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• Arturo Zapata Gutiérrez

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pagina 469  482

3.2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada por

2y  6  x y  0 x  4

alrededor del eje X.

Rpta.

52 3 u 3

2. Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región R limitada por la curva

y  e x sene x x  0 x  ln    4

alrededor del eje X.

Rpta. cos1 

2 2

3. Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región plana definida por x

2

 y  20 y 2  8 x y  0

alrededor del eje X.

Rpta.

 3

80



5  64 u 3

4. Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar alrededor de la 2 recta y  1 la región comprendida entre las curvas y  x

y x. Rpta.

29 30

2 5. Hallar el volumen que genera la superficie limitada por la curva y  4  x

y0

al girar alrededor del eje X

Rpta.

512 3 u 15

6. Hallar el volumen del solido generado al girar sobre el eje X, la región limitada por las curvas y 

 x2 1

y   x2  4 Rpta.

28 3 u 3

7. Hallar el volumen del solido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura acotada por las curvas

 x   a

2

3

 y 2   1 b

Rpta.

4a 2b 5

8. Hallar el volumen del solido obtenido al rotar la región limitada por el primer lazo de la curva y  e  x sen x , y el eje positivo, alrededor de la recta y  0 Rpta.



1  e u 5

9. Hallar el volumen que genera la superficie limitada por y 2  x 3

2

3

y0

x  0 x  4 al girar alrededor del eje X.

Rpta. 64u 3 10. Dada la región plana R en el primer cuadrante limitada por 3 y  4 x  6 , 4 y  3x  8 , x 2   y  2   25 hallar el volumen, si se rota R alrededor 2

del eje X.

Rpta.

49 3 u 20

11. Hallar el volumen del solido engendrado haciendo girar alrededor del eje Y, el arco de la parábola y 2  2 px comprendido entre el origen y el punto x1 , y1  Rpta.

x12 y1 5

u3

12. A la parábola y 2  12 x en el punto cuya abscisa es 6, se ha trazado una tangente. Calcular el volumen del solido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada por la tangente trazada, el eje X y la parábola

Rpta. 72u 3 13. calcular el volumen generado por la rotación de la superficie encerrada por y 2  4 x , x  y alrededor del eje X. Rpta.

32 3 u 3

14. Hallar el volumen generado por el área menor comprendida entre las curvas x 2  y 2  25 , 3x 2  16 y al girar alrededor del eje X.

Rpta.

1072 3 u 15

15. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la superficie comprendida entre las parábolas y  x 2 , y 

x

Rpta. 3 u 3 10

16. calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las curvas x  y 2  3 y  6 , x  y  3 alrededor de la recta y  3 . Rpta.

40 3 u 3

17. calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las curvas

 y  42  4  4 x

, y  2 x  2 alrededor de la recta y  1 .

Rpta. 108u 3 18. calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por y 2  4(2  x) , x  0 alrededor de la recta y  4 . Rpta.

128 2 3 u 3

19. calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por y  arccosx , y  arcsenx , x  1 alrededor de la recta y  1 . Rpta. (16   2 )

 4

u3

20. hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la superficie limitada por la catenaria y  a cosh x  , el eje X y las rectas x  a a

Rpta. (16   2 )

 4

u3

21. hallar el volumen engendrado por el área comprendida entre las curvas x  9 y y al girar alrededor del eje X. Rpta.

2187 3 u 10

22. hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la curva

y  sen 2 x , en el intervalo x  0 hasta x   3 2 3 u Rpta. 8 23. La región limitada por las curvas x y  1 , en el intervalo 2

gira alrededor de la curva

y  1 0

2

y ( x 2  3)  4

hallar el volumen del solido que se genera.

 16 3 2   ln 9 u 3 3  27 

Rpta. 

24. Encuentren el volumen del solido generado por la rotación alrededor del eje X de la región limitada por las curvas

y  ex , x  0 , x 1 , y  0 e2 1 3 u Rpta. 2

25. Calcular el volumen que genera la elipse

x2 y2   1 , al girar alrededor del 4 3

eje X.

Rpta. 26. Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la forma de una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R=1m, y desea encontrar el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un problema de integral definida por el método del anillo

Rpta. V 

4 3 u 3

27. Hallar en volumen, del solido engendrado por la rotación de la región entre las curvas

y  tan x , x 

 , y  0 , rota alrededor del eje X. 3  

Rpta.  3 

28. Calcular el volumen del solido engendrado por la rotación Xy

0 x

 2

 3 u 3

y  sen 2 x , el eje

, y rota alrededor del eje X.

  3 Rpta.   u 4 2

29. hallar el volumen del cuerpo generado por la rotación alrededor del eje X, de la superficie limitada por el eje X y la parábola

y  ax  x 2 , a  0 . a 5 3 u Rpta. 30

30. Determina el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar los Cisoide de Diocles

a 2

y 2 a  x   x 3 , alrededor del eje X entre x  0 hasta x   

2 3 u 3

Rpta. a  ln 2  3

31. Hallar el volumen del toro de revolución engendrado por la rotación del circuito

x 2   y  b   a 2 , alrededor del eje X con b  a . 2

Rpta. 2a b u 2

32. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por

2

3

y  x2 ,

y  4 x  x 2 , alrededor de la recta y  6 . Rpta.

64 3 u 3

33. Encuentra el volumen del solido que se genera si la región acotada por la curva recta

y  sen 2 x , y el eje de X de x  0 hasta x   , gira alrededor de la y 1 5 2 3 u Rpta. 8

34. Calcular el volumen del solido engendrado al hacer girarla región limitada por la grafica

y  arcsenx , y  0 , x  1 , alrededor del eje Y Rpta.

35. Hallar el volumen generado al hacer girar la curva eje de Y. desde

 (  2) 4

u3

y  x 2  1 , alrededor del

y  1 hasta y  5 . Rpta. 8u

3

36. Encuentra el volumen del solido al girar la región acotada por la curva

y  sen 2 x , y el eje de X de x  0 hasta x   , gira alrededor de la recta 64 x4 Rpta. u 5

3

37. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje Y, la parte de la parábola

y 2  4ax , que intercepta la recta x  a Rpta.

16 3 3 au 5

38. Calcular el volumen engendrado por el área menor comprendida entre el círculo

x 2  y 2  25 , y la recta x  4

al girar alrededor de la recta

 

Rpta. 2150 arcsen

x  6,

3   90 u 3 5 

39. encuentra el volumen del solido generado al girar sobre el eje Y, la región limitada por la curva

y  ( x  1) 2 , el eje X y la recta x  3 Rpta.

7 3 u 5

40. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje Y entre las curvas

y  x3 , y 2  2  x , x  0 . Rpta.

32 2  34 3 u 15

41. Hallar el volumen del cono elíptico recto cuyas bases es una elipse de semi – ejes a y b y cuyas alturas es igual a h.

Rpta.

abh 3 u 3

42. Calcular el volumen del solido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor de la recta ,

x  1 la región limitada por los gráficos de y  x 2  2x  3

y 1  0, x  2  0 , x  4  0 Rpta. 17u

3

43. Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por

a 2 y 2  b 2 x 2  a 2b 2 , x  a alrededor del eje Y.





4a 2b 8  1  3 u Rpta. 3

44. Hallar el volumen del conoide elíptico cuyas bases es una elipse

x 2  2 y 2  12 , y cuya altura es 10. Rpta. 20 2u

3

45. Calcular el volumen del solido generado por la rotación, alrededor del eje Y, de 2

la grafica acotada por la curva

2

x 3 y 3 a

2

3

Rpta.

32 3 3 au 105

46. Encuentra el volumen del solido generado por la rotación del eje Y, de la región exterior de la curva

y  x2

, y entre las rectas

y  2x 1 , y  x  2 Rpta.

7 3 u 2

47. calcular el volumen del solido engendrado por la rotación de la región entre

x 2  y 2  9 y 4 x 2  9 y 2  36

(región en el primer cuadrante) alrededor del eje Y.

Rpta. 6u

3

48. calcular el volumen del solido engendrado por la rotación de la región entre las curvas igual a

 2

y  cos x , y  0 , x  0

donde x es mayo igual a cero y menor

, rota alrededor del eje Y.

Rpta.

   2 u 3

49. Hallar el volumen del solido de revolución generado al hacer girar alrededor 2 x  5 , la región acotada por la curva y  x  6 x  13 , y la recta x y3 0

de la recta

Rpta.

153 3 u 2

50. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por

y   x 2  3x  6

, alrededor de la recta

x  3. Rpta.

256 3 u 3

51. El segmento de la recta que une el origen de las coordenadas con el punto (a, b) gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen del cono obtenido.

a 2b 3 u Rpta. 3 52. hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por

x  y  7  0 alrededor de la recta x  4

x  9  y2

.

Rpta.

53. hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por

y  3x

alrededor de la recta

,

153 3 u 5

x2  4  y

x 1 . Rpta.

625 3 u 6

y  cos x , y  senx entre x  0 y   x es rotada alrededor del eje x  ¿Cuál es el volumen V del solido 2 4

54. El área acotada por las curvas

generado).



2 Rpta. 2   1 



2 3 u 2 

y  cos x , y  senx entre x  0 y   x es rotada alrededor del eje x  ¿Cuál es el volumen V del solido 2 4

55. El área acotada por las curvas

generado).



2 Rpta. 2   1 



2 3 u 2 

,