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CÁLCULO FINANCIERO CPCC Santos Alberto Farfán Peña

PROESAD

Título : CÁLCULO

FINANCIERO

Autor: CPCC Santos Alberto Farfán Peña

Diseño interior: Ander Sánchez Aguinaga Diseño de tapa: Edward Alarcón Rojas

El contenido de esta publicación (texto, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún medio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotocopia) sin la autorización escrita del autor. Universidad Peruana Unión - Facultad de Ciencias Empresariales Centro de Producción de Materiales Académicos CEPMA-PROESAD Sede Central - UPeU Carretera Central km 19 Ñaña - Lima / Tel.: (01) 618-6336 / 618-6300 / Anexo: 3084 www.upeu.edu.pe e-mail: [email protected] http://proesad.upeu.edu.pe Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Editorial Imprenta Unión, Centro de Aplicación de la Universidad Peruana Unión Km 19 Carretera Central, Ñaña, Lima - Perú Tel.: 618-6301, Telefax: 618-6339 JOB 17138-14 UNIÓN® e-mail: [email protected] Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2014-03660 IMPRESO EN EL PERÚ PRINTED IN PERU

Presentación La Universidad Peruana Unión es una institución que viene desarrollando una serie de acciones, con el propósito de alcanzar altos niveles en la gestión educativa en las diversas carreras que ofrece. Dentro de este contexto, el módulo de Cálculo Financiero brinda un conjunto de conocimientos teórico – prácticos en materia de calcular el valor del dinero en términos del tiempo, que les permitan a los estudiantes utilizar una serie de procedimientos para gestionar eficientemente los productos que el mercado de dinero y valores ofrece a las empresas. El módulo de Cálculo Financiero ha sido diseñado bajo la modalidad de 3 grandes unidades y 15 sesiones de aprendizaje. En cada unidad, se hallará el resultado de aprendizaje que debe desarrollar el estudiante; el tema tratado, el cual será debidamente explicado. Por último, se encontrará un sistema de autoevaluación en donde el estudiante plasme lo aprendido. El módulo es eminentemente práctico y tiene como objetivo fundamental explicar y aplicar, adecuadamente, los diversos procedimientos y cálculos del valor del dinero en las empresas. En primer lugar, se inicia con una reseña de la importancia de lo que el mercado de dinero ofrece, en el Perú, para apoyar el desarrollo de las empresas. Por último, se concluye con casos de estudio que apuntalan la parte teórica. CPCC Santos Alberto Farfán Peña

Índice UNIDAD I

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

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Sesión N.º 1: Conceptos básicos................................................................................... 15 1.1. Los objetivos financieros de una empresa........................................................ 15 1.2. El sistema de mercado............................................................................................. 15 1.3. Propietarios y administradores.......................................................................... 16 1.4. El papel de las finanzas.......................................................................................... 17 Actividades........................................................................................................................... 17 Sesión N.º 2: ¿cómo varía el valor del dinero en el tiempo y cómo se opera con una tasa de interés simple?................................................................................. 19 2.1. Introducción................................................................................................................ 19 2.2. Regla de interés......................................................................................................... 19 2.3. Clases de interés....................................................................................................... 20 2.4. El interés simple......................................................................................................... 20 2.5. Características.......................................................................................................... 20 2.6. Cálculo a partir del interés simple.................................................................... 21 2.7. El monto........................................................................................................................ 21 Actividades........................................................................................................................... 22 Sesión N.º 3: ¿Cómo se opera con una TASA de interés compuesta?.................... 23 3.1. Introducción................................................................................................................ 23 3.2. Características.......................................................................................................... 23 3.3. Elementos..................................................................................................................... 23 3.4. Capitalización anual................................................................................................ 24 3.5. Casos especiales......................................................................................................... 26 3.6. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente........................................... 27 Actividades........................................................................................................................... 30 Sesión N.° 4: ¿Cómo calcular eL descuento bancario y comercial?................... 31 4.1. El descuento................................................................................................................. 31 ACTIVIDADES........................................................................................................................... 35 AUTOEVALUACIón................................................................................................................. 36

UNIDAD II

ANUALIDADES

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Sesión N.º 5: ¿Cómo calcular el número y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?............................................................ 41 5.1. Clases.............................................................................................................................. 41 5.2. Monto de una anualidad ordinaria.................................................................. 42

5.3. Cálculo de renta de una anualidad ordinaria.............................................. 42 5.4. Cálculo del plazo (N)............................................................................................... 43 5.5. Cálculo de la tasa DE INTERÉS................................................................................ 43 Actividades........................................................................................................................... 44 Sesión N.º 6: Anualidades anticipadas...................................................................... 45 6.1. Anualidades anticipadas......................................................................................... 45 6.2. Calendario de pagos, cuadro de amortización y tabla de acumulaciÓn....... 46 Actividades........................................................................................................................... 49 Sesión N.º 7: Anualidades perpetuas o indefinidas................................................ 51 7.1. nRentas perpetuas...................................................................................................... 51 7.2. ¿Cómo calcular tasas, valor actual y valor final?................................... 52 Actividades........................................................................................................................... 54 Sesión N.° 8: Anualidades diferidas........................................................................... 55 8.1. Anualidades diferidas.............................................................................................. 55 Actividades........................................................................................................................... 57 Sesión N.° 9: Bonos y acciones..................................................................................... 59 9.1. Bonos............................................................................................................................... 59 9.2. Acciones......................................................................................................................... 59 Actividades........................................................................................................................... 61 Autoevaluación................................................................................................................. 62 Sesión N.º 10: depreciación Y AMORTIZACIONES......................................................... 65 10.1. ¿Cómo calcular la cuota de depreciación?.................................................... 67 10.2. Métodos....................................................................................................................... 67 Actividades........................................................................................................................... 69 Sesión N.º 11: DEPRECIACIONES BASADO EN EL USO....................................................... 71 11.1. ¿Cómo calcular las cuotas de depreciación?................................................ 71 11.2. Métodos de acuerdo al uso (USO)...................................................................... 71 Actividades........................................................................................................................... 73 Autoevaluación ................................................................................................................ 74 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................... 76

SUMILLA La asignatura de Cálculo Financiero pertenece al área operativa de las finanzas. Brinda un conjunto de fórmulas y procedimientos, con el objetivo de ser una herramienta útil y ágil que permita conocer con exactitud el valor del dinero en términos del tiempo. Esta asignatura es eminentemente teórico-práctica. En primer lugar, se analiza la importancia del cálculo financiero en el mundo de los negocios. Continúa con el estudio de los intereses simple y compuesto. Luego, se estudian las anualidades en todas sus variedades. Por último, se concluye con las depreciaciones y amortizaciones.

COMPETENCIA Al término de la asignatura, el estudiante calcula cualquier operación financiera en el mercado de dinero y mercado de valores, dando un costo real al dinero.

UNIDAD I INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Sesión N.º 1

Conceptos básicos

Sesión N.º 2

¿Cómo varía el valor del dinero en el tiempo y cómo se opera con una tasa de interés simple?

Sesión N.º 3

¿Cómo se opera con una tasa de interés compuesta?

Sesión N.º 4

¿Cómo calcular en descuento bancario y comercial?

RESULTADO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el estudiante explica y calcula la importancia del cálculo financiero en el mundo de los negocios, señalando el costo del dinero de manera simple y compuesta.

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Sesión Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

Conceptos básicos ¿CUÁL ES LA FUNCIÓN FINANCIERA? 1.1 Los objetivos financieros de una empresa El principal objetivo financiero de una empresa es incrementar al máximo la riqueza de sus propietarios. Esto significa incrementar al máximo las utilidades, con excepción de que medir la riqueza toma en cuenta la oportunidad de las utilidades. En consecuencia, las compañías tratan de obtener utilidades y evitar las pérdidas. El estado de pérdidas y ganancias refleja el éxito o el fracaso al respecto. ¿Por qué es posible obtener utilidades por encima de una tasa normal de interés sobre el capital invertido? En esencia, por ignorancia. Si los que negocian en los mercados (tanto compradores como vendedores) supieran todo, los precios de los productos reflejarían por completo las variaciones de los consumidores. Esta visión de arbitraje de las utilidades realza el contenido informativo de las señales de los precios en el mercado (de ahí la destructividad de los controles de precios: distorsionan las señales). Para alcanzar el éxito, a largo plazo, las empresas tienen que sobrevivir en el corto plazo. Entre otras cosas, esto significa pagar las facturas cuando estas se vencen. Los administradores financieros tienen que llevar a cabo los arreglos para contar con dinero en efectivo disponible en el momento adecuado. El balance general contiene los detalles del activo y el pasivo circulante (a corto plazo). El cálculo financiero, o matemática financiera, o matemática para negocios, como la matemática que contempla el valor del dinero en términos del tiempo, es una herramienta financiera fundamental para la solución de los problemas financieros que se presentan cada día en el mundo de los negocios, las empresas, al conocer el costo del dinero tomado en préstamo, tienen un punto de comparación para la toma de decisiones más adecuadas y acertadas posibles.

1.2 El sistema de mercado Las compañías se proponen obtener utilidades satisfaciendo a los clientes. Es un error considerar a los administradores y trabajadores como las dos caras de la industria o el comercio. La verdadera distinción está entre los consumidores, por un lado, y, por el otro, los productores: propietarios, administradores y trabajadores (los consumidores reciben con agrado la competencia de productores extranjeros, lo que los productores nacionales deploran).

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Cálculo Financiero

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El sistema de mercado no es un juego de suma cero. Si el vendedor gana una utilidad, no hay razón por la que el comprador pierda, de alguna manera, hasta el mismo punto. En los mercados competitivos normales, tanto el comprador como el vendedor, esperan ganar en los intercambios mercantiles voluntarios. Esto se debe a que difieren en sus valoraciones subjetivas de los bienes o servicios intercambiados. Cuanto más elevada sea la cantidad total de ganancias, tanto más personas gozarán de una mejor situación económica, como resultado de las transacciones mercantiles. Es por ello que, como regla general, las utilidades son buenas. Los consumidores no pagan más de lo que creen que valen, —para ellos—, los bienes o servicios. Esto coloca un tope sobre los costos totales de los productores. También les proporciona un incentivo para descubrir cuántos bienes o servicios tienen valor para los consumidores y encontrar maneras de agregar más valor. Fabricar una ratonera mejor o más barata constituye un mejor comienzo, pero los consumidores tienen que enterarse de ello. De ahí que la publicidad forme parte esencial del sistema de mercado, ya que divulga el conocimiento acerca de los nuevos productos. La economía del mercado no es estática; es un proceso dinámico, que siempre tiene que adaptarse a las condiciones cambiantes. Es posible que el mercado tienda hacia el equilibrio, pero nunca lo alcanza. Continuamente surgen nuevas características que lo perturban. Lo que se denomina “el vendaval de la destrucción creativa” significa la competencia a largo plazo de nuevas mercancías, tecnologías, fuentes de abastecimiento o formas novedosas de organización. Es posible que estos desafíos básicos a los productos y las maneras de hacer negocios impongan un costo decisivo o ventaja cualitativa. Si es así, son capaces de atacar los mismísimos cimientos de las utilidades y la productividad de las empresas. Hay tres tipos principales de mercados en la economía: los financieros, de los productos, tanto industriales como al menudeo, y los de trabajo. Estos tienen que ver con el dinero, los bienes y las personas, respectivamente. Cada uno reviste importancia vital y, desde luego, los mercados se entrelazan de muchas maneras.

1.3 Propietarios y administradores Los directores de las 100 compañías más grandes del Reino Unido poseen, en conjunto, menos de la décima parte del uno por ciento de las acciones de capital de sus empresas. Con muy pocas excepciones, son administradores profesionales, no propietarios. Esto da origen a los problemas de agencia. ¿Cómo pueden los propietarios supervisar las actividades de sus agencias (los administradores) e inducirlos a actuar en el interés de los propietarios? Los administradores profesionales hacen carrera según su historial de éxito en los negocios. Para el propietario siempre hay la opción de despedir a los administradores que fracasan y de contratar a otros que confían en que se desempeñarán mejor. La función más importante de los estados financieros anuales de la compañía, dictaminados por contadores públicos independientes, es registrar la responsabilidad administrativa de los directivos. Se ha puesto de moda renumerar, en parte, a los administradores a través de esquemas de opción de acciones o gratificaciones (bonos) relacionados con las utilidades. Pero muchos de estos esquemas de opción de compra de acciones solo representan métodos para pagar sumas mayores a los altos ejecutivos, quienes ya se encuentran fuertemente comprometidos con el éxito de sus compañías. Además, es posible que los programas de gratificaciones, vinculadas con las utilidades declaradas, hayan alentado la práctica de la contabilidad “creativa” (deshonesta).

Unidad I

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En contraste, los propietarios/administradores de las empresas pequeñas no padecen tales conflictos potenciales de interés. En cambio, no siempre se fijan el objetivo de incrementar al máximo las utilidades de las compañías. Por ejemplo, tal vez sea el caso que el propietario/administrador de una tienda pequeña prefiera cerrar temprano y no abrir los sábados, para disfrutar de más tiempo libre. Como propietario único tiene todo el derecho a hacerlo si cree que con esto se incrementará al máximo su satisfacción psíquica, pero difícilmente complacería a los propietarios de una compañía grande si los administradores, de manera deliberada, no cumplen su propósito de incrementar al máximo las utilidades para disfrutar de más tiempo libre. Un mercado competitivo sustituiría (tarde o temprano) a estos administradores por otros que se esforzarían por servir a los propietarios al incrementar al máximo su riqueza. La mayoría de las sociedades anónimas son privadas, o sea, sin participación en la Bolsa de Valores. Tal vez sean demasiado pequeñas o demasiado nuevas para cumplir con los criterios mínimos para negociar sus acciones en la Bolsa de Valores. Es posible que no necesiten tener más capital social. O quizá sus principales accionistas no deseen realizar parte de su capital al vender sus acciones. Los propietarios/administradores prefieren permanecer como sociedades privadas, retener el control y evitar el riesgo de ser absorbidos en una fusión. Quizá no les agrade las presiones que implica cotizar en la bolsa de valores, tanto por los reglamentos del mercado bursátil como por las exigencias de los inversionistas de lograr un crecimiento regular en las ganancias y dividendos.

1.4 El papel de las finanzas El papel de las finanzas en la empresa ha variado a lo largo del tiempo. ◊ Al principio los administradores financieros se responsabilizaban de la obtención de fondos. ◊ Luego de la oleada de catástrofes financieras que siguieron a la grave crisis de los años 1929-33, la preocupación financiera fue la estructura del capital. ◊ A comienzos de la década del 50, el énfasis varió para concentrar la atención en el flujo de fondos y en la administración interna de la empresa. ◊ A inicios de la década del 60, el alcance del ámbito financiero se extendió a las políticas y a las decisiones que afectan el valor de la empresa. ◊ A principios de 1966 la economía se vio afectada por la inflación, los mercados de capitales escasos y el alto costo de los fondos. El uso eficaz de fondos escasos y caros cobró mayor importancia. La valuación de una empresa se determina por dos factores: (1) corriente esperada de ingresos futuros y (2) el riesgo que los ingresos esperados difieran de los ingresos reales. La magnitud y el grado de riesgo se ven influidos a la vez por factores tales como la mezcla comercial de los productos de la empresa, el tamaño de la empresa, su ritmo de crecimiento, el tipo de activos en el cual se invierte, la posición de liquidez de la empresa y el grado en que se usa el crédito en las operaciones.

Actividades: ◊ El alumno comprende y explica el rol del cálculo financiero en las finanzas empresariales. ◊ El alumno preparará un resumen relacionado con el rol del cálculo financiero en las finanzas empresariales.

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Sesión Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

¿Cómo varía el valor del dinero en el tiempo? y ¿cómo se opera con una tasa de interés simple? 2.1 Introducción

El interés es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. Para el prestamista o acreedor constituye un ingreso, pero para el deudor representa un egreso. El interés (I) que se acuerda pagar, por una suma determinada de dinero, depende de la cantidad de dinero prestada (P), de la duración de la operación (n) y de la tasa de interés (i). I = ƒ( P, n, i )

2.2 Regla de interés Es la operación que permite calcular la rentabilidad que genera un capital invertido o prestado, a un tanto por ciento determinado y a un tiempo dado. En los cálculos de interés se tiene en cuenta tres factores: A. El capital inicial (P): Es la suma de dinero motivo de la operación financiera, expresada en la unidad monetaria del país que rige la operación. También se le conoce como capital principal, capital base, valor actual, valor presente, valor líquido o volumen monetario. B. La tasa de interés (i): Representa el número de unidades monetarias que tenemos que pagar o cobrar por cada 100 unidades monetarias prestadas o invertidas, según fuese el caso. También se le llama tipo de interés y se puede expresar de tres maneras: • Simbólica (o tanto por ciento) 24%. • Fraccionaria 24/100. • Decimal 0,24. En la aplicación de las diversas fórmulas se utiliza la expresión decimal, por cada unidad de tiempo. C. El tiempo (n): Es el factor que mide el plazo de la operación financiera, es decir, la duración para la que se calcula el interés. Usualmente la unidad de tiempo es un año, aunque

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puede también ser expresado en días, quincenas, meses, bimestres, trimestres, semestres o en cualquier otra unidad de tiempo.

En el calendario gregoriano, el año normal tiene 365 días y el año bisiesto tiene 366 días. Bajo este concepto enero tiene 31 días, febrero 28, marzo 31, abril 30 días y así sucesivamente. El mes de febrero tiene 29 días cuando el año es bisiesto. La actividad bancaria se rige por el año bancario, conformado por 360 días y cada mes de 30 días.

2.3. Clases de interés El interés puede ser simple o compuesto. A. Interés simple: Es simple cuando, al finalizar cada período, el interés obtenido no se agrega al capital inicial para que genere nuevos intereses.

En consecuencia, el capital inicial permanece invariable y el interés que se obtiene en cada intervalo de tiempo es siempre el mismo.

B. Interés compuesto: Es compuesto cuando el interés obtenido al término de cada período no se paga, sino se agrega (se capitaliza) al capital anterior para producir nuevos intereses.

Cuando los intereses de una deuda se pagan periódicamente no hay interés compuesto, ya que no se aumenta el capital inicial. Únicamente cuando los pagos de interés no se hacen a su vencimiento, el capital se incrementa y tendremos un interés compuesto.

¿CÓMO SE OPERA CON UNA TASA DE INTERÉS SIMPLE? 2.4. El interés simple Como ya se mencionó en el párrafo anterior, en este caso el interés obtenido no se agrega al capital inicial.

2.5. Características a. Los intereses no se acumulan al capital. b. Los intereses generados son retirados por el acreedor. c. El capital final crece en forma lineal en el tiempo, es decir, aumenta en progresión aritmética. Y = a + b x (línea recta) S = P + Pi S=P(1+i) Donde: S = Capital final o valor futuro P = Capital inicial o valor presente i = Tasa de interés d. Tiene un gráfico lineal. e. Se emplea para períodos menores a un año o cuando las tasas son menores a dos dígitos.

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2.6. Cálculo a partir del interés simple Fórmula principal

I = Pin

Fórmulas derivadas

P=

I in

I=

I Pn

n=

I Pn

2.6.1. Cálculo con variaciones de tasa de interés Cuando en el mercado financiero se producen variaciones de tasas, la fórmula I = P. i. n debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los períodos de vigencia de dichas tasas, es decir, la tasa i1 está vigente por un período n1, la tasa i2, está vigente en el período n2. La fórmula quedará de la siguiente manera: I = P (i1 n1 + i2 n2 + ... + im nm ) n

I=P(∑ iknk ) k=1

2.6.2. Cálculo con variaciones del capital inicial Cuando el saldo de una cuenta corriente o de ahorros cambia constantemente, debido a los movimientos que se generan en él (cargos y abonos), el cálculo de interés simple se efectúa usando numerales. Un numeral (pi ni) es el producto de cada nuevo saldo en una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin variación.

2.7. El monto 2.7.1 Definición: El monto es un valor futuro que resulta de la suma del capital inicial (valor actual, principal o valor presente) más los intereses simples generados por dicho capital inicial. Monto = Principal + intereses S = P + I

2.7.2. Cálculo del monto (s) El monto del valor futuro a interés simple de un capital inicial P, que devenga interés a la tasa i durante n años, se calcula mediante la siguiente relación:

S = P(1-in)

P=

S (1+in)

i=

S/P-1 n 21

n=

S/P-1 i Cálculo Financiero

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Actividades 1. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interés simple. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. El alumno preparará un resumen relacionado con tasas de interés simple. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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¿Cómo se opera con una tasa de interés compuesta? 3.1. Introducción

El interés es compuesto cuando, al fin de cada período, los intereses generados se suman al capital para producir nuevos intereses. En los cálculos del interés simple hemos visto que el capital no varía. En los cálculos del interés compuesto el capital aumenta con la suma de intereses a intervalos determinados. Siempre que no se paguen los intereses al final de cada período, se dice que los intereses se capitalizan. Se entiende que cuando empieza a correr el segundo período, el capital es mayor de lo que era al comienzo del primer período y, en consecuencia, el interés al final del segundo período es mayor que al final del primer período.

3.2. Características a. Los intereses se acumulan al capital. b. Los intereses generados vuelven a generar intereses en el período siguiente. c. La suma (S) o monto de valor futuro aumenta en forma exponencial en el tiempo, es decir, aumenta en progresión geométrica. Y = a. bx S = P (1 + i)n d. Tiene un gráfico exponencial. e. Es recomendable para períodos mayores de un año y cuando las tasas son mayores a dos dígitos.

3.3 Elementos a. Capital o principal (P): Es una cantidad de dinero o elemento de valor sobre el cual se paga intereses.

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¿Cuál será el interés compuesto producido por un capital inicial de S/. 4 000 colocado al 5% anual durante 4 años? Fin año 1 Capital inicial Intereses 1er. año

Fin año 2

Fin año 3

Fin año 4

S/. 4 000,00 200,00

Capital inicial 2do. año Intereses 2do. año

4 200,00 210,00

Capital inicial 3er. año Intereses 3er. año

4 410,00 220,50

Capital inicial 4to. año Intereses 4to. año

4 630,50 231,52 4 862,02

SUMA DE INTERESES ( I ) CAPITAL INICIAL ( P ) MONTO ( P + I )

862,02 4 000,00 4 862,02

b. Tiempo o plazo (t): El plazo de una inversión se expresa generalmente en años y meses, pero en los cálculos de interés compuesto es necesario expresar el tiempo en períodos de igual duración (años, meses o días) y consiste al período de capitalización. c. La tasa (t): Es la medida de interés sobre la inversión o capital y puede expresarse en diversas formas: porcentual (6%), decimal (0,06) o fraccionaria (6/100). Estas tres modalidades son equivalentes, es decir: 6% = 0,06 = 6/100 Cuando la capitalización es anual, la tasa de interés deberá ser anual, si no lo fuera se deberá convertir. TIEMPO

TASA DE INTERÉS (j)

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN (m)

TASA EQUIVALENTE (m)

1 año

12%

Anual (m = 1)

12%

1 año

12%

Semestral (m = 2)

6%

1 año

12%

Trimestral (m = 4)

3%

1 año

12%

Cuatrimestral (m = 3)

4%

1 año

12%

Bimestral (m = 6)

2%

1 año

12%

Mensual (m = 12)

1%

3.4 Capitalización anual Se refiere al pago de los intereses generados una sola vez al año, de tal manera que el capital para el segundo año incluye los intereses generados durante el primero.

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Cálculo Financiero Cálculo Financiero

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S=P S1 S=P S1

S2

S3

S3

2 3 S12 = P + iP 3 S=P S1S = P +SiP 2 S2=SS13+ iS1 1 S2=S1 + iS1 S3 = S2 + iS2 n S3 = S2 + iS2 Por lo tanto, S = P ( 1 + i ) 0 1 2 3 Por lo tanto, S = P ( 1 + i )n S1 = P + iP Donde: S = Monto o suma de valor futuro S2=S1 + iS1 Donde: S =PMonto o suma deprincipal valor futuro = Capital inicial, o valor presente S3 = S2 + iS2 P = Capital inicial, o valor presente i = Tasa de principal interés periodo representada en decimales n del Por lo tanto, Sde = Pinterés ( 1o +plazo idel ) periodo representada en decimales i = Tasa n = Tiempo Por lo tanto, S = P ( 1 + i )n n = Tiempo o plazo =suma Monto suma de valor futurocompuesto (FSC). La fórmula anterior n Donde: i)Monto deo valor El factor (1 S +=Donde: es elSofactor simple de futuro capitalización P = Capital inicial, principal o valor presente n + i)P es = Capital principal o valor presente El factor el factorinicial, simple de capitalización compuesto (FSC). La fórmula anterior puede(1representarse: i = Tasa de interés del periodo representada en decimales i = Tasa de interés del período representada en decimales puede representarse: Tiempo plazo n = Tiempon o= plazo S = P.oFSC S =simple P. FSCde capitalización compuesto (FSC). La fórmula anterior n El factor (1 i)+n i)es es el factor El factor factor capitalización compuesto (FSC).presente La fórmula anterior Se lee:(1el+ FSC aeluna tasasimple i en nde períodos transforma una cantidad P en un valor puede representarse: puede representarse: Se lee: el FSC una representa tasa i en nelperíodos transforma de una1 cantidad presente P eni un futuro S. El aFSC monto compuesto nuevo sol a una tasa porvalor período S = P. futuro S. El FSC representa monto es compuesto de 1 nuevo sol acantidad una tasa i por período durante n períodos y su elfunción llevar a FSC futuro cualquier presente o traer al S =del P. durante n períodos y su función esFSC llevar a futuro cualquier cantidad presente o traer al presente Se lee: elcualquier FSC a unacantidad tasa i en n pasado. períodos transforma una cantidad presente P en un valor presente cualquier cantidad del pasado. futuro El FSC representa el monto compuesto de una 1 nuevo sol apresente una tasaPi en porun período Se a. lee: Cálculo el S. FSC adel una tasa i en períodos transforma cantidad valor los monto: El nmonto o suma es equivalente al capital inicial (P) más durante nFSC períodos y su función es compuesto llevar a futuro cualquier cantidad presente operíodo traer al futuro S. El representa el monto de 1 nuevo sol a una tasa i por a. Cálculo del generados monto: El (I). monto o suma es equivalente al capital inicial (P) más los intereses presente cualquiery cantidad del es pasado. durante n períodos su(I).función llevar a futuro cualquier cantidad presente o traer al intereses generados presente cualquier cantidad del pasado. S =oPsuma + I es equivalente al capital inicial (P) más los interea. Cálculo del monto: El monto ses generados (I). S = P + I a. b.Cálculo del monto o suma es determinar equivalenteelalinterés capitalcompuesto inicial (P)esmás los Cálculo demonto: interés El compuesto (i): Para necesario S determinar =(S) P +yI deducible intereses (I). b. Cálculo degenerados interés el compuesto el interés compuesto es necesario determinar primero monto a fin(i): delPara plazo luego el capital inicial (P). Si S = determinar primero el monto a fin del plazo (S) ydeterminar deducible el luego el capital iniciales (P). Si S = P I entonces: b. + Cálculo de interés compuesto (i): Para interés compuesto necesario S=P+I P + I entonces: determinar primero el monto a fin del plazo (S) y deducible luego el capital inicial (P). I=S–P Si S = de P +interés I entonces: b. Cálculo compuesto I = S – P (i): Para determinar el interés compuesto es necesario determinar primero el monto a fin (P): del plazo (S) luego capital inicial (P) (P).aSi S = del I = Sy –deducible P de calcular c. Cálculo del capital inicial Es el proceso el el valor presente partir P +Cálculo I entonces: c. del del capital inicial (P): EsEselelproceso de (P) aapartir del valor futuro (S)capital a interés compuesto oproceso tasa vencida. Suelfórmula se obtiene despejar c. Cálculo inicial (P): decalcular calcular elvalor valorpresente presente (P)de partir del el valorvalor futuro (S) a interés compuesto o tasa vencida. Su fórmula se obtiene de despejar el presente de la fórmula que conocemos. valor futuro (S) a interés o tasa vencida. Su fórmula se obtiene de despejar I = compuesto S –P valor presente de la fórmula que conocemos. el valor presente de la fórmula que conocemos.n S = P (1 + i) c. Cálculo del capital inicial (P): Es Sel=proceso calcular el valor presente (P) a partir del S =(1P+(1i)de +n i)n P valor futuro (S) a interés compuesto o tasa vencida. Su fórmula se obtiene de despejar el S P= valor presente de la fórmula que conocemos. n S 0

P=

0

S2

(1 + I) (1 + I)n

 1  P = S  S 1 (1 + i)n  PP==S   (1 (+1 +I)ni)n 

1

1

S = P (1 + i)n





Donde:  1  es el Factor Simple de Actualización (FSA) que convierte el valor   n i) el Factor Simple de Actualización (FSA) que convierte el valor Donde:  1 (1+es n  Donde:   (1en 1 futuro + i)equivalente,  es el Factor Simple de Actualización (FSA) que convierte el valor futuro  mediante una sola operación. Entonces la fórmula queda de la P = S  ( ) 1 + i n futuro en equivalente, mediante una sola operación. Entonces la fórmula queda de la en equivalente, mediante una sola operación. Entonces la fórmula queda de la siguiente siguiente manera:   siguiente manera: manera:  Donde:  1  es el Factor Simple deP Actualización (FSA) que convierte el valor = S (FSA) n  (1 + i)  P = S (FSA) P = S (FSA) futuro enaequivalente, sola operación. Entonces la fórmula queda de laP. Se lee: el FSA una tasa i enmediante n períodosuna transforma una cantidad futura en un valor presente PROESAD Programa de S Educación Superior a Distancia siguiente manera: PROESAD Programa de Educación Superior a Distancia 15

15

P = S (FSA) PROESAD

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15

Programa de Educación Superior a Distancia Cálculo Financiero

CPCC CPCCSantos SantosAlberto Albertofarfán farfánPeña Peña

CPCC Santos Alberto farfán Peña

Universidad Peruana Unión

Se lee: transforma eltransforma FSA a una tasa i en nfutura períodos transforma una cantidad futura S en un Aaauna unatasa tasai ien ennnperíodos períodos una una cantidad cantidad futura SSen en un un valor presente P. P.P.

d.AACálculo de lafórmula tasa de (i): A partir de la lalatasa fórmula de deinterés interés(i): (i): partir partirde de lalafórmula ya yainterés conocida conocida despejamos despejamos tasa ya conocida despejamos la tasa d. Cálculo de la tasa de interés (i): A partir de la fórmula ya conocida, despejamos la tasa de interés: de interés: S = P(1 + i)

n

(1(1++i)i) SS==PP

nn

SS nn ==(1(1++i)i) PP

S n = (1 + i) P

SS i= i =n n −−11 pp

i=

n

S −1 p

e.ne. Cálculo deldel tiempo (n): seSe despeja n ndedelalaecuación o(n): (n):se sedespeja despeja nde de lalaecuación ecuación conocida: conocida: Cálculo tiempo (n): despeja ecuaciónconocida: conocida:

s

S = P(1 + i) n S n = (1 + i) P log

S = n log(1 + i) P

n=

log S − log P log(1 + i)

Casos especiales 3.53.5 Casos especiales

a. a. n NO ENTERO n NO ENTERO Como el interés es delorigina tiempo, se considera que el capital origina un interés continuo nción ción del deltiempo, tiempo,se seconsidera considera que quefunción eleles capital capital origina un un interés interés continuo continuo Como el interés función del tiempo, sede considera que el capital origina interés conque capitaliza en forma discreta (al termino cada cierto período). Por lo un tanto, para un ma a discreta discreta(al (altermino termino de deque cada cada cierto ciertoperíodo). período). Por Por lolotanto, tanto, para paraun un tinuo capitaliza en forma discreta (al término de cada cierto período). Por lo tanto, número no entero de períodos de capitalización, la fórmula del monto será: períodos eríodos de decapitalización, capitalización,lalafórmula fórmuladel delmonto montoserá: será: para un número no entero de períodos de capitalización, la fórmula del monto será: H/f H/f S=S P =(1P+(1i)+H/fi)H/f SS==PP(1(1++i)i)

H:Donde: Duración (número (número de días ode meses) la operación. H: Duración días ode meses) de la operación. úmero úmerode dedías díasDonde: oomeses) meses) de delalaoperación. operación. f: Frecuencia de capitalización (número de días período de f: (o Frecuencia de capitalización (número(odemeses) días (odel meses) del período de e capitalización capitalización(número (número dedías días (omeses) meses)del delperíodo período capitalizable) capitalizable)



Debe observarse que un entero n no entero un número no entero de capitalizaciones, Debe observarse que n no indicaindica un número un unnnno noentero entero indica indica un unnúmero número no noun entero entero de decapitalizaciones, capitalizaciones, en enlalano entero de capitalizaciones, en la en la cual la parte no entera implica que la capitalización se ha realizado por un plazo cual la parte no se entera implica que capitalización aimplica implicaque quela lacapitalización capitalización seha harealizado realizado por porla un un plazo plazomenor menorse alalha realizado por un plazo menor al menor al período establecido. período establecido.

b. CÁLCULO DEL MONTO CON VARIACIONES EN LA TASA DE INTERÉS b. CÁLCULOEN DEL MONTO CON VARIACIONES EN LA TASA DE INTERÉS ONTO NTO CON CONVARIACIONES VARIACIONES ENLA LA TASA TASADE DEINTERÉS INTERÉS n plazo Cuando la tasa efectiva no varía durante pactado, el el FACTOR la lapactado, tasa efectiva no varía(1+i) durante el plazo pactado, FACTOR (1+i) (1+i)nn capitaliza la a vano novaría varíadurante duranteCuando elelplazo plazo pactado, elelFACTOR FACTOR (1+i)n el capitaliza capitaliza lala unidad monetaria a esa a misma tasa durante n períodos. unidad monetaria esa misma tasa durante n períodos. amisma mismatasa tasadurante durante nnperíodos. períodos.

( n1 + i ) = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ] 11++i )i n)n==[ [( (11++i )i )( (11++i )i )( (11++i )... i )...](] 1 + i ) = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ] Pero si la tasa efectiva cambia, las capitalizaciones durante el período pactado H se efectúan Pero si la tasa efectiva cambia, las capitalizaciones el periodo pactado H se va tiva cambia, cambia, las las capitalizaciones capitalizaciones durante durante elel periodo periodo pactado pactado HH se se durante variando la tasa tantas veces como sea necesario, para cadapara período tiempodel vigente. efectúan variando la tasa tantas veces como sea necesario cadadel período tiempo asa sa tantas tantasveces vecescomo comosea seanecesario necesariopara paracada cadaperíodo períododel deltiempo tiempo vigente. = [(1 + i1)n1 ( n1 + i2 )n2 ( n1 + i3 )n3...n ] nn nn nn = [(1 + i1) 1 ( 1 + i2 ) 2 ( 1 + i3 ) 3... ] ==[(1 [(1++i1i)1)1 1( (11++i2i2) )2 2( (11++i3i3) )3... 3...] ] n

PROESAD

1616 Unidad I

Programa ProgramadedeEducación EducaciónSuperior Superiora aDistancia Distancia

16

26

Programa de Educación Superior a Distancia

Cálculo Financiero

Facultad de Ciencias Empresariales

Habiendo definido n = H/f entonces el cálculo del monto se hace de la forma siguiente: = [(1 + i1)H1/f (1 + i2)H2/f ( 1 + i3)H3/f... ] Cálculo Financiero Habiendo definido n Donde: = H/f, entonces el H cálculo del H1 + H2 + H monto se hace de la forma siguiente: 3 + ... =

= [(1 + i1)H1/f (1 + i2)H2/f ( 1 + i3)H3/f... ]

Habiendo definido n = H/f entonces el cálculo del monto se hace de la fo 3.6 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA y TASA EQUIVALENTE = [(1 + i1)H1/f (1 + i2)H2/f ( 1 + i3)H3 Donde: H1 + H2 + H3 + ... = H Una tasa de interés “ i ” es la razón de la diferencia de dos cantidades de3 +la... misma Donde: H1 + H2 + H = H especie y una de ellas tomadas como base, la cual debe ser necesariamente el sustraendo de la diferencia, a la EFECTIVA base, Cn a yla TASA otra cantidad referida a la base, podemos 3.6. TASA designando NOMINAL,Co TASA EQUIVALENTE expresar la tasa de la siguiente manera: 3.6 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA y TASA EQUIVALENTE de interés “ i ”cantidades es la razóndede diferencia de dos cantidades Una tasa de interés “ i ” es la razónUna de latasa diferencia de dos la la misma especie − C C y una de ellas tomadas como base, la cual debe ser n 0 y una ide tomadas como base, la cual debe ser necesariamente el sustraendo de la necesariamente = ellas diferencia, designando Co a laabase, Cnpodemos a la otraexcantidad referida C0 diferencia, designando Co a la base, Cn a la otra cantidad referida la base, expresar la tasa de la siguiente manera: presar la tasa de la siguiente manera:

i=

Cn −1 C0

i=

C n − C0 C0

c1) TASA NOMINAL: Cuando la tasa de interés es susceptible de proporcionarse C (dividirse o multiplicarse) parai =ser nexpresada en otra unidad de tiempo diferente a la −1 C 0 una o más veces. original, con el objeto de capitalizarse

Se diceCuando que la tasa esde nominal cuando: c1) TASA Cuando la tasa (dividirse de interés c1) TASA NOMINAL: la tasa interés es NOMINAL: susceptible de proporcionarse o es susceptible (dividirse multiplicarse) para ser en otra unidad de multiplicarse) para ser expresada en otra unidado de tiempo diferente a laexpresada original, con • capitalizarse Se aplica directamente enoriginal, operaciones interés simple. con elde objeto de capitalizarse una o más veces. el objeto de una o más veces.

Se dice que la tasa es nominal cuando: • Es susceptible a proporcionarse (dividirse o multiplicarse) en un año, Se dice que la tasa es nominal veces cuando: para ser expresada en otradeunidad tiempo equivalente, en el interés ◊ Se aplica directamente en operaciones interésde simple. simple, o como unidad de• medida. ser capitalizada n veces en Se aplicaPara directamente en operaciones de interés simple. ◊ Es susceptible a proporcionarse (dividirse o multiplicarse) varias veces en un año, operaciones hay interés compuesto, donde m representa el número de para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple, o capitalizaciones. La proporcionalidad de la atasa nominal anual puede • Es susceptible proporcionarse (dividirse o multiplicars como unidad de medida. Para ser capitalizada n veces en operaciones hay interés efectuarse directamente a travéspara de una de interés el año serregla expresada en considerando otra unidad de tiempo equiva compuesto, donde m de capitalizaciones. La proporcionalidad bancario derepresenta 360 días. el númerosimple, o como unidad de medida. Para ser capita de la tasa nominal anual puede efectuarse directamente a través de una regla de operaciones hay interés compuesto, donde m repres interés, considerando el El año bancario de 360 días. c2) TASA EFECTIVA: monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable capitalizaciones. La proporcionalidad de la tasa no m veces a un plazo determinado durante n períodos se calcula mediante la de interés efectuarse directamente a través de una c2) TASA EFECTIVA: El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces regla fórmula siguiente: de 360 días. a un plazo determinado durante n períodos sebancario calcula mediante la fórmula siguiente:

c2) TASA j  EFECTIVA: El monto compuesto aplicando una tasa n S = P1m + veces  a un plazo determinado durante n períodos se m  n

fórmula siguiente:

En el PerúEn laselinstituciones financierasfinancieras cotizan suscotizan productos en: Perú las instituciones sus financieros productos financieros en: 

j 

n

◊ TASA ACTIVA: Interés que las instituciones financieras cobran a los S clientes = P1 + por  présm • TASA ACTIVA: Interés que las instituciones financieras cobran a los clientes  tamos, colocaciones u operaciones crediticias. Son operaciones activas los sobrepor préstamos, colocaciones u operaciones crediticias. Son operaciones giros en cuenta corriente, descuento de letras, pagarés, préstamos, arrendamiento losinterbancario, sobregiros en corriente, descuento deenletras, pagarés, En el además, Perú las están instituciones financieras cotizan sus productos financiero,activas préstamo etc.cuenta que, registrados los distinpréstamos, arrendamiento financiero, préstamo interbancario, etc., que tos rubros del activo del balance de las instituciones financieras o fuera de balance. además están registrados en• losTASA distintos rubros Interés del activo de lasfinancieras ACTIVA: quedel lasbalance instituciones La tasa activa en el Perú se expresa en términos efectivos por créditos a corto, meinstituciones financieras o fuera de porbalance. préstamos, colocaciones u operaciones crediticia diano y largo plazo. activas los sobregiros en cuenta corriente, descuento La tasa activa en el Perú se expresa en términos efectivosfinanciero, por créditos a préstamos, arrendamiento préstamo inter ◊ TASA PASIVA: Para remunerar lasplazo. distintas captaciones de los bancos realizadas por corto, mediano y largo además están registrados en los distintos rubros del acti los clientes, ya sea en depósitos a la vista, ahorros, depósitos a plazo, certificados instituciones financieras o fuera de balance. bancarios, depósitos interbancarios, bonos, etc.

La tasa activa en el Perú se expresa en términos efe corto, mediano y largo plazo.Superior a Distancia Programa de Educación

PROESAD

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17

Cálculo Financiero

PROESAD

Programa de Educa

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CPCC Santos Alberto farfán Peña

TASA PASIVA: Para remunerar las distintas captaciones de los bancos realizadas por los clientes, ya sea en depósitos a la vista, ahorros, depósitos adplazo, Universida P e r u certificados a n a U n i ó n bancarios, depósitos interbancarios, bonos, etc. •





Las tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a los usuarios finales se expresan en el Perú en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada, por ejemplo: los ahorros se Las capitalizan tasas pasivas aplicadas pormientras las instituciones del sistema financiero a los usuamensualmente que los depósitos a plazos se capitalizan rios diariamente, finales se expresan, en el Perú, en términos nominales y con una frecuencia de según lo dispuesto por la Superintendencia de Bancos, Seguros capitalización determinada, por ejemplo: y Administradora de Fondos (SBS). los ahorros se capitalizan mensualmente, mientras que los depósitos a plazos se capitalizan diariamente, según lo dispuesto por La la Superintendencia denBancos, Seguros y Administradora Fondos (SBS). tasa efectiva i para períodos de capitalización puede de obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces al año de acuerdo la La tasa efectiva i para n períodos de capitalización puede obtenerse a partir deauna siguiente fórmula: tasa nominal anual j capitalizable m veces al año, de acuerdo a la siguiente fórmula: n

j   i = 1 +  − 1 m  





La tasa efectiva reflejarefleja al número de capitalizaciones para laspara operaciones pasivas o La tasa efectiva al número de capitalizaciones las operaciones liquidaciones operaciones En el interés loscompuesto intereses capipasivas o para liquidaciones paraactivas. operaciones activas.compuesto, En el interés los talizados vuelven a ganar interés. intereses capitalizados vuelven a ganar interés. Para un mismo horizonte temporal, cuando las tasas nominal y efectiva coinciden Para un mismo horizonte temporal, las tasas nominal y efectiva los rendimientos obtenidos a interés simplecuando t compuesto son iguales. coinciden los rendimientos obtenidos a interés simple t compuesto son La tasa efectiva i y la tasa nominal j, para diferentes unidades de tiempo, pueden iguales. abreviarse en la siguiente nomenclatura: La tasa efectiva i y la tasa nominal j para diferentes unidades de tiempo Tasa Efectiva (TE) Tasa Nominal puedenTIEMPO abreviarse en la siguiente nomenclatura: “i” “j” Tasa Efectiva (TE) Tasa Nominal TIEMPO Anual (A) TEA TNA “i” “j” Anual (A) TEA TNA Semestral (S) TES TNS Semestral (S) TES TNS Cuatrimestral (C) TEC TNC Cuatrimestral (C) TEC TNC Trimestral (T) TET TNT Bimestral (B) TEB TNB Trimestral (T) TET TNT Mensual (M) TEM TNM Quincenal(B) (Q) TEQ TNQ Bimestral TEB TNB Diario (D) TED TND

Mensual (M) TEM TNM c3. TASA EQUIVALENTE Dos o más tasas(Q) efectivas corresponden de tiempo son Quincenal TEQ a diferentes unidades TNQ equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal.Diario Por ejemplo las siguientes tasas: (D) TED TND

– Tasa efectiva mensual “TEM” = 1,530947% c3. TASA EQUIVALENTE: Dos o más tasas efectivas, que corresponden a diferentes unidades – Tasa efectiva trimestral “TET” = 4,6635139% de tiempo, son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas: Son equivalentes porque ambas producen una tasa efectiva anual TEA de 20%. Una efectiva tasa de mensual interés i “TEM” es equivalente a otra j si sus respectivas capitalizaciones • Tasa = 1,530947% realizadas durante un mismo horizonte temporal H son iguales. • Tasa efectiva trimestral “TET” = 4,6635139%

Son•equivalentes porque ambas producen una tasa tasa efectiva efectiva dada: anual TEA de 20%. Una Tasas equivalentes partiendo de una tasa deLa interés i es equivalente a otra j si sus respectivas capitalizaciones realizadas, tasa equivalente o tasa periódica se obtiene de la relación de la durante un mismo horizonte temporal H, son iguales. equivalencia de la fórmula vista anteriormente y puede ser calculada cuando se

como dato lapartiendo tasa efectiva “i” tasa efectiva dada: La tasa equivalente o tasa ◊ obtiene Tasas equivalentes de una PROESAD periódica se obtiene de la relación de la equivalencia Programa dede Educación Superior a Distancia la fórmula vista anterior18 mente, y puede ser calculada cuando se obtiene como dato la tasa efectiva “i”.

Unidad I

28

Si designamos i´ como la tasa equivalente, entonces podemos despejar i´ de la (1 + i´a)n j/m = (1como + i) siguiente manera: i´ n= (1 + i) − 1 (1 + i´) = (1 + i) 1n

Cálculo Financiero

Facultad de Ciencias Empresariales

Donde:

i´= esSiladesignamos tasa equivalente efectiva. a j/m ocomo i´ como la tasa equivalente, entonces i´ como la tasa equivalente, entonces podemos i = (1 + i) −Si1 designamos ai j/m = como es la tasa efectiva del horizonte temporaldespejar proporcionada siguiente manera: i´ de la siguiente manera: como dato. Donde: f =laestasa el número del período de tiempo correspondiente i´= es equivalente (1 + i´)nde= (días 1o+ efectiva. i) la tasa se desea calcular.proporcionada i = esa la tasa equivalente efectiva delque horizonte temporal h como = números de días correspondientes al período de tiempo dato.´ 1n i = 1+ i) −del 1 proporcionada la tasa comocorrespondiente dato. A una tasa f = es eldenúmero de(efectiva días período de tiempo efectiva anual “TEA” le desea corresponde un “h” de 360, a una Donde: tasa equivalente que se calcular. Donde: i´ = es a la la tasa equivalente o efectiva. “TEM”, de tasadías efectiva mensual, le la corresponde un tiempo “h”o de 30 i´= es equivalente efectiva. h = números correspondientes altasa período de días. i = es de la tasa del horizonte temporal iproporcionada comoefectiva = como es la dato. tasa del horizon la efectiva tasa efectiva proporcionada Adato. una tasa como dato. le corresponde un “h” de a360, f = es efectiva el número anual de días“TEA” del período de tiempo correspondiente la tasaa una De la ecuación anterior, equivalente “f”“TEM”, se expresa en el período de tiempo equivalente la de incógnita f = es el número de días del tasa mensual, le corresponde un a“h” 30 período que seefectiva desea calcular. (tasa equivalente) y “h” sedías. expresa en el período de tiempoa la a tasa la tasa efectiva,que ambas equivalente se desea h = números de días correspondientes al período de tiempo de la tasa variables deben corresponder a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimes-tres, h = números de días correspondie efectiva proporcionada como dato. A una tasade efectiva anual “TEA” le etc.). la tasa aefectiva proporcionad De la ecuación anterior, “f” se expresa un en“h”eldeperíodo de“TEM”, tiempo laleincógnita corresponde 360, a una tasaequivalente efectiva mensual, coefectiva anual “TEA” le correspo (tasa equivalente) y “h” se rresponde expresa un en“h”eldeperíodo 30 días. de tiempo a la tasa efectiva, ambas • corresponder Tasa nominala equivalente una tasa dada: “TEM”,meses, tasa efectiva mensual, le variables deben una misma aunidad de efectiva tiempo (días, trimes-tres, De la ecuación anterior, “f” se expresa en el período de tiempo equivalente a la La relación de equivalencia entre la tasa nominaldías. con “n” capitalizaciones y la etc.). incógnita (tasa equivalente) y “h” se expresa en el período de tiempo a la tasa a partir tasa efectiva, ambas para el mismo horizonte temporal, se establece efectiva, ambas variables deben corresponder a una misma unidad de tiempo (días, De la ecuación anterior, “f” se expresa en el anterior períodopuede de tiempo denominal la fórmula yaetc.). expresada anteriormente. Entonces la fórmula • Tasa equivalente a una tasa efectiva dada: meses, trimestres, (tasa equivalente) y “h” se expresa en el período de expresarse en: La relación de equivalencia entre la tasa nominal con “n” capitalizaciones y la tiempo ◊ Tasa nominalambas equivalente tasa efectiva dada: La relación de envariables deben corresponder a una misma unidad de tiempo tasa efectiva, paraa una el mismo horizonte temporal, seequivalencia establece a partir tre la tasa nominal con “n” capitalizaciones y la tasa efectiva, ambas para el mismo 1 etc.). anteriormente. de la fórmula ya expresada Entonces la fórmula anterior puede n − 1 ya expresada (1 +lai)fórmula = mde horizonte temporal, se establecej(am )partir anteriormente.     expresarse Entonces en: la fórmula anterior puede expresarse en: • Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva da de veces equivalencia entresela tasa nominal c 1relaciónde El subíndice m de j indica  elLanúmero que ésta capitaliza j(m ) = m (1 + i) n − 1 tasa efectiva, ambas para el mismo horizonte  anualmente, cuando i es anual por lo tanto, si i es mensual indicará el número tem demes la fórmula ya expresada anteriormente. Entonce de veces que j se capitaliza en un y así sucesivamente. El subíndice m de j indica el número de veces que esta anualmente, expresarse en: se capitaliza El subíndice m deporj loindica de veces que deésta cuando i es anual, tanto, siel i esnúmero mensual indicará el número vecesse quecapitaliza j se •anualmente, Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto cuando por lo tanto, si i es mensual indicará el númeropara capitaliza en un mes,i yes asíanual sucesivamente. un mismo temporal: de veces que j horizonte se capitaliza en un mes y así sucesivamente. j(m ) = m(1 + i) 1n − 1 ◊ Tasa interés simple equivalente a unasimple tasa de (IS) interés compuesto para un tasa mismo  de interés  Paradeobtener una tasa de interés equivalente a una horizonte temporal: Para obtener una tasa de interés simple (IS) equivalente a una compuesto (IC) relacionamos las fórmulas deloslos montos simples y • Tasa dedeinterés simple equivalente a una de de interés compuesto tasa interés compuesto (IC) relacionamos las tasa fórmulas montos simples y para El subíndice m de j indica el número de compuestos, estableciendo la ecuación de equivalencia y efectuamos el vec un mismo horizonte temporal: compuestos, estableciendo la ecuación de equivalencia y efectuamos el despeje anualmente, cuando iaes anual tanto, si i es despeje Paracorrespondiente. obtenercorrespondiente. una tasa de interés simple (IS) equivalente una tasapor de lo interés veces quede j selos capitaliza en un mes y así compuesto (IC) relacionamos lasde fórmulas montos simples y suces n compuestos, estableciendo la ecuación (1 + ic ) − 1 de equivalencia y efectuamos el is = • Tasa de interés simple equivalente a una tasa d despeje correspondiente. n un mismo horizonte temporal: n ( 1 + ic ) −Para 1 obtener una tasa de interés simple (IS) equiv is = compuesto (IC) relacionamos las fórmulas d Actividades: n estableciendo ecuación de equ 5. El alumno desarrollará casos decompuestos, cálculo con tasas de interés la compuesta. despeje 6. El alumno preparará un resumen decorrespondiente. relacionado con tasas de interés compuesta. Actividades: (1 + ic )n − 1 5. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interésiscompuesta. = 6. El alumno preparará un resumen de relacionado con tasas den interés compuesta. ´

1n

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PROESAD

Cálculo Financiero

Actividades: Programa de Educación Superior a Distancia 5. 19 El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas 6. El alumno preparará un resumen de relaciona

Universidad Peruana Unión

Actividades 1. El alumno desarrollará casos de cálculo con tasas de interés compuesta. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. El alumno preparará un resumen relacionado con tasas de interés compuesta. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Unidad I

30

4

Sesión

Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

¿Cómo calcular el descuento bancario y comercial?

Las operaciones de descuento consisten en transformar una expectativa futura de dinero, por ejemplo: una letra, en efectivo, de inmediato. Es usual en los negocios al cancelar operaciones de crédito a plazo, aceptar ahora un documento que certifica el compromiso de pago futuro, cuyo importe se denomina valor nominal o facial. El tenedor de ese documento puede convertir ese compromiso, en efectivo, negociando con un agente económico superavitario de fondos, recibiendo una suma menor del importe facial que se denomina valor presente o valor actual. Se denomina descuento a la cantidad de dinero que se deduce del precio de un bien o de un documento comercial, cuando se cancela antes de su fecha de vencimiento.

4.1. El descuento 4.1.1. Definición Se llama descuento a la rebaja en el valor de una operación comercial o financiera, aplicando un interés simple.

4.1.2. Descuento racional (dr) Se dice que el descuento es racional cuando se efectúa a una tasa de interés: Dr = S – P Pudiendo ser: ◊ Descuento comercial: Es la rebaja que se concede al valor de las facturas. ◊ Descuento bancario: Es la rebaja o deducción que se hace sobre documentos de giro, como letras de cambio, pagarés, vales, entre otros.

4.1.3. Elementos ◊ VALOR NOMINAL O FACIAL (S) es la cantidad que figura anotada en el documento y ha de cobrarse íntegramente el día de su vencimiento. Es un valor futuro. ◊ VALOR ACTUAL (P) es el resultado de la operación de descontar, es decir, la cantidad real que se recibe en una fecha anterior a su vencimiento.

31

Cálculo Financiero

•

VALOR ACTUAL (P) es el resultado de la operación de descontar, es decir, la cantidad real que se recibe en una fecha anterior a su vencimiento.

Universidad Peruana Unión

•

TASA DE DESCUENTO (D) viene a ser la cantidad que se deduce por cada 100 unidades en el período del descuento.

• EL TIEMPO (N) es el lapso entre la fecha de descuento y la fecha de ◊ TASA DEvencimiento. DESCUENTO El (D)tiempo viene puede a ser laexpresarse cantidad que se deduce pory cada en años, meses días. 100 unidades, en el período del descuento. • DESCUENTO (D) esentre la diferencia el valor nominal y el de actual. ◊ EL TIEMPO (N) es el lapso la fecha entre de descuento y la fecha vencimiento. El tiempo puede expresarse en años, meses y días. DESCUENTO SIMPLE (D) es la diferencia entre el valor nominal y el actual. 4.1.4◊ DESCUENTO

4.1.4. Descuento simple El valor presente (P) o descontado, es igual al valor nominal (S) menos el

descuento (D), aplicando una tasa de descuento simple: El valor presente (P) o descontado es igual al valor nominal (S) menos el descuento (D), aplicando una tasa de descuentoPsimple: =S-D P=S-D O tambien, D=S–P O tambien, (D) está en función del valor nominal (S), la tasa de descuento (d) D = El S –descuento P y el tiempo (n) El descuento (D) está en función del valor nominal (S), la tasa de descuento (d) y el tiempo (n) Fórmula principal Fórmula principal

Fórmulas derivadas Fórmulas derivadas CPCC Santos Alberto farfán Peña

◊ EQUIVALENCIA ENTRE EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Y EL INTERÉS SIMPLE: CPCC Santos Alberto farfán Peña S CPCCSantos SantosAlberto Albertofarfán farfánPeña Peña Pero, CPCC Si D=S=P P = (1) (2) ENTRE EL DESCUENTO • EQUIVALENCIA RACIONAL SIMPLE Y EL CPCC Santos Alberto farfán Peña 1 + in CPCC Santos Alberto farfán Peña INTERÉS SIMPLE: S (2) Pero, Pero, PSS= (2) Pero, (2) enPP(1): (2) Pero, Reemplazamos = = S 1 + in Pero, (2) P =S 11(2) in ++in Pero, = P Si D = S −P (1) 1 + in 1 + in S Reemplazamos (2)(1): en (1): D=S − en Reemplazamos (2) en Reemplazamos (2) (1): in PROESAD Programa de Educación Superior a Distancia Reemplazamos (2) en1 +(1): Reemplazamos Reemplazamos (2) en (1):(2) en (1): 21 S Si extraemos como D =factor SS− común S: DD==SS−− S 1 + in D = S −S 11++inin D = S −  1 + in 1  D S − 11+−in como Si=extraemos factor común factor extraemos como común S: S: SiSiextraemos como factor común S: 1 + in  como  extraemoscomo factor comúnS:S: SiSiextraemos factor común

Si extraemos como factor común 1  S:  11−   D= −S1−  (=1=+ 1−−1   1+ in  DD SSin −−)1  D= S 1 D =S− 1 −   11++inin  D = S − 11−+  in 1 +in   1 + in  ()1)−+−1in1 ) − 1 in +in  (1=(1+S D D==S  Din (1S+ in) − 11 + in  (1 + in) − 1++inin   D = SD = S D =1S+ in 1 +1in    1 + in   in  D S   =inin DD==SSin  1+ in  D = Sin 11++inin D = S  1 +in    1 + in   S  D= in 1 + in 

 S   S=S  in D D = in+inIin  D = S D1= Si consideramosS que in D =  11++in in  in D =  1 +in 1 + in 

 S 

Si D consideramos in que = Si consideramos que D =ID I =I Si consideramos que D = I Si Iconsideramos que D = 1 +que Unidad Si consideramos in  D = I De (2)

S  =SS  in D  D = S P D =S  1+ in  inin =  11++in D in  D =  1 + inin

32

D = S    1 + in 

Si consideramos que D = I Facultad de Ciencias Empresariales

 S  S in D =  D = 1+in in  1 + in   Si consideramos Si consideramos que D = I que D = I

De (2)

P

Entonces •

 S 

D = DP= in = I in 1 + in 

De (2) P Entonces D = P in = 1

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE Entonces D = P in = I ◊ CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE

Si sustituye fórmulaD D = Sdn = tenemos S – D, tenemos se Si se sustituye la la fórmula = Sdn en Pen = SP – D, •

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE P = S -Sdn

P = S -Sdn

Si se sustituye la fórmula D = Sdn en P = S – D, tenemos Fórmula principal

P = S -Sdn

Fórmula principal

Fórmula principal

Fórmulas derivadas Fórmulas derivadas

Cálculo Financiero Cálculo Financiero

Fórmulas derivadas

Cuando estamos frente a una operación donde Cálculo Financiero Cuando estamosello frente a una operación dondesobre se Cálculo Financiero compuesta, implica aplicar el descuento Cálculo Financiero Cálculo Financiero

se aplica una tasa de descuento aplica una tasa de descuento el descuento del periodo anterior. El compuesta, ello implica aplicar el descuento sobre el descuento del periodo anterior. El descuento es la diferencia entre el valor nominal el valor descontado valor presente). 4.1.5 Descuento compuesto Cuando estamos frente a una operación donde yse aplica una tasa(o de descuento 4.1.5 DESCUENTO COMPUESTO descuento esello la diferencia entre valor nominal y eldonde valor descontado valor presente). Cuando estamos frente aa una operación donde aplica una tasa de descuento compuesta, implica aplicar eluna descuento sobre else descuento del(o periodo El Cuando estamos frente ael operación se aplica una tasa de descuento Cuando estamos frente una operación donde se aplica una tasa deanterior. descuento 4.1.5 DESCUENTO COMPUESTO compuesta, ello implica aplicar el descuento sobre el descuento del periodo anterior. El Cuando estamos frente a una operación, donde se aplica una tasa de descuento • EQUIVALENCIA ENTRE DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO EL compuesdescuento es la diferencia entre el valor nominal y el valor descontado (o valor presente). compuesta, implica aplicar el descuento sobre el descuento periodo anterior. compuesta, elloello implica aplicar el descuento sobre el descuento del del periodo anterior. ElY El descuento es la diferencia entre el valor nominal y el valor descontado (o valor presente). • EQUIVALENCIA ENTRE DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Y EL ta, ello implica aplicar el descuento sobre el descuento del período anterior. El INTERÉS COMPUESTO descuento esdiferencia la diferencia entre el valor nominal el valor descontado (o valor presente). descuento es descuento es la entre el valor nominal y elyvalor descontado (o valor presente). INTERÉS COMPUESTO la diferencia entre el valorDESCUENTO nominal y el valor descontado (o valor presente). • EQUIVALENCIA ENTRE RACIONAL COMPUESTO Y EL • • EQUIVALENCIA ENTRE DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Y Si (1) INTERÉS COMPUESTO •EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA ENTRE DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Y EL DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO YEL EL DENTRE = S − PDESCUENTO ◊ EQUIVALENCIA ENTRE RACIONAL COMPUESTO Y EL INTERÉS COMPUESTO SiINTERÉS (1) COMPUESTO INTERÉS COMPUESTO D = S−P PROESAD INTERÉS COMPUESTO Programa de de Educación Superior a Distancia PROESAD Programa Educación Superior a Distancia Si (1) 22 Si 22 D = S − P (1) SiSi Si Pero, D n (1) (1−(1) S +Pi) DS−==−PP S D==S P Pero, n S = P(1 + i) Pero,Pero, n S = P(1 + i)n Pero, Pero, Pero, (1 ++i)(i1)nS+ i)n S = PSP De donde (2) S = PS(=1=P n ( 1 + i) De donde P = (2) ( S )n De donde P = 1 +Si n (2) S (1): (2) S De donde ( ) 1 + i P = Sustituimos (2) en De De donde P = De donde P = + i)n n n (2) (2) Sustituimos (2) (1en (i1) + i) (1 +(1): Sustituimos (2) en (1): S Sustituimos (2) D(1): = SS(1): − Sustituimos Sustituimos (2) en Sustituimos (2)en en (1): n

(1 + i) n ( 1 +Si) D=S− S n (1 + Si) S común S: D = SD−como Si extraemos D = S=−(1S+−i)nfactor n Si extraemos como factor S: + i) (1 + (i1)ncomún D=S−

Si extraemos como factor común S: Si extraemos como factorcomún 1 S: = −  S: D factor 1  S:  S −factor SiSiextraemos como común 1 Si extraemos como común extraemos (1 + i)n S: = S − 1factor −  común D como   (1 +1i)n  D = S − 1 −  1 n  − (1 + i1) 1  DD==SDS−=−1 − n  n   (1S+1−−i)(1n1+− i)1 n  ( 1   n D (1=+Si) − 1 + (i1)+i) 

D = S n n(1 + i)   (1(+1 + ) − 1 i D = S (1 +i)ni)nn− 1n   11++(1 i) + −i) 1 − 1 DD==S DS= ((S  i)n  n  n ( + 1   +i)(1 Pero:   (1 iI) += iS) − P Pero: I = S−P Pero: I = SI−=PP(1 + i)n − 1 Pero: I= Pero: (1SI−+=−Pi)SPn − P1 (3) I= Pero: IP=S n (3) I = P(1 + i)n − 1 Como n

33

(3)

Cálculo Financiero

 = (1 + i)   D = S −D 1 −S −1 1 − D = S − 1− (1 + ni)n (1 + i)n     (1 + i) 

 (1 + i)nn − 1  D = S  (1 + i) nn− 1  D=(1S+ni)n((1 1 ++1ii))n −1  (D  i)   +=iP)Se−r(1u−1+ 1 U n iD vD e=r = sSiS d a d a nUn i ó n   (1 +ni)n (a1  n+ i)      (1 + i)  Pero: I = S−P Pero: I = S−P Pero: Pero: Pero: I =I =S S− −PIP= S − P Pero: n

(3) I = P(1 + i)n − 1 (3) I = P(1 + i) −n 1 n ( ) I P 1 i 1 = + − (3) (3) I = P(1 + ni) − 1 (3) ( ) I P 1 i 1 = + − Como Como S Como P = S ComoComo (4) Como n (4) PS = (1 + iS ) n (4) P = SP =(1 + i) (4) n P = (1 + ni)n (1 +(4) i) (1 + i) (4) en (3): Si sustituimos SiSi sustituimos (4)(4) enen (3): sustituimos (3): Si sustituimos (4) sustituimos (4)enen(3): (3):en (3): SiSisustituimos (4) S n

[ ] [ ] [ [[ ]] ]

I = S n (1 + i)n − 1 IS = (1 + iS )n (n1 + i+) i)−n 1− 1 I = S I =(1 +(1i)+ ni) (−1 1 I = (1 + ni)n(1(1++i)i)n− 1 (1 + i)

 (1 + i)n − 1

también I = S (1 + i)n n−n 1 OO también n 1 +i) −1 O también I =(1 S CPCC Santos Alberto farfán Peña + ni) (1 − +1 i O también +I =i)S−(1 + i)n n   O también I = S(1  O también I = S   (1 + ni)n (1+ i)    DEL VALOR PRESENTE  (1 +• i) CÁLCULO  CPCC Santos Alberto farfán Peña Que es equivalente a la fórmula del descuento Que es equivalente a la formula del descuento Que es aDEL la formula del descuento Fórmula principal • esequivalente CÁLCULO PRESENTE Que equivalente aPRESENTE la VALOR formula del descuento ◊ es CÁLCULO DEL VALOR Que equivalente a la formula del descuento P = S(1 − d) n Que es equivalente a la formula del descuento Fórmula principal Fórmula principal

PROESAD PROESAD PROESAD SAD AD

n

Fórmulas

P = S(1 de − dEducación ) Programa Superior a Distancia derivadas Programa de Educación Superior a Distancia 23 Programa de Educación a Distancia Programa de Educación SuperiorSuperior a Distancia 23 Programa de Educación Superior a Distancia log P − log S P P

Fórmulas derivadas 2323 Fórmulas derivadas

23

S=

S=

P

(1 − d)n

(1 − d)n

d = 1− n

P S

n= S log P − log S n= log(1 − d)

d = 1− n

log(1 − d)

4.1.6 DESCUENTO COMERCIAL SUCESIVO (DCS)

4.1.6. Descuento comercial sucesivo (dcs)

Ocurre cuando se aplican 4.1.6 DESCUENTO COMERCIAL SUCESIVO (DCS)diferentes tasas de descuento sobre el precio original diferentes de venta ytasas los siguientes sobre los precios rebajados. El DCS es Ocurre cuando se aplican de descuento sobre el precioyaoriginal de venta igual a la diferencia del precio de venta (PV) original y el último y los siguientes sobre los rebajados.tasas El DCSde es igual a la diferencia precio de precio Ocurre cuando seprecios aplicanyadiferentes descuento sobre eldel precio rebajado. venta (PV) original y el último precio rebajado. original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados. El DCS es igual a la diferencia del precio de venta (PV) original y el último precio DCS = PV [1 − (1 − d1 )(1 − d 2 )(1 − d 3 )...(1 − d n )] rebajado. El término entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada. (1 − dn )] la tasa de descuento acumulada [1 − (1 − entre DCS =ElPV d1 )(1 −corchetes d 2 )(1 − d 3 )...representa término

4.1.7. Tasa vencida y tasa adelantada

El término entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada 4.1.7 TASA VENCIDA Y TASA ADELANTADA ◊ La tasa vencida (i) es la tasa a ser aplicada a un capital inicial, la cual se hace efectiva al vencimiento plazo de la vencida operación (cálculo las fórmulas delcual se La tasa (i) pactada es la tasa a ser racional). aplicada aTodas un capital inicial, la 4.1.7 TASA VENCIDAdel Y •TASA ADELANTADA cálculo mercantil sehace basan en tasas efectiva al vencidas. vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las formulas del cálculo mercantil basan • La tasa vencida (i) es la (d) tasa a permite ser aplicada a un inicial, lase cual se en todas ◊ La tasa adelantada o anticipada nos conocer elcapital precio que habrá de pagarse vencidas. hace efectiva al vencimiento plazo de la operación pactada (cálculo por la percepción de una deuda antes del de su vencimiento. La tasa adelantada determina racional). Todas las formulas del cálculo mercantil se basan en todas el porcentaje en que disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consi• La tasa adelantada o anticipada (d) nos permite conocer el precio que vencidas. deración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su habrá de pagarse por la percepción de una deuda antes de su vencimiento. En forma matemática es aquella tasa que, multiplicada por un valor futuro, vencimiento. La tasa(d)adelantada porcentaje en que • disminuye La tasa adelantada o anticipada nos permitedetermina conocer elelprecio que (S) lo para determinar un valor presente. disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el habrá de pagarse por la percepción de una deuda antes de su tiempo por transcurrir entre las fechas que se anticipa el pago y la fecha vencimiento. La tasa adelantada determina el porcentaje en que su vencimiento. Entítulo forma matemática tasa queelmultiplicada disminuye eldevalor nominal de un valor, tomandoes enaquella consideración por un valorentre futuro lo disminuye determinar presente. tiempo por transcurrir las(S) fechas que se para anticipa el pago un y lavalor fecha de su vencimiento. En forma matemática es aquella tasa que multiplicada Unidad I 34EQUIVALENTE • TASA VENCIDA: por un valor futuro ADELANTADA (S) lo disminuye para determinarAunUNA valorTASA presente. •

Si la tasa adelantada (d) seA aplica sobre VENCIDA: (S) y la tasa vencida se aplica TASA ADELANTADA EQUIVALENTE UNA TASA sobre (P), entonces, ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una determinada operación para obtener un rendimiento equivalente a una

•

por un valor futuro (S) lo disminuye paraque determinar un valor presente. tiempo por transcurrir entre las fechas se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. En forma matemática es aquella tasa que multiplicada TASA EQUIVALENTE UNA TASAunVENCIDA: por un ADELANTADA valor futuro (S) lo disminuye paraAdeterminar valor presente. Facultad de Ciencias Empresariales

Si la tasa adelantada (d) se aplica sobre (S) yTASA la tasa vencida se aplica TASA ADELANTADA EQUIVALENTE A UNA VENCIDA: sobre (P), entonces, ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una determinada operación(d)para obtener un rendimiento una Si la tasa adelantada se aplica sobre (S) y la tasaequivalente vencida se aaplica tasa vencida dada? ◊ TASA ADELANTADA EQUIVALENTE¿qué A UNA TASA sobre (P), entonces, tasaVENCIDA: adelantada debe aplicarse a una obtener rendimiento equivalente Si ladeterminada tasa adelantadaoperación (d) se aplica para sobre (S) y la tasaun vencida se aplica sobre (P), enton-a una i vencida dada?debe aplicarse ces, tasa ¿qué tasa adelantada d = a una determinada operación para obtener un •

rendimiento equivalente a una tasa vencida (1 +dada? i)

•

i (1 +Ai) UNA TASA ADELANTADA: TASA VENCIDA EQUIVALENTE d=

◊ TASA VENCIDA EQUIVALENTE A UNA TASA ADELANTADA:

Si la tasaEQUIVALENTE d entonces podemos calcular equivalente, a partir de • conocemos TASA VENCIDA A UNA TASAsu ADELANTADA: Si conocemos la tasa d, entonces podemos calcular su equivalente, a partir de

d Si conocemos la tasa d entonces i = podemos calcular su equivalente, a partir de

(1 − d)

i= PROESAD PROESAD

d (1 − d)

ActividadesPrograma de Educación Superior a Distancia

24

Programa de Educación Superior a Distancia

1. El alumno desarrollará casos de 24 cálculo con tasas de interés compuesta.

__________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ 2. El alumno preparará un resumen relacionado con tasas de interés compuesta. __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________

35

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

AUTOEVALUACIÓN 1. Explique o defina interés simple. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. Explique o defina interés compuesto. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. Explique las diferencias fundamentales del interés simple e interés compuesto. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 4. Explique las diferencias fundamentales de descuento comercial simple y descuento comercial compuesto. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 5. ¿Cuál es el monto que formó un capital de S/.12,000.00 durante 6 meses, si una financiera le paga el 0.7 % de interés no acumulable mensualmente? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Unidad I

36

Facultad de Ciencias Empresariales

6. ¿Cuál es el descuento comercial que se obtiene en una compra de S/.900.00 pagadera al final de 90 días, si el descuento es el 4/8 % cada 30 días? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 7. Un monto de S/. 125,000.00 fue formado durante 3 años y cuatro meses, a una tasa del 12%. Calcular el capital que formó dicho monto. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 8. Un padre de familia registra ante Notario Público un testamento en el que deja como herencia S/. 4,000,000.00, los hijos deben retirar la herencia de la financiera después de transcurridos 4.5 años, con una tasa de interés capitalizable del 2/8 % mensual, el primer hijo tendrá 23 años de edad, el segundo hijo tendrá 21 años de edad y el tercer hijo tendrá 18 años de edad. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ 9. ¿Cuánto recibirá cada hijo, si la herencia se distribuye de acuerdo a su edad? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________

37

Cálculo Financiero

UNIDAD II ANUALIDADES Sesión N.º 5

¿Cómo calcular el número y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?

Sesión N.º 6

Anualidades anticipadas

Sesión N.º 7

Anualidades perpetuas o indefinidas

Sesión N.º 8

Anualidades diferidas

Sesión N.º 9

Bonos y acciones

RESULTADO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el estudiante maneja y aplica con destreza las anualidades en sus modalidades básicas, para el desarrollo armonioso en las finanzas empresariales.

39

Cálculo Financiero

5

Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

¿Cómo calcular el número y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?

Se denomina anualidad a una serie de pagos iguales que se hacen a intervalos de tiempos similares y uniformes, a fin que con sus intereses capitalizados formen un capital o se utilicen para amortizar una deuda al término de un período dado, conocido como anualidad. Anualidad, en el sentido más amplio, significa una serie de pagos iguales, realizados a intervalos también iguales, previamente establecidos, ya se trate de períodos de un año, 6 meses, 3 meses o de una serie de cualquier otra duración.

5.1. Clases Las anualidades se dividen en: Cálculo Financiero5.1.1. Cálculo Financiero

Anualidades fijas:

a.Las Anualidades Llamadas también vencidas o de fin de período. Son que pueden ordinarias: ser: a. Anualidades ordinarias: también vencidas de fin de período. Son series de pagos hechos al Llamadas final de cada período por un oplazo dado. series de pagos hechos al final de cada período por un plazo dado. a. Anualidades ordinarias: Llamadas también vencidas o de fin de período. Son series de pagos hechos al final de cada período por un plazo dado. R1 R2 R3 R4 R5 R1 R2 R3 R4 R5 0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

b. Anualidades anticipadas: Llamadastambién tambiénadelantadas, adelantadas, de imposición, no Anualidades anticipadas: anticipadas: Llamadas de de imposición, no vencidas o b.b. Anualidades LlamadasSon también adelantadas, imposición, no vencidas o de principios de período. series de pagos hechos al principio de de principios de período. Son series de pagos hechos al principio de cada período hasta vencidas o dehasta principios deplazo período. Son series de pagos hechos al principio de cada período por un dado. por un plazo hasta dado. por cada período un plazo dado. R1 R1 0 0

R2 R2 1 1

R3 R3 2 2

R4 R4 3 3

R5 R5 4 4

5 5

5.1.2 Perpetuidades: Denominadas también rentas vitalicias. Son una serie de pagos 5.1.2. Perpetuidades: 5.1.2 hechos Perpetuidades: también rentas vitalicias. una serievencidas de pagos por una Denominadas duración indeterminada. Pueden ser Son anticipadas, o hechos por una duración indeterminada. Pueden ser anticipadas, vencidas o diferidas Denominadas también rentas vitalicias. Son una serie de pagos hechos por una duración diferidas indeterminada. Pueden ser anticipadas, vencidas o diferidas. Perpetuidad vencida: Perpetuidad vencida:

R1 R1 0 0

R2 R2 1 1

R3 R3 2 2

R4 R4 3 3

R5 R5 4 4

Rn Rn 5 5

n n

Cálculo Financiero 41 5.1.3 Anualidades eventuales: Son series de pagos hechos en forma esporádica o 5.1.3 Anualidades eventuales: Son series de pagos hechos en forma esporádica o diferida. diferida.

5.1.2 Perpetuidades: Denominadas también rentas R1 vitalicias. R2 R3 Son R4 una R5 serie de pagos R1 R2 R3 R4 R5 5.1.2 hechos Perpetuidades: también rentas vitalicias. Son una serie de pagos por una Denominadas duración indeterminada. Pueden ser anticipadas, vencidas o 0 1 2 3 4 5 hechos por una 0 duración diferidas 1 2 indeterminada. 3 4 5 Pueden ser anticipadas, vencidas o diferidas Universidad Peruana Unión

5.1.2 también Perpetuidades: Denominadas también vitalicias. Son una serie de pagos 5.1.2 Perpetuidades: Denominadas rentas vitalicias. Son una serie rentas de pagos hechos por Pueden una duración indeterminada. Pueden hechos por una duración indeterminada. ser anticipadas, vencidas o ser anticipadas, vencidas o Perpetuidad vencida: R R R R R Rn 1 2 3 4 5 diferidas diferidas

Perpetuidad vencida:

Perpetuidad vencida:

Perpetuidad vencida:

0

R1

1

R2

2

R3

Perpetuidad R R03 R4vencida: 1 R5 2 2

R1

3

R4

RR3 1n 0

4

R5

Rn n Rn5

5

R24 R3 5 R4 1

2

3

4

Rn 5

n

0 1 2 4 5.1.3 Anualidades eventuales: Son 3series de5 pagosn hechos en forma esporádica o 5.1.3 Anualidades eventuales: Son series de pagos hechos en forma esporádica o diferida. 5.1.3 Anualidades eventuales: eventuales: Son series de pagosohechos en forma esporádica o diferida. 5.1.3 Anualidades eventuales:5.1.3 Son Anualidades series de pagos hechos en forma esporádica diferida. diferida.Cualquiera que sea la clase de anualidad, el valor de cada pago periódico recibe el Son series de pagos hechos en forma esporádica o diferida. Cualquiera que sea la clase que deanualidad anualidad, valor de cada periódico recibe el nombre de renta o simplemente y seel representa por R.pagocada Cualquiera sea ladeclase de anualidad, valor de pago periódico recibe el quede sea la clase deelanualidad, el valor de cada pagoelperiódico nombre Cualquiera que Cualquiera sea la clase anualidad, valor cada pago periódico recibe elrecibe el nombre ode renta o simplemente anualidad y se representa por R. nombre de o ysimplemente renta o simplemente anualidad se representa por R. y se representa por R. nombre de rentade simplemente anualidad yrenta se representa por R.anualidad

5.2 Monto de una anualidad ordinaria

5.2 Monto unade anualidad 5.2de Monto una anualidadordinaria ordinaria Monto una anualidad ordinaria 5.2 de Monto de una anualidad ordinaria

El monto de una anualidad ordinaria o valor futuro (S) es la suma al final del número de

monto de una anualidad ordinaria valor futuro (S) suma al final monto de una anualidad o valor futuro (S) oesvalor la suma final número de ladel El monto ordinaria de El una anualidad ordinaria futuroalo(S) es del al es final de del número de El montode de una más anualidad ordinaria opagos valor futuro (S) eslalasuma suma al finalnúmero del número de períodos todos los pagos más el interés sobre estos pagos. períodos de todos los más el interés sobre estos pagos. íodos de todos los pagos el interés sobre estos pagos. períodos de todos los pagos, más el interés sobre estos pagos.

períodos de todos los pagos más el interés sobre estos pagos. S=

(1 + i)n − 1 • R (1 + i)n − 1

(1 + i)n − 1

•R •R S = S= n 1 1 ( 1 + i1) − 1 •R S= 1 5.3 Cálculo de renta de una anualidad ordinaria

Cálculo de renta de una anualidad ordinariade una anualidad ordinaria 5.3 de renta 5.3 Cálculo deCálculo renta dede una ordinaria Con frecuencia se conoce el monto unaencontrar anualidadlaordinaria n frecuencia se conoce el monto unaanualidad anualidad ordinaria y se de desea renta y se desea encontrar la renta 5.3 Cálculo de renta de una anualidad ordinaria Con frecuencia se conoce el monto de una anualidad ordinaria y se desea la renta periódica. Como sucede por ejemplo en los problemas de fondosencontrar de amortización la fórmula iódica. Como sucede por ejemplo en los problemas de fondos de amortización la fórmula Con frecuencia se conoce el monto de una anualidad ordinaria y se desea encontrar la renta se determina despejando R de la fórmula general. Con frecuencia se el ejemplo monto de y se encontrar la renta determina despejando deconoce la fórmula general. periódica. ComoR sucede por enuna los anualidad problemasordinaria de fondos dedesea amortización la fórmula periódica. Como sucede, porfórmula ejemplo, enproblemas los problemas fondos de de amortización la fórperiódica. Como sucede por ejemplo en los dedefondos amortización la fórmula se determina despejando R de la general. a. despejando CÁLCULO DEL VALOR FUTURO mulaVALOR se determina R de la fórmula general. (S): a. CÁLCULO DEL FUTURO (S):

se determina despejando R de la fórmula general. a. CÁLCULO DEL VALOR FUTURO (S): (S): n a. CÁLCULO DEL FUTURO n VALOR (1 + i) − 1 • R ( 1 + i) − 1 = S = DEL VALOR •R a. CÁLCULO FUTUROS(S): i i

Despejando (1 + i) − 1 •RR S= Si (1 + ii)n − 1 • R R = Sin R= S = (1 + i) − 1 (1 +Ri)n − 1 Despejando i Despejando R O también, O también, Despejando R Si R= Sin R = (1 + i) n − 1 O también, PROESAD (1 + i) − 1

Despejando R

ESAD

n

Programa de Educación Superior a DistanciaPrograma de Educación Superior a Distancia

O también, O también,

RR==

PROESAD PROESAD

29

29

SS ((11 ++ ii))nn−−11 ii

[[

]]

CPCC Santos Alberto farfán Peña

CPCC Santos Alberto farfán Peña

Programa de Educación Superior a Distancia

29 29

Programa de Educación Superior a Distancia

b. CÁLCULO CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE (P): (P): b. DEL VALOR PRESENTE b. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE (P):

[[

]]

P i (1 + i ) R = P i (1n+ i )n R = (1 + i ) n− 1 n

(1 + i )

5.4 Cálculo del plazo (n)

−1

5.4 Cálculo plazo AL (n)FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE FCS a. ENdel FUNCIÓN 42

Unidad II

 (1 + i) −DE 1 CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE FCS a. EN FUNCIÓN AL FACTOR S= •R  



n

i

n

 



b. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE (P):

[

]

P i (1 + i ) R= (1 + i )n − 1 n

Facultad de Ciencias Empresariales

5.4 Cálculo delplazo plazo (n) 5.4. Cálculo del (n) a. ENALFUNCIÓN FACTOR DEDECAPITALIZACIÓN DE LA SERIE FCS a. EN FUNCIÓN FACTOR DEAL CAPITALIZACIÓN LA SERIE FCS  (1 + i)n − 1 S=  •R i   Si + R n = (1 + i) R





log(Si + R ) − log R = n log(1 + i) n=

log(Si + R ) − log R log(1 + i)

5.5. Cálculo dedelalatasa deinterés interés 5.5 Cálculo tasa de

Cuando es una anualidad se reconoce P, R, S y n aceptando la tasa efectiva periódic

Cuando es una anualidad se reconoce P, R, planteando S y n aceptando la tasa efectiva periódica, enentonces ésta es posible hallarla la ecuación de equivalencia y buscando el val toncesde esta es posible hallarla planteando la ecuación de equivalencia y buscando el valor la tasa aplicando la interpolación lineal. de la tasa aplicando la interpolación lineal.

Actividades: 3. El alumno desarrollará casos de cálculo de cuotas de amortizaciones d deudas. 4. El alumno preparará un resumen de relacionado al tema de cuotas d amortizaciones de deudas.

PROESAD

30

43

Programa de Educación Superior a Distancia

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

Actividades 1. El alumno desarrollará casos de cálculo de cuotas de amortizaciones de deudas. _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de cuotas de amortizaciones de deudas. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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Unidad II

44

6

Sesión

Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

Anualidades anticipadas 6.1. Anualidades anticipadas

CPCC Sa

Una anualidad anticipada es una sucesión de rentas que empiezan en el momento inicial, es decir, al inicio del período de renta, como sucede con el pago de arrendamientos, las pólizas de seguro, lasa.pensiones de DE enseñanza, MONTO UNA etc. ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA La diferencia entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada, dado un número igual de rentas, radica en que la última renta no percibe interés porque coincide n con el término del plazo de la anualidad; mientras que en la anualidad anticipada la última CPCCpeSantos Alberto farfán Peña renta no coincide con el final del plazo deala anualidad, ubicándose al inicio del último CPCC Santos ríodo de renta y percibiendo el interés o beneficio hasta el final del período, fecha en queAlberto farfán Peña concluye el plazo de la anualidad. a. MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA a. DE UNA ANUALIDAD a. MONTO DE UNAMONTO ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADASIMPLE ANTICIPADA

 (1 + i ) − 1 S = R (1 + i )  i  

n  (1UNA 1 + ni ) −ANUALIDAD B. VALOR PRESENTE DE SIMPLE ANTICIPADA S = Ra (1 + i )(1 + i ) − 1  i  S = Ra (1 + i )  i n 

 (1 + i ) − 1 B. DE VALOR PRESENTE DE ANUALIDAD SIMPLE )ANTICIPADA = Ra (1SIMPLE + iUNA PANUALIDAD b. VALOR PRESENTE UNA  ANTICIPADA B. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDADnSIMPLE ANTICIPADA in(1 + i )    (1 + i ) − 1 P = Ra (1 + i)(1 + i )n − 1n   P = Ra (1 + i )  i (1 + in)    i(1 + i )ENANUALIDADES SIMPLES ANTICIP c. VALOR DE LAS RENTAS c. VALOR DE LAS RENTAS EN ANUALIDADES SIMPLES ANTICIPADAS c. EL VALOR DE LAS RENTAS EN ANUALIDADES SIMPLES ANTICIPADAS c1) CONOCIENDO VALOR FUTURO (S) c1) CONOCIENDO EL VALOR FUTURO (S) c. VALOR DE LAS RENTAS EN ANUALIDADES SIMPLES ANTICIPADAS c1) CONOCIENDO EL VALOR FUTURO (S) c1) CONOCIENDO EL (S)  VALOR FUTURO 

Ra =

S

i

 S   i n R a = 1+i n + i  1 S(1 + i)  (1  i ) + i − 1    Ra = (1 + i)  (1 + i)n − 1

(

) (

)

 − 1

c2) CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE (P)

c2) CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE (P) c2) CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE (P) n P  i(1 + i)  Ra =   nn   P i i(1 ++ii)) − 1 n i 1 + i  (145 R a = 1 + P R a 1=+ i  (1 + i)n − 1 n

(

)

  1 + i  (1 + i) − 1

d.

Cálculo Financiero

CÁLCULO DE n EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

a

(1 + i)  (1 + i)n − 1

c2) CONOCIENDO PRESENTE (P)  S  EL i VALOR Ra =

(1 + i)  (1 + i)n − 1 n  c2) CONOCIENDO PRESENTE (P) P  i(1EL + i) VALOR Ra =   1 + i  (1 + i)n − 1 n P  i(1 + i)  c2) CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE (P) R a = (P)  c2) CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE 1 + i  (1 + i)n − 1 n d. CÁLCULO DEPn EN i(1UNA + i) ANUALIDAD ANTICIPADA Ra =   1 + i  (1 + i)n − 1 d. d1) CÁLCULO DE nDEL EN VALOR UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A PARTIR FUTURO (S)

Universidad Peruana Unión

d. CÁLCULO DE n EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

d1) A PARTIRDEL FUTURO (S)  Si VALOR + 1 ANUALIDAD ANTICIPADA n EN UNA

d1) A PARTIR FUTURO (S) log d.DEL VALOR CÁLCULO DE

 R a (1 + i)   Si (1 +VALOR i) + 1 loglog d1) A PARTIR DEL FUTURO (S) R a (1 + i)   n= 1 + i)  log(Si + 1 PRESENTE (P) logDEL VALOR d2) A PARTIR d2) A PARTIR DEL VALOR PRESENTE (P) R a (1 + i)  n= log(1 + i) d2) A PARTIR DEL VALOR  Pi  PRESENTE (P) log1 −  R a (1 + i)   n=− log(1 +Pi i)  PRESENTE (P) logDEL 1 − VALOR d2) A PARTIR  R a (1 + i)  n=− 6.2. CALENDARIO DE PAGOS, CUADRO DEi) AMORTIZACIÓN Y TABLA DE log(1 + Pi  ACUMULACIÓN 1 − 6.2. CALENDARIO DE log PAGOS, DE AMORTIZACIÓN Y TA ) R a (1 + iCUADRO  n=− ACUMULACIÓN log(1 + i) de un capital o la formación de un Es la tabla de amortización que muestra la devolución n=

6.2.

CALENDARIO DE PAGOS, CUADRO DE AMORTIZACIÓN Y TA

6.2.

CALENDARIO DE PAGOS, CUADRO DE AMORTIZACIÓN Y TA

capital a partir de la renta de una anualidad vencida o anticipada, a un plazo acordado ACUMULACIÓN Es la tasa tabla de amortización que de muestra la devolución dedel un capital o la form y una efectiva periódica. El número rentas puede calcularse tanto capital a partir de la renta de una anualidad vencida o anticipada, a valor actual un o futuro del capital involucrado.

Cálculo Financiero Cálculo Cálculo Financiero Financiero Cálculo Cálculo Financiero Financiero Cálculo Financiero previamente

Es larepago tabla de amortización que muestra laservicio devolución de un capital de o larent form acordado previamente una tasa efectiva periódica. El En elEn caso del de una deuda seydetalla un cronograma el servicio de la deuda Enel caso del repago deuda, sese detalla un cronograma el servicio de deuda (suma En En elelcaso caso del del repago repago de deuna una una deuda deuda se detalla detalla un un cronograma cronograma el el servicio de de la la deuda deuda En el el caso caso del delde repago repago de de una una deuda deuda se se detalla detalla un un cronograma cronograma el ellaservicio servicio de de la lanúmero deuda deuda En el caso del repago de una deuda se detalla un cronograma el servicio de la deuda ACUMULACIÓN de principal más intereses), fechas, cuota intereses correspondientes de(suma principal más intereses), fechas, cuota capital, intereses correspondientes y principal o anticipada, a calcularse tanto delfechas, valor actual ocapital, futuro del capital involucrado. un amás partir de la renta de una anualidad vencida (suma (suma de de principal principal más más intereses), intereses), fechas, cuota cuota capital, capital, intereses intereses correspondientes correspondientes (suma (suma de de capital principal principal más intereses), intereses), fechas, fechas, cuota cuota capital, capital, intereses intereses correspondientes correspondientes (suma de principal más intereses), fechas, cuota capital, intereses correspondientes y principal pendiente de pago. Veamos el caso de un préstamo por $10,000 a una pendiente de pago. Veamos el caso de un préstamo por $10,000 a una tasa de interés yy principal principal pendiente pendiente de de pago. pago. Veamos el elycaso caso de decaso un un préstamo préstamo por porperiódica. $10,000 $10,000 a a una una yyy principal principal pendiente pendiente de deVeamos pago. pago. Veamos Veamos el el caso de de un un préstamo préstamo por por $10,000 $10,000 aaa una una acordado previamente una tasa efectiva El número de rent principal pendiente de pago. Veamos el caso de un préstamo por $10,000 una tasa de interés efectiva anual del 12% por un plazo de 5 años. efectiva anual del 12% por un plazo de 5 años. tasa tasa de de interés interés efectiva efectiva anual anual del del 12% 12% por por un un plazo plazo de de 5 5 años. años. Es la tabla de amortización que muestra la devolución de un capital o la for PROESAD Programa de Educación Superior aD tasa tasa de de interés interés efectiva efectiva anual anual del del 12% 12% por por un un plazo plazo de de 5 5 años. años. tasa de interés efectiva 12%actual por un oplazo de 5del años. calcularse tantoanual del del valor futuro capital involucrado. ro 32 1 : Determinar monto delapago periódico (Renta o cuota) partir de la renta de unao anualidad vencida o anticipada, a ro unel capital ro ro : Determinar el monto del pago periódico (Renta cuota) ro 11roro::1Determinar Determinar el el monto monto del del pago pago periódico periódico (Renta (Renta o o cuota) cuota) 1 1 : : Determinar Determinar el el monto monto del del pago pago periódico periódico (Renta (Renta o o cuota) cuota) 1 : Determinar el monto del y pago periódico (Renta o cuota) acordado previamente una tasa efectiva periódica. númeroSuperior de ren PROESAD Programa El de Educación aD

32 calcularse tanto del valor actual o futuro del capital involucrado. Valor Presente = Renta (FIVPA* i%,n)i%,n) Valor Valor Presente Presente == Renta Renta (FIVPA* i%,n) i%,n) Valor Valor Presente Presente ==(FIVPA* Renta Renta (FIVPA* (FIVPA* i%,n)

Valor Presente = Renta (FIVPA* i%,n) $10,000 = Renta (FIVPA* 12%,5) $10,000 $10,000 Renta (FIVPA* 12%,5) 12%,5) $10,000 $10,000 == Renta = =(FIVPA* Renta Renta (FIVPA* (FIVPA* 12%,5) 12%,5) $10,000 = Renta (FIVPA* 12%,5) $10,000 = Renta (3.605) PROESAD $10,000 $10,000 = = Renta Renta (3.605) (3.605) $10,000 $10,000 = = Renta Renta (3.605) (3.605) $10,000 = Renta (3.605) 32 Renta = $10,000 / 3.605 = $2,774 Renta Renta ==Renta $10,000 $10,000 // 3.605 3.605 /// 3.605 == $2,774 $2,774 Renta = = $10,000 $10,000 3.605 = = $2,774 $2,774 Renta = $10,000 3.605 = $2,774

Programa de Educación Superior a

FIVPA*= -1 11-- 1 11 == 3.605 = 3.605 FIVPA*= FIVPA*= 11 1-- 11 FIVPA*= FIVPA*= = = 3.605 3.605 FIVPA*= 155 5 3.605 = 3.605 555 0.120.12 (0.12) (1.12) 0.12 0.12 (0.12) (0.12) (1.12) (1.12) 0.12 (0.12) (0.12) (1.12) (1.12) 0.12 (0.12) (1.12)

* FIVPA= Factor de interés acumulado valor presente de anualidad vencida ** FIVPA= FIVPA= Factor Factor de de interés interés acumulado del deldel valor valor presente presente de de una unauna anualidad anualidad vencida vencida *** FIVPA= FIVPA= Factor Factor de de acumulado interés interés acumulado acumulado del del valor valor presente presente de de una una anualidad anualidad vencida vencida FIVPA= Factor de interés acumulado del valor presente de una anualidad vencida do 2do: Construir do la tabla de amortización do 22do :: Construir Construir la la tabla tabla de detabla amortización amortización 222do ::: Construir Construir la la tabla de de amortización amortización Construir la tabla de amortización

é46 de Cuota Inter s Principal Balance ééssInter Fin FinFin de de Fin Cuota Inter Inter Principal Balance Balance é és Fin de deCuota Cuota Cuota Inter sPrincipal Principal Principal Balance Balance é Fin de Cuota Inter s Principal Balance AñoAño Final Año Año Final Final Año Final Final Año Final -- --- $10,000 $10,000 00 0 0 $10,000 0 $10,000 $10,000 0 -$10,000 $2,774 $1,200 $1,200 $1,574 8,426 11 1 $2,774 $2,774 $1,200 $1,574 $1,574 8,426 8,426

Unidad II

Renta = $10,000 / 3.605

= $2,774

FIVPA*= 1 1del valor presente = 3.605de una anualidad vencida * FIVPA= Factor de interés acumulado 0.12 (0.12) (1.12)5 Facultad de Ciencias Empresariales

2do: Construir la tabla de amortización

* FIVPA= presente deBalance una anualidad vencida FinFactor de de interés Cuotaacumulado Interédel s valor Principal Año Final 0 $10,000 * FIVPA= Factor de interés acumulado del valor presente de una anualidad vencida 2do: Construir la tabla de amortización do 1 de amortización $2,774 $1,200 $1,574 8,426 2 : Construir la tabla 2,774 1,011 1,763 6,663 és Fin2de Cuota Inter Principal Balance Año Final 3 2,774 800 1,974 4,689 0 -$10,000 4 2,774 563 2,211 2,478 1 $2,774 $1,574 8,426 5 2,775 * $1,200 297 2,478 0 2 2,774 1,011 1,763 6,663 $13,871 $3,871 $10,000 3 2,774 800 1,974 4,689 4 2,774 2,211 2,478 *: Redondeo por decimales 563 5 2,775 * 297 2,478 0 $13,871 $3,871 $10,000 El calendario de pagos desarrollado es el más utilizado por las instituciones financieras, el servicio de la deuda es constante (R), los intereses son decrecientes y la *:donde Redondeo por decimales *: Redondeo por decimales amortización del principal creciente. El cuadro de amortización permite examinar el correcto Elcálculo calendario de pagos desarrollado es el más utilizado por las instituciones financieras, de los intereses a pagar o a recibir. donde el servicio de la deuda es constante (R), los intereses son decrecientes y la amortización del principal El cuadro de permite el correcto cálculoa El calendario decreciente. pagos esamortización el más por examinar lasy los instituciones financieras, Otra práctica utilizada es desarrollado devolver el préstamo en utilizado partes iguales intereses se cobran donde el servicio de la deuda es constante (R), los intereses son decrecientes la de los intereses a pagar o a recibir. rebatir. Del ejemplo anterior, en cada período habría que devolver $2,000 ($10,000/5) yy en amortización del principal creciente. El cuadro de amortización permite examinar el correcto cadapráctica oportunidad pagar los intereses que en correspondan sobre saldo de principal Otra utilizada es adevolver préstamo partes iguales y los el intereses se cobran a cálculo de los intereses pagar o el a recibir. adeudado. CPCC Santos Alberto farfán Peñay en rebatir. Del ejemplo anterior, en cada período habría que devolver $2,000 ($10,000/5) cada pagares losdevolver intereses correspondan sobre el saldo Otraoportunidad práctica utilizada el que préstamo en partes iguales y losprincipal interesesadeudado. se cobran a rebatir. Del ejemplo anterior, en cada período habría que devolver $2,000 ($10,000/5) y en Fin de Cuota Interés Principal Balance cada oportunidadAño pagar los intereses que correspondan sobreFinal el saldo de principal adeudado. 0 $10,000 1 $3,200 $1,200 $2,000 8,000 2 2,960 960 2,000 6,000 Fin de Cuota Interés Principal Balance Vemos el siguiente caso 3de cuadro2,720 de servicio de la deuda 2,000 con formación de un fondo de 720 4,000 Año Final amortización del principal.0 -480 $10,000 4 2,480 2,000 2,000 1 préstamo $3,200 $1,200 $2,000 8,000 2,240 240 2,000 0 Una empresa obtiene un5 por S/.10’360,000 para efectuar ampliaciones en su 2 2,960 960 2,000 6,000 $13,600 $3,600al término $10,000 planta. El periodo de repago es en una sola cuota del 8º año y la tasa efectiva anual es del 21.7% p.a. El inversión le720 exige a la 2,000 empresa a formar 3 banco de 2,720 4,000 un fondo de

Vemos el siguiente caso de cuadro de servicio de la deuda con formación de un fondo de amortización por el cual los gana-rían una al año. 4 depósitos 2,480 480tasa efectiva 2,000del 10.25% 2,000 amortización del principal. 5

2,240

240

2,000

0

cuadro del fondo amortizaciónpara del principal SEempresa PIDE: Elaborar Una obtieneel un préstamo por de S/.10’360,000 efectuar ampliaciones en su $13,600 $3,600 $10,000 planta. El período de repago es en una sola cuota al término del 8º año y la tasa efectiva anual es del 21.7% p.a. El banco de inversión le exige a la empresa formar un fondo de amortización por el cual los depósitos ganarían una tasa efectiva del 10.25% al año.

SE PIDE: Elaborar el cuadro del fondo de amortización del principal 1ro: Determinar el monto del periódico depósito periódico (Renta o cuota) 1ro: Determinar el monto del depósito (Renta o cuota) Valor futuro 10’360,000 10’360,000

= Renta (FIVFA* i%,n) = Renta (FIVFA* 10.25%,8) = Renta (11.5402399)

Renta = 10’360,000 / 11.540 FIVFA*= 1 1 0.1025 (0.12) (1.12)8

= 897,728.31 [1.01025]8 = 11.5402399

* FIVPA= Factor de interés acumulado del valor futuro de una anualidad vencida Años 1 2 3 4

Depósito anual Intereses 47 generados 897,728.31 897,728.31 92,017.15 897,728.31 193,466.06 897,728.31 305,313.48

Fondo acumulado al Cálculo Financiero final del periodo 897,728.31 1’887,473.77 2’978,668.14 4’181,709.93

Universidad Peruana Unión

* FIVPA= Factor de interés acumulado del valor futuro de una anualidad vencida

Años

Depósito anual

Intereses generados

Fondo acumulado al final del período

1

897,728.31

897,728.31

2

897,728.31

92,017.15

1’887,473.77

3

897,728.31

193,466.06

2’978,668.14

4

897,728.31

305,313.48

4’181,709.93

5

897,728.31

428,625.27

5’508,063.51

6

897,728.31

564,576.51

6’970,368.33

7

897,728.31

714,462.75

8’582,559.39

8

897,728.27

879,712.34

10’360,000.00

7’181,826.16

3’178,173.84



Unidad II

48

Facultad de Ciencias Empresariales

Actividades 1. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades anticipadas. _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de anualidades perpetuas anticipadas de dos autores. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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49

Cálculo Financiero

7

Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

Anualidades perpetuas o indefinidas

CPCC Santos Albe

El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito CPCC de cap Santo 7.1. RENTAS PERPETUAS trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el El valor actual estas cuando rentas se qué ocurre aplicamos matemático de losde límites, la obtendrá duración viendo de la renta (y porsitanto, el nú CPCC Santos Alberto farfán Peña Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es infinito. Por este motivo a empleadas rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de capitales) tiendepara a infinito. este tipo de rentas solo se trabajamos le podrá calcular actual pero nunca valor final, y todo ello de trabajar con con valor infinitos términos (∞∞).elEn definitiva, se trata El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable,de matemático de constante, los límites,pospagable, cuando la inmediata duración la renta (y por tanto, el En el caso de renta y etc. entera: empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de capitales (n) capitales) tiende a viendo infinito. qué ocurre si aplicamos las fórmulas • Renta unitaria: El valortrabajamos actual de estas rentas se obtendrá con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto empleadas para rentas temporales y, en lugar de utilizar un número finito de capitales matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y por tanto, el(n), número de En el caso de renta constante, pospagable, inmediata entera: trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el yconcepto capitales) tiende a infinito. Renta unitaria: matemático de los límites,•cuando la duración de la renta (y, por tanto, el número de capitales) tiende a infinito. En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera: • Renta unitaria: En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera: • Renta unitaria:    

• Renta no unitaria: Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria: • Renta no unitaria: Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

• Renta no unitaria: Será la•cuantía delunitaria: término multiplicado por la renta unitaria: Renta no  

Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hace la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla ha En el caso de una rentacalcular constante, y entera, se puede hacer de misma la laprepagable, inmediata renta prepagable multiplicando por (1 + uso i) la renta con definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de calcular En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede h pospagable. la renta prepagable multiplicando por (1 + la misma renta considerada pospagable. la definición dei) renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla • Renta unitaria: calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta • RentaEn unitaria: el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de pospagable. la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de   • Renta unitaria: calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable. • Renta unitaria:  

• Renta no unitaria: 51

• Renta no unitaria:

Cálculo Financiero

pospagable. • Renta unitaria:

Universidad Peruana Unión

• Renta no unitaria: • Renta no unitaria: • Renta no unitaria:

culo Financiero

Pospagables:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 euros si el tanto esde el una 12%renta nominal capitalizable porcon semestres, en de los25.000 siguientes casos: Hallardeelvaloración valor actual perpetua semestral un término euros, si el Hallar el 12% valornominal actual de una renta por perpetua semestral un término de 25.000 euros si el tanto de valoración es el capitalizable semestres, en loscon siguientes casos: a) Pospagables: tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos: a) Si los capitales son pospagables. Cálculo Financiero a. Si los capitales son pospagables. b) Si los capitales son prepagables. b. Si los capitales son prepagables. a) Si los capitales son pospagables. a) Pospagables: Cálculo Financiero b) Si los capitales son prepagables. Cálculo Financiero

Prepagables:

a) Pospagables:

b) Prepagables: a. Pospagables: PROESAD

 

b) Prepagables: PROESAD b. Prepagables:  

Programa de Educación Superior a Distancia

36

Programa de Educación Superior a Distancia

36

b) Prepagables:

2. ¿CÓMO CALCULAR TASAS, VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL?

7.2. ¿CÓMO CALCULAR TASAS, VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL?

or medio dePor gráficos debemos determinar las VALOR entradas (+) (+) y salidas de (-).Luego Luego 7.2. ¿CÓMO CALCULAR TASAS, ACTUAL VALOR FINAL? medio de gráficos debemos determinar las entradas yYsalidas de efectivo efectivo (-). on las fórmulas unaCALCULAR calculadora financiera o las unahoja hojade de 7.2. ¿CÓMO TASAS, VALOR ACTUAL Y VALORde FINAL? con lasexpuestas, fórmulas expuestas, una calculadora financiera o lasfórmulas fórmulas de una cálculo, podemos resolverdebemos rápidamente los problemas concernientes valor del enen el el álculo, podemos losdeterminar problemas concernientes alalvalor deldinero dinero Porresolver medio de rápidamente gráficos las entradas (+) y salidas de efectivo (-). Luego Por medio de gráficos debemos determinar las entradas (+) y salidas de efectivo tiempo a una fecha focal, sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para con las fórmulas expuestas, una calculadora financiera o las fórmulas de una hoja de cálempo a una fecha focal,7.2. sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para(-). Luego ¿CÓMO CALCULAR TASAS, VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL? con las fórmulas expuestas, una calculadora financiera o las fórmulas de una hoja de hallar un valor futuro. culo, podemos resolver rápidamente los problemas concernientes al valor del dinero en el allar un valor futuro. cálculo, podemos resolver rápidamente los problemas concernientes al valor del dinero en el

tiempo a una focal, sea actualizando hallar unlas valor actual(+) o capitalizando Porfecha medio de gráficos debemospara determinar entradas y salidas de para efectivo (-). Luego a una fecha focal, sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para hallar un tiempo valor futuro. con las fórmulas expuestas, una Ingresos calculadora financiera o las fórmulas de una hoja de hallar un valor futuro. cálculo, podemos resolver rápidamente Ingresos los problemas concernientes al valor del dinero en el tiempo a una fecha focal, sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para Tiempo Ingresos hallar un valor0 futuro.1 2 3 n-1 n 0

1

Egresos

Presente (hoy) FECHA FOCAL

Presente (hoy) FECHA FOCAL

n-1

2Egresos 3 0

1

2

3

Ingresos

n

Tiempo

n-1

n

Tiempo

Egresos

0 Presente (hoy)

1

2

3

n-1

n

Tiempo

Egresos

FECHA FOCAL Ejemplo 1: Una máquina cuyo precio de contado es S/. 10000 fue adquirida con una cuota Ejemplo 1: Una máquina cuyo precio alcon contado es S/. 10000 cuota inicial de S/. 3000 y el saldo se financió una letra a 60 días fue poradquirida un montocon de una S/. 7500. Presente (hoy) inicial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500. ¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada? FECHA FOCAL ¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada? Ejemplo 1:precio Una gráfica máquina cuyo precio de 10000 contadofue es S/. 10000 fue adquirida con una cuota emplo 1: Una máquina de contado es S/. adquirida con una cuota • cuyo Solución inicial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500. cial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500. ◊ Solución gráfica ¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada? = 7,500 Valor_nominal 1: Una máquinasimple cuyo precio de contado es S/. 10000 fue adquirida con una cuota Cuál fue la tasa nominalEjemplo mensual de Solución interés cargada? • gráfica inicial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500.

•

Solución gráfica

¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada? Valor_nominal = 7,500 0 gráficaTasaInt = ? día 60 • Solución

Valor_nominal = 7,500

Valor bien de capital 10,000 Valor_nominal = 7,500 0 TasaInt = ? día 60 Cuota inicial – 3,000 Saldo neto a pagar 7,000 0 de capital TasaInt día 60 Valor bien 10,000 = ? 0 TasaInt = ? día 60 Cuota inicial de Excel: – 3,000 • Uso de Funciones TASA.INT Saldo neto a pagar 7,000 Valor bien de capital 10,000 Valor bien de capital 10,000 Unidad II Cuota inicial – 3,000 Cuota inicial – 52 3,000 • Uso deaFunciones de Excel: TASA.INT Saldo neto pagar 7,000 Saldo neto a pagar 7,000

•

de Funciones de Excel: TASA.INT Uso de Funciones• deUso Excel: TASA.INT

CPCC Santos Alberto farfán Peñ Facultad de Ciencias Empresariales

◊ Uso de Funciones de Excel: TASA.INT

CPCC Santos Alberto farfán Pe

Rp. La TNA es 42,86%, que al dividirla por 12, se obtiene una TNM de 3,57%

Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TEA Rp. La TNA es 42,86%, que al dividirla por 12, se obtiene una TNM de 3,57% de 20%? Rp. La TNA es 42,86%, que al dividirla por 12, se obtiene una TNM de 3,57% Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TEA de 20%?

Solución Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TE Solución de 20%? Solución

Respuesta: La TNA es 18,37%

Respuesta: La TNA es 18,37% Respuesta: La TNA es 18,37%

53 Actividades: 7. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades perpetuas. 8.Actividades: El alumno preparará un resumen de relacionado al tema de anualidades Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

Actividades 1. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades perpetuas. _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de anualidades perpetuas, de dos autores diferentes. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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Unidad II

54

Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

ANUALIDADES DIFERIDAS 8.1. ANUALIDADES DIFERIDAS

8

CPCC Santos Alberto farfán Peña

Las anualidades diferidasen sonlas las mismas queprimer las anualidades y anticipadas, interpretar que son aquellas cuales el pago sevencidas hace algún tiempo salquetérmino estas tengan un período de de gracia. También se puede interpretar que son aquellas despuésvodel del primer período interés.

en las cuales el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer período interés. Ejemplodeuno. Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término

del quinto (5) año, se recién requerirán 300 quetzales anuales para hasta reparaciones. Ejemplo uno. cuando Un puente construido no necesitará reparación el término del Se estima que de ahí en adelante, se necesitarán 300 quetzales al final de cada año quinto (5) año, cuando se requerirán 300 quetzales anuales para reparaciones. Se estima en los próximos Hallar el valor presente X, delalmantenimiento del que, de ahí20 enaños. adelante, se necesitarán 300 quetzales final de cada año enpuente, los próximos sobre la20base 3%. el valor presente X, del mantenimiento del puente, sobre la base de 3%. años.deHallar 8.1.1. Graficando dede tiempo-valor 8.1.1. Graficandoeleldiagrama diagrama tiempo-valor

8.1.2. Análisis Se observa en la gráfica que los gastos empiezan hasta fines del año 5. Podemos considerar al año 4, como la fecha focal, a partir de la cual encontraremos el primer valor presente, o sea, será la primera fecha focal, para los 21 pagos de 300 quetzales anuales. Encontrando el valor presente en esta primera fecha focal, encontraremos el valor presente en la segunda fecha focal. Veamos: 8.1.2. Análisis

Se observa en la gráfica que los gastos empiezan hasta finales del año 5. Podemos considerar al año 4, como la fecha focal, a partir de la cual encontraremos el primer valor presente, o sea, será la primera fecha focal, para los 21 pagos de 300 quetzales anuales. Encontrando el valor presente Financiero 55 el valor presente en la Cálculo en esta primera fecha focal, encontraremos segunda fecha focal. Veamos: PRIMERA FECHA FOCAL

Universidad Peruana Unión

Cálculo Financiero

Cálculo Financiero

PRIMERA FECHA FOCAL

Ejemplo dos. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales $Rdeuda cada de uno. Si el primer se efectúa exactamente al año de de Ejemplo dos.de Una $800.000 se va pago a cancelar mediante 20 pagos trimestrales $R cada uno. Si el primer pagocalcular se efectúa exactamente aldel año de20 haberse haberse prestado eldedinero, una tasa 36% CT. Ejemplo dos. Una deuda $800.000 se vaR acon cancelar mediante pagosprestado el dinero, calcular R con una tasa del 36% CT. trimestrales de $R cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R con una tasa del 36% CT.

8.1.3. Análisis Se observa que el primer pago está en el período 4 que corresponde al fnal del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:

8.1.3. Análisis

800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)-3 R = $113.492,69

observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al fnal del 8.1.3. Se Análisis primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, presente deberá al punto 0 dondealsefnal ha puesto la fecha Se observa quesu el valor primer pago está en eltrasladarse periodo 4 que corresponde del valor será: primerfocal. año. La ecuación anualidadde debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha Unidad II 56 -3 800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09) focal. La ecuación de valor será: PROESAD

Programa de Educación Superior a Distancia -3 800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)

Facultad de Ciencias Empresariales

Actividades 1. El alumno desarrollará casos de cálculo de bonos y acciones diferentes. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de bonos y acciones de dos autores diferentes. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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57

Cálculo Financiero

9

Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

Bonos y acciones 9.1. BONO

Es una obligación a largo plazo, emitido por una empresa o por una entidad estatal o país. Es una promesa para pagar intereses y rembolsar el dinero recibido en préstamo en los términos especificados en el documento llamado Contrato de Emisión de Bonos. Formaliza la entrega de dinero, de una persona natural o jurídica a una empresa, en calidad de préstamo. La empresa promete por escrito al tenedor del bono: pagarle “intereses periódicos” durante el plazo del bono y devolver el préstamo o una suma fija llamada “valor de redención” en una fecha futura “fecha de redención”. El contrato de emisión de bonos incluye, como mínimo, las siguientes estipulaciones: a. Valor a la par o valor nominal que casi siempre es múltiplo de 100. b. Pago de cupón. c. Tasa de interés de cupón: Ejemplo: 12% nominal anual pagado semestralmente: Abreviación: “12%, EJ” (enero- julio). d. Fecha de vencimiento o de redención que generalmente coincide con la fecha de pago de interés. e. Cláusula de reembolso del valor facial o nominal. Cuando el valor de redención y el valor nominal son idénticos, se dice que el bono es redimible “a la par”. El bono también podría redimirse “sobre la par”, por ejemplo, en un 105% del valor nominal o “bajo la par”, por decir en el 95% del valor nominal o facial. La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería: B0 : Precio del bono o precio de mercado. F : Valor facial o nominal del bono. c : Cupón % del valor facial F. k : COK (Costo de oportunidad de capital) o Rendimiento al vencimiento.

Bo = Σ ct + (1 + k)t

CPCC Santos Alberto farfán Peñ

F (1+ k)t

9.2. ACCIONES 9.2.

ACCIONES Una acción es un documento emitido por la empresa en la que se estipula po Una acción es un documento emitido por la empresa en la que se estipula por escrito la partiescrito la participación en los bienes de ella y en las ganancias qué est cipación en los bienes de ella y en las ganancias que esta genere en el tiempo de explotación. genere en el tiempo de explotación. Convierte al tenedor en “accionista” de la empresa, ya sea poseedor de acciones preferenciales o comunes.

Convierte al tenedor en “accionista” de la empresa ya sea poseedor d acciones preferenciales o comunes.

59 9.2.1. ACCIONES PREFERENCIALES: Es una forma de financiación que combina las características de un acción común y las de un bono con las siguientes características: Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

9.2.1. Acciones preferenciales Es una forma de financiación que combina las características de una acción común y las de un bono, con las siguientes características: a. No otorga propiedad de la empresa. Los poseedores de acciones preferentes actúan como grupo colegiado y constituyen una minoría con voz, pero sin voto. b. Otorgan a su poseedor un dividendo preferencial fijo, aunque no constituyen una obligación legal como en el caso del bono. La entrega de dividendos está supeditada a la decisión del directorio de la empresa. c. Los accionistas preferentes reciben sus dividendos antes que los accionistas comunes, pero después de los bonistas. d. No tienen fecha de vencimiento, como sí lo tienen los bonos. Normalmente, las acciones preferentes tienen un horizonte “infinito” de valuación; sin embargo, como los bonos pueden ser redimibles a consideración de la empresa, cuando el mercado le sea favorable. Pueden ser “convertibles” en acciones comunes.

9.2.2. Acciones comunes Las principales características son: a. Otorga propiedad de la empresa. b. Compromete el pago de dividendos, siempre y cuando haya utilidades en el ejercicio. Este es el riesgo. c. En caso de liquidación, el reembolso de la acción tiene la última prioridad. d. Otorga el derecho de elegir al directorio a razón de 1 voto por 1 acción. e. No tiene fecha de vencimiento, pero el accionista común puede vender su acción en la bolsa de valores. La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería: P0 : Precio del bono o precio de mercado D : Dividendo k : COK (Costo de oportunidad de capital) ante alternativa especulativa de igual riesgo



Cálculo Financiero Cálculo Financiero

Po = Σ Dt Po = Σ Dt t (1 + k) (1 + k)t Si la empresa tuviera crecimiento permanente de dividendos a una tasa Si la empresa tuviera crecimiento permanente de dividendos a una tasa Si la empresa tuviera crecimiento de dividendos a una gradiente como gradiente como “g”,permanente se puede usar la fórmula de tasa Gordon, donde: gradiente como “g”, se puede usar la fórmula de Gordon, donde: “g”, se puede usar la fórmula de Gordon, donde: P0 = Dt P = Dt k-g 0 k-g La gradiente g depende del retorno del patrimonio y del índice de reinversión

La gradiente g depende del retorno del patrimonio y del índice reinversión y dedel la empreLa gradiente g depende del retorno deldepatrimonio índice de reinversión de la empresa, expresado como las utilidades del ejercicio reinvertidas. sa, expresado como utilidades expresado del ejercicio reinvertidas. de lalasempresa, como las utilidades del ejercicio reinvertidas.

Unidad II

60

Actividades: Actividades: 7. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión. 7. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión. 8. El alumno preparará un resumen de la sesión.

Facultad de Ciencias Empresariales

Actividades 1. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. El alumno preparará un resumen de la sesión. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

61

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

AUTOEVALUACIÓN 1. Explique o defina anualidades. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. Explique o defina anualidades ordinarias vencidas. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. Explique o defina anualidades anticipadas. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 4. Explique o defina anualidades vencidas diferidas. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Unidad II

62

Facultad de Ciencias Empresariales

5. ¿Cuál es el importe del valor actual para retirar de una financiera S/. 2,900.00 cada fin de mes por 2.5 años, si la financiera paga el 8%? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 6. ¿Cuál es el importe del retiro que debo hacer cada fin de mes, si depositamos en una financiera S/. 140,000.00 al 9%, durante 3.5 años? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 7. Calcule el valor actual de una anualidad de S/. 1,900.00 que debe retirarse cada 30 días después de 180 días durante 2.75 años, si la financiera paga el 5/8% mensual. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

63

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

8. Un padre de familia registra ante Notario Público un testamento en el que deja como herencia S/. 14,000,000.00, los hijos deben retirar la herencia de la financiera después de transcurridos 4.5 años, durante 3 años en cuotas bimensuales, una tasa de interés capitalizable del 2/8 % mensual, el primer hijo tendrá 23 años de edad, el segundo hijo tendrá 21 años de edad y el tercer hijo tendrá 18 años de edad. La herencia es repartida de acuerdo a la edad de cada hijo ¿Cuánto recibirá cada hijo bimensualmente? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 9. Una fundación dona S/. 14,000,000.00, para gastos operativos del albergue NIÑOS ABANDONADOS, la fundación deposita el dinero en una financiera que paga el 6%, el albergue debe hacer retiros cada fin de mes en forma indefinida ¿Cuál es el importe de cada retiro? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 10. Haga de nuevo el cálculo con los datos del numeral anterior, si el primer retiro lo hace después de 7 meses. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Unidad II

64

UNIDAD III DEPRECIACIONES Y AMORTIZACIONES Sesión N.º 10 Depreciaciones basado en el tiempo Sesión N.º 11 Depreciaciones basado en el uso

RESULTADO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el estudiante calcula y aplica con eficiencia los métodos de depreciación de acuerdo a las necesidades de las empresas.

65

Cálculo Financiero

10 Sesión

Asi también vosotros, cuando hayáis hecho todo lo que se os mandó, decid: Siervos inútiles somos, porque hicimos lo que debíamos hacer. Lucas 17:10.

Depreciaciones basado en el tiempo 10.1. ¿CÓMO CALCULAR LAS CUOTAS DE DEPRECIACIÓN?

La depreciación (D) es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo producido por el paso del tiempo, desgaste por el uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario. Para cubrir la depreciación del activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente de acuerdo con un método previamente escogido. Cuando nos referimos a recursos naturales, se llama agotamiento (agricultura, ganadería o minería).

10.2. MÉTODOS 10.2.1. Método lineal La cantidad a depreciar por unidad de tiempo es constante, porque también recibe el nombre de depreciación lineal. En Excel se utiliza la función SLN

10.2.2. Método de saldo decreciente Permite calcular, para un período determinado, la depreciación usando el método del saldo decreciente o tasa porcentual decreciente o tasa porcentual fija al valor decreciente en libros. En Excel, la función se llama DB.

10.2.3. Método del doble saldo decreciente (DDB) DDB (Double-Declining Balance) devuelve la depreciación de un activo fijo durante un período específico, usando el método del doble saldo decreciente. En Excel, la función se llama DDB.

10.2.4. Método de suma de años dígitos (SYD) SYD (Sum-of-the-Year Digits) devuelve la depreciación periódica de un activo fijo, usando el método suma de años dígitos. En Excel la función se llama SYD.

10.2.5. A continuación se dan datos para ejemplificar los distintos métodos de depreciación

enunciados:

Empresa Industrial X S.A. compra un activo fijo en S/.300,000.00, tiene una vida útil de cinco años y puede venderse en S/.30,000.00 al final de la vida útil. Considere el supuesto, para aplicar todos los métodos enunciados en este capítulo que el mismo activo su vida útil

67

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

en unidades es un millón de unidades; su vida útil en horas trabajadas es veinte mil horas, y su vida útil en kilómetros recorridos es doscientos ochenta mil kilómetros. A continuación, se muestra los ejemplos de depreciación.

DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA Vida útil oN

Depreciación del período 

Valor en libros al final del Periodo

Depreciación acumulada

0

-

-

1

54,000.00

54,000.00

246,000.00

2

54,000.00

108,000.00

192,000.00

3

54,000.00

162,000.00

138,000.00

4

54,000.00

216,000.00

84,000.00

5

54,000.00

270,000.00

30,000.00

DLR = (300,000 - 30,000) / 5 = s/.54,000.00

300,000.00

 

DEPRECIACIÓN DE LA SUMA DE DÍGITOS Vida útil oN

Depreciación del periodo 

Valor en libros al final del Periodo

Depreciación acumulada 

0

-

-

300,000.00

1

90,000.00

90,000.00

210,000.00

2

72,000.00

162,000.00

138,000.00

3

54,000.00

216,000.00

84,000.00

4

36,000.00

252,000.00

48,000.00

5

18,000.00

270,000.00

30,000.00

DSDA = 5(5+1) / 5 = 15 Para el año 1 = 5/15 x 270,000 = 90,000 para el año 2 = 4/15 x 270;000 = 72,000

 

DEPRECIACIÓN SOBRE SALDOS DECRECIENTES Vida útil oN

Depreciación del período

0

-

-

300,000.00

1

110,713.00

110,713.00

189,287.00

2

69,855.00

180,568.00

119,432.00

3

44,076.00

224,644.00

75,356.00

4

27,810.00

252,456.00

47,546.00

5

17,546.00

270,000.00

30,000.00

DLR = (300,000 - 30,000) / 5 = s/.54,000.00 Para el año 1 = 0.36904266 x 300,000 = 110,713.00 Para el año 2 = 0.36904266 x 189,287 = 69,855.00

Unidad III

Valor en libros al final del Periodo

Depreciación acumulada 

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Facultad de Ciencias Empresariales

Actividades 1. El alumno desarrollará casos de depreciación en las empresas donde labore. _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de depreciaciones de dos autores diferentes. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

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Cálculo Financiero

Asi también vosotros, cuando hayáis hecho todo lo que se os mandó, decid: Siervos inútiles somos, porque hicimos lo que debíamos hacer. Lucas 17:10. 17:10cesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

11 Sesión

Depreciaciones basado en el uso 11.1. ¿Cómo calcular las cuotas de depreciación? La depreciación (D) es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo producido por el paso del tiempo, desgaste por el uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario. Para cubrir la depreciación del activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente, de acuerdo con un método previamente escogido. Cuando nos referimos a recursos naturales, se llama agotamiento (agricultura, ganadería o minería).

1.1.2. Método de acuerdo al uso (USO) USO (Usage) devuelve la depreciación periódica de un activo fijo usando el método de USO, de acuerdo al volumen de producción y distribución, si hay producción o distribución, hay costo por uso de activo, esto puede ser por horas máquina, unidades producidas, kilómetros recorridos, etc. Este es la forma más equitativa para costear productos en empresas manufactureras, la vida del activo se mide en unidades, horas máquina, kilómetros recorridos, etc. En Excel la función se programa de acuerdo al método.

1.2.1. Método de depreciación por unidades producidas (DUP) La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de unidades que produce un determinado activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al producir un número determinado de unidades, es conveniente remplazarlo. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor depreciable sobre el número de unidades estimadas de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de unidades producidas por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DUP = (VI-VR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NUP x DUP, para la depreciación del período.

1.2.2. Método de depreciación sobre kilómetros recorridos (DKR) La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de kilómetros que recorre un activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al recorrer un número determinado de kilómetros, es conveniente remplazarlo. Esto es para el caso de unidades de transporte y reparto. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor

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depreciable sobre el número de kilómetros recorridos estimados de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de kilómetros recorridos por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DKR = (VI-VR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NKR x DKR, para le depreciación del período.

1.2.3. Método de depreciación sobre horas trabajadas u horas máquina (DHM). La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de horas que trabaja un activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al trabajar un número determinado de horas, es conveniente remplazarlo. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor depreciable sobre el número de horas trabajadas estimadas de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de horas trabajadas por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DHT = (VI-VR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NHT x DHT, para le depreciación del período.

1.2.4. A continuación se dan datos para ejemplificar los distintos métodos de depreciación enunciados: La Empresa Industrial X S.A. compra un activo fijo en S/.300,000.00, tiene una vida útil de cinco años y puede venderse en S/.30,000.00 al final de la vida útil. Considere el supuesto, para aplicar todos los métodos enunciados en este capítulo que el mismo activo; su vida útil en unidades es un millón de unidades; su vida útil en horas trabajadas es veinte mil horas y su vida útil en kilómetros recorridos es doscientos ochenta mil kilómetros. A continuación, se muestra los ejemplos de depreciación. Depreciación sobre unidades producidas

DUP = 300,000 - 30,000 / 1,000,000 = 0.27 por unidad Para el año 1 = 0.27 x 240,000 = 64,800 Para el año 2 = 0,27 x 235,000 = 63,450 Depreciación sobre kilómetros recorridos

DUP = 300,000 - 30,000 / 280,000 = 0,96428571 por km/rec. Para el año 1 = 0,96428571 x 40,000 km = 38,571.00 Para el año 2 = 0,96428571 x 55,000 km = 53,036.00 Depreciación sobre horas máquina

DUP = 300,000 - 30,000 / 20,000 = 13.50 por hora/máq. Para el año 1 = 13.50 x 4,000 hm = 54,000.00 Para el año 2 = 13.50 x 4,500 hm = 60,750.00

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Actividades 1. El alumno desarrollará casos del tema desarrollado en la sesión. _________________________________________________________________

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____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. El alumno preparará un resumen de la sesión. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ _________________________________________________________________

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AUTOEVALUACIÓN 1. Explique la diferencia entre los métodos de depreciación en el tiempo y los métodos de depreciación en el uso. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 2. Explique o defina depreciación. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. Explique o defina depreciación basada en el uso. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

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4. Explique o defina depreciación basada en el tiempo. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ___________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 5. Prepare dos casos basados en el uso y en el transcurso del tiempo, de la empresa donde labora o pueda tener acceso. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________

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bibliografía Aching Guzmán, César. Las matemáticas financieras en el campo de los negocios. Prociencia y Cultura S.A. Primera Edición. Lima, 2000. Amat, Oriol. Contabilidad y finanzas para no financieros. Ediciones Deusto. Empresa Editora El Comercio S.A. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC). Lima, 2001. Aliaga Valdez, Carlos. Evaluación financiera con las funciones de Excel. Primera Edición. Lima,1997.. Aliaga Valdez, Carlos. Manual de matemáticas financieras. Universidad del Pacífico. Lima, 1995. Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas financieras: Un enfoque práctico. Prentice Hall, Colombia, 2002. Chu Rubio, Manuel. Fundamentos de finanzas: Un enfoque peruano. Primera Edición. Lima, 2002. Cissell, Roberth y Helen Cissell. Matemáticas financieras. Editorial CECSA, México, 197.8. De Pablo López, Andrés, Ferruz Agudo, Luis. Finanzas de empresa. España, 1996. Devoto Ratto, Renzo y Mauro Núñez Abarca. Matemáticas financieras: Un enfoque para la toma de decisiones. Ediciones Universitarias de Valparaíso de la Universidad Católica de Valparaíso, Santiago de Chile, 2001. Diaz Mata. Matemática financiera. Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. España, 2000. Diez de Castro, Luis y Juan Mascareñas Pérez–Iñigo. Ingeniería financiera. Editorial McGraw– Hill Interamericana de España, S.A. Undécima Edición. España, 1997.. García, Enrique. Matemática financiera. Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. España, 2000. Gitman, Lawrence J. Administración financiera básica. Editorial Harla S.A. de C.V. México, 1990. Gonzáles Urbina, Pedro. Análisis de estados financieros. Universidad Peruana Unión, Facultad de Ciencias Contables y Administrativas. Lima, 2002. H. Moore, Justin. Manual de matemáticas financieras. Editorial UTHEA, México 1981. Mascareñas, Juan. La valoración de proyectos de inversión productivos. Universidad Complutense de Madrid. España, 2001. Mascareñas, Juan. El costo de capital. Universidad Complutense de Madrid. España, 2001. Mascareñas, Juan. Estructura de capital óptima. Universidad Complutense de Madrid. España, 2001. Martín Marín, José Luis y Antonio Trujillo Ponce. Manual de valoración de empresas. Editorial Ariel, España, 2000. Ordiz Fuentes, Mónica y Guillermo Pérez-Bustamante Ilander. Creación de valor en la empresa a través de las tecnologías de la información y comunicación. ESIC MARKET, España 2000. Palomino Meneses, Oscar Hugo. Matemática financiera. Universidad Peruana Unión, Facultad de Ciencias Contables y Administrativas. Lima, 2002.

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Notas:

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