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• Gianmarco Miranda Paniora

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INTERES SIMPLE

INTERES COMPUESTO

Valor Futuro de 100 dolares Depositados

Valor Futuro de 100 dolares de Ahorro a la tasa de int

0.10 Años

Deposito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540

Intereses 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Total

Años 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550

Deposito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

100 110 121 133 146 161 177 195 214 236 259 285 314 345 380 418 459 505 556 612 673 740 814 895 985 1,083 1,192 1,311 1,442 1,586 1,745 1,919 2,111 2,323 2,555 2,810 3,091 3,400 3,740 4,114 4,526 4,979 5,476 6,024 6,626

46 47 48 49 50 100 200 210

550 560 570 580 590 600 1,100 2,100

10 10 10 10 10 500 1,000 100

560 570 580 590 600 1,100 2,100 2,200

46 47 48 49 50 100 200 210

7,289 8,018 8,820 9,702 10,672 11,739 1,378,061 18,990,527,646

lares de Ahorro a la tasa de interes r por t años 0.01

0.05

0.10

0.15

Intereses 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5

10 11 12 13 15 16 18 19 21 24 26 29 31 35 38 42 46 51 56 61 67 74 81 90 98 108 119 131 144 159 174 192 211 232 255 281 309 340 374 411 453 498 548 602 663

Total 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 11 12 14 16 19 22 25 29 33 38 44 50 58 66 76

110 121 133 146 161 177 195 214 236 259 285 314 345 380 418 459 505 556 612 673 740 814 895 985 1,083 1,192 1,311 1,442 1,586 1,745 1,919 2,111 2,323 2,555 2,810 3,091 3,400 3,740 4,114 4,526 4,979 5,476 6,024 6,626 7,289

729 802 882 970 1,067 1,366,322 18,989,149,585 30,266,010,249

CENTAVO DE JOSUE

8,018 8,820 9,702 10,672 11,739 1,378,061 18,990,527,646 49,256,537,895

Tasa Interes Monto plazo

0.04 0.01 2000 Suma Final

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0 1

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

1,744.94

34

37

40

43

46

49

S/. -116,594,643,150,228,000,000,000,000,000,000.00

40

A Interes Compuesto

43

46

49

VALOR FUTURO

(1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1% 1.010 1.020 1.030 1.041 1.051 1.062 1.072 1.083 1.094 1.105 1.116 1.127 1.138 1.149 1.161 1.173 1.184 1.196 1.208 1.220 1.232 1.245 1.257 1.270 1.282 1.295 1.308 1.321 1.335 1.348

5% 1.050 1.103 1.158 1.216 1.276 1.340 1.407 1.477 1.551 1.629 1.710 1.796 1.886 1.980 2.079 2.183 2.292 2.407 2.527 2.653 2.786 2.925 3.072 3.225 3.386 3.556 3.733 3.920 4.116 4.322

10% 1.100 1.210 1.331 1.464 1.611 1.772 1.949 2.144 2.358 2.594 2.853 3.138 3.452 3.797 4.177 4.595 5.054 5.560 6.116 6.727 7.400 8.140 8.954 9.850 10.835 11.918 13.110 14.421 15.863 17.449

15% 1.150 1.323 1.521 1.749 2.011 2.313 2.660 3.059 3.518 4.046 4.652 5.350 6.153 7.076 8.137 9.358 10.761 12.375 14.232 16.367 18.822 21.645 24.891 28.625 32.919 37.857 43.535 50.066 57.575 66.212

valor futuro en dolares

Valor Futuro de 1 dólar de Ahorro a la tasa de interes r por t años

Efectos del tiem

16.000 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 -

1 2 3 4 5 6 7 8 per

VALOR PRESENTE

(2)

1 2 3 4 5

1% 0.990 0.980 0.971 0.961 0.951

5% 0.952 0.907 0.864 0.823 0.784

10% 0.909 0.826 0.751 0.683 0.621

15% 0.870 0.756 0.658 0.572 0.497

Valor Presente de 1 dolar

Valor Presente de 1 dólar a ser recibido t periodos en el futuro descontado a la tasa de interes r

Los efectos de

1.200 1.000 0.800

0.942 0.933 0.923 0.914 0.905 0.896 0.887 0.879 0.870 0.861 0.853 0.844 0.836 0.828 0.820 0.811 0.803 0.795 0.788 0.780 0.772 0.764 0.757 0.749 0.742

0.746 0.711 0.677 0.645 0.614 0.585 0.557 0.530 0.505 0.481 0.458 0.436 0.416 0.396 0.377 0.359 0.342 0.326 0.310 0.295 0.281 0.268 0.255 0.243 0.231

0.564 0.513 0.467 0.424 0.386 0.350 0.319 0.290 0.263 0.239 0.218 0.198 0.180 0.164 0.149 0.135 0.123 0.112 0.102 0.092 0.084 0.076 0.069 0.063 0.057

0.432 0.376 0.327 0.284 0.247 0.215 0.187 0.163 0.141 0.123 0.107 0.093 0.081 0.070 0.061 0.053 0.046 0.040 0.035 0.030 0.026 0.023 0.020 0.017 0.015

Valor Presente de 1 dolar

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Los efectos de

1.200 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000

1 2 3 4 5 6 7 8 Años an

16.000 14.000 12.000 1% 5% 10 % 15 %

10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 periodos en años

Valor Presente de 1 dolar

valor futuro en dolares

Efectos del tiempo y la tasa de interes sobre el valor futuro

Los efectos del tiempo y la tasa de descuento sobre el valor presente de 1 dolar

1.200 1.000 0.800

1% 5%

Valor Presente de 1 dolar

Los efectos del tiempo y la tasa de descuento sobre el valor presente de 1 dolar

1.200 1.000 0.800

1% 5% 10 % 15 %

0.600 0.400 0.200 0.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Años antes de recibir 1 dolar

EJERCICIOS DE VALOR FUTURO (1)

Una fundación deja que se acumule un fondo de $ 10,000; suponiendo una tasa del 6% que se capitaliza anualmente ¿a cuanto ascenderá el fondo al cabo de 20 años?

S = P (1+ r)n 10,000 P 20 n 0.06 r 32,071 S=? (2)

(32,071.35)

Funcion Excel

Calcular el monto de un préstamo de $ 10,000 a interés compuesto del 8% capitalizando trimestralmente, durante 15 años. Principal e intereses son pagados al final del periodo.

S = P (1 + j/m)mxn 10,000 15 4 0.08 32,810

(3)

P n m j S=?

(32,810.31)

Funcion Excel

Se obtiene un prestamo de 150,000 (P) con una tasa de interes de 20% capitalizable semestralmente. ¿Cuál es la Suma (S) que debera pagarse si se liquida el prestamo a los 15 meses?

S = P (1 + j/m)mxn 150,000.00 20% 2 1.25

P j m n = 15 meses

S = 150.000 (1+ 0,20/2) 190,358.81 S = ?

(4)

n= 15/6

(2x1,25)

(190,358.81)

Funcion Excel

Se deposito $ 5,000 en un banco. Ocho años mas tarde este deposito ascendía a $ 7,110.50 ¿Cual es la tasa de interés, capitalizando anualmente, que dio lugar a esta cantidad?.

S = P (1+ r)n

P (1+ r)n = S

Invertimos las expresiones

(1+ r)n = S / P Dividimos por P ambas expresiones (1+ r) = (S / P)(1/n) Sacamos la raiz n ambas expresiones r = ((S / P)(1/n)) - 1 Restamos 1 ambas expresiones para despejar r 1 afecta a la expresion de la raiz completa 5,000.00 P = Deposito inicial 7,110.50 S = Suma final del deposito 8 n = periodos anuales

r = ((7.110,50 / 5.000)(1/8)) - 1 0.045 r = Tasa de Interes anual?

(5)

Se liquida un prestamo en la suma de 150.000, cuando el monto del prestamo fue de 100.000. Si han pasado 5 años, determine la tasa de interes anual capitalizable mensualmente.

S = P (1+ r)n P (1+ r)n = S

Invertimos las expresiones

(1+ r)n = S / P Dividimos por P ambas expresiones (1+ r) = (S / P)(1/n) Sacamos la raiz n ambas expresiones r = ((S / P)(1/n)) - 1 Restamos 1 ambas expresiones para despejar r 1 afecta a la expresion de la raiz completa r = mensual

r = ((S / P)(1/n*m)) - 1 Existen periodos de capitalizacion inferiores a un año 150,000.00 100,000.00 5 12

S = Suma de la Liquidacion P = Prestamo Original n = numero de años m = periodo de capitalizacion dentro del año

r = ((150.000 / 100.000)(1/5x12) - 1 0.678% r = Tasa de Interes Mensual ? 8.137% re = Tasa de Interes Anual ?

0.006781

EJERCICIOS DE VALOR ACTUAL

(1)

Una entidad X tiene un contrato que le da derecho a recibir $ 10,000 de aquí a 12 años. Si la tasa de interés es 8% capitalizado anualmente ¿Cual es el valor actual del contrato?.

P = S / (1 + r)n 10,000 S 12 n 0.08 r

P = 10.000 / (1 + 0,08)12 3,971.14 P=?

(2)

(3,971.14)

Funcion Excel

Si quisieramos cancelar hoy el valor de una letra por $ 27,500, que vence dentro de 2 y 1/2 años y que el Banco cobra la tasa de interés de 14% anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuanto habria que pagar?

P = S / (1 + j/m)m.n 27,500 2.5 2 0.14

S n m j

P = 27.500 / (1 + 0,14/2)2x2,5 19,607.12 P=?

(3)

(19,607.12)

Funcion Excel

Una cía. X firma un contrato para vender dentro de 2 años y 3 meses un equipo por $100,000. Suponiendo que el precio del dinero es el 12% capitalizable trimestralmente, ¿Cual es el valor actual de ese contrato?.

P = S / (1 + j/m)m.n 100,000 2.25 4 0.12

S n m j

P = 100.000 / (1 + 0,12/4)4x2,25 76,641.67 P=?

(76,641.67)

Funcion Excel

(4)

El concepto del valor actual resulta muy relevante para entender lo que es la TIR, el VPN y el metodo del Flujo de Efectivo Descontado, que es muy importante para el tema de valoracion de empresas. Tenemos tres opciones: Opcion 1 Hoy

Opcion 2

Opcion 3

100

En un año

30 110

En dos años

60 50

Tenemos tambien una tasa libre de riesgo que nos da el Banco Central (o la Reserva Federal), al cual podemos poner nuestro dinero, y recibimos en un años 6% de rentabilidad. Entonces las opciones que tenemos debemos compararlas, pero para ello debemos traer todos los valores al presente, para lo cual se realiza el calculo del Valor Presente o Valor Actual (al dia de hoy). La Opcion 1 ya esta a valor de hoy La Opcion 2 tiene 110 al final del año 1, por tanto lo tenemos que traer al año 0 es decir obtener su valor actual. ¿Qué hacemos? Los 110 lo dividimos por (1,06), para que nos de el valor al dia de hoy. Nos da 103, 77. Este monto lo pongo en un banco y despues de un año voy a tener los 110. Ahora vamos a la Opcion 3. Tenemos los 60 en un año, lo dividimos por (1,06), igual que en el ejemplo anterior y nos da 56,80. En cuanto a los 50 que los tenemos a los dos años, ¿que hacemos? Tendriamos que traer los 50 al año 1 dividiendo por (1,06) y luego el resultado lo traemos al año 0 dividiendo por (1,06) otra vez. Entonces seria los 50 divididos por (1,06) al cuadrado, resultado 44,50. Luego tenemos sumamos los valores de 30 mas 56,80 mas 44,50, resultado 131,10. Entonces la opcion 3 es la mas conveniente que las anteriores.

(5)

DEPOSITO A PLAZO (VALOR FUTURO Y VALOR ACTUAL) Si le informan que la tasa de interes del deposito a plazo es de 7,20% y usted dispone de efectivo para hacer dicho deposito por $ 2.000, desea saber cuando alcanzara una suma de $ 3.000. La tasa de interes es capitalizable anualmente.

2,000 P = Deposito a plazos 7.20% r = Tasa de interes anual (3,000) S = Suma del Deposito objetivo

n = Cuantos años tomara para el deposito objetivo?

5.832

S = P (1+ r)n P (1+ r)n = S

Simplemente se han cambiado los terminos de la ecuacion

(1+ r)n = S / P

Luego de dividir por P ambos miembros

log (1+ r)n = log (S / P)

¿Como bajo la n?, aplicando logaritmos

n log (1+ r) = log (S / P)

Propiedad del logaritmo de una potencia

n = log (S / P) / log (1+ r)

Dividimos ambos miembros por Log (1+r)

n = log (3000 / 2000) / log (1+ 0,072)

Sustituimos los valores que tenem

n = log (1,5) / log (1,072)

"

Log 1,5

0.17609126

Log 1,072

0.03019479

n=

5.8318 Años

"

REPASO (6)

Para un deposito de 100.000 (P) a una tasa de 20% anual, determine las sumas (S) que se obtienen en el plazo de 1, 2, 3, 4, hasta 5 años, si la tasa se capitaliza : (a) Cuatrimestralmente (b) Trimestralmente

S = P (1+ r)n

P = Valor Actual de Inversion o Capital S = Valor Futuro de Inversion o Capital

S = P (1 + j/m)m.n

n = Periodos Anuales m = capitalizaciones dentro del año r = Tasa de Interes efectiva anual j= Tasa de interes nominal anual Sumas Obtenidas por años

(a)

S = 100.000 (1+ 0,20/3) ^ 3

121,362.96

1 año

S = 100.000 (1+ 0,20/3) ^ 6

147,289.69

2 años

S = 100.000 (1+ 0,20/3) ^ 9

178,755.13

3 años

S = 100.000 (1+ 0,20/3) ^ 12

216,942.52

4 años

S = 100.000 (1+ 0,20/3) ^ 15

263,287.87

5 años

Sumas Obtenidas por años (b)

S = 100.000 (1+ 0,20/4) ^ 4

121,550.63

1 año

S = 100.000 (1+ 0,20/4) ^ 8

147,745.54

2 años

S = 100.000 (1+ 0,20/4) ^ 12

179,585.63

3 años

S = 100.000 (1+ 0,20/4) ^ 16

218,287.46

4 años

S = 100.000 (1+ 0,20/4) ^ 20

265,329.77

5 años

º

ores a un año

P + intereses dos dias 19,611.39 19,611.48

Funcion Excel

licando logaritmos

mo de una potencia

mbros por Log (1+r)

ustituimos los valores que tenemos "

Log 1000 Log3 243

Base 10

es 3

103=1000

Base 3

es 5

35 = 243

TASA NOMINAL DE INTERES Un deposito esta colocado a la tasa efectiva del 5% en un sistema de capitalización mensual ¿Cuál es la tasa nominal de interes anual?

j = [{(1+ r) (1/m)} - 1] * m 0.05 r = tasa efectiva de interes anual 12 m = numero de capitalizaciones en el año ¿? J = tasa nominal de interes anual

j = [{(1+ 0.05)(1/12)}- 1] x 12= 0.0489 = 4.89% 0.0489 j= tasa nominal de interes anual?

TASA EFECTIVA DE INTERES DEPOSITO EN BANCO ¿Cual es la tasa efectiva anual ganada por un deposito en un banco, cuando la tasa nominal es el 4%, capitalizable trimestralmente?

r = { (1+ j/m)m} - 1 0.0400 j= tasa nominal de interes anual 4 m = numero de capitalizaciones en el año

r = { (1+ 0.04/4)4} - 1 = 4,06% 0.0406 r = tasa efectiva de interes anual? INVERSION EN T-BILLS (TASA EFECTIVA) 10,000.00 9,940.47 6-sep-14 30-sep-14 24 365 59.53 0.5989% 9.5056% 9.0535%

Valor Facial de T-Bills Precio pagado (con descuento) Fecha de Compra Fecha de Vencimiento Dias para el vencimiento Dias del Año Intereses por ganar Tasa de Retorno por 24 dias ? Tasa de Retorno Efectiva Anualizada ? Tasa de Retorno Simple Anualizada ?

TREA = TASA DE RENDIMIENTO EFECTIVO ANU

INVERSION EN PAPELES COMERCIALES (TASA EFECTIVA) 50,000.00 48,750.00 3 1,250.00 2.564% 10.658%

Valor Facial del Pagare Precio pagado (con descuento) Vencimiento en meses Rendimiento a vencimiento Tasa de Retorno al Trimestre ? Tasa de Retorno Efectiva Anualizada ?

PRESTAMO BANCARIO DE CORTO PLAZO (TASA EFECTIVA) 30,000.00 1 16% 4,800.00 16%

Prestamo Plazo en años Tasa de Interes Anual Interes a pagar ? Tasa de Interes Efectiva Anual ?

0.16

TCEA = TASA DE COSTO EFECTIV

Si los intereses son descontados al desembolso 25,200.00 Prestamo menos intereses del año 19% Tasa de Interes Efectiva Anual con descuento de int.? PRESTAMO BANCARIO - ¿QUE FUENTE CONVIENE? (TASA EFECTIVA) Prestamo del Banco X 20% Tasa de Interes pagadero al vencimiento Prestamo del Banco Y 19% Tasa de Interes pagadero por adelantado 20.0% Tasa de Interes efectiva banco X 23.5% Tasa de Interes efectiva banco Y

0.2345679

PRESTAMO BANCARIO CON SALDOS COMPENSATORIOS (TASA EFECTIVA) 60,000.00 1 19% 11,400.00 15% 9,000.00 22.35%

Prestamo Plazo en años Tasa de Interes Nominal Anual -Pagadero al vencimiento Intereses pagaderos al vencimiento % de Saldo Compensatorio Saldo compensatorio mantenido en cta cte del desembolso del Prestamo Tasa de Interes Efectiva Anual con saldo compensatorio ?

Ademas si los intereses son descontados al desembolso 39,600.00 Prestamo menos saldos compensatorios e intereses pagados por adelantado 28.79% Tasa de Interes Efectiva Anual con saldo compensatorio y adelanto de inters? LINEA DE CREDITO CON SALDOS COMPENSATORIOS (TASA EFECTIVA) 40,000.00 Linea de Credito 1 Plazo en años

18% 27,500.00 12,500.00 13% 10% 4,825.00 21.83%

Tasa de Interes Nominal Anual -Pagadero al vencimiento Monto Utilizado Monto No Utilizado % de Saldo Compensatorio sobre monto utilizado % de Saldo Compensatorio sobre monto No utilizado Total de Saldos Compensatorios Tasa de Interes Efectiva Anual con saldo compensatorio ?

CREDITO DE PROVEEDOR VS CREDITO BANCARIO (TASA EFECTIVA) 10,000.00 4% 10% 60

Precio de lista (P) Descuento por pago al contado (d) Costo Efectivo Anual del Credito Bancario Dias para el pago de la Factura

Ca = (1+ (d / (1 - d)) (360/Dias para pagar)) - 1 27.75% Costo Efectivo Anual del Credito de Proveedor (C a)? Credito Banco ¿Qué resulta mas conveniente? A PLAZOS SIN CUOTA INICIAL NI INTERESES (COSTO IMPLICITO) 10,000.00 Precio de lista (P) 10% Descuento por pago al contado (d) 9,000.00 Pago al contado con descuento (Pcd) 5,000.00 1er Pago Opcion A Plazos (I1) 30 Plazo de Pago 1er pago en dias 5,000.00 2do Pago Opcion A Plazos (I2) 60 Plazo de Pago 2do pago en dias 7.32% Costo Efectivo Mensual del Credito de Proveedor? 133.49% Costo Efectivo Anual del Credito de Proveedor?

Pcd =(I1/(1+cm))+(I2/(1+cm)2)

cm = Costo Efectivo Mensual del Credito de Prove

9000=(5000/(1+cm))+(5000/(1+cm)2) 0=9000-(5000/(1+cm))+(5000/(1+cm)2)

cm

Iteración

Equivalencia

0 = Pcd - (I1/(1+cm))+(I2/(1+cm)2)

0.01000 0.01500

-851.98 -779.42

Interpolación

0.02000 0.02500

-707.80 -637.12

Se busca el valor de Cm que resulte y este valor sera la tasa de costo efe

0.03000

-567.35

0.03500 0.04000 0.04500 0.05000 0.05500 0.06000 0.06500 0.07000 0.07500 0.08000

-498.47 -430.47 -363.34 -297.05 -231.60 -166.96 -103.13 -40.09 22.17 83.68

(9,000.00) 5,000.00 5,000.00 7.32% 133.47%

Contado con Descuento Pago a los 30 dias pago a los 60 dias Costo Efectivo Mensual del Credito de Proveedor? Costo Efectivo Anual del Credito de Proveedor?

= 0,07+ { 0-(-40,09) / 22,17-(-4 0.073

7.32%

EXCEL

T. Efectiva 20% capitaliza mensual

T. Nominal 18.37%

T. Nominal T. Efectiva 19% capitalizable bimestral 20.56%

DE RENDIMIENTO EFECTIVO ANUAL

TCEA = TASA DE COSTO EFECTIVO ANUAL

0.19047619

del Prestamo

s por adelantado delanto de inters?

10,000.00 4% 10% 45

Precio de lista (P) Descuento por pago dentro de 15 dias (d) Costo Efectivo Anual del Credito Bancario Dias para el pago de la Factura (60-15)

38.62%

nsual del Credito de Proveedor

nterpolación

Se busca el valor de Cm que resulte en "Cero" la equivalencia este valor sera la tasa de costo efectivo mensual.

10,000.00 4% 10% 30

63.21%

Precio de lista (P) Descuento por pago dentro de 15 dias (d) Costo Efectivo Anual del Credito Bancario Dias para el pago de la Factura (45-15)

= 0,07+ { 0-(-40,09) / 22,17-(-40,09)} x (0,075-0,07)

pago dentro de 15 dias (d) Anual del Credito Bancario ago de la Factura (45-15)

ANUALIDADES O RENTAS (1)

VALOR FUTURO DE UNA RENTA ¿A cuanto ascenderá el monto de una anualidad de $10,000, durante 8 años si se invierte a la tasa del 6% de interés anual?.

(1 + r)n-1 S = R ———— r

(1 + j/m)mn-1 S = R —————— (j/m)

10,000.00 R = Renta o Anualidad 0.06 r = Tasa de Interes 8 n = años

S = 10.000 {[ (1 + 0,06)8] - 1} / 0,06 98,974.68 S = Valor Futuro

(2)

(98,974.68)

RENTA NECESARIA PARA VALOR FUTURO Una empresa desea establecer un fondo para redimir una obligación por $ 30,000, que vence dentro de 8 años. ¿Cual es el pago a colocar en un fondo de amortizacion, e invertirse al 5% capitalizable anualmente, para cumplir con la obligacion?

r R = S ———— (1 + r)n-1

(j/m) R = S —————— (1 + j/m)mn-1

30,000.00 S = Valor Futuro 0.05 r = Tasa de Interes 8 n = años

R = 30,000 [ 0.05 / {(1 + 0.05)8} – 1] = 3,141.65 3,141.65 R = Renta

(3,141.65)

(3)

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA Se compro una maquina con $10,000 de pago al contado y $500 trimestralmente, durante 12 años, a la tasa de interés del 8%, capitalizable trimestralmente. ¿Cual fue el precio al contado?.

(1 + r)n-1 P = R ———— r (1 + r)n

(1 + j/m)mn-1 P = R —————— (j/m)(1+j/m)mn

500 R= Renta Trimestral 12 n = años 4 m= capitalizaciones o pagos 0.08 j = Tasa de Interes

P = 500 {[ (1 + 0.08/4)4.12] - 1 / [0.08/4(1 + 0.08/4)4.12]} 15,336.56 P= Valor Actual?

(15,336.56)

Añadiendo $ 10,000 por el pago contado el Precio realmente fue $ 25,336.56

(4)

RENTA NECESARIA PARA VALOR ACTUAL Una empresa adquiere una maquina por $ 13,000. Paga al contado $3,000 y se compromete a pagar el resto con interés al 4% capitalizable anualmente en 6 pagos anuales iguales. ¿Cual es el valor de cada cuota anual? El vendedor se pregunta: ¿cuánto cobrare cada año, para recuperar mi capital de $10,000 en 6 años?

r (1 + r)n R = P ———— (1 + r)n -1

(j/m)(1 + j/m)mn P = R —————— (1+j/m)mn -1

10,000 P= Valor Actual 0.04 r = Tasa de Interes 6 n = años

R = 10,000 [ 0.04 (1 + 0.04)6 / {(1 + 0.04)6} – 1]

1,907.62 R = Renta o Pago

(5)

(S/. 1,907.62)

PERIODOS PARA ALCANZAR UNA SUMA Usted desea obtener $ 500.000 mediante depositos mensuales de $ 1.000 en una cuenta bancaria que paga 1,25% mensual. ¿Cuántos pagos mensuales se requieren para alcanzar dicha suma? 500,000.00 1,000.00 1.25% ?

S = Suma deseada R = Renta o depositos mensuales r = tasa de interes mensual n = numero de periodos mensuales requeridos

S = R{[ (1 + r)n]-1} / r

Formula necesaria

R{[ (1 + r)n]-1} / r = S

Tenemos que despejar la n; recomendamos el cambio

{[ (1 + r)n]-1} / r = S / R

Dividir por R ambos miembros

[ (1 + r)n]-1 = (r S) / R

La r pasa multiplicando

(1 + r)n = ((r S) / R) + 1

Sumamos 1 a cada miembro ¿Cómo bajo la n?

log (1 + r)n = log {((r S) / R) + 1} n log (1 + r) = log {((r S) / R) + 1}

aplicando las propiedades de los logaritmos de una po

n = log {((r S) / R) + 1} / log (1 + r) Sustituyendo

n = log {((0,0125 x 500.000) / 1.000) + 1} / log (1 + n = log 7,25 / log 1,0125

log 7,25

0.8603380066

n=

159.4685674965

log 1,0125 160 meses

0.0053950319

PRESTAUTO (RENTA O PAGO PARA VALOR ACTUAL) 7,250.00 1,500.00 10.50% 36

Precio de auto Cuota Inicial interes anual efectivo meses

-186.89 pago mensual?

mensual -186.89 €

HIPOTECA CASA (PRESTAMO HIPOTECARIO) 255,000.00 8.75% 0.70% 180 -2,498.77

Monto a Financiar TEA TEM No. Meses Cuota Mensual?

HIPOTECASA (VALOR ACTUAL DE UNA RENTA) 630.00 12,000 11.50% 30 (78,496.93)

Maximo pago mensual por hipoteca Cuota inicial interes annual efectivo Periodos anuales Cual es el maximo precio de compra que puede soportar?

FONDO DE PENSION (VALOR FUTURO DE UNA RENTA)) 15-Apr-99 2,000 80 8.30% 15-Apr-14 360 (62,072.35)

Abre una cuenta de retiro individual Deposito inicial Se depositan cada 15 dias Tasa de interes annual, compuesta semimensualmente Cuanto va a contener la cuenta en la fecha? Periodos de capitalizacion ¿Monto Final de la cuenta de retiro?

DEPRECIACION LINEAL (RENTA PARA VALOR ACTUAL) 10,000.00 5 500.00 10% (210.36) -199.84

Valor de compra de la maquina Periodo anuales de depreciacion Valor residual Tasa annual de depreciacion Cargo por depreciacion mensual ? Cargo por depreciacion mensual (neto de vr)?

FACTOR DE SERIES UNIFORMES PARA VALOR FUTURO

r (Tasa de Interes Efectiva Anual) = 6 %

0

1

2

3

4

-10.000

-10.000

-10.000

-10.000

Funcion Excel

por $ 30,000, de amortizacion,

FACTOR DE DEPOSITO DE FONDO DE AMORTIZACION (SINKING FUND - DEPOSIT FACTOR

r (Tasa de Interes Efectiva Anual) = 5 %

0

Funcion Excel

1

2

3

4

?

?

?

?

(3,141.65)

(3,141.65)

(3,141.65)

(3,141.65)

mestralmente,

FACTOR DE SERIE UNIFORME PARA VALOR ACTUAL

? = Valor Actual (Porcion Financiada del Precio) 15,336.56

0

1

2

3

4

-500

-500

-500

-500

Funcion Excel

FACTOR DE RECUPERACION DEL CAPITAL

= Valor Actual (Porcion Financiada del Precio) 10,000

0

1

2

3

4

?

?

?

?

(1,907.62)

(1,907.62)

(1,907.62)

(1,907.62)

Funcion Excel

despejar la n; recomendamos el cambio

mbos miembros

cada miembro Aplicando logaritmos

propiedades de los logaritmos de una potencia

000) / 1.000) + 1} / log (1 + 0,0125)

P=

R

(j/m)(1 + j/m)mn ——————

(1+j/m)mn -1

0.836% Funcion Excel

(7250-1500)*((0,105/12)*((1 + 0,105/12)^ 36)/((1 + 0,105/12)^ 0.00875 1.36838315 0.01197335 0.03250244 186.89

Funcion Excel

Funcion Excel

0.911% que puede soportar?

Funcion Excel

emimensualmente

0.33%

Funcion Excel

0.80% Funcion Excel

-55,458.46 Pagos c/15 dias -6,613.89 Depo inicial

¿ = Valor Futuro (Monto Acumulado) 98,974.68

5

6

7

-10.000

-10.000

-10.000

8 = n (Periodos Anuales)

-10.000 = R (Pagos Anuales)

(SINKING FUND - DEPOSIT FACTOR)

30,000 = Valor Futuro (Deuda a Cancelar)

5

6

7

8 = n (Periodos Anuales)

?

?

?

? = R (Pagos Anuales)

(3,141.65)

(3,141.65)

(3,141.65)

(3,141.65)

j (Tasa de Interes Nominal Anual) = 8 % r (Tasa de Interes Efectiva Trimestral) = 2%

5

47

-500

-500

48 = m x n (48 Periodos Trimestrales)

-500 = R (Pagos Trimestrales)

r (Tasa de Interes Efectiva Anual) = 8% 5

6 = n (Periodos Anuales)

?

? = R (Pagos Trimestrales)

(1,907.62)

(1,907.62)

/((1 + 0,105/12)^36) – 1)

)

FONDO DE AMORTIZACION Con el proposito de cancelar (o amortizar) una deuda, se desea formar un fondo de amortización de $1,000,000, en 6 años al 4%.

r R = S ——————— (1 + r)n-1

R = S [ r / {(1 + r)n} – 1]

1,000,000 0.04

(j/m) R = S ——————— (1 + j/m)mn-1

6

R = 1.000.000 [ 0,04 / {(1 +

150,761.90 R= Pagos o entregas al fondo (Anuale A continuacion construya el cuadro respectivo Fecha de pago - Años

Cuota anual

1 2 3 4 5 6

150,761.90 150,761.90 150,761.90 150,761.90 150,761.90 150,761.90

mar un fondo de

= S [ r / {(1 + r)n} – 1]

S = Suma de la deuda a cancelar r= tasa de interes que se recibiria n= años

= 1.000.000 [ 0,04 / {(1 + 0.04)6} – 1] Pagos o entregas al fondo (Anuales)

(150,761.90) Funcion Excel

ruya el cuadro respectivo Interes 4%

6,030.48 12,302.17 18,824.73 25,608.20 32,663.00

Total añadido al Fondo

150,761.90 156,792.38 163,064.07 169,586.64 176,370.10 183,424.91

Total en el Fondos

150,761.90 307,554.28 470,618.35 640,204.99 816,575.09 1,000,000.00

(2)

AMORTIZACION (SERVICIO DE DEUDA)

Desea usted que el Banco le preste $ 30.000,00 de acuerdo con sus ingresos para refaccionar La tasa de Interes seria de 12,5% y el plazo de reembolso podria ser de 1,5 años con pagos m elegir le solicita a su funcionario que le calcule un (a) Cronograma de Servicio de Deuda en cuo y luego tambien un (b) Cronograma de Servicio de Deuda en cuotas Decrecientes. (a)

CRONOGRAMA DE SERVICIO DE DEUDA - CUOTA CONSTANTE

R=

R=

P

P

r (1 + r)n ——————— (1 + r)n -1 (j/m)(1 + j/m)mn ——————— (1+j/m)mn -1

R = P [ r (1 + r)n / {(1 + r 30,000.00 0.125 1.5 12

R = 30.000,00 [ 0.00986 1,827.18

A continuacion construya el Crono Mes Fin

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

(b)

CRONOGRAMA DE SERVICIO DE DEUDA - CUOTA DECRECIENTE

30,000.00 0.125 1.5 12

P = Prestamo r= tasa de interes anual n= años m= periodos de pago mensual R = Cuota de Servicio ?

Hay una variante para este caso. Vamos a encontrar primero la cuota de amortizacion del capit

Rp = P / n Rp = 30.000,00 / 18 = 1.666,67

Con este dato vamos a construir el Cronograma

Año Fin

Capital Pendiente de Pago

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

30,000 28,333 26,667 25,000 23,333 21,667 20,000 18,333 16,667 15,000 13,333 11,667 10,000 8,333 6,667 5,000 3,333 1,667

on sus ingresos para refaccionar su departamento. ria ser de 1,5 años con pagos mensuales. Para poder ma de Servicio de Deuda en cuotas constantes uotas Decrecientes.

30000 0.125 18 -1,836.44

R = P [ r (1 + r)n / {(1 + r)n} – 1] P = Prestamo r= tasa de interes (anual)

0.986% mensual

n= años m= periodos de pago

R = 30.000,00 [ 0.00986 (1 + 0.00986)12 / {(1 + 0.00986)12} – 1] R = Cuota de Serv.

Cuota Constante :

(S/. 1,827.18) Funcion Excel

continuacion construya el Cronograma respectivo Capital

Intereses s/capital

Pendiente de Pago

pendiente 12.5%

30,000 28,469 26,922 25,361 23,784 22,191 20,583 18,959 17,318 15,662 13,989 12,300 10,594 8,872 7,132 5,375 3,601 1,809

296 281 266 250 235 219 203 187 171 154 138 121 104 88 70 53 36 18

Amortizacion del Capital

1,531 1,546 1,562 1,577 1,593 1,608 1,624 1,640 1,656 1,673 1,689 1,706 1,723 1,740 1,757 1,774 1,792 1,809

Cuota Capital Constante Amortizado

1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 1,827 32,889

1,531 3,078 4,639 6,216 7,809 9,417 11,041 12,682 14,338 16,011 17,700 19,406 21,128 22,868 24,625 26,399 28,191 30,000

Saldo para Balance

28,469 26,922 25,361 23,784 22,191 20,583 18,959 17,318 15,662 13,989 12,300 10,594 8,872 7,132 5,375 3,601 1,809 -

0.986% mensual

e pago mensual

a cuota de amortizacion del capital o prestamo

2,000 1,950 1,900

amos a construir el Cronograma respectivo (considere la tasa de interes indicada) Amortizacion : Intereses s/capital pendiente 12.5%

296 279 263 247 230 214 197 181 164 148 132 115 99 82 66 49 33 16

1,800

1,666.67 Amortizacion del Capital

1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 1,667 30,000

1,850 1,750

Cuota Capital Decreciente Amortizado

1,963 1,946 1,930 1,913 1,897 1,880 1,864 1,847 1,831 1,815 1,798 1,782 1,765 1,749 1,732 1,716 1,700 1,683 32,811

1,667 3,333 5,000 6,667 8,333 10,000 11,667 13,333 15,000 16,667 18,333 20,000 21,667 23,333 25,000 26,667 28,333 30,000

Saldo para Balance

28,333 26,667 25,000 23,333 21,667 20,000 18,333 16,667 15,000 13,333 11,667 10,000 8,333 6,667 5,000 3,333 1,667 (0)

1,700 1,650 1,600 1,550 1,500 0

2

4

6

8

10

000

950

900

850

800 constante

750

decreciente

700

650

600

550

500 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1.- Valor Futuro Calcule el valor futuro de: (a) el monto inicial de $2,000 capitalizable anualmente por 10 años al 8%; (b) el monto inicial de $2,000 capitalizable anualmente por 10 años al 10%; (c) una anualidad de $2,000 capitalizable anualmente por 10 años al 8%; (d) una anualidad de $2,000 capitalizable anualmente por 10 años al 10%; 2.- Valor Futuro-Capitalizable dentro del año Calcule cuanto podria haber en la cuenta de ahorros dentro de 5 años desde ahora, si hoy usted invierte $1,000, dado el interes pagado de 8% capitalizable: (a) Anualmente; (b) Semianualmente; (c) Trimestralmente; y (d) Mensualmente. 3.- Valor Presente Calcule el valor presente, descontado (o actualizado) a la tasa del 10%, de recibir: (a) $800 a fin de año; (b) $200 a fin del año 3 y $300 a fin de año 5; (c) $500 al fin del año 4 y $300 al fin del año 6; y (d) $500 por año por los siguientes 10 años. 4.- Valor Presente Calcule el valor presente, del flujo futuro de caja de US$ 1.000, si la tasa de interes es del 10%. (a) $1,000 por año por los años de 1 hasta 10; 5.- Valor Presente Su padre le ha ofrecido a usted que elija entre las siguientes opciones. El le dara a elegir entre $2,000 dentro de un año a partir de hoy o $3,000 de aquí a 4 años. ¿Que elegiria usted si la tasa de descuento es: (a) 10%; y (b) 20%. 6.- Valor Presente Un ejecutivo mayor de 55 años, va a retirarse a los 65 años y espera vivir hasta los 75. Asumiendo una tasa de retorno del 10%, calcular el monto que habra disponible a los 65 años, para recibir $10,000 anualmente desde su retiro hasta su fallecimiento. 7.- Valor Presente Su tio esta por retirarse. Su firma le ha dado la opcion de un retiro con la suma de

$20,000 o una anualidad de $2,500 por 10 años. ¿Cual tiene mayor valor, si la tasa de interes del 6% es usada en la anualidad? 8.- Depositos Requeridos Si usted necesita $6,000 de aquí a 5 años, ¿cuánto debera depositar en su cuenta de ahorros cada año, asumiendo un 8% como tasa anual de interes? 9.- Fondo de Amortizacion Su empresa ha emitido Bonos por $ 1,000,000 y ha pagado los intereses a los tenedores. Asuma que los depositos van a ganar 8% anual. Calcule el monto a ser depositado cada año en un fondo de amortizacion, con el proposito de acumular suficiente dinero para retirar la emision entera de un millon al final de los 20 años. 10.- Amortizacion de Prestamo Usted ha solicitado un prestamo hipotecario de $ 75,000 para financiar la compra de un nuevo departamento por 20 años. El Banco cobra la tasa de interes del 14%. ¿Cual sera el pago mensual? ¿Y si el pago es bimensual, cuanto seria? 11.- Amortizacion de Prestamo Banca Personal esta revisando su solicitud de un prestamo por $10,000. El banco desea cobrar 17% anual por interes y le informa que requiere de 12 pagos iguales mensuales para reembolsar tanto el principal como los intereses. ¿A cuanto ascendera el monto de los pagos mensuales? Y si fuesen pagos trimestrales? 12.- Cronograma de Amortizacion de Prestamo Establecer el cronograma de amortizacion del prestamo de $ 25,000, a ser reembolsado en cuotas mensuales iguales, al final de los siguientes 24 meses. La tasa de interes es 15%.

i eq = (1+i)^(a/b) - 1

1.17% ieq = tasa equivalente i = tasa que se tiene a = periodo en dias de la tasa que se desea calcular b= periodo en dias de la tasa que se tiene

P # CUOTAS (N TEA TEM mod vencida cuota

25000 24 15% 1.17% $0.00 $1,201.01

7

A( PAGO) i

2500 6%

n Ma (monto anualidad

10 ?

8 M = 6000 I = 8% ANUAL N = 5 AÑOS C=?

C = M / (1+i )^n

numero cuota

mensual

saldo inicial

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

25,000 24,092 23,173 22,244 21,303 20,352 19,389 18,415 17,430 16,433 15,425 14,404 13,372

amortizacion

intereses

cuota

1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201

293 282 271 261 250 238 227 216 204 193 181 169 157

908 919 930 940 951 963 974 985 997 1,008 1,020 1,032 1,044

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

12,328 11,271 10,202 9,121 8,027 6,920 5,800 4,667 3,520 2,360 1,187

1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201 1,201

144 132 120 107 94 81 68 55 41 28 14

1,057 1,069 1,081 1,094 1,107 1,120 1,133 1,146 1,160 1,173 1,187

(d) 500 Anualidad 10 n 0.1 r

Ma = 32951.98

Ma = A [(1+i)^n - 1] / i

Ma = 2500 [(1+0.06)^10 - 1] / 0.06

Ma = A [(1+i)^n - 1] / i

C = 6000/(1+008)^5 C = 4083.49

saldo ffinal

24,092 23,173 22,244 21,303 20,352 19,389 18,415 17,430 16,433 15,425 14,404 13,372 12,328

Ma = 2500 [(1+0.06)^10 - 1] / 0.06

11,271 10,202 9,121 8,027 6,920 5,800 4,667 3,520 2,360 1,187 (0)

CALCULO DE

TASA EFECTIVA a

TASA NOMINAL

Cuando se conoce la Tasa Efectiva (Anual) TEA

9.3500%

TNA

8.9395%

Cuando se conoce la Tasa Nominal (Anual) TEA Capitalización Diaria

9.3500%

TNA

8.9395%

OMINAL