciales. 55. Para pensar Utilizar la gr´ afica de la superficie para determinar el signo de la derivada parcial indicada.

a) fx (4, 1) b) fy (4, 1) c) fx (−1, −1) d ) fy (−1, −2)

56. Dada la funci´on f (x, y) = 3x2 y + x + y. Usando la definici´on de derivada parcial calcule fx (1, 1) y fy (−1, 1). 57. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones a) f (x, y) = x3 − 2x2 y 2 + 3 2

2

b) g(x, y) = ex −y + ln(x2 + y 2 − 4) √ c) h(x, y, z) = 2 cos(xy 2 ) + tan(yz) − ln(x2 − 4y) + xyz ˆ x ˆ z 2 cos(t2 )dt + arctan(xyz) + 8 et dt + d ) f (x, y, z) = x

e) f (x, y, z) = x

ˆ

z2

x2

−y

1 dt + yz 3 1 + cos2 t

58. Considere una recta tangente a la superficie f (x, y) = ex sen(6πy) − 2x3 + arctan(xy) −

xy 1 + x2

la cual se encuentra en un plano P paralelo al plano yz, pasa por un punto donde y = 1 y tiene pendiente −12π. Encuentre la ecuaci´ on del plano P. 21

59. Encuentre los puntos de la superficie f (x, y) = xy(1 − x − y) donde el plano tangente es paralelo al plano coordenado xy. p 60. Considere el hiperboloide de una hoja z = x2 − y 2 − 4 √ a) Encuentre el plano tangente al hiperboloide en el punto A(−6, 2, 28) √ b) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta normal al hiperboloide en ei punto A(−6, 2, 28). c) Determine los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos tangentes son paralelos al plano Q : 2x + y + z = 0. x2 y 2 z 2 61. Demuestre que el plano tangente al elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 en un punto (x0 , y0 , z0 ) a b c x 0 x y 0 y z0 z tiene por ecuaci´ on Q = 2 + 2 + 2 = 1 a b c 62. Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su volum en sea 36 pies c´ ubicos. El costo del material de la tapa y de la base es de $10 el pie cuadrado, el del material para las partes de enfrente y de atr´as es de $9 el pie cuadrado y el material para los otros lados es de $7 el pie cuadrado. a) Determine la funci´on de costo C(x, y) , donde x y y son las medidas del largo y el ancho de la base de la caja respectivamente. b) Calcule Cx (3, 4) y Cy (3, 4) e interprete los resultados. 63. Sea C la curva de intersecci´ on del paraboloide z = 12 − x2 − y 2 con el plano x = 2. a) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (2, 2, 4) b) Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) = perpendicular a la recta tangente obtenida en a).

x2 6

+

y2 8

que es

64. Dada la funci´on f : R2 → R.  2   x (y − 4) x+y f (x, y) =   0

si x + y 6= 0 si x + y = 0

a) Analice la continuidad de f en el punto (−4, 4) ∂f ∂f b) Halle (−4, 4) y (−4, 4), si existen ∂x ∂y 65. (Muy interesante) Dada la funci´on f (x, y) = |x2 − 4x + y 2 − 6y + 4|, halle los puntos en los cuales fy (x, y) no existe. 66. En los siguientes ejercicios, determine las derivadas parciales indicadas en caso de que existan.    1 + cos(πxy) si x + y 6= 0 x+y a) fx (1, −1) y fy (1, 0) donde f (x, y) =   0 si x + y = 0  2 2   x y si y 6= −ex y + ex b) fx (0, −1) y fy (0, 1) donde f (x, y) =   0 si y = −ex  3 3   x −y si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 x +y c) fx (0, 0) y fy (0, 0) donde f (x, y) =   0 si (x, y) = (0, 0) 22

 3 2   x +y 2 y +x d ) fx (−1, 1) y fy (−1, 1) donde f (x, y) =   0

si y 2 + x 6= 0 si y 2 + x = 0

67. Considere una esfera con centro en el origen y radio 13. Una recta tangente trazada a esta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 est´ a en el plano paralelo al plano xz y tiene pendiente −1/4. Encuentre la ecuaci´ on del plano. 68. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuaci´ on del plano tangente y de la recta normal a cada una de las superficies en el punto indicado. a) z = e2x cos(3y), P (1, π/3, −e2 ) p P (−3, 4, ln 5) b) z = ln( x2 + y 2 ), c) z = x ln y,

(1, 1, 0)

69. Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano coordenado xy. a) z = x3 − 12xy + 8y 3 b) f (x, y) = x3 yey−3x

c) Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = 4xy − x4 − y 4 que es paralelo al plano Q : 8x − 8y + z + 28 = 0

d ) Encuentre el ´angulo entre la recta L = {(−2, 5, 12) + t(4, 1, −3) : t ∈ R} y la normal a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 121 en el punto de intersecci´on de ia recta y la esfera. 70. ¿En qu´e puntos del gr´ afico de la ecuaci´ on x2 + 4y 2 + 16z 2 − 2xy = 12, son los planos tangentes paralelos al plano xz? 71. Halle un vector tangente a la curva de intersecci´ on de las superficies x2 − 3xz + y 2 z = 1 y 3xy + 2yz + 6 = 0 en el punto (1, −2, 0). 72. Demuestre que el plano tangente a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 en un punto (x0 , y0 , z0 ) de la esfera (z0 > 0) tiene por ecuaci´ on xx0 + yy0 + zz0 = 1 73. Halle sobre el cilindro (x + y)2 + (y − z)2 = 4 el lugar geom´etrico de los puntos en los cuales la normal es paralela al plano xy. 74. Determine el valor de m para que el plano x − 2y − 2z + m = 0 sea tangente a la superficie de ecuaci´ on x2 + 4y 2 + 16z 2 − 144 = 0 75. Verifique en cada caso que D12 f (x, y) = D21 f (x, y). a) f (x, y) = x4 + 4x3 y − 3x2 y 2 + 6xy 3 + 9y 4 b) f (x, y) = exy sen x cos y 2

c) f (x, y) = xe−y + x sec y   xy d ) f (x, y, z) = ln 1+x 1+z − e

76. Si f (x, y) = (y + ax)2 ey+ax . Pruebe que fxx = a2 fyy 77. Dada la funci´on z = 15 x5 − 2x3 + 25x + ax3 y 2 + bxy 4 + cxy 2 a) Determine los valores de a, b y c de modo que opuestos.

∂2z ∂2z y sean iguales y de signos ∂x2 ∂y 2

b) Halle los puntos de la superficie representativa de dicha funci´on en los que el plano tangente es horizontal. 23

78. Sea la funci´on f (x, y) = eax+by g(x, y). Si gx (x, y) = gy (x, y) = 1. Halle los valores de las constantes a y b, tales que fx (x, y) = fy (x, y) y 1 + fxy (x, y) = a + fyx (x, y) ˆ g(x,y) 2 x 79. Para k una constante positiva y g(x, t) = √ , sea f (x, y) = e−u . Pruebe 2 kt 0 ∂f ∂2f que k 2 = ∂x ∂t   ex + ey + xy si (x, y) 6= (0, 0) y 2 + x2 80. Dada la funci´on f (x, y) =  2 si (x, y) 6= (0, 0) Halle

∂2f ∂2f (0, 0) y (0, 0) si es que existen ∂x2 ∂x∂y

81. La distribuci´ on de la temperatura sobre una placa met´alica viene dada por la funci´on 2

2

T (x, y) = 10(xe−y + e−(x−2) ) Si una mosca se sit´ ua en el punto P0 (2, 0). se pide: a) Determinar la raz´ on de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el punto Q(2, 2). b) ¿En qu´e direcci´on desde el punto P0 debe m overse la m osca para que la tem peratura dism inuya lo m´as r´ apidam ente posible?. Si sigue esta direcci´on, ¿cu´ al es la rapidez de cam bio de la tem peratura? c) ¿En qu´e direcci´on desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la temperatura aumente lo m´as r´ apidamente posible?. Si sigue esta direcci´on, ¿cu´ al es la rapidez de cambio de la temperatura? d ) Si la mosca no quisiera apreciar ning´ un cambio de temperatura, ¿qu´e direcci´on debe tomar? 82. La altura de una monta˜ na sobre el nivel del mar es dada por la ecuaci´ on z = 900 − 2x2 − 2y 2 , donde x e y medidas en metros son las coordenadas este-oeste y sur-norte respectivamente. Un hombre se encuentra en el punto A(6, 5, z0 ). a) ¿A qu´e altura se encuentra el hombre? b) ¿En qu´e direcci´on desde ei punto A debe cam inar el hombre para escalar la monta˜ na lo m´as r´ apido posible?. Si sigue esta direcci´on, ¿cu´ al es la rapidez de cambio del hombre? (considere la unidad de tiempo en segundo). c) ¿Cu´ al es la direcci´on que apunta a la cima de la monta˜ na desde el punto A? Si sigue esta direcci´on, ¿cu´ al es el valor de la pendiente de la m onta˜ na? d ) S´ı el hombre se mueve en la direcci´on sur-oeste, ¿est´ a ascendiendo o descendiendo?, ¿cu´ al es su rapidez? 83. Calcule el valor de la derivada direccional de la funci´on z = f (x, y) = x5 + xy + y 3 en el punto A(1, 6), en la direcci´on de la curva y = g(x) = 4x2 + 2. 84. Considere una funci´on f (x, y), tal que ∇f (x, y) = 4x3 + 2xy 4 + yexy , −3y 2 + 4x2 y 3 + xexy




y f (0, 0) = 21 La temperatura en un punto (x, y) de una placa rectangular con centro en el origen est´ a dada por T (x, y) = f (x, y) + y 3 − exy a) Determine la direcci´on en que una ara˜ na debe ir, partiendo dej punto B(1, 1) de la placa, para que se enfr´ıe lo m´as r´ apidamente posible. 24

b) ¿Cu´ al es la rapidez de la ara˜ na en esta direcci´on? 85. * Sea f ((x, y, z) = x2 y 2 (2z+1)2 . Halle la derivada direccional de f en el punto (1, 1, −1), en la direcci´on de la recta tangente a la curva de intersecci´on de las superficies S1 :

x2 + y 2 + 2(y − x) − 2 = 0

S2 :

x − y − 2z − 2 = 0

de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario. 86. Una part´ıcula rastreadora de calor est´ a situada en el punto (5, 4) de una placa met´alica cuya tem peratura en (x, y) es T (x, y) = 100 − x2 − 3y 2 . Halle la trayectoria de la part´ıcula al moverse de forma continua en la direcci´on de m´as r´ apido crecimiento de la temperatura. 87. Dada la funci´on f (x, y) = (2by − x)3 . Calcule el valor de b para que √ el valor de la derivada direccional m´axima de f , en el punto (−1, 0) sea igual a 3 17 . 88. Sea f (x, y) = x2 y. ¿Qu´e ´ angulo form a el vector direcci´on con la parte positiva del eje x, si la derivada direccional en el punto (1, −1) es 2? x2 z2 89. Halle los puntos de la superficie S : + y2 + = 11, en los cuales el plano tangente 4 4 a S es paralelo al plano Q : x + 2y + 3z = 3. Para cada uno de los puntos obtenidos, escriba la ecuaci´ on general del piano tangente. 90. Sea C la curva de intersecci´ on del paraboloide z = 9 − x2 − y 2 con el plano x = 1. a) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2, 4). b) Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie S : 4x2 + 3y 2 − 24z = 0, que es perpendicular a la recta tangente obtenida en (a). 91. Demuestre que la suma de los cuadrados de las intersecciones con los ejes coordenados de cualquier plano tangente a la superficie x2/3 + y 2/3 + z 2/3 = b2/3 es constante e igual a b2 .  x2 y 2   si (x, y) 6= (0, 0) (y 2 + x2 )2 Demuestre que fx (0, 0) y 92. Dada la funci´on f (x, y) =   0 si (x, y) 6= (0, 0) fy (0, 0) existen, pero que f NO es diferenciable en (0, 0). 93. Halle el valor aproximado de las siguientes cantidades utilizando diferenciales p a) 3 6(1, 98)3 + (4, 1)2   b) ln (1, 1)3 + (2, 3)3 − ln 9 R/ = 0, 43 c) sen(32◦ ) cos(59◦ )

R/ = 0, 273 p 94. Sea f (x, y) = (x3 + y 3 x2 − y 2 , ¿es f diferenciable en (0, 0)? (Ayuda:Demuestre que las derivadas parciales son continuas)  xy 2   √ 3 xy si (x, y) 6= (0, 0) y 2 + x2 95. Dada la funci´on f (x, y) =   0 si (x, y) 6= (0, 0)

¿Es f diferenciable en los puntos (0, 0), (0, 1), (1, 1)? Justifique.   ex + ey + xy si (x, y) 6= (0, 0) y 2 + x2 96. Dada la funci´on f (x, y) =  2 si (x, y) 6= (0, 0) ¿Es diferenciable en (0, 0)?

R/. NO

25

R/ NO,NO,SI.

97. Sea la funci´on f (x, y) = renciable.

p

|xy|. Determine el conjunto de puntos donde f no es dife-

98. Sea u = f (x, y) donde x = es , y = et Demuestre que 2 2 ∂u ∂u ∂2u ∂2u 2 ∂u 2∂ u + = x + y +x +y =0 ∂s2 ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y

99. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de largo, 5 pies de profundidad en un extremo y 12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado. Si la piscina est´ a llen´andose con un caudal de 20 pies3 /seg , ¿a que velocidad se esta elevando el nivel de agua cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo m´as profundo? 100. En un instante dado, la longitud de un cateto de un tri´angulo es 20 pies y est´ a aumentando a raz´ on de 2 pies/seg. y la longitud del otro cateto es 24 pies y est´ a disminuyendo a raz´ on de 4 pies/seg. Encuentre la rapidez de cambio de la medida del angulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante dado. ´ 101. Un filtro c´onico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra llena de una soluci´ on. La soluci´ on va pasando a un vaso cilindrico de 3 cm de radio. Cuando la profundidad de la soluci´ on en el filtro es 12 cm y el radio 4 cm, su nivel est´ a bajando a raz´ on de 2cm/seg y el radio va decreciendo a raz´ on de 2/3 cm/seg. Halle la rapidez con que est´ a subiendo la soluci´ on en el vaso, para dichas medidas. 102. Sea f : D ⊂ R2 → R una funci´on diferenciable, tal que f (18, 0) = 4 y fx (18, 0) = Dy (18, 0) = 3 Si H(x, y, z) = f (x2 − y 2 + z 2 , y 2 − z 2 + x2 ), halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie S : H(x, y, z) = 0 en el punto P0 (3, −4, 5) 103. Sea f una funci´on diferenciable, tal que f (2, 2) = 2, fx (2, 2) = −2 y fy (2, 2) = 4. Si g(x) = f (x, f (x, f (x, x))), halle g(2) y g ′ (2). 104. Determinar si existe o no una funci´on f (x, y) con las derivadas parciales dadas. fx (x, y) = 2x + y y fy (x, y) = x − 4y 105. Encontrar el ´angulo de inclinaci´on θ del plano tangente a la superficie en el punto dado. a) 3x2 + 2y 2 − z = 15, 3

b) 2xy − z = 0,

(2, 2, 5)

(2, 2, 2)

106. Encontrar el (los) punto(s) sobre la superficie en la cual el plano tangente es horizontal a) z = 4x2 + 4xy − 2y 2 + 8x − 5y − 4 1 1 b) z = xy + + x y ∂u ∂u ∂u , y si u es una funci´on diferenciable de x, y y z definida impl´ıci∂x ∂y ∂z 2 tamente por −xyz + x yu + 2xy 3 u − u4 = 8.

107. Encontrar

108. Determine la linealizaci´ on L(x, y) de la funci´on en cada punto. a) f (x, y) = e2y−x en (0, 0) y en (1, 2) b) f (x, y) = x3 y 4 en (1, 1) y en (0, 0) c) f (x, y, z) = tan−1 xyz en (1, 0, 0) y en (1, 1, 1) 109. S´olo hay un punto en el que el plano tangente a la superficie z = x2 + 2xy + 2y 2 − 6x + 8y es horizontal. Encu´entrelo. 26

110. Encuentre una funci´on z = f (x, y) tal que ∂z = 3x2 y 2 + 2x + 1 ∂y

1 ∂z = 2xy 3 + 2y + ∂x x  2 2   xy(y − x ) 2 2 x +y 111. Dada la funci´on f (x, y) =   2

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) 6= (0, 0)

a) Demuestre que fx y fy son continuas excepto tal vez en el origen. b) Utilice coordenadas polares para demostrar que fx y fy son continuas tambi´en en (0, 0). c) Demuestre que todas las derivadas parciales de segundo orden de f est´ an definidas y son continuas excepto quiz´as en el origen.

d ) Demuestre que las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f existen en el origen, pero que fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0).

e) Considere el comportamiento sobre l´ıneas rectas para demostrar que ninguna de las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f es continua en el origen.

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UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas

TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez Maximos- M´ınimos y Integrales Multiples p

1 − x2 − y 2 con dominio D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ y 1, y > 0} no tiene m´aximo ni m´ınimo?, q 2 2. Bas´andose en la gr´ afica de la funci´on f (x, y) = 1 − x4 − y 2 , indique en que punto(s) alcanza el valor m´aximo y m´ınimo.

1. ¿Porque la funci´on f (x, y) =

x

3. La empresa Vectorial S.A. produce un solo producto en dos plantas ubicadas en Bogota y Medellin. Los costos mensuales totales de producci´on en cada planta son CB (x) = 50x2 + 1000

y

CM (y) = 8y 3 − 400y + 2000

donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de 2000 pesos la unidad. ¿Cu´ antas unidades deber´ıa producir mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?. R/: 20B, 10M Ayuda: La funci´on utilidad (a maximizar) viene dada por U (x, y) = I(x, y) − C(x, y) 4. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y completa maquinaria industrial planea vender una cantidad limitada de las m´ aquinas tanto a empresas nacionales como extranjeras. El precio que el fabricante espera fijar a las m´aquinas depender´a del n´ umero de m´aquinas disponibles. (Por ejemplo, si s´ olo unas cuantas m´aquinas se ponen en el mercado, las ofertas de los compradores potenciales que compiten entre s´ı tender´ an a subir el precio). Se calcula que si el fabricante suministra x m´aquinas al mercado nacional e y m´aquinas al mercado extranjero, ´estas se vender´an y x x + 20 miles de d´olares cada una en el mercado local y a 70 − y5 + 20 miles a 60 − 10 de d´olares en el exterior. Si el fabricante puede producir las m´aquinas a un costo de US$ 20000 cada una, ¿cu´ antas m´aquinas deber´ıa enviar a cada mercado para generar la mayor utilidad posible? Ayuda: U (x, y) = I(x, y) − C(x, y) R/: 300N, 200I

5. Analice para qu´e valores de a ∈ R la funci´on f (x, y) = a(x−1)(y −2)−(x−1)2 −(y −2)2 R/. m´ınimo para a ∈ (−2, 2). Silla a ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

6. Sea f : R3 → R una funci´on de dos variables, tal que su matriz hessiana en el punto P0 (m, n) es   m+3 m−1 0   Hess(f (m, n))  5 −2   1 0 −2 1 ¿Para que valores de m, f (P0 ) es un valor minimo relativo? R/ m = 2

7. Sea f : R2 → R una funci´on de dos variables, tal que su matriz hessiana en un punto gen´erico (x, y) es   4 − x 3x . Hess(f (x, y))  1 1 Si (a, a) es un punto cr´ıtico de f ¿para qu´e valores de a el punto (a, a, f (a, a)) es un punto de silla? R/. a > 1. 28

8. Sea f : R2 → R una funci´on con derivadas parciales de primer y segundo orden continuas en R2 tal que A(2, −1) es un punto cr´ıtico de f . En cada caso, indique si el punto cr´ıtico corresponde a un extremo relativo o a un punto de silla. a) fxx (2, −1) = −3, b) fxx (2, −1) = 25,

c) fxx (2, −1) = −4,

fxy (2, −1) = 2 fyy (2, −1) = −8

fxy (2, −1) = 10 fyy (2, −1) = 8 fxy (2, −1) = 6 fyy (2, −1) = 9

9. En los siguientes ejercicios, halle los extremos absolutos de la funci´on en la regi´ on D indicada a) f (x, y) = x2 + xy − y 2 − 6x, D es la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3

b) f (x, y) = 4x3 − 2x2 y + y 2 , D es la regi´ on limitada por la par´ abola y = x2 y la recta y = 9. c) f (x, y) = 4x2 y − x3 y − x2 y 2 D es la regi´ on triangular limitada por x = 0, y = 0, x+y−6=0

d ) * f (x, y) = (x2 + y 2 )e−(x

2

+y 2 )

Ayuda: llame r = x2 + y 2

10. * Consideremos la funci´on z = f (x, y) dada impl´ıcitamente en la expresi´ on F (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 3x − 3y + z + 4 = 0 halle los extremos locales. R/: P1 (1, 1), P2 (1, −1), P3 (−1, 1), P4 (−1, −1) 11. Halle la m´ınima distancia del origen al cono z 2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 . R/ =

√

10 2

12. Halle los extremos de la funci´on f (x, y, z) = xyz. sujeta a las condiciones x+y−z−3 = 0 y x − y − z − 8 = 0. R/ M´aximo P (11/4, −5/2, −11/4) 13. El cono z 2 = x2 + y 2 es cortado por el plano z = 1 + x + y en una curva C. Halle los puntos de C √ que est´ an m´ as pr´ oximos√y m´as alejados del origen. √ √ √ √ R/: P (−1 + 2/2, −1 + 2/2, −1 + 2) cerca y Q(−1 − 2/2, −1 − 2/2, −1 − 2) lejos 14. Un disco circular tiene la forma de una regi´ on acotada por el c´ırculo x2 + y 2 = 1. Si T es la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) del disco y T (x, y) = 2x2 + y 2√− y, encuentre los puntos m´as calientes y mas fr´ıos del disco. √ R/: P1 ( 3/2, −1/2) y P2 (− 3/2, −1/2) caliente y Q(0, 1) frio. 15. * Sea P0 (x0 , y0 , z0 ) (x0 > 0, y0 > 0 , z0 > 0) un punto sobre la superficie

2

y x2 4 + 8

2

+ z16 = 1

a) Calcule el volumen del s´ olido limitado por los planos cartesianos y el plano tangente al elipsoide en el punto P0 . b) Halle P0 que est´ a sobre el elipsoide de modo tal que el volumen del s´ olido sea m´ınimo. 16. Una organizaci´ on internacional debe decidir c´omo gastar los US 4000 que se le han asignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de Cundinamarca. Esperan dividir el dinero entre comprar trigo a US 5 el saco y arroz a US 10 el saco. Para el n´ umero P de personas que se alimentar´an se comprar´ an x sacos de trigo y y sacos de arroz. P est´ a dado por x2 y 2 P (x, y) = x + 2y + 2(108 ) ¿Cu´ al es el numero m´aximo de personas que pueden alimentarse, y c´omo la organizaci´ on debe asignar su dinero? R/ 832 personas, 400 sacos de trigo y 200 sacos de arroz

29

17. Un cilindro circular recto cerrado con un volumen de 8000 pies c´ ubicos se construye con dos clases de material. La tapa y la base del cilindro se hacen de un metal que cuesta $16 el pie cuadrado. La cara lateral se cubre con un metal que cuesta $S20 el pie cuadrado. Calcule las dimensiones del cilindro para que√el costo de construcci´on sea 50 80 y radio = √ Costo = 9600 3 25π m´ınimo. R/ altura = √ 3 3 25π 25π 18. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´on, sujeto a la restricci´ on dada. a) f (x, y, z) = xyz, restricci´ on

1 x

+

1 y

+

1 z

= 1. R/. (3, 3, 3) es punto cr´ıtico.

b) f (x, y) = 25 − x2 − y 2 , restricci´ on x2 + y 2 − 4y = 0 R/. Valor m´ınimo f (0, 4) = 9 Valor m´aximo f (0, 0) = 25 19. Sea C la curva de intersecci´ on de las superficies S1 : x2 + z 2 = 2y, S2 : x − y + z + 3 = 0. Encuentre los puntos de la curva C que est´ an m´as alejados y m´as cercanos al plano xz. R/. P1 (3, 9, 3) es el punto m´as alejado y P2 (−1, 1, −1) el m´as cercano. 20. La empresa Ramirez S.A vende dos productos: Vifer y Difer. Su utilidad en soles al vender x unidades de Vifer y y de Difer es U (x, y) = 20x + 40y − 0.1(x2 + y 2 ) Si la empresa puede vender un m´aximo de 400 unidades de los dos productos, ¿qu´e combinaci´on le producir´a la m´axima utilidad? R. Vender 150 unidades de Vifer y 250 unidades de Difer. 21. Una sonda espacial de forma del elipsoide 4x2 + y 2 + 4z 2 = 16 entra en la atm´ osfera de la tierra y su superficie comienza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600. Determ´ınese el punto m´as caliente de la sonda. R/ :P1 (4/3, −4/3, −4/3) y P2 (−4/3, −4/3, −4/3) 22. Si T (x, y, z) = x + 2y + 3z representa la temperatura en cada punto del cilindro x2 + y 2 − 2 = 0, halle las temperaturas extremas en la curva formada por la intersecci´on del plano y + z = 1 y el cilindro. R/: Temperatura m´ınima en A(−1, 1, 0) y m´ax. en B(1, −1, 2) 23. Una empresa planea gastar 10000 d´olares en publicidad en radio y televisi´ on. Se sabe que el minuto de publicidad en la televisi´ on cuesta 3000 d´olares, mientras que en la radio cuesta 1000 d´olares. Si x es el n´ umero de minutos de publicidad que contrata en la televisi´ on y y el n´ umero de minutos que contrata en la radio, su ingreso por ventas es G(x, y) = −2x2 − y 2 − xy + 4x + 6y + 10 ¿Cu´ antos minutos debe contratar en radio y cu´ anto en televisi´ on para maximizar su ingreso por ventas? R/:. 2 en TV y 4 en radio. 24. Sea g : R → R una funci´on diferenciable. Suponga que g tiene solamente una ra´ız en el punto x0 y que g ′ (x0 ) > 0. Estudie la naturaleza de los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones f : R2 → R ˆ y ˆ −y g(t)dt a) f (x, y) = g(t)dt c) f (x, y) = x

b) f (x, y) =

ˆ

y

d ) f (x, y) =

g(t)dt

x −y

ˆ

−x

−x

30

g(t)dt

25. Sea g : R → R una funci´on diferenciable. Suponga que la gr´ afica de g cruza al eje x solamente en el origen de coordenadas. Estudie la naturaleza de los puntos criticos de la funci´on f : R2 → R ˆ y−1 ˆ x−1 g(t)dt g(t)dt + f (x, y) = 0

0

′

en cada uno de los siguientes casos: a). g (0) > 0, b). g ′ (0) < 0. 26. Sea g : R → R una funci´on diferenciable. Suponga que esta funci´on no tiene ra´ıces. Determine la naturaleza de los puntos cr´ıticos de la funci´on f : R2 → R ˆ (x−1)2 ˆ (y−1)2 f (x, y) = g(t)dt + g(t)dt 0

0

en cada uno de los siguientes casos: a). g(0) > 0, b). g(0) < 0. 27. Sea g : R → R una funci´on diferenciab1e tal que g(1) = g(2). Considere la funci´on f : R2 → R ˆ x+y g(t)dt. f (x, y) = xy

Demuestre que f tiene un punto critico en (1, 1). Estudie la naturaleza de este punto cr´ıtico en cada uno de los siguientes casos: a).

g(1) = 0, g ′ (1) = 1, g ′ (2) = 2

b).

g(1) = 3, g ′ (1) = 3, g ′ (2) = 4

28. Sea g : R → R una funci´on diferenciable. Suponga que la gr´ afica de g pasa por el origen Demuestre que la funci´on f : R3 → R ˆ y g(t)dt f (x, y, z) = z 2 + −x

tiene un punto cr´ıtico en (0, 0, 0). Determine la naturaleza de este punto cr´ıtico suponiendo que g ′ (0) 6= 0.

29. Determinar los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = x2 + 3y 2 , en la regi´ on K = {(x, y) : x2 − 2x + y 2 − 3 ≤ 0}.

30. Determinar los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = x2 y 3 (1 − x − y), en la regi´ on K = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} INTEGRALES DOBLES 1. Utilizar una integral doble para hallar el volumen del s´ olido indicado.

2. Establecer una integral doble para encontrar el Volumnen de una regi´ on solida limitada por las graficas de las ecuaciones. NO EVALUAR. 31

a)

b)

c) z = x2 + y 2 , z = 18 − x2 − y 2 .

d ) z = sin2 x, z = 0, 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 5 ¨ 2y − 1 dA , donde D es la regi´ on limitada por las rectas x = 0, y = 0 y 3. Calcule D x+1 2x − y = 4 R/=36 − 42 ln 3 ¨ 4. Calcule (⌊x⌋ + ⌊y⌋)dA, donde R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2}. R/=4 R

√ πy 3
5. Calcule sin πy− dA, en la regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = 0, y = 1 + x 3 √ D y y = 1 − x. R/= π3 ¨ xey √ dA, en la regi´ on limitada por las gr´ aficas de x = y, x = −y y y = 1 6. Calcule y D y = 3. R/=− 21 (e3 − e) ˆ 1ˆ 1 tan(x2 )dxdyR/= 12 ln(sec(1)) 7. Calcule ¨

y

0

1

8. Calcule

ˆ

9. Calcule

ˆ

2ˆ

0

0

ˆ

√ − x

−1 4

√

2

3

ey dydx R/= e−1 3e x3

y2

170 dxdy. R/= ln 2

10. Halle el valor de la integral ˆ ˆ 0 ˆ 12 +√x+ 14 y2 e dydx+ √ x+ 41

1 2−

−1/4

0

2

ˆ

1 2+

√

x+ 41

√ −1+ x+1

2

ey dydx+

ˆ

8

ˆ

2

2

√ −1+ x+1

2

ey dydx,

R/ =

3 4 (e −1) 2

11. Dada la suma de integrales dobles I=

3

ˆ

2

y 2

ˆ

3

cos((x + y) )dxdy +

ˆ

3

1

4

ˆ

y 2 y 3

3

cos((x + y) )dxdy +

ˆ

4

6

ˆ

2 y 3

cos((x + y)3 )dxdy

a) Cambie el orden de integraci´ on y exprese I en una sola integral b) Calcule el ´area de la regi´ on de integraci´ on D. R/= 23 12. Trazar la regi´ on de integraci´ on y evaluar la integral a)

ˆ

0

2

ˆ

2

x

x

p

1+

y 3 dydx

b)

ˆ

0

2

ˆ

4

√

y2

4 cos(4)

32

x sin xdxdy

R/=sin(4)

−

13. Evaluar la integral iterada impropia ˆ ∞ˆ ∞ ˆ 3ˆ ∞ 1 x2 b) dxdy dydx a) 2 xy 1+y 1 1 0 0

∞

ˆ

c)

0

ˆ

∞

xye−(x

2

+y 2 )

dxdy

0

14. La figura I muestra las curvas de nivel de una funci´on f en una regi´ on cuadrada R. Aproximar la integral empleando los 12 cuatro cuadrados y tomando un punto de cada cuadrado como (xi , yi ). ˆ 2ˆ 2 dydx = 0

0

Fig 1

15. Utilizar una integral doble para calcular el ´ area de la regi´ on sombreada

¨

16. Eval´ ue

(x + y)dA sobre la regi´ on que se muestra en la figura 4

R

17. Halle el volumen del s´ olido limitado por el plano xy, el plano x + y + z = 2 y el cilindro parab´olico y = x2 R/= 81 20 18. Encuentre el volumen del s´ olido que se encuentra debajo del plano x + z = 0, por encima del plano z = 0 e interior al cilindro x2 + y 2 = 9 R/=18 19. Halle el volumen del s´ olido comprendido entre los cilindros x2 + y 2 = 16 y x2 + z 2 = 16 R/= 1024 3 √ √ 20. Halle el volumen del s´ olido limitado por las superficies y = x, y = 2 x, x + z = 6, z = 2. 128 R/= 15 21. Determine el volumen dei s´ olido limitado por las superficies y = 0, y = 4, x = 0 , x = y, √ √ z = y, z = 2 y. R/= 65 5 22. * Calcule el ´area de la regi´ on R limitada por las gr´ aficas de y = − 3x 2 , y = 4 − 902 2 2 y = 1 − x , y = x − 1 y y ≥ 0. R/= 96 23. Halle

ˆ

2

ˆ

0

√

8−x2

x

x2 4 ,

1 dydx 5 + x2 + y 2

p 24. Encuentre el volumen del s´ olido que est´ a bajo el hemisferio z = 1 − x2 − y 2 y sobre la regi´ on acotada por la gr´ afica de la circunferencia x2 + y 2 − y = 0 2

25. Calcule el volumen del cuerpo limitado por la superficie cilindrica z = e−x y los planos y = 0, y = x, y x = 1. R/= e−1 2e 26. Grafique el dominio de integraci´ on de la expresi´ on y luego calcule su ´area R/= 56 I=

ˆ

0

1

ˆ

y 2 +3 4

y2

f (x, y)dxdy +

ˆ

0

3/4

ˆ

0

−x

f (x, y)dydx +

ˆ

1

3/4

ˆ

√

4x−3

f (x, y)dydx

−x

p 27. Calcule el volumen del s´ olido limitado superiormente por la superficie z = 4 − x2 − y 2 e inferiormente por la regi´ on limitada por la gr´ afica de la circunferencia r = 2 cos θ. 32 R/= 8π − 3 9 33

fig 4

28. Calcule el volumen del s´ olido S que est´ a limitado inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie x2 +y 2 +4z 2 = 16 y lateralmente por el cilindro x2 +y 2 −4y = 0. R/= 32 9 (3π − 4) 29. Sea ψ : R4 → R4 una transformaci´on definida por ψ(y1 , y2 , y3 , y4 ) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) , donde x1 = 3y1 − y2 x2 = 2y2 , x 3 = y3 − y4 , x 4 = y4 Calcule el Jacobiano de ψ. ¨ y−x 30. Calcule e y+x dxdy, donde R es el tri´angulo limitado por la recta x + y = 2 y los ejes R

coordenados. R/=e − e−1 31. Halle el ´area de la regi´ on limitada por las curvas xy = 1, xy = 3, x−xy = 1, x−xy = 3. R/=6 ln(6) − 14 ln 2 ¨ x dxdy, donde R es la regi´ on limitada por las hip´erbolas xy = 1, xy = 2 32. * Calcule R y y por las rectas y = x, y = 4x. R/= 43 33. *Halle la integral de la funci´on f (x, y) = x2 y 2 sobre la regi´ on R limitada por las hip´erbolas equil´ ateras xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x, y = 3x (la regi´ on situada en el primer cuadrante). R/= 76 ln 6 34. * Halle la integral de la funci´on f (x, y) = x−3 sobre la regi´ on limitada por las par´ abolas y = x2 , y = 2x2 , y 2 = x, y 2 = 2x. R/= 13 ln 2 ¨ p  4 − x2 − y 2 + x dA, donde la regi´ on R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2y}. 35. * Calcule R/= π8 −

36. Calcule

32 9

R

¨ r R

1−

 y2 x2 − 2 dA donde R = (x, y) ∈ R2 : 2 a b

x2 a2

+

y2 b2

≤ 1 R/= 2abπ 3

37. * Halle el volumen del s´ olido S limitado por el cono z 2 = x2 + y 2 y el cilindro x2 + y 2 − 64 2y = 0. R/= 9 38. * Halle el volumen del s´ olido S que a limitado por el cilindro x2 + y 2 = 4 y el √ est´ 2 2 2 hiperboloide x + y − z = 1 R/=4 3π 39. Halle el volumen del s´ olido limitado superiormente por la superficie esf´erica x2 + y 2 + 2 z = 4, inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro x2 + y 2 = 1 √ 2 R/= 3 (8 − 3 3)π 40. Encuentre el centro de masa de una l´ amina homog´enea (de densidad constante) que tiene la forma de la regi´ on limitada por la par´ abola y = 2−3x2 y la recta 3x+2y−1 = 0. 1 4 R/=( 4 , 5 ) 41. En los siguientes ejercicios encuentre el centro de masa de una l´ amina que tiene la funci´on de densidad ρ y la forma de la regi´ on limitada por las curvas dadas. a) x2 − y 2 = 1, x = 3, ρ(x, y) = x √ b) y = x3 , y = x, ρ = 2x c) y 2 = x, x = y + 2, ρ = x2 y 2

34

42. Encuentre Ix√y Iy para la l´ amina homog´enea que tiene la forma de la regi´ on D acotada por 256 la curva y = x y por las rectas y = 0, x = 4. R/=Ix = 64 , I = y 15 7 43. Halle el momento polar de inercia de la regi´ on F en el plano xy limitado por x2 − y 2 = 1, 2 2 x − y = 9, xy = 2, xy = 4, la densidad ρ = 1. Sugerencia: hacer u = x2 − y 2 , v = 2xy R/=8 44. * Halle el ´area de la parte de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 4 que se encuentra arriba del paraboloide x2 + y 2 = 3z. R/=4π 45. Determine el ´area de la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ay que es cortada por un manto del cono y 2 = x2 + z 2 Sugerencia: A(S) en xz R/=2πa2 .

Fig 1

46. Encuentre el ´area de la parte del paraboloide x2 + y 2 = 8 − z que est´ entre √ √a comprendida 2 los conos x2 + y 2 = 7z 2 , x2 + y 2 = z4 y z > 0. Ver figura 1 R/= π6 (29 29 − 17 17) 47. * Halle el ´area de la parte del cono y 2 + z 2 = 3x2 que se encuentra arriba del plano yz e 8π interior al cilindro y 2 + z 2 = 4y Ver figura 2 R/= √ 3 48. * Calcule el ´area de la parte del cilindro x2 + y 2 = 16 que se encuentra entre los planos z = x, z = 2x, en el primer octante. Sugerencia: A(S) en xz R/=16. 49. Encuentre el ´area de la superficie de las porciones del cono z 2 = 14 (x2 + y 2 ) que est´ an dentro del cilindro (x − 1)2 + y 2 = 1. Fig 5. ˆ ∞ −5x e − e−10x dx R/=ln(2) 50. * Hallar x 0 ˆ 2  51. * Hallar tan−1 (πx) − tan−1 (x) dx. 0 ¨ 52. ¿Que regi´ on R en el plano xy maximiza el valor de (9 − x2 − y 2 )dA? ¨ 53. ¿Que la regi´ on R en el plano xy minimiza el valor de (x2 + y 2 − 4)dA?

Fig 2

Fig 5 54. VERDADERO O FALSO. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que demuestre que es falsa ˆ 1ˆ 1p 2 2 2 a) El volumen de una esfera x + y + z = 1 es V = 8 1 − x2 − y 2 dxdy 0

b)

ˆ

b

ˆ

1

a

c)

0

d ) Si

ˆ

d

ˆ

x

f (x, y)dydx =

d

ˆ

1

c

c

0

¨

ˆ

f (x, y)dydx =

0

ˆ

b

ˆ

y

0

f (x, y)dxdy

a

f (x, y)dxdy

0

f (r, θ)dA > 0 entonces f (r, θ) > 0 para todo (r, θ) en R.

R

e) Dada una partici´on interior de la regi´ on plana R que consiste en¨ rect´angulos R1 , R2 , . . . , Rn que est´ an dentro de R, el valor de la integral doble f (x, y)dA R

se aproxima con la suma de Riemann que tiene un t´ermino f (x∗i , yi∗ )∆Ai para cada rect´angulo de la partici´on interior. k X

f (x∗i , yi∗ )∆Ai puede hacerse i=1¨ f (x, y)dA escogiendo una arbitrariamente cercana al valor de la integral doble

f ) Si f es integrable, entonces la suma de Riemann

R

partici´on interna de R con una norma suficientemente peque˜ na. 35

g) La descripci´on¨a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) de la regi´ on R lleva a evaluar la integral doble f (x, y)dA integrando primero respecto de x y despu´es respecto R

de y.

h) La descripci´on¨h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), c ≤ y ≤ d de la regi´ on R lleva a evaluar la integral doble f (x, y)dA integrando primero respecto de y y despu´es respecto R

de x.

i ) Dada una regi´ on R en el plano xy, el problema de calcular el ´area A de R es equivalente al problema de calcular el volumen de cierto s´ olido que se encuentre arriba de R. j ) Si R es la¨ regi´ on tal que satisfacen las desigualdades r1 (θ) ≤ r ≤ r2 (θ), α ≤ θ ≤ β. entonces

f (x, y)dA se transforma en otra iterada en coordenadas polares que

R

se integra primero respecto de θ y despu´es respecto de r. √ ˆ ∞ π −x2 e dx = 55. Demuestre que 2 0 Ayuda: Calcule V = l´ım Vb pero usando dos formas diferentes para Vb , primero b→∞

Vb = Vb =

¨

e−x

¨R

e−x

2

2

−y 2

dA,

R = {(x, y) : −b ≤ x ≤ b, −b ≤ y ≤ b}

−y 2

dA,

S = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ b}

S

56. Elija y eval´ ue la integral correcta que represente al volumen V del s´ olido.

ˆ

a) 4

ˆ

b) 2

ˆ

c) 2

2

2

ˆ

∞

1

59. Halle

ˆ

(4 − y)dydx √

(4 − y)dxdy

0

xdydx ∞

ˆ

ˆ

c) 8

ˆ ˆ ˆ

r −r r

√

r 2 −x2

(r √ − r 2 −x2

ˆ √r2 −y2 0

0 r 0

ˆ

ˆ

0

√

r 2 −x2

2

− y 2 )1/2 dydx

(r2 − y 2 )1/2 dxdy

(r2 − x2 )1/2 dydx

tan−1 x

ˆ

0

b) 8

4−x2

0

0

60. Eval´ ue

ˆ

−2

58. Halle

4−x2

0

2

a) 4

(4 − y)dydx √

ˆ

−2

1

0

4−x2

0

0

ˆ

57. Halle

√

ˆ

x √ 3

R/= π4 − 12

e−y dydx y

y

cos(x2 )dxdy

y

¨

R

sen(x + 2y) cos(x − 2y)dA sobre la regi´ on R dado por x = 0 y = 0 y

x + 2y = 2π. R/: π2 ¨ cos( 12 (x − y)) dA donde R es la regi´ on acotada por las gr´ aficas de y = x, 61. Calcule 3x + y R y = x − π, y = −3x + 3, y = −3x + 6. 36

62. Calcule

¨

R

(x2 +y 2 ) sen(xy)dA donde R es la regi´ on acotada por las gr´ aficas de x2 −y 2 =

1, x2 − y 2 = 9, xy = 2, xy = −2.

63. Calcular el ´area en la regi´ on del primer cuadrante acotada por las curvas xy = 2, xy = 4 y xy 3 = 3, xy 3 = 6. 2 2 2 64. Sea R la regi´ on en el primer cuadrante acotada por las circunferencias ¨ x +y = 2x, x + 1 dxdy y 2 = 6x, y las circunferencias x2 + y 2 = 2y, x2 + y 2 = 8y. Calcule 2 + y 2 )2 (x R

65. La regi´ on R se encuentra en el semiplano superior del plano a limitada por las ¨ xypy est´ 2 2 2 x + y 2 dA, al hacer el par´ abolas y = 4(1 − x), y = 4(1 + x) y el eje x. Calcule cambio de variable x = u2 − v 2 , y = 2uv

66. Conteste

37

R

38

UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas

TALLER IV Profesor: H. Fabian Ramirez C´ alculo Vectorial INTEGRALES TRIPLES 1. Calcule

˚

3dV , donde D est´ a limitado por las superficies z = 0, y = 0, y = x,

D

x + y = 2, x + y + z = 3 R/=5 ˚ 2. Calcule z 2 dV , donde D est´ a limitado por las superficies z = 0, x2 + z = 1, D

y 2 + z = 1. R/= 13 ˚ 3. Calcule x2 dV , donde D est´ a limitado por las superficies y 2 + z 2 = 4ax, y 2 = ax, D   √ (tomar parte interna del solido) x = 3a R/=27a5 3 3+2π 2 4. Calcule la integral

ˆ √π/4 ˆ √π/4 ˆ 0

x

4

cos(6y 2 )dzdydx.

2

R/=− 16

5. * Encuentre el volumen del s´ olido limitado, por arriba, por el paraboloide z = 4−x2 −y 2 y, por abajo, por el plano z = 4 − 2x. R/= π2 6. * Encuentre el volumen del s´ olido en el primer octante acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por el plano z = y, lateralmente por el cilindro y 2 = x, y el plano x = 1. R/= 14 7. (Interesante) Calcule el volumen del s´ olido limitado por los planos z = −1, z = 1 y por el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = 1. R/= 8π 3 8. * Calcule el volumen del s´ olido interior a los cilindros y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x (parte mayor) debajo del plano x + z = 5 y por encima del plano z = 0. R /=6π + 224 15 9. ** Si se sabe que el volumen de una bola de radio 3 es 36π, calcule el volumen del s´ olido D 2 2 2 encerrado por el elipsoide x36 + y16 + z25 = 1 Ayuda: transforme el elipsoide en una esfera de coordenada uvw de radio 3. Rs/=160π. 10. (Poderoso). Halle el volumen del s´ olido limitado por las superficies x2 +y 2 = 9, z = 9−x2 −y 2 , 2 2 2 x + y + (z − 16) = 9 en la regi´ on y − x > 0. Rc/= 171 4 π. 11. Halle el volumen del s´ olido sobre el cono z 2 = x2 +y 2 e interior a la esfera x2 +y 2 +z 2 = 2az. 3 Re/=πa

12. Halle el volumen del cono de helado seccionado en √una esfera de radio 6 por un cono con un semi-´ angulo de 30◦ . ver Figura. Re/=72π(2 − 3). ˚ p 13. (Interesante) Calcule x2 + y 2 + z 2 dV donde D es el s´ olido limitado a la derecha D √ 2 2 2 2 2 por la esfera  √x + y + z = 2ay (a > 0) y a la izquierda por el cono y = x + z . 8− 2 4 Re/=a π 5 14. (Interesante) Utilice coordenadas esf´ericas olido limitado r para calcular el volumen del s´ 2 2 p y + z por las superficies x = y 2 + z 2 , x = y el plano x = 4. R/= 128 3 π 3 39

15. (Poderoso) Sea S un s´ olido interior del cilindro y 2 +z 2 = 4 y limitado por las superficies 2 cil´ındricas x = z y x − 6 = (z − 2)2 . Halle el volumen de S. Rc=40π ! ˚ x2 y2 z2 16. Calcule I = 1 − 2 − 2 − 2 dxdydz donde D es el s´ olido encerrado por el a b c D 2 y2 z2 x2 elipsoide 2 + 2 + 2 = 1. Rse/= 8π15abc a b c 17. Halle el volumen del s´ olido interior a las superficies x2 + z 2 = 4y, x2 + z 2 = 5 − y y 2 exterior al cilindro x + z 2 = 1. Rc/= 45π 8 ˚ p 18. Calcule 16 − y 2 − 4x2 dV sobre el s´ olido D limitado superiormente por el paraD  √  7 boloide z = 16 − y 2 − 4x2 e inferiormente por el plano z = 7. Rc/= 1664+197 π 30

19. Halle el volumen de la regi´ on limitado por los cilindros hiperb´olicos xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, yz = 25, yz = 49 R/=64 ˚ p 20. ** Calcule x2 + y 2 + z 2 dV , donde D es el s´ olido limitado por las superficies D   p √ z = x2 + y 2 , z = 3. Rcyci/= 27 2 − 27 2 π 21. Encuentre el centro de masa de un objeto material homog´eneo limitado por los planos coordenados, el plano x + y = 1 y el paraboloide z = 4 − x2 − 4y 2 . R/=m = 33 27 5 19 12 , ( 95 , 95 , 3 )

22. Un cuerpo est´ a limitado por dos superficies esf´ericas conc´entricas cuyos radios son iguales a r y R (R > r). Teniendo en cuenta que la densidad del material es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de las esferas, halle la masa total del cuerpo. R/=2π(R2 − r2 ) 23. Halle el momento est´ atico de la parte com´ un de las esferas x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 y x2 + y 2 + z 2 ≤ 2Rz respecto al plano xy. La densidad en cualquier punto del cuerpo es 59 5 5 igual a la distancia entre este punto y el plano xy. R/= 419 180 R π Camilo= 480 R π 24. Si D es la regi´ on limitada por los planos x = 1, x = 2 y por los cilindros y 2 + z 2 = 4, ˚ p π 38π 2 y 2 + z 2 = 9, calcule ex y 2 + z 2 dxdydz R/= 56e 3 (e − 1), 3 (e − e) D

25. Demuestre que

ˆ

∞

−∞

ˆ

∞

−∞

ˆ

∞

−∞

p

x2 + y 2 + z 2 e−(x

2

+y 2 +z 2 )

dxdydz = 2π

26. Halle el volumen de la regi´ on R que est´ a entre los paraboloides z = x2 +y 2 , z = 4(x2 +y 2 ) 45π y los planos z = 1, z = 4. dani 8 y oscar 9π 27. Encuentre el volumen del s´ olido T que est´ a bajo el paraboloide z = x2 + y 2 y sobre el tri´angulo R en el plano xy con v´ertices en (0, 0, 0), (1, 1, 0) y (2, 0, 0). dani 34 28. Encontrar el volumen y centroide de la regi´ on s´ olida que se halla dentro de la esfera 9 ρ = 3, bajo el cono φ = π/3 y arriba del plano (cono) φ = π/2. dani V = 9π, (0, 0, 16 ) 29. considere los siguientes s´ olidos y plantee, pero NOOO eval´ ue, las integrales que producen el volumen V del s´ olido utilizando los ´ ordenes de integraci´ on indicados.

40

30. Calcule

˚

D

(4z + 2x − 2y)dV donde D es el paralelep´ıpedo 1 ≤ y + z ≤ 3, −1 ≤ −y + z ≤ 1,

0 ≤ x − y ≤ 3. daniela 84

31. Determine el volumen del s´ olido que se muestra en la Figura 3. daniela

17π 3 (1

−

√

3)

32. Encuentre el ´area de la superficie de la porci´ on de la gr´ afica de x = yz dentro del cilindro y2 + z2 = 1 33. Encuentre los l´ımites de integraci´ on para evaluar la integral triple de una funci´on f (x, y, z) sobre el tetraedro D con v´ertices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 1). 34. Halle el volumen de la regi´ on del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y + z = 2 y el cilindro x = 4 − y 2 . (Fig 4) ˆ 2 ˆ 4−x2 ˆ x sin(2z) dydzdx 35. Halle 4−z 0 0 0 36. Encuentre a tal que ˆ 1 ˆ 4−a−x2 ˆ 4−x2 −y 4 dzdydx = 15 a 0 0 37. ¿Para qu´e valor de c ocurre que el volumen del elipsoide x2 +

y2 4

+

z2 c2

Fig 3

= 1 es igual a 8π?

Fig 4. 38. Calcule los vol´ umenes de los siguientes s´ olidos

39. Sea C el cuarto de c´ırculo C definido por x = 4 cos t, y = 4 sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Calcule ˆ ˆ ˆ xy 2 ds xy 2 dy c) xy 2 dx b) a) 40. Calcule

C

C

C

ˆ

(x + y)ds a lo largo de los caminos indicados

C

a) El tri´angulo con v´ertices (0, 0), (4, 0) y (0, 3) recorrido en sentido antihorario. R/=30 b) El c´ırculo x2 + y 2 = 2x desde (0, 0) a (2, 0) recorrido en sentido horario. R/=π + 2 c) El c´ırculo x2 + y 2 = 16 desde (4, 0) a (−4, 0) recorrido en sentido antihorario. R/=32 41. * Jaimito piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base la curva C : x2/3 + y 2/3 = (40)2/3 (x > 0 , y > 0) y altura para cada punto (x, y) ∈ C est´ a dada por la funci´on f (x, y) = 4 + y2 . Si le proporcionan la pintura y le van a pagar US 100 por pintar 20m2 , ¿cu´ al es su ganancia de Jaimito para salir de fiesta? (plc)R/=US 7200

41

42. Dibuje una muestra representativa de vectores del campo vectorial F(x, y) = 13 (−y, x) 43. Calcule

ˆ "   1 − y2   1 − z2   1 − x2 1/2 x 2 dx + y dy + z dz x + z2 y2 + z2 2x2 + z 2 C

donde C es la curva de intersecci´ on de las superficies x = y y 2x2 + z 2 = 1 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj. (plc) R/=− 41 ˆ 44. Calcule (x2 , y 2 , z 2 )·dr, donde C es la curva intersecci´on de las superficies x2 +y 2 +z 2 = 16 C

y x2 + y 2 = 4y, z ≥ 0 recorrida en sentido horario. (plc) R/= 0 ˆ 45. Calcule F · dr , donde F(x, y, z) = (−yx, x2 + z, exy + tan(z)) y C es la curva intersecci´on C

y2 x2 + = 1 y 9x2 + 4y 2 + z 2 = 49 en el primer octante, recorrida en el sentido de las 4 9 √ contrario al de las agujas del reloj. R/=(12 + 3 13)) ˆ (x + z, −y − z, x − y) · dr , siendo C la curva de intersecci´on entre la esfera 46. Calcule C

x2 + y 2 + z 2 = 16 y el cilindro x2 + y 2 = 4x (Fc) R/=0

47. * Calcule ˆ ˆ (y −z)dx+(x−z)dy +(y −x)dz + I=

C2

C1



y  y y 3+2x sen( )−y cos( ) dx+x cos( )dy x x x

siendo C1 el segmento de recta que va de (1, 2, 2) a (−1, 0, 2) y C2 el arco de la semielipse superior 4x2 + y 2 − 16x + 12 = 0 que va de (1, 0) a (3, 0). R/=6 + 6 = 12 ˆ 48. Calcule F · dr siendo F(x, y) = (ey + yex , xey + ex ) y C es la curva descrita en cada C caso. a) C es el segmento de recta que va de (a, 0) a (−a, 0) sobre el eje x. R/=−2a b) C es la trayectoria que va de (a, 0) al punto (−a, 0) sobre la mitad superior de la elipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 . R/=−2a c) C es la circunferencia x2 + y 2 = a2 recorrida en sentido horario. R/=0 ˆ xdx + ydy + zdz donde C es el arco de la curva x = 2t, y = 2t + 1, z = t2 + t 49. Calcule x2 + y 2 + z 2 C que une los puntos P1 (0, 1, 0) y P2 (2, 3, 2). R/= 12 ln(17) ˆ 2 x dy − y 2 dx 50. Calcule donde α es la cuarta parte de la astroide x = R cos3 t, y = R sen3 t 5/3 + y 5/3 α x Fig. 2 4/3 desde el punto (R; 0) hasta el punto (0, R) (Fig 2). R/= 3πR 16 ˆ (4,4,4) xdx + ydy + zdz p 51. Calcule a lo largo de la recta que une los puntos 2 x + y√2 + z 2 − x − y + 2z (1,1,1) (1, 1, 1) y (4, 4, 4). R/=3 3 52. Determine la masa y la coordenada z del centro de masa de un alambre en forma de h´elice descrita por la curva r(t) = (cost, sen t; t) entre t = 0 y t = 2π , si la densidad es ρ(x, y, z) = √ 3 3 ) x2 + y 2 + z 2 R/m = 2 2(π + 4π3 ), z = 3(π+2π 3+4π 2 53. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x, y) = (y 2 , x) al mover una  part´ıcula desde (0, 0) hasta (2, 0) a lo largo de la curva C descrita por el conjunto S = (x, y) ∈ R2 : y = 1 − |1 − x|} Fig 3. R/=− 13 42

Fig. 3

54. Halle la masa del arco de la curva C : x = et cos t, y = et sen t, z = et desde el punto correspondiente a t = 0 hasta un punto cualquiera t = t0 , si la densidad del arco es inversamente proporcional al cuadrado del radio polar, y en el punto (1, 0, 1) la densidad √ es igual a 1. R/= kp = 2 m = 3(1 − e−t0 55. Halle el momento de inercia sobre el eje y de un alambre semicircular que tiene la forma x2 + y 2 = 1 , y ≥ 0, si su densidad es ρ(x, y) = |x| + |y|. Determine tambi´en la masa y el centro de masa del alambre. R/ (plc) Iy = 2, m = 4, (x, y) = (0, 2+π 8 )   56. Sea F(x, y) = yexy − x12 y , xexy − xy1 2 un campo de fuerzas Halle el trabajo que realiza F al mover una part´ıcula desde el punto (1, 1) hasta el punto (2, 2) siguiendo la trayectoria compuesta por C1 ∪ C2 ∪ C3 , donde C1 : es la semicircunferencia (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1, y ≥ 1 C2 : es la recta que une (3, 1) con (4, 4) C3 : es la recta que une (4, 4) con (2, 2)

(Fc) R/=e4 − e −

3 4

57. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z) = (y, z, x) al desplazar una part´ıcula a lo largo de la curva C, intersecci´ on de las superficies z = xy y x2 + y 2 = 1, recorrida en el sentido que vista desde encima del plano xy, es el contrario al de las agujas del reloj. (plc) R/=−π 58. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z) = (2x − y + z, x + y − z 2 , 3x − 2y + 4z) (y − 3)2 (x − 2)2 + = 1, recorrida en al desplazar una part´ıcula alrededor de la elipse 4 9 el sentido que, vista desde encima del plano, es el contrario al de las agujas del reloj. (plc3) R/=12π Rotacional y Divergencia ˛ y x 59. (muy interesante) Sea F = − 2 i+ 2 j. a) Calcule ∇ × F b) Eval´ ue F · dr x + y2 x + y2 alrededor de cualquier ˛ trayectoria cerrada, que encierre el origen y que no encierre el origen. ∇ × F = 0 y

F · dr = 2π, 0

60. Dada φ = 6x3 y 2 z. Encuentre ∇ · ∇φ o bien ∇2 φ o div (∇φ). 61. Demuestre que ∇2 ( 1r ) = 0 y despues demuestre que div(

r )=0 r3

62. Determine la constante a de modo que div(F) = 0 donde F = (−4x−6y +3z)i+(−2x+ y − 5z)j + (5x + 6y + az)k. R/=a = 3 63. Suponga que A = x2 z 2 i−2y 2 z 2 j+xy 2 zk. Encuentre divA, rot A, en el punto P (1, −1, 1) y halle rot (rot A). R/=divA(1, −1, 1) = 7, rot A(1, −1, 1) = 2i + j y rot (rot A) = (y 2 − 2x2 )i + (2xy + 4y 2 )j + (2xz − 8yz)k. , 64. Sea F = P i + Qj + Rk y r = xi + yj + zk Suponga que ∇ × F = 0. Eval´ ue ∇ · (F × r). R=∇ · (F × r) = r · rot F = 0 65. Supongamos que ψ tiene segundas derivadas parciales. Demuestre que rot ∇ψ = 0. 66. Sea F es un campo vectorial con segundas derivadas parciales continuas Demuestre: a) Si F es conservativo, entonces rot F = 0. b) div(rot F) = 0 67. Encuentre rot (rf (r)), donde f (r) es diferenciable. 68. Suponga que v = w × r. Demuestre que rot v = 2w, donde w es un vector constante 43

69. a) Encuentre constantes a, b y c, de modo que F = (−4x − 3y + az)i + (bx + 3y + 5z)j + (4x + cy + 3z)k sea irrotacional. a = 4, b = −3 y c = 5. b) Demuestre que F es conservativo y halle la funci´on potencial de F. 70. Demuestre que si ψ(x, y, z) es cualquier soluci´ on de la ecuaci´ on de Laplace, entonces ψ es un vector que es tanto solenoidal (div∇ψ = 0) como irrotacional (rot ∇ψ = 0) 2 3 71. Suponga que ψ = 2xyz 2 , F = xyi − zj + x2 k y C ˆ es la curva ˆ x = t , y = 2t y z = t , 8 de t = 0 a t = 1. Eval´ ue las integrales de l´ınea i + 54 j + k, ψdr y F × dr. R: 11 C

9 − 10 i − 23 j + 57 k EJERCICIOS DE CURVAS (APENDICE)

C

Funciones vectoriales

72. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales √ f (t) = (t2 , ln(t − 2), 4 − t) R/ (2, 4)  1 et g(t) = ( t+2 , ln(1 − t) R/ (−3, −2) ∪ (−2, 1) , √9−t 2 73. Trace la imagen de las siguientes funciones a) f (t) = (1 + t3 , t2 ) b) g(t) = (4 cos t, 5 sen t) c) r(t) = (cos t, sen t, t), con t ≥ 0. 74. Halle una funci´on vectorial que represente a las siguientes curvas a) 9x2 + 4y 2 = 36 b) y = x2 − 4x + 7 75. Halle una funci´on vectorial que represente a la curva de intersecci´on de las siguientes superficies. a) x2 + y 2 = 16 y z = xy 2

2

R/ : f (t) = (4 cos t, 4 sen t, 16 cos t sen t), 2

b) z = 16x + 9y y y = x ,

2

2

4

R/ : g(t) = (t, t , 16t + 9t ),

t∈R

t∈R

76. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican √ a) f (t) = ( 4 − t2 , ln(3 − t), et−3 ), con t ∈ [−2, 3)  !  π cos(2πt) 2 arc sen t   , si t ∈ (0, 1) , t sen( ), 3t t t b) f (t) =      π , t − 1, ln t + 1 , si t ∈ [1, 2]  3 !    sen t, t , 2t , si t ∈ [0, 1) 1−t c) f (t) =      − 1, 0, 3 , si t ∈ [1, 2]  !  arc sen t 1  2  4t + 5, , sen t sen( ) , si t 6= 0 t t d ) f (t) =      5, 0, 0 , si t = 0 ! t2 − 4 et−2 − 1 , si t = 2 e) f (t) = , |t − 3| − 1 t 44

77. La imagen de la funci´on vectorial r(t) = (et−1 , e−2(t−1) ) describe la trayectoria de una part´ıcula que se mueve en el plano xy. a) Trace la gr´ afica de la trayectoria de la part´ıcula. (R: y =

1 x2 ,

b) Dibuje los vectores velocidad y aceleraci´on para t = 1.

x ≥ 0)

c) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el punto A(e, e−2 ).   on vectorial de la 78. Dada la funci´on vectorial r(t) = 1 − 2t, t2 ; 2e2(t−1) . Halle la ecuaci´ recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r′ (t) es paralelo al vector r(t). R/: l(x, y, z) = (−1, 1, 2) − s(−2, 2, 4).

79. Sean las curvas C1 y C2 dadas por las funciones vectoriales C1 : f (t) =

 1 − t2 2

, 2t + 1, 1 + e2−t



C2 : g(t) =

 2t − 1 2

, 4 − t, 3 − et+1



a) Halle el punto de intersecci´ on de las curvas C1 y C2 R/: f (2) = g(−1) = (− 32 , 5, 2) b) Calcule la medida del ´ angulo forman las curvas C1 y C2 en su punto de  que √  3 intersecci´ on. R/: θ = arc cos − 3

80. La fuerza que act´ ua sobre una part´ıcula de masa m = 2 en el plano est´ a dada en funci´on del tiempo t por la ecuaci´ on   F(t) = 2(cos t − t sen t), 2(sen t + t cos t)

Cuando t = 0 la posici´on y la velocidad de la part´ıcula son f (0) = (2, 0) y v(0) = (1, 0). Halle la velocidad y la posici´on de la part´ıcula como funciones de t. Ayuda: Ley de R: f (t) = (t sen t + cos t + t + 1, −t cos t + sent) Newton, F(t) = ma(t).

81. Una part´ıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, 0, 0) con velocidad inicial v(0) = i − j + k. Su aceleraci´on es a(t) = (2t, 3t2 , 6t). Determine la funci´on velocidad  y la posici´on de la  3 t4 t 3 part´ıcula en cualquier instante t. R: f (t) = 3 + t + 2, 4 − t, t + t   x2 + y 2 + z 2 = R 2 R>0 82. Halle una parametrizaci´ on para la curva C :  z=a 0 0). R/= 3πa 4 15. Considere la superficie z = 2 − x2 − y, donde su dominio de definici´on es el tri´angulo √ D limitado por las rectas x = 0, y = 1, y = x. Halle el ´area de la superficie. R/= 12 ln( 2 + √ √ 3) + 62 16. Determine el ´area de una superficie esf´erica de radio a R/=4πa2 17. * Calcule el ´area del pedazo de cilindro x2 + y 2 = 8y que se encuentra dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 64. R/=256 Integral de Superficie ¨ p 18. Calcule x2 zdS donde S es la superficie dada por S : z = 1 − x2 − y 2 R/= π4 S ¨ 19. Calcule (x2 + y 2 )dS donde S es la superficie del cono S : z 2 = 3(x2 + y 2 ) entre z = 0 y S

z = 3 R/=9π ¨ 20. Calcule (xz)dS donde S es la parte del cilindro S : x2 + y 2 = 1 entre los planos z = 0 y S

z = x + 2 R/=2π Teorema divergencia 21. Verifique que el teorema de divergencia para F = 4xi − 2y 2 j + z 2 k tomada sobre la regi´ on limitada por x2 + y 2 = 4, z = 0 y z = 3. R/=84π ¨ 22. Eval´ ue r · ndS, donde S es una superficie cerrada. R/=3V ol(S) S

48

23. Usando el teorema de divergencia calcular ¨ I= xdydz + ydzdx + 2zdxdy, S

donde S es una superficie que consiste en la superficie del paraboloide x2 + y 2 = 1 − z, 0 < z < 1, y el disco x2 + y 2 < 1, z = 0. R/=2π 24. Usando el teorema de divergencia calcular ¨ x3 dydz + x2 ydzdx + x2 zdxdy, I= S

donde S es la superficie cerrada que consiste en el cilindro x2 + y 2 = a2 , 0 < z < b, y los discos circulares x2 + y 2 < a2 , z = 0 y x2 + y 2 < a2 , z = b. R/= 54 πa4 b 25. Sea D la regi´ on s´ olida limitada o ¨ acotada por los planos coordenados y el plano 2x+2y+z = 6 y sea F = xi + y 2 j + zk. Hallar

S

F · nds donde S es la superficie de D. R/= 63 2

26. Sea D el s´ o¨ lido limitado o acotado por el cilindro x2 + y 2 = 4 el plano x + z = 6 y el plano xy. Hallar F · n donde S es la superficie de D y F = (x2 + sin z)i + (xy + cos z)j + ey k R/=−12π

S

27. Demuestre que a f ∇g y g∇f ) 28. Demuestre que constante )

˚ ˚

V

(f ∇2 g − g∇2 f )dV =

V

∇f dV =

¨

¨

S

(f ∇g − g∇f ) · ndS. (ayuda: Aplique T. Div

f n dS (ayuda: Aplique T. Div a f C donde C un vector

S

29. (GUAUUU) Sea S una superificie cerrada, y sea que r denote al vector de posici´on de cualquier punto (x, y, z) medido desde un origen O. Demuestre que  ¨  0 si O ∈ /S n·r dS = 3  4π si O ∈ S S r

30. Sea D la regi´ on limitada o acotada por la esfera ρ = 2 Hallar el flujo dirigido hacia afuera del campo vectorial F = 2x3 i + 2y 3 j + 2z 3 k a trav´es de la esfera. R/= 768 5 π

31. Sea S la superficie de la regi´ on¨T limitada por los planos z = 0, y = 0, y = 2, y el cilindro 2 parab´olico z = 1 − x . Calcule F · ndS donde F = (x + cos y)i + (y + sen z)j + (z + ex )k. R/=8

S

32. () Sea S la superficie del cilindro s´ olido D limitado por los planos z = 0 y z = 3, y el cilindro x2 + y 2 = 4. Sea F = (x2 + y 2 + z 2 )(xi + yj + zk), Calcule el flujo hacia el exterior. R/=300π 33. Suponga que la regi´ on D en el espacio est´ a limitada por la superficie S suave y cerrada, con una parametrizaci´ on que proporciona el vector exterior unitario normal a S. Demuestre que ¨ 1 xdydz + ydxdz + zdxdy V ol(D) = 3 S

49

Stokes: Comparaci´ on gr´ afica del teorema de Green y el teorema de Stokes.

34. Sea C el tri´angulo ˆ orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6 como se muestra en la Figura. Evaluar

C

F · dr donde F(x, y, z) = −y 2 i + zj + xk. R/=−9

35. Verifique que el teorema de Stokes para F = (2x − y)i − yz 2 j − y 2 zk, donde S es la mitad superior de la superficie de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1, y C es su frontera. Sea R la proyecci´ on de S sobre el plano xy. R/=π ˛ 36. Demostrar que si r es un vector de posici´on, entonces dr = 0 (Ayuda: Aplique TS a C

F = φa donde a es constante)

37. Un l´ıquido es agitado en un recipiente cil´ındrico de radio 2, de manera que su movimiento se describe por el campo de velocidad p p F(x, y, z) = −y x2 + y 2 i + x x2 + y 2 j ¨ como se muestra en la figura. Hallar (rot F) · n donde S es la superficie superior del recipiente cil´ındrico. R/=16π

S

38. Sea S la parte del paraboloide z = 4 − x2 − y 2 que permanece sobre el plano xy, orientado hacia arriba. Sea C su curva frontera en el plano xy orientada en el sentido contrario al de ¨

(rot F) · n donde F = 2zi + xj + y 2 k. R/=4π las manecillas del reloj. Calcule S ˛ F · Tds donde C es la elipse en la que el plano z = y + 3 interseca al cilindro 39. Evalu´e C

x2 + y 2 = 1. Oriente la elipse en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como y considere a F(x, y, z) = 3zi + 5xj − 2yk. R/=2π

40. Evalu´e 2

¨

(∇ × F) · ndS donde F = 3zi + 5xj − 3yk y S es la parte de la superficie parab´olica

S 2

z = x + y que se encuentra bajo el plano z = 4 y cuya orientaci´ on est´ a dada por el vector unitario superior normal. R/=20π 41. () Determinar la circulaci´on del campo Fp= (x2 − y)i + 4zj + x2 k alrededor de la curva C en que el plano z = 2 corta al cono z = x2 + y 2 en sentido contrario a las manecillas del reloj. R/=4π 42. Busquen m´as ejercicios Buen grupo chic@s

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