• Author / Uploaded
• MigueRiosC

Citation preview

Universidad José Carlos Mariátegui 4.- Hallar el área de la superficie limitada por las curvas

y=4−x2 , y=4−4 x 2

4−x =4−4 x 4−4=x2 −4 x 0=x2−4 x x ( x−4 ) =0 x=0 x=4

4

A=∫ [ 4−x 2−(4−4 x ) ] 0

4

A=∫ [ 4−x 2−4 +4 x ] 0

4

A=∫ [ 4 x−x 2 ] 0

4

[

2

A=∫ 2 x − 0

[

A= [ 2 ( 4 ) −2( 0)2 ]− 2

[

A= 32−

Calculo II

3

x 3

]

( 4)3 (0)3 − 3 3

64 3

]

Lic. Elizabeth Ramos

]

2

3

y =x , y =4−4 x

Universidad José Carlos Mariátegui A=

[

96−64 3

A=

]

32 2 u 3

14.- Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas

y=x 2 , y =

x 2=

x2 2

y la recta

y=2 x

x2 2

2 x 2=x 2 2

2

2 x −x =0 x=0

2

x =2 x 2 2

x =4 x x 2−4 x =0 x ( x−4 ) =0 x=0 x=4

Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui

[

4

2

4

A=∫ 2 x + ∫ x 2−∫ 2

x 2+¿

[

0

2

0 4

x3 x3 − ∫3 ∫6 0 0

x2 3

]

]

4

A=∫ ¿ 2

A= [ ( 4 )2−( 2 )2 ]+

A=12+

[

[ ( )]

8 64 − 3 6

(2) ( 4) − 3 6

]

A=12−8 A=4 u2 24.- Hallar el área de la figura limitada por la línea en donde

y 2=x 2−x 4 y=± √ x2 −x 4

y 2=x 2−x 4 .

Intersección con el eje Y=0 x 2−x 4=0 x 2 ( 1−x 2 ) =0 x 2(x 2−1) =0

Hallando el dominio 2

4

x −x ≥0 x 2 ( 1−x 2 ) ≥ 0

Calculo II

x 2(x −1)( x +1)=0 x=0 x=1 x=−1

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui x 2 ( x 2−1 ) ≤ 0 x 2 ( x−1 ) ( x+1 ) ≤ 0

2 yy ´ =2 x −4 x 3

y´=

2 x−4 x 3 2 √ x 2−x 4 2

y ´ =2 x (1−2 x ) y ´ =2 x (1−√ 2 x )(1+ √ 2 x ) x=

1 −1 x= √2 √ 2

1

A=4 ∫ √ x 2−x 4 dx 0

1

A=4 ∫ x √1−x 2 dx 0

Simetria con: Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui El eje X

En el eje Y

E(x,y)=E(x,-y)

E(x,y)=E(-x,y)

y 2=x 2−x 4 , y 2=x 2−x 4

Del Origen E(x, y)=E(-x,-y)

2

u=1−x A=

4 √ u du −2 ∫

du=−2 x dx

A= (−2 )

2 u3 /2 3

1

−du −4 = x dx A= (1− x2 )3/ 2 ∫ 2 3 0 A=

−4 [ 0−(1)] 3

4 2 A= u 3

3

2

3

2

34.- Hallar el área limitada por las curvas y=x +3 x +2, y=x +6 x −25

Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui

Igualando:

x 3+3 x 2 +2=x 3 +6 x 2−25 0=3 x 2−27 0=3( x 2−9) x=3 x=−3

3

A=∫ [ x3 +3 x 2+ 2−( x 3 +6 x 2−25 ) ] −3

3

A=∫ [−3 x 2+ 27 ] −3

3

A=∫ −3

[

−3 x 3 +27 x 3

]

A=2 [ (−3 )3 +25(3)]

Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui A=2 [ 54 ] A=108 u2 44.- Hallar el área que encierra la curva

9 a y 2=x ( x−3 a)2

9 a y 2=x ( x−3 a)2 x ( x−3 a )2=0 x=0 x−3 a=0 x=3 a

−3 a x¿ ¿ ¿2 x¿ y 2=¿ x=a y 2=

y 2=

2

a(−2 a) 9a

4 a3 4 a2 = 9a 9

4 2 y 2= a2 =± a 9 3

Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui

64.- Calcular el área de la región comprendida por las curvas

x 2+ y 2 =25,3 y 2=16 x , 3 x 2=18 y .

x 2+ y 2 =25

….. 1

3 y 2=16 x

……….

2

3 x2 =18 y … … 3

y=

De 3

x2 6

En 2 2 2

( )

x 3 =16 x 6 3 x4 =16 x 36

Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui x4 12 =16x x 4=192 x x ( x 3−192 ) =0 x=0 x=4 √3 3

1y2

x 2+

1y3

16 x =256 x2 + y 2−25=0 3 y=√ 25−x2

3 x2 +16 x−75=0 x=

−16 ± 34 6

3

A=∫ 0

3

A=∫ 0

4.12

(

4 x2 √ x− dx+ ∫ 6 √3 3

(

4 (2) ( x)3 /2 x3 x 25 x x3 − +∫ 25−x2 + arcsen − √ 2 5 18 √ 3 3 3 (6) 3 5

)

Calculo II

(

2

√25−x 2− x6 4.12

) (

) dx () )

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui

(

4.12

) [(

x3 +∫ √ x − 18 3 √3 3 8

3

)(

3

A=∫ ¿ 0

74.- Calcular el área de la región R limitada por las curvas

y=x 4 −2| x|+ 3,

x2 − y +3=0 2

y=x 2−2|x|+3 x ≥ 0 x< 0 2

2

y=x −2 x+ 3 2

y=x +2 x +2 2

y=x −2 x+ 1+ 2 y =x +2 x+ 1+ 2 y=( x−1 )2 +2 y=( x +1 )2+ 2 v (1,2) v (−1,2) x 2−2 x +3=

x2 x2 + 3 x 2 +2 x+2= +3 2 2

x 2−4 x =0

x 2+ 4 x=0

x ( x−4 ) =0 x ( x +4 )=0 x=0 x=4 x=0 x=−4

Calculo II

3

( ) )]

( 4.12 ) 4.12 25 4.12 3 25 3 27 25−(4.12)2 + arcsen − −¿ ( 4 ) + arcsen − √ 5 2 5 18 5 2 5 18

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui

4

A=2∫ 0

4

A=2∫ 0

4

A=2∫ 0

4

A=2∫ 0

A=2

[

x2 +3−(x 2−2 x+ 3) dx 2

]

[

x2 +3−x2 +2 x−3 dx 2

[

−x2 +2 x 2

[

−x3 2 x 2 + 6 2

]

( 326 )= 646 u

Calculo II

] ]

2

Lic. Elizabeth Ramos

Universidad José Carlos Mariátegui 84.- Hallar el área de la región comprendida entre la línea. y las rectas

x=0, x=3

2

3

A=∫ x 2 dx+∫ (−x +6 ) dx 0

2

2

A=∫ 0

3

3

2

x x +∫ 6 x− 3 2 2

[( )

8 9 A= + 18− −( 12−2 ) 3 2 8 27 A= + −10 3 2

(

Calculo II

)

Lic. Elizabeth Ramos

]

f ( x )=

{

2

x ,∧x ≤ 0 −x +6,∧x> 0

Universidad José Carlos Mariátegui A=

97−60 37 2 = u 6 6

Calculo II

Lic. Elizabeth Ramos