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♦ CÁLCULO Y ADMINISTRACIÓN FINANCIERA ♦

- Cálcu lo F in anc iero – Te oría y P ráctica

Año 2013

Profesor Adjunto:

Hernán Rouby

Indice: I.

CALCULO FINANCIERO

3

II.

REGIMEN DE CAPITALIZACION SIMPLE

6

III.

REGIMEN DE ACTUALIZACION SIMPLE

11

IV.

CAPITALIZACION COMPUESTA

14

V.

TASAS DE INTERES

18

VI.

TASA DE INTERES REAL Y APARENTE

23

VII. RENTAS

25

VIII. SISTEMAS DE REEMBOLSO DE PRÉSTAMOS

32

IX.

38

RESULTADOS EJERCICIOS

2

I- CALCULO FINANCIERO El objeto de estudio del cálculo financiero son las operaciones financieras. Una operación financiera es toda acción de inversión o financiación que determine una variación cuantitativa del capital por desplazamiento del tiempo. El objetivo general es el estudio de las variaciones, el análisis de las leyes que rigen esas variaciones y la valuación de los efectos.

Número de Cuotas

Simple (un solo capital)

Plazo Fijo, documento

Complejas (conjunto de Capitales)

Renta

Ciertas

Plazo Fijo, Renta

Aleatoria

Sorteo, Rentas Vitalicias

Clasificación

Forma

En matemática financiera hay dos operaciones fundamentales: a) la capitalización que permite calcular el monto o valor final de un capital inicial, y b) la actualización que permite calcular el valor actual de un capital futuro. En otras palabras, la capitalización estudia y explica los procesos de trasladar valores del presente hacia el futuro, o de un futuro próximo a uno más lejano. Para hacer esto, a la suma a capitalizar debemos adicionarle los intereses correspondientes. Al capitalizar estamos calculando un monto. En cambio la actualización estudia y explica los procesos inversos de la capitalización, es decir, de traer los valores del futuro al presente, o de un futuro lejano o uno más próximo al presente, y es el fundamento básico de la teoría de las amortizaciones de capital y de las rentas o anualidades. Amortizaciones, ya sean en el sentido de saldar una deuda contraída en el presente, o de extinguir un capital que sufre los efectos de la depreciación por el uso. En la evaluación de Proyectos de inversión es fundamental para estudiar los beneficios actualizados a una fecha determinada a los fines de su comparación con los costos acumulados a dicha fecha. Ambos conceptos, de capitalización y actualización, se refieren siempre en términos de equivalencias financieras. Concepto de equivalencia: son aquellas operaciones financieras que tienen distintas unidades de tiempo y sin embargo las unidades de capital producen el mismo monto al cabo del mismo período de tiempo.

a) Régimen de Capitalización Monto: 3

Los elementos de esta operación financiera son: Capital inicial C0 : n: plazo de la operación i: tasa de interés en porcentaje I(0,n): interés acumulado en pesos entre 0 y n Cn : Monto – Capital al final de “n” periodos Eje de tiempo: 0

1

2

3

4

n-1

C(0)

n

C(n)

El capital inicial al devengar intereses en forma continua va cambiando su valor con el transcurso del tiempo, esto implica que es imprescindible que cuando se mencione un capital se lo ubique en el tiempo. Es decir que dado un capital inicial, colocado a un cierto interés, a medida que transcurre el tiempo va creciendo y ese crecimiento es la suma del capital inicial más los intereses que es el incremento del capital en el período. Al valor que asume el capital después de transcurrido un cierto período de tiempo se lo llama Monto. Y éste está constituido precisamente por el capital inicial más los intereses. Luego, el monto es función del tiempo, del capital inicial y de la tasa instantánea de interés. Interés: Al hacer una colocación de capital, C(0), ésta con el tiempo producirá un interés. Nomenclatura: I(0,1): es el interés ganado por el capital inicial, C0, en el primer período, entre 0 y 1. 0,1,2..n: son momentos en el tiempo, la distancia entre 2 momentos es donde se gana interés y se denomina período. I(0,n): es el interés total que se obtiene de la suma de los interés correspondientes a cada período. Se obtiene de la siguiente manera: n

I (0, n ) = I (0,1) + I (1,2 ) + ... + I (n − 1, n ) = ∑ I (s − 1, s ) s =1

Nota: Según la definición que adoptamos, la tasa de interés corresponderá siempre a la unidad de capital, pero al no especificarse el lapso considerado, la unidad de tiempo puede ser elegida arbitrariamente y por lo general se adecua a la modalidad de la operación de que se trata. La unidad de tiempo es el período al final del cual se pagan o capitalizan los intereses. Entonces trabajaremos con tasa anual si la unidad de tiempo convenida es el año, tasa semestral, tasa trimestral, tasa mensual, etc. si las unidades de tiempo que más se adaptan a las operaciones son: el semestre, el trimestre o el mes, y aún podremos hablar de tasas diarias, o referidas a una unidad de tiempo mayor o menor.

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Para este proceso de capitalización, donde se van acumulado intereses, podemos calcularlos con la Ley de Capitalización a Interés Simple (ecuación lineal) o la Ley de Capitalización a Interés Compuesto (ecuación exponencial).

b) Régimen de Actualización La operación contraria al interés es el descuento, que es el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su vencimiento, dentro de “n” unidades de tiempo. 0

n

VA Valor Actual

Vn Valor Nominal

Elementos de esta operación financiera: Vn : Valor Nominal n: Plazo de la operación d: Tasa de descuento en porcentaje D(0,n): Descuento acumulado entre 0 y n. Eje de tiempo: 0

1

2

3

4

n-1

VA

n

Vn

Nomenclatura: D(0,1): es el descuento realizado sobre el valor nominal, Vn, en el primer período, entre 0 y 1. 0,1,2,..n: son momentos en el tiempo, la distancia entre dos momentos es donde se realizan descuentos y se denomina período. D(0,n): es el descuento total en pesos, que se obtiene de la suma de los descuentos correspondientes a cada período.

D(0, n ) = D(0,1) + D(1,2 ) + ... + D(n − 1, n ) = ∑s =1 D(s − 1, s ) n

Para este proceso, donde se van descontando descuentos, calcularlos con la Ley de Actualización a Descuento Simple (ecuación lineal) o la Ley de Actualización a Descuento Compuesto (ecuación exponencial)

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II-REGIMEN DE CAPITALIZACION SIMPLE Régimen de Capitalización a Interés Simple Bajo este régimen de capitalización sólo el capital inicial invertido genera intereses. Se considera que los intereses generados por la inversión son retirados al vencimiento del plazo de la operación y en el caso de una operación de pagos periódicos, que los intereses son retirados al final de cada periodo de cálculo de intereses. En el régimen de capitalización a interés simple, calculamos el interés sobre el capital inicial en todos los periodos, es decir que los intereses ganados en un período no son generadores de nuevos intereses, aunque el interés continúe depositado. Al calcular siempre los intereses sobre el capital inicial, el interés periódico es constante. Fórmula de interés acumulado: I (0,1) = C 0 * i = I (1,2) = I (2,3) = ... = I (n − 1, n)

I (0, n) = C 0 * i * n El monto, o capital final, surge de sumarle al capital inicial el interés acumulado, que es la suma de los intereses de cada período. Como el interés de cada período es “C0*i”, debemos sumar “n” veces “C0*i”, o sea “C0*i*n”

C ( n ) = C (0 ) + I (0, n) C ( n ) = C (0 ) + (C ( 0) * i * n) C ( n ) = C (0 ) (1 + i * n) Formula derivadas: Capital Inicial Cn C0 = (1 + i.n)

Tasa de Interés C − C0 i= n C o .n

Número de períodos C − C0 n= n C 0 .i

Ejercicios: 1) Calcular el monto que produjo un capital de $12.000 que se colocó durante 7 meses al 2% mensual. 2) A cuanto asciende el interés producido por un capital de $100.000, que estuvo colocado durante 8 meses al 2% mensual. 3) Calcular el interés producido por un capital de $250.000 durante un año y seis meses al 12% semestral. 4) ¿A qué tasa semestral se colocó un capital de $67.500 que en 3 años produjo un monto de $108.000?

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5) Determinar que capital colocado al 5% mensual de interés durante 15 meses, produjo un interés de $900. 6) El interés pagado por un préstamo de $500 en un plazo de 4 meses fue de $12,50 ¿Cuál fue la tasa de interés anual? 7) Determine en cuántos años se gana un interés de $36.000, con un capital inicial de $75.000 y que gana interés del 8% anual. 8) ¿Qué monto produjo un capital de $12.000, colocado durante 7 meses al 2% mensual? 9) ¿En cuánto tiempo un capital de $38.500 se convierte en $57.750, al 2% mensual? 10) ¿Cuál es el número de períodos en que un capital de $200, colocado al 4% mensual de interés simple se duplica? 11) Determinar el valor final de un capital de $1.800 depositado en las siguientes condiciones: a) Por un plazo de 30 días, renovándose la operación 5 veces más, por un período de 30 días cada uno. b) La tasa de interés es del 42% anual para el plazo de 30 días en los dos primeros depósitos, y del 38% anual para el plazo de 30 días en los últimos 4 depósitos. c) En todos los casos se retiran los intereses. 12) El 15 de junio se colocaron $15.000 al 20% anual durante 6 meses, fecha en la cual se retira el total producido y se lo deposita en otro banco al 25% anual durante 4 meses más. Determine el saldo acumulado al cabo de los 10 meses. 13) Un capital de $76.000 se coloca por mitades en dos bancos durante 8 meses. El primer banco paga un 24% de interés anual y el segundo el 20% anual. Calcule el interés total al final del periodo. 14) Se depositan $20.000 al 80% anual de interés, ¿cuánto se retirara a los 200 días si se toma como base de cálculo al año comercial? y ¿con año civil? 15) Una persona gana $63,75 cada semestre por una inversión que paga el 6% anual de interés. ¿Qué capital ha invertido esa persona? 16) ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $5.000 para producir $50 a una tasa de interés del 6% anual? 17) Determinar el interés simple y el monto que produce la inversión de un capital de $750 durante 2 meses al 7% anual. 18) Una señora solicita un préstamo de $30.000 para comprar una casa. La tasa de interés es del 12% anual y los pagos mensuales de $308,59. ¿Qué parte del primer pago se destina al pago de interés, y qué parte a capital para saldar o amortizar la deuda?

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19) Un empleado solicitó un préstamo de $150 a liquidar en dos meses y pagó $9 por concepto de interés. ¿Cuál fue la tasa de interés anual? 20) Un mecánico solicitó un préstamo de $124 y un mes después liquidó el préstamo pagando $127,72. ¿Qué tasa de interés anual pagó? 21) Si una persona presta $3.000 al 10% anual, ¿cuánto tiempo necesitará para obtener $750 de interés? 22) Cuánto tiempo necesitarán $625 para ganar $25 de interés al 4,8% anual? 23) Una persona obtuvo un préstamo de $95. Seis meses después liquidó tanto el capital como el interés con un pago de $100. ¿Qué tasa de interés pagó? 24) Una camarera, en una época de apuros económicos, empeñó su reloj y anillo de diamantes por $55. Al final de un mes los rescató pagando $59,40 ¿Cuál fue la tasa anual de interés? 25) El constructor de un edificio de departamento obtuvo un préstamo de $800.000 a una tasa de interés del 15% anual, recibiendo el dinero en las siguientes fechas: 1 de marzo de 2005 1 de junio de 2005 1 de octubre de 2005 1 de diciembre de 2005

$300.000 $200.000 $200.000 $100.000

El edificio se terminó en el mes de febrero de 2006 y el préstamo se liquidó en un solo pago el 1 de marzo de 2006. Determine el monto de ese pago, utilizando interés simple. 26) Una persona puede adquirir un bien por $5.000 al contado ó $5.400 dentro de un año. El posible comprador dispone de un capital de $5.000 para pagar en efectivo y duda en hacerlo o invertirlo al 7%. ¿Qué alternativa de pago le conviene y en qué medida? 27) Calcular el valor actual de $1.500 con vencimiento dentro de 9 meses, si el dinero se invierte al 8% anual. 28) Al 6% anual de interés, ¿cuál es el valor actual de $600 pagaderos dentro de 6 meses? 29) Una señora puede saldar una deuda pagando $200 en el momento actual o $208 al cabo de 6 meses. Si el dinero puede redituarle un 5,5% de interés anual, ¿cuál es el ahorro a valor actual que se obtiene de elegir la modalidad de pago más conveniente? 30) Una persona debe $200 dentro de 6 meses y $300 al cabo de un año. El acreedor acepta un pago en efectivo en el momento actual equivalente a las dos deudas. Si la tasa de interés de la operación es del 18% anual y se establece como fecha de pago el día de hoy, determine su cuantía.

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31) Resolver el problema anterior utilizando como fecha de pago dentro de un año. 32) Una persona debe $1.000 con vencimiento en un año a un interés del 14% anual. Desea saldar esta obligación por medio de dos pagos de igual cuantía a efectuar a los 3 y 9 meses, respectivamente. ¿Cuál será la cuantía de esos pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés del 14% anual? 33) Una persona obtuvo un préstamo de $2.000 al 15% anual de interés el día 1ro. de junio de 2005; que debe restituir mediante dos pagos de igual cuantía, uno el 1° de diciembre de 2005 y el otro del 1° de junio de 2006, respectivamente. Determinar la cuantía de los pagos. 34) Una persona debe pagar $200 dentro de 4 meses y $800 dentro de 8 meses. ¿Qué pago único necesita efectuar dentro de 6 meses si quiere amortizar por completo la deuda, si se acuerda una tasa de interés del 12 anual? 35) Una persona firma un documento por $1.000 con vencimiento en un año, con un interés de 6% anual. Tres meses después de la firma del contrato, el poseedor del documento lo vende a un tercero, el cual determina su valor al 8% anual de interés simple, ¿cuánto recibirá el vendedor del documento? 36) Una persona debe pagar $1.000 en 1 año. Se compromete a pagar $500 en 3 meses y el complemento en 15 meses. Si el dinero se valora al 7% anual de interés, ¿qué cantidad debe desembolsar dentro de esos 15 meses para liquidar completamente la deuda? 37) Una persona obtiene un préstamo de $5.000 al 15% de interés anual, comprometiéndose a pagar $2.000 al cabo de 2 meses y otros $2.000 al cabo de 4 meses. ¿Cuánto deberá pagar a los 6 meses para saldar completamente la deuda? 38) Una persona desea adquirir una propiedad valuada en $1.000 el día de hoy o $1.050 dentro de 6 meses. ¿Qué cantidad le conviene desembolsar al comprador y en qué medida, si el dinero se cotiza al 6% de interés anual? 39) Usted invierte $8.000 en el Banco A y $12.000 en el Banco B. El Banco A paga el 20% anual y el depósito se realizó por 9 meses. En tanto que, el Banco B paga el 24% anual de interés durante un tiempo tal, que en conjunto con el primer depósito, obtiene un monto de $23.840. Calcular cuánto tiempo permaneció depositado el capital en el Banco B. 40) Se coloca una inversión a interés simple de $10.000 por 6 meses. Los primeros 2 meses rindió el 10%, el tercer mes el 8% y los restantes el 9%. ¿Cuál será el monto reunido si: a) todas las tasas son mensuales. b) todas las tasas son trimestrales. c) todas las tasas son para 15 días. (año comercial) 41) Para una inversión de $10.000 se conviene que ganará intereses simples cada 30 días según el siguiente perfil: al 20% nominal anual el primer mes; al 22% nominal

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anual el segundo; al 25% nominal anual el tercero y al 27% nominal anual el último período. a) Calcule el monto de los intereses a cobrar. b) Si en lugar del perfil citado, quisiéramos una única tasa nominal anual de interés, ¿cuál sería ella para obtener igual monto? c) Teniendo como dato la tasa de interés calculada en el punto b), cuánto tiempo tardaría en duplicar el capital. 42) Un cliente suyo le solicita que lo ayude a comprobar, teniendo en cuenta que la Tasa de interés aplicada para todos los casos es del 5 % anual, si la siguiente información remitida por el banco es correcta: a) De un capital inicial de $1.000 colocado durante 75 días, el monto obtenido es de $1.010,42. b) Por la compra de un TV en $850 realizado hace 49 días, se acordó su pago hoy, por lo que nos exigen que paguemos $890. c) Tenemos una deuda de $2.100, que teníamos que pagar dentro 84 días y queremos liquidar hoy, por la cual deberíamos abonar $2.075,84.

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III- REGIMEN DE ACTUALIZACION SIMPLE Una de las decisiones de financiación consiste en el endeudamiento de corto plazo. Una de las formas usuales es el descuento de documentos, de propia firma ó de terceros. El descuento es la compensación que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital que vence en el futuro. Los documentos poseen dos valores: a) valor nominal y b) el valor actual El valor nominal es la cantidad que debe pagarse el día de vencimiento, en tanto que el valor actual es el que tiene el documento en el momento de su descuento, también llamado valor descontado, valor efectivo ó valor real. Existen dos métodos de cálculo:

a) Descuento racional o matemático Se denomina así porque surge de aplicar las reglas del interés simple, teniendo en cuenta que el descuento es la contracara del interés. Es aquel que se práctica el descuento sobre el valor actual o presente del documento, en otras palabras, los intereses se calculan sobre el capital recibido en préstamo. Siendo: Cn = Valor nominal del documento cuyo pago vence en el futuro VA = Valor actual del documento DR = Descuento racional El descuento sería: D R = V A .i.n Por su parte, el valor recibido será: V A = C n − D R , y como C n = V A + D R = Va + V A .i.n Entonces V A =

Cn (1 + i.n)

Formula derivadas: Tasa de Interés C − VA i= n V A .n

Número de períodos C − VA n= n V A .i

b) Descuento comercial Este es el método más empleado, sin embargo no tiene fundamento en las reglas del interés simple y su amplia difusión resulta de su facilidad de cálculo. El descuento se aplica sobre el valor nominal del documento y es proporcional al tiempo que reste para su vencimiento y a la tasa de descuento aplicada.

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En otras palabras, definimos el descuento comercial como la reducción de valor a aplicar al valor nominal del documento en base a una tasa de descuento y período de tiempo determinado. Cuando los intereses se abonan al inicio de la operación de descuento, las tasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento Siendo: DC = Descuento comercial d = tasa de descuento Los intereses se calculan sobre el valor futuro o nominal del documento: DC = C n .d .n , de forma tal que el valor actual del mismo es el valor nominal menos el descuento: V A = C n − C n .d .n = C n (1 − d .n) Formulas derivadas: Tasa de Descuento C − VA d= n C n .n

Número de períodos C − VA n= n V A .d

Limitación: no tiene sentido aplicar un descuento que sea mayor o igual al valor nominal, ya que nos daría valores actuales negativos, por lo tanto, al utilizar descuento comercial, las tasas a aplicar deberá ser bajas o el descuento debe ser por periodos no muy largos. Entonces: 1− d *n = 0 ⇒ 1 = d * n ⇒ n =

1 d

c) Relación entre capitalización y actualización 1 + i : factor de capitalización a interés simple, si multiplico capitalizo si divido actualizo 1 − d : factor de descuento o actualización, si divido capitalizo si multiplico actualizo 0

n

1

1+i

1/(1+i)

1

1-d

1

1

1/(1-d)

12

En el momento 0 (suponiendo que n=1): 1 1 1+ i −1 , haciendo común denominador: d = , si = 1 − d , resulta: d = 1 − 1+ i 1+ i 1+ i resulta entonces: d =

i d , y luego i = 1+ i 1− d

Nota: Obsérvese que en el descuento comercial el descuento se practica, a diferencia del descuento racional, sobre el valor futuro (nominal), pero se recibe en préstamo una suma menor. Por lo tanto, el prestamista gana un rendimiento que es igual al descuento (d) sobre la cantidad que efectivamente presta (1-d). i=

Descuento d = Valor Actual 1 − d

Ejercicios: 43) ¿Cuál será el descuento de un documento de $10.000 que vence en 5 meses al 3% mensual adelantado? Calcular el descuento suponiendo que el 3% es una tasa vencida. 44) ¿Qué valor actual tendrá un documento de $10.000 descontado al 3% mensual 5 meses antes de su vencimiento? (Utilice descuento racional y comercial). 45) Calcule la suma que recibiría si descuenta un documento de $56.680 nueve meses antes de su vencimiento al 1% mensual. Aplique descuento racional. 46) La empresa Alfa desea adquirir una máquina de última tecnología a fin de hacer más eficiente su proceso productivo. Esta empresa no posee efectivo, y para hacer frente a tal adquisición sólo cuenta con un documento de $9.000 que vence en 3 meses. ¿cuánto podrá pagar hoy por dicha máquina si el banco le aplica el 3% mensual? Aplique descuento comercial. 47) Un documento descontado 6 meses antes de su vencimiento al 2% mensual tiene un valor actual de $17.650. ¿Cuál es su valor nominal? Aplique descuento comercial. 48) Obtener el valor actual de $100 con vencimiento dentro de un año; (a) aplicando una tasa de interés simple del 6% anual; (b) utilizando una tasa de descuento bancario del 6%. 49) Un banco descuenta una letra de $200 con vencimiento dentro de un año, utilizando para ello una tasa de descuento bancario del 12% anual. ¿Qué tasa de interés vencida aplica el banco en esa operación? 50) Determinar el descuento bancario y el valor descontado de un capital de $1.500 con vencimiento a 3 meses, si la tasa de descuento es del 10% anual anual.

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51) Una Señora requiere en este momento un capital de $5.000 a pagar en 3 meses. ¿De qué cuantía debe solicitar un préstamo, si el banco carga en sus operaciones crediticias una tasa de descuento del 8% anual?

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IV- CAPITALIZACION COMPUESTA Régimen de capitalización a Interés compuesto Bajo este régimen de capitalización tanto el capital depositado como los intereses generados devengan nuevos intereses. Es decir que en cada período de capitalización se reinvierten los intereses del periodo anterior para que ambos generen nuevos intereses. El capital inicial de cada período crece en proporción a su valor en el período anterior

C1 = C 0 + (C 0 * i ) = C 0 (1 + i )

C 2 = C 0 (1 + i ) + C 0 (1 + i ).i = C 0 (1 + i ).(1 + i ) = C 0 (1 + i ) 2 ..... C n = C (1 + i ) n−1 + C (1 + i ) n −1 i = C (1 + i ) n −1 (1 + i ) = C (1 + i ) n Formula de Monto: C n = C 0 (1 + i ) n Formulas Derivadas Capital Inicial C0 =

Tasa de Interés

Cn = (1 + i ) n

C 0= = C n .(1 + i )

Número de periodos

1

−n

C i =  n  C0

n  − 1 

n=

ln C n − ln C 0 ln(1 + i )

Interés Acumulado

[

]

I (0,n ) = C (1 + i ) n − 1

Ejercicios: 52) Co = $25.000 - n = 5 años 53) Cn = $20.000 -

i = 9% anual - Cn = ¿?

n = 5 semestres - i = 6% semestral - C0 = ¿?

54) Cn = $65.000 – Co = $40.000 - n = 6 años - i = ¿? 55) ¿Cuál es el monto obtenido por una colocación de $21.800 a 4 años y 8 meses al 9% cuatrimestral? 56) ¿Cuál es el monto obtenido por una colocación de $23.000 a 4 años y 4 meses al 6% bimestral? 57) ¿Cuál es el capital inicial que produjo un monto de $20.000 a 4 años y 9 meses colocado al 6,5% trimestral? 58) ¿A qué tasa de interés anual se colocó una capital de $44.200 durante 6 años que produjo un monto de $68.800? 59) ¿Cuantos semestres estuvo depositado un capital de $12.000 a una tasa semestral del 10% y que produjo un monto de $21.258,73?

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60) ¿Qué capital inicial dio origen a un monto de $378.200 al cabo de 4 años y medio a una tasa de interés del 5,5% trimestral? 61) Una persona deposita $27.000 en una institución de crédito que paga el 12% semestral de interés. Sabiendo que el capital permanece depositado durante 4 años, se desea saber cuánto se retira al final del plazo estipulado. 62) Determinar cuál es la tasa de interés bimestral tal que triplique un capital de $350 al cabo de 6 bimestres, considerando que se reinvierten los intereses. 63) ¿Cuál es el capital que, al 5% mensual, en 3 meses, ha producido a interés compuesto, un monto que supera en $200 al que se hubiera obtenido a esa tasa a interés simple? 64) Una empresa debe hacer un pago de $10.000 dentro de 2 meses y otro de $30.000 dentro de 5 meses. ¿Cuál será el valor del pago si desea hacer uno solo dentro de 3 meses? La tasa de interés actual es del 5% mensual. 65) Una empresa dispondrá de $2.000 dentro de 1 mes, $4.000 dentro de 3 meses y $6.000 dentro de 6 meses. Si la tasa de interés mensual es del 3%, ¿Qué monto deberá recibir si desea hacerlo todo junto al mes 4? y ¿al mes 7? 66) La empresa Alfa debe saldar una deuda, para lo cual tiene 2 opciones de pago: a) Pagar $1.000 ahora y $4.000 dentro de 5 meses b) Pagar $4.800 dentro de 3 meses. ¿Cuál es la opción más conveniente si la tasa de interés es del 2,5% mensual? 67) Para un capital inicial de $70.000 se acepta una tasa de 1,5% mensual, con capitalización compuesta, en una operación a 9 meses. a) Calcular el Monto a los 9 meses. b) ¿Qué tasa hubiera resultado aceptable para obtener el mismo monto a interés simple? c) ¿Cuánto tiempo se requiere en la modalidad compuesta para duplicar el capital inicial (tasa 1,5%)? d) ¿Qué capital inicial permitiría llegar al mismo monto calculado en el punto a) a la misma tasa, pero en 5 meses de duración de la operación? 68) Por la adquisición de una máquina debo pagar $1.000 al contado, $3.000 dentro de 2 meses, y $4.000 dentro de 3 meses. Dada una tasa de interés del 18% nominal anual, capitalizable cada mes, determine el monto a pagar de las siguientes alternativas de pago (utilizar régimen compuesto): a) Un pago único dentro de un mes. b) Un pago al contado. c) Un pago único dentro de 6 meses. d) $500 al contado, un pago al mes y $7.000 dentro de 6 meses. 69) Para un capital inicial de $57.500 se acepta una tasa de 2,5% mensual, con capitalización compuesta, en una operación a 10 meses. a) Calcular el capital final.

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b) ¿Qué tasa hubiera resultado aceptable para obtener el mismo monto a interés simple? c) ¿Cuanto tiempo se requiere en la modalidad compuesta para duplicar el capital inicial? d) ¿Que capital inicial permitiría llegar al mismo monto del punto a) a la misma tasa, pero en 5 meses de duración de la operación? 70) Usted debe pagar una deuda de $100.000 dentro de 2 años. A tal efecto piensa depositar $18.000 ahora, $22.000 dentro de 1 año y $28.000 dentro de un año y medio. Por esos depósitos le van a pagar tasas nominales anuales con capitalización mensual del 12%, 18% y 24%, respectivamente. a) ¿Cuál será el monto a agregar a los 2 años para cancelar totalmente la deuda de $100.000? b) Si Usted no desea agregar el monto faltante al final del segundo año para completar los $100.000, ¿de cuánto debería ser el tercer pago (al año y medio), si al final de los 2 años quiere cancelar la deuda totalmente? 71) Se depositan $10.000 en una institución que capitaliza los intereses mensualmente al 1% mensual, teniendo en cuenta que 3 meses después del primer depósito se retiran $1.000, dos meses más tarde se depositan $500, y ocho meses después se retiran $2.000. a) ¿Qué monto se podrá retirar si esperamos 11 meses más? b) Si el monto retirado al final hubiera sido de $10.237,12, qué cantidad de meses se esperó desde el último retiro? 72) Una persona solicita un préstamo de $100.000 a devolver dentro de 10 meses. En el momento en que se otorga el préstamo, se le cobraron gastos de sellados del 1%. La tasa de interés pactada es del 12,75% para 10 meses. ¿Cuál es el monto a devolver, y cuál es el costo real del préstamo considerando los sellados? 73) ¿Qué tasa de interés mensual me cobran por la financiación de un bien que cuesta $18.000.- y puedo pagarlo $9.000 al contado y el resto a 6 meses con un interés del 6% anual a interés simple? Por pago contado me efectúan un 1% de descuento. 74) Alberto Carney tiene la oportunidad de adquirir cualquiera de las inversiones que presenta la siguiente tabla, la cual proporciona el precio de compra, el valor final y su año de recepción. ¿Qué recomendaciones de compra le dará, suponiendo que Alberto pudiera obtener el 10% sobre sus inversiones? Inversiones A B C D

Precio 18.000 600 3.500 1.000

Valor Final 30.000 3.000 10.000 15.000

Años 5 20 10 40

75) La cuenta bancaria de Luís tiene opera a tasa de interés variable. Cada año se ajusta la tasa de interés de encuesta de plazos fijos. Luís depositó $20.000 hace tres años, cuando las tasas de interés eran del 7% (capitalización anual). El año pasado la tasa fue sólo del 6% y este año la tasa volvió a bajar al 5%. ¿Cuál será el saldo final de esta cuenta al final de este año?

17

76) Suponga que sabe que necesitará $2.500 dentro de dos años para dar el primer pago de su automóvil. Banco Uno le ofrece 4% de interés (con capitalización anual) en cuenta a dos años y Banco Dos le ofrece 4.5% (con capitalización semestral) en cuentas a dos años. Si sabe que necesitará $2.500 dentro de dos años. a) ¿Cuánto necesitará invertir en Banco Uno para alcanzar esa meta? b) ¿Cuánto necesitará invertir en Banco Dos? c) ¿Cuál cuenta bancaria prefiere usted?

18

V- TASAS DE INTERES Tipos Tasas de Interés Los dos conceptos que son fundamentales comprender y poder diferenciar son los siguientes: - Periodo de capitalización: es el intervalo al final del cual se capitalizan los intereses, por ejemplo: mensual, semestral, anual, etc. - Frecuencia de capitalización: es el número de veces que los intereses se capitalizan en el año. Notación: “m”, si el período es mensual, m=12; si es anual, m=1

1) Tasa de interés efectiva periódica La tasa efectiva de interés es el interés realmente producido por la unidad de moneda en la unidad de tiempo.

Tasa efectiva ( i ): es la tasa de interés que se aplica a la operación, sin necesidad de proporcionarla en función del tiempo. Es el interés generado por $1 al cabo del período al cual está referida la tasa de la operación. Si la tasa “i” está referida al año, se la conoce como Tasa Efectiva Anual (TEA)

Tasas equivalentes de interés: si dos tasa efectivas, referidas a distintos periodos de capitalización, aplicadas a capitales iguales producen al cabo de igual tiempo, iguales intereses (y por lo tanto iguales montos), dichas tasas son equivalentes es una tasa de interés con frecuencia de capitalización. Ejemplo: si un capital de $1 es colocado al 21% efectivo anual de interés, entonces al cabo del año el monto obtenido será: 0

1

1

1,21

Si en lugar de colocarlo al 21% anual, se lo coloca al 10% efectivo semestral de interés, al cabo del el monto será: 0

6 meses

1 año

1

1,1

1,21

Por lo tanto, se puede afirmar que: - i(1) = 21% es la tasa efectiva anual periódica (capitaliza una vez al año) - i(2)= 10% es la tasa efectiva semestral subperiódica (capitaliza 2 veces en 1 año) Notación: i: Tasa efectiva periódica anual i(m): Tasa subperiodica con “m” capitalizaciones en el año Siguiendo con el ejemplo: (1 + 0,10) 2 = (1 + 0,21)

19

En general tenemos que: (1 + i( m ) ) m = (1 + i ) , y se puede afirmar que son tasas equivalentes.

2) Tasa Nominal Anual (TNA) Tasa nominal anual ( j(m) ): es la tasa de interés que corresponde proporcionar al periodo de capitalización. A partir de una tasa nominal anual, para diferentes periodos de capitalización, hay diferentes tasas efectivas subperiodicas. Es una tasa anual con indicación de las “m” capitalizaciones de intereses en el año. Es una tasa de referencia, se utiliza para publicar los rendimientos de las operaciones financieras en la pizarras de los bancos, en los diarios, etc. Tiene la particularidad de ser proporcional a las tasas i(m). Su notación es: j(m)

Tasa de interés proporcional (i(m)): se obtiene a partir de la división entre la nominal periódica por la cantidad de subperídos de capitalización. Notación: j(m) tasa nominal con “m” capitalizaciones al año j(2) tasa nominal anual con capitalización semestral j( m)

En general:

i( m )

=m⇔

[

Luego: 1 + i = 1 + i( m )

]

m

j(m ) m

= i( m ) son tasas proporcionales

j( m)   = 1 +  m  

m

De esta relación, por pares, se puede obtener una tasa en función de las otras:

[

i = 1 + i( m )

m

]

m

−1

i( m ) = [1 + i ]m − 1 1

1   j ( m ) = (1 + i ) m − 1 m  

j(m )   i = 1 +  −1 m   j(m ) i( m ) = m

j ( m ) = i( m ) m

3) Tasas de descuento Frecuencia de actualización Es similar al análisis de tasas de interés Notación: m: frecuencia de actualización d: tasa efectiva anual periódica d(m): tasa efectiva subperiodica con “m” actualizaciones en el año equivalente a “d” en un año.

20

[

Relación de equivalencia: 1 − d = 1 − d ( m )

]

m

f(m) tasa nominal anual con “m” actualizaciones en el año f ( m) Es proporcional a d(m), siendo = d (m) m Ejemplo: Si d(m)=d(2)=30% efectiva semestral 0

6 meses

1

0,49

0,70

1

30%

30%

0

1

0,49

1 51%

1 − 0,51 = (1 − 0,30) 2 1 − d = (1 − d ( 2) ) 2

son tasas equivalentes, se obtienen iguales valores actuales

0,49 = 0,49 f ( m ) = f ( 2 ) = d ( 2) * 2 = 0,30 * 2 = 0,60 Luego resulta:

[

1 − d = 1 − d ( m)

]

f ( m)   = 1 −  m  

m

m

Entonces podemos obtener:

[

d = 1 − 1 − d ( m)

]

m

d ( m ) = 1 − [1 − d ]

[

1

f ( m ) = 1 − (1 − d )

m

1

m

]m

f (m)   d = 1 − 1 −  m   f ( m) d ( m) = m

m

f ( m) = d ( m) * m

Ejercicios (utilizar para los cálculos 365 días): 77) Hallar la tasa diaria equivalente a un rendimiento del 72,85% anual efectivo. 78) Si la tasa efectiva anual es del 62,87%, calcular la tasa nominal correspondiente a una capitalización de 10, 30 y 90 días. 79) Dada la tasa nominal anual del 12%, determinar:

21

a) b) c) d)

Tasa efectiva anual, si la TNA del 12% capitaliza anualmente. Tasa equivalente semestral, si la TNA del 12% capitaliza cada 180 días. Tasa efectiva mensual, si la TNA del 12% capitaliza cada 30 días. Calcular la tasa efectiva anual para los incisos a, b y c.

80) Hallar las tasas efectivas anuales y efectivas mensuales correspondientes al 56% nominal anual con capitalización 30, 60 y 120 días. 81) Una entidad financiera pretende que el costo efectivo anual de todos sus plazos de captación sea de 14%. Determinar las tasas nominales anuales a pagar por depósitos a plazo fijo a: a) 30 días, b) 45 días, c) 60 días, d) 90 días, e) 105 días, f) 180 días y g) 365 días. 82) En la pizarra de un banco se observan las siguientes tasas para colocaciones a plazo fijo en pesos: Plazos TNA TEM 30 a días 3,00% 60 a días 3,50% 90 a días 3,75% 120 a días 4,25% 180 a días 4,75% Mas de 360 6,00% Sabiendo que se reconocen intereses cada 30 días, determine a los efectos de completar el cuadro, las respectivas tasas equivalentes mensuales. 83) La autoridad monetaria estableció para las operaciones activas una tasa máxima efectiva mensual del 7%. Determinar la tasa efectiva bimestral y la tasa efectiva anual. 84) Para una tasa anual de descuento del 5,8% determinar la tasa efectiva anual de interés. 85) Para una tasa efectiva del 20% anual de descuento para operaciones de un año, determinar las tasas equivalentes de interés efectivas: a) mensual y b) cuatrimestral. 86) Dada la tasa efectiva anual adelantada del 7,5 %. Calcular: a) Tasa equivalente de descuento de 30 días. b) Tasa equivalente de descuento de 180 días. c) Tasa nominal anual adelantada con capitalización cada 30 días. d) Tasa de descuento equivalente de 60 días. 87) Determinar las tasas nominales anuales para depósitos a plazos de 60, 90, 120, 270, 180, 365 días. Sabiendo que para 30 días se paga TNA 84% y se quiere disminuir la tasa efectiva anual en 3 puntos por plazo hasta los 120 días y luego incrementarla en 4 puntos por plazo. 88) Usted puede elegir entre invertir en una caja de ahorro bancaria que paga el 8% con capitalización anual (Banco Anual) y una que paga el 7,5% con capitalización diaria (Banco Diario). Con base en las tasas anuales efectivas, ¿Cuál banco preferiría?

22

89) El interés mensual que gana un capital de $1.000.000 es igual a $5.000. Calcular la tasa efectiva mensual, la tasa efectiva anual y el monto alcanzado al cabo de 6 meses y 15 días a interés simple. 90) El interés mensual que gana un capital de $1.500 es $45. Al respecto, se le solicita que calcule: a) Tasa efectiva mensual. b) Tasa nominal anual. c) Tasa efectiva equivalente a 90 días. 91) Una entidad financiera abona el 84% nominal anual de interés a los depósitos a plazo fijo a 30 días. Sabiendo que la rentabilidad pretendida es de 40 puntos efectivos anuales por sobre su costo efectivo anual de captación. Determinar qué tasa anual de descuento deberá cobrar para descuento de pagaré con vencimientos: a) a 30 días de plazo. b) a 60 días de plazo. c) a 75 días de plazo. 92) Determine cuál de las siguientes operaciones es la más conveniente para un inversor (compare a través de cálculo de tasas efectivas anuales): a) Depósito a interés simple por el plazo de 1 año a la tasa anual del 12%. b) Depósito a interés simple por el plazo de 6 meses a la tasa anual del 12%. c) Un depósito que en el plazo de 4 meses, el inversor obtiene $0,04 por cada peso invertido. d) Un depósito a interés compuesto con capitalización mensual a la tasa del 12% nominal anual.

23

VI- TASA DE INTERES REAL Y APARENTE Tasa real de interés (ir): es el rendimiento obtenido en términos del mismo poder adquisitivo (moneda constante), es decir neto del efecto de la inflación. Tasa de inflación ( π ): esta tasa expresa la pérdida del poder adquisitivo del dinero o el incremento general de los precios de una economía. La misma se obtiene de la siguiente Indice de precios n forma: π ( n −1,n ) = −1 Indice de preciosn −1 Tasa aparente de interés (ia): es la tasa de interés tal cual se la expresa en los contratos y operaciones habituales. Incluye interés puro y el efecto de la inflación. Es también llamada “tasa nominal” aunque no con el significado indicado en párrafos anteriores. En una situación de equilibrio para un período de tiempo: Capital Financiero = Capital en Bienes

[

]

[

]

C 1 + i( a ) = C [1 + π ] simplificando: 1 + i( a ) = [1 + π ] ⇒

1 + i( a ) 1+ π

=1

(*)

Donde: i(a) = es la tasa de interés a priori (aparente) π = es el índice de inflación a posteriori Si el cociente (*) fuera distinto a 1, entonces se presenta una situación en la que se 1 + i( a ) podría adquirir más o menos bienes, en general = 1 + i( r ) , donde se observa que 1+ π i(r), que es la tasa de interés real, puede ser positiva o negativa. Ejemplo: Si se depositan $100 al 10% de interés, se obtiene al cabo de un año, $110; - si el bien que se quería adquirir (que en el momento 0 tenía un costo de $100) cuesta $110 ( π =10%), entonces 1=

-

1 + i( a ) 100 110 1 + 0,10 ⇒ =1⇒ = 1 + i( r ) ⇒ − 1 = i( r ) = 0% , tasa real neutra 100 110 1+ π 1 + 0,10

si en lugar de ser el costo del bien $110, el mismo costará $107 ( π =7%), entonces:

1 + i( a ) 1 + 0,10 100 110 ⇒ ≠1⇒ = 1 + i( r ) ⇒ − 1 = i( r ) = 2,8% tasa real positiva 100 107 1+ π 1 + 0,07 - si el bien costará $120 ( π =20%), entonces: 1=

1=

1 + i( a ) 100 110 1 + 0,10 ⇒ ≠1⇒ = 1 + i( r ) ⇒ − 1 = i( r ) = −8,3% Tasa real negativa 100 120 1+ π 1 + 0,20

Ejercicios: 93) La tasa semestral proyectada de inflación es del 10%. Se desea saber cuál debería ser la tasa mensual que se obtiene por una inversión a plazo fijo ajustable, si se pretende un rendimiento real mensual del 1%.

24

94) Una entidad financiera otorga un crédito a una persona cobrándole por el mismo una tasa del 7,35 % mensual efectivo. Si la inflación en el período fue del 70 % anual. Determine la tasa anual que terminó ganando el banco en términos reales. 95) Una persona deposita $ 10.000 y al cabo de un año retira $ 12.100. En el período se registró una inflación del 12,5 %. ¿Cuál fue la tasa real de rentabilidad del período? 96) Si debemos hacer un préstamo sin corrección monetario, ¿cuál debe ser la tasa anual a aplicar si deseamos una tasa real del 15% anual y se prevé una inflación del 7% mensual? 97) Completar el siguiente cuadro y averiguar el rendimiento real: TASA INTERES

1) 2) 3) 4)

8,5% mensual 7,8% mensual TNA/m = 96% TEA = 72%

TASA INFLACION

TASA REAL

7% mensual 8,6% mensual 150% anual 68% anual

98) Sabiendo que la tasa mensual de inflación promedio fue del 7,3% durante el último trimestre, determinar la tasa de interés real mensual de un depósito por ese plazo que devengó el 105% nominal anual con capitalización mensual. 99) La tasa de interés durante el mes de septiembre de 2005 fue del 5% mensual, en tanto que la inflación fue del 2%. ¿Cuál fue la tasa de interés real? 100) Para que los inversores ganen el 3% de tasa de interés real, ¿Qué interés nominal deben ganar si la tasa de inflación es de: a) cero b) 4% c) 6%. 101) Usted desea adquirir un automóvil nuevo exactamente dentro de cinco años. El automóvil que desea comprar cuesta $14.000 en este momento y su investigación indica que su precio aumentará del 2 al 4% al año, durante los próximos cinco años. a) Calcule el precio del automóvil al final del quinto año si la inflación es del 2% y si es del 4% b) ¿Cuánto aumentará el precio del automóvil si la tasa de inflación es del 4% en lugar del 2%? 102) Se desea conceder un préstamo al que no se le puede aplicar factores de ajuste, y que se reintegrará mediante cuotas mensuales. ¿Cuál sería la tasa mensual a aplicar, si se desea obtener un rendimiento real del 4% mensual, y se prevé una inflación del 40% anual? 103) Si la tasa de interés durante el mes de mayo fue del 32% mensual, en tanto que la de inflación fue del 25,1% para ese período, y para junio se espera una tasa de inflación del 30% ¿A cuánto debe ascender la tasa de interés para ese mes, de modo tal que la tasa real permanezca constante?

25

VII- RENTAS Las rentas son operaciones financieras complejas, ya que a diferencia de las operaciones financieras simples (el capital que se invierte o la financiación obtenida se consideran suministrados íntegramente en un momento del tiempo) la constitución o devolución de un capital, se suministran en partes o porciones llamadas cuotas.

Definiciones Las rentas son sucesiones de cuotas o términos iguales con vencimientos en fechas equidistantes. Se llama período de la renta, al intervalo de tiempo que transcurre entre dos cuotas consecutivas. La duración de la renta es el número de cuotas que la componen. Según el criterio empleado, las rentas se clasifican en: Criterio Aleatoriedad de su duración

Tipo Ciertas Contingentes Constantes Importe de los términos Variables Discretas Períodos Continuas Temporarias Duración Perpetuas A interés simple Ley financiera aplicable A interés compuesto Adelantadas Momento en que se hace cada pago Vencidas Relación entre la Periódicas frecuencia de los pagos y de las Fraccionadas capitalizaciones Relación entre el origen Inmediatas y la época de la valuación Diferidas

Características Su duración está previamente determinada Su duración depende de un hecho aleatorio El importe de los pagos periódicos es constante El importe de los pagos periódicos varía La cantidad de pagos es finita Los pagos son continuos (flujo) Los pagos se realizan durante un periodo de tiempo finito Por un número de veces infinito Los pagos se capitalizan a interés simple Los pagos se capitalizan a interés compuesto Los pagos se realizan al inicio de cada periodo Los pagos se realizan al final de cada periodo La frecuencia de los pagos es la misma que la de capitalización La frecuencia de los pagos es distinta que la de la capitalización Los periodos a los cuales corresponde cada pago comienzan al iniciarse el plazo de la renta Existe un diferimiento, sin pagos, respecto al inicio del conteo de los periodos

Valor Actual Renta Pagos Vencidos El valor presente (Vp) de una renta se obtiene sumando los valores actuales de todas y cada una de las cuotas que la componen. Esta suma representa el valor que se debe pagar hoy para tener derecho a la sucesión de pagos futuros de la renta, o bien, el valor del activo a que recibimos hay y que debemos pagar con las cuotas de la renta.

Importante: el valor presente de la renta es menor a la suma de todas las cuotas a valor nominal, ya que en dichas cuotas se encuentra incorporado el interés que se origina al transcurrir el tiempo. 26

Formula Notación: a (1; n; i ) = v. actual (período hasta 1re. pago ; cantidad de pagos ; tasa empleada) Período

0

Cuota

1

2

3

n

1

1

1

1

(1 + i ) −1 = v (1 + i ) −2 = v 2 (1 + i ) −3 = v 3 ..... (1 + i ) − n = v n n

a (1; n; i ) = ∑ v n Progresión geométrica decreciente de razón v = (1 + i ) −1 s =1

a (1; n; i ) =

1 − vn i

Reemplazando “v” por (1+i)-1 (asumiendo que la cuota es $1)

a (1; n; i ) =

1 − (1 + i ) − n i

Para el caso que la cuota sea mayor a $1 1 − (1 + i ) − n Vp = c i Formulas derivadas: Cuota i c = Vp 1 − (1 + i ) − n

Número de períodos Ln (c) − Ln (c − i.V p ) n= Ln (1 + i )

Valora Actual de una Renta de Pagos Adelantados Simplemente se capitaliza al valor actual de una renta de pagos vencidos por un período: a (0; n; i ) = (1 + i ) * a (1; n; i )

Valor Final de una renta de pagos vencidos

27

El valor final (VF) de una renta es la suma de los valores finales de todas y cada una de las cuotas que la componen. Esta suma representa el valor que se ha logrado reunir con las cuotas ahorradas, o el valor de un activo que recibimos al finalizar la cancelación de las cuotas de la renta.

Importante: el valor final de la renta es mayor que la suma de todas las cuotas a valor nominal, ya que ellas generan intereses en el transcurso del tiempo. Formula Notación: s(1; n; i ) = v. final (período hasta el 1re. Pago ; cantidad de pagos ; tasa empleada) Período

0

Cuota

1

2

3

n

1

1

1

1 1 ...... (1 + i) n -3 (1 + i) n - 2 (1 + i) n -1 n −1

suma progresión geométrica creciente de razón (1+i) s(1; n; i ) = ∑ (1 + i ) n s =0

n

S=a

q -1 q -1

n

s(1; n; i) =

n

(1 + i) - 1 (1 + i) - 1 = (1 + i) - 1 i

Para el caso que la cuota sea mayor a $1 (1 + i ) n - 1 VF = c i Formulas derivadas: Cuota

c = VF

i (1 + i ) n - 1

Número de períodos  V .i  Ln F + 1 c  n=  Ln (1 + i )

Valor Final de una Renta de Pagos Adelantados Simplemente se capitaliza al valor actual de una renta de pagos vencidos por un período:

s(0; n; i ) = (1 + i )

(1 + i ) n − 1 i

28

Rentas Perpetuas Son rentas que tienen infinitas cuotas. Al tener infinitas cantidad de cuotas, no terminan, por lo tanto solamente puede calcularse su valor actual.

a (1; ∞; i ) =

1 i

Ejercicios: 104) ¿Cuál habrá sido el valor de un préstamo que se saldó en 5 años, con cuotas bimestrales vencidas de $600, a una tasa del 4% efectivo bimestral? 105) Determinar el valor actual de una deuda que se cancela en 5 años con cuotas anuales adelantadas de $770, a una tasa efectiva del 22% anual. 106) ¿Cuál habrá sido el valor de un préstamo que se saldó en 10 años, con cuotas mensuales vencidas de $600, a una tasa del 1% efectivo mensual? 107) ¿En cuánto tiempo Pedro podrá saldar un préstamo de $6.417,70, si las cuotas son cuatrimestrales y vencidas de $1.000 cada una y la tasa es del 9% efectiva cuatrimestral? 108) Usted desea pedir un préstamo hipotecario por $40.000 a un banco que le cobra una tasa del 16% nominal anual para operaciones mensuales. Calcular la cuota vencida que debe pagar mensualmente según los siguientes plazos: a) 3 años, b) 6 años, c) 9 años, d) 12 años, e) 15 años y f) 30 años. 109) ¿Qué capital se habrá reunido al cabo de 3 años depositando cuotas mensuales vencidas de $10.000 cada una, si la tasa de interés obtenida asciende al 48% anual con capitalización mensual. 110) Calcular el capital obtenido al cabo de 10 años mediante cuotas vencidas de $10.000 semestrales a la tasa del 8% nominal anual con capitalización semestral. 111) Daniel Arroyo ha estado buscando un préstamo para financiar la compra de un automóvil usado. Encontró tres posibilidades que parecen atractivas y desea elegir la que tenga la tasa de interés más baja. La información disponible con respecto a cada uno de los tres préstamos de $5.000 se exhibe en la tabla siguiente. Daniel le solicita a Usted que le ayude a determinar cual es el más conveniente: Préstamo A B C

Principal 5.000 5.000 5.000

Pago anual 1.352,81 1.543,21 2.010,45

Término 5 4 3

112) Un señor espera reunir $100.000 en 30 cuotas mensuales vencidas, pero luego de efectuar el depósito Nº20 decide retirar $5.000. A que valor deberá llevar cada una de las cuotas constantes restantes para lograr reunir el monto inicialmente esperado. La tasa empleada es del 18% nominal anual con capitalización mensual.

29

113) Su empresa de jardinería puede alquilar un camión para el reparto de plantas por $8.000 al año (pagaderos a fin de cada año) durante 6 años, ó puede adquirir el camión por $40.000. Se estima que el vehículo perderá todo valor al cabo de 6 años. Si la tasa de interés que su empresa puede ganar con sus fondos es del 7% anual, ¿qué es más conveniente, alquilar o comprar? 114) Una tienda de ropa ofrece dos planes de pagos. Con el plan en cuotas, usted paga el 25% inmediatamente y el resto en tres cuotas anuales iguales (25% del precio cada cuota). Si paga todo el importe al contado, le hacen un descuento del 10% sobre el precio total de compra. ¿Qué resulta más conveniente, si puede pedir prestados o prestar los fondos a una tasa de interés del 5% anual? 115) Una persona de 25 años desea saber que valor mensual depositará a fin de cada mes y hasta los 56 años inclusive, para que a partir de allí tenga derecho a cobrar 240 cuotas mensuales de $1.000. Para realizar su análisis considere una tasa del 0,324% efectivo mensual. 116) Usted tiene hoy 20 años y comienza a trabajar por primera vez. Por la ley vigente, la edad de jubilación es a los 65 años. Suponga que va a trabajar durante toda su vida en el mismo lugar y que su salario bruto será de $2.800. Siendo el aporte obligatorio para su jubilación del 11% sobre su salario bruto y sabiendo que la empresa que administra su fondos le cobra el 30% del monto aportado en concepto de comisión de administración y suponiendo que la rentabilidad de ese fondo será del 12% nominal anual durante el período de acumulación y del 9,6% nominal anual en el período de su retiro, determine: a) Monto que se le retiene en concepto de aporte y monto neto que se va capitalizar en su cuenta individual. b) Monto acumulado a los 65 años. c) Monto de la jubilación mensual que recibirá durante 25 años. 117) Juan Martínez, un licenciado en administración de empresas de 25 años de edad, desea jubilares a la edad de 65 años. Para completar otras fuentes de ingresos de jubilación, podría depositar $2.000 cada año en un plan de jubilación individual. Este plan se invertirá para obtener un rendimiento anual del 10%, el cual se supone que se podrá mantener durante los próximos cuarenta años. a) Si Juan realiza depósitos anuales de $2.000 en el plan de jubilación individual, ¿Cuánto habrá acumulado después de cumplir 65 años? b) Si Juan decide esperar hasta la edad de 35 años para comenzar a efectuar depósitos anuales de $2.000 en el plan de jubilación, ¿Cuánto habrá acumulado después de cumplir 65 años? c) Con los resultados obtenidos en los incisos a) y b), calcule de cuanto sería la jubilación (mensual) recibida por Juan durante los siguientes 20 años (suponga que la tasa de rentabilidad luego de jubilado será del 6% anual). 118) El señor K realiza hoy un depósito a plazo fijo a interés compuesto anualmente de $15.000 a una tasa del 14% anual, durante 12 años. Con dicho monto desea ingresar a un fondo de administración cerrado que espera obtener un rendimiento del 10% anual y le pagaría una anualidad durante 30 años. Con estos datos, se le pide: a) Determine que anualidad recibirá el señor K durante 30 años.

30

b) Si el señor K desea recibir una anualidad de $10.000 durante los 30 años, ¿cuánto debería depositar hoy? c) Si el señor K desea recibir una anualidad de $10.000 durante los 30 años, pero la tasa que paga el banco en el cual va a realizar el plazo fijo es del 9% anual ¿cuánto debería depositar hoy a plazo fijo para alcanzar el objetivo? 119) Juan Rodríguez se acaba de divorciar y en el convenio de liquidación de la sociedad conyugal acordó con Laura (su ex mujer) pagarle durante los próximos dos años en conceptos de alimentos, mientras ella reorganiza su situación personal y consigue un trabajo que le permita solventar sus gastos, la suma de $2.000 mensuales vencidos. Después de firmar el convenio, Laura recibe una oferta para instalar un negocio, para lo cual necesitaría invertir la suma de $26.500 al contado. Ante dicha oportunidad Laura decide proponerle a Juan que en lugar de $2.000 mensuales vencidos durante dos años le pague $26.500 al contado. Teniendo en cuenta que tasa de interés relevante en el mercado es del 5,5% mensual, se le solicita. a) Desde el punto de vista financiero, ¿Juan debería o no aceptar la nueva propuesta? b) ¿Le seguiría aconsejando a Juan lo mismo que en el punto b) si los pagos de $2.000 mensuales fuesen adelantados? c) Como Juan va a recibir una suma importante de dinero dentro de 12 meses, le ofrece pagarle a Laura un monto único a esa fecha de $50.000. Laura, ¿debería aceptar la nueva propuesta de Juan? - compare con las propuestas del punto b) – 120) Usted puede comprar un automóvil que se publica a un precio de $12.000 con las siguientes condiciones de financiación: a) pagar al contado $12.000 con un descuento del fabricante de $1.000, b) pagar $250 al mes durante 4 años, sin el descuento y con financiación equivalente a cero. ¿Qué alternativa es mejor, si la tasa de interés relevante para Usted es del 1% mensual? 121) Suponga que tiene tres préstamos personales pendientes con su amiga Isabel. Hoy se vence un pago de $1.000, otro de $500 vence dentro de un año y otro de $250 vence dentro de dos años. A usted le gustaría consolidar los tres préstamos en uno, y pagarlo en 36 cuotas iguales en forma mensual, empezando dentro de un mes. Suponga que la tasa de interés acordada es 8% nominal anual. ¿A cuánto accederá el nuevo pago mensual? 122) Gina Vitale se comprometió a vender una pequeña parcela de tierra que heredó hace algunos años. El comprador está dispuesto a pagar $24.000 al cierre de la transacción o a liquidar las cantidades que presenta la siguiente tabla al inicio de cada uno de los próximos cinco años. Puesto que Gina realmente no necesita el dinero es este momento, decide acumularlo en una cuenta que proporcionará el 7% de interés anual. Como desea adquirir una casa dentro de cinco años, le solicita a Usted que la ayude a elegir la alternativa de los pagos (suma total de $24.000 o la corriente mixta de pagos expuesta en la tabla) que ofrezca el máximo valor futuro al final del quinto año.

31

Al comienzo del año 1 2 3 4 5

FF 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000

a) ¿Cuál es el valor futuro de la suma total al final del quinto año? b) ¿Cuál es el valor futuro de la corriente mixta al final del quinto año? c) Con base en los resultados de los incisos a y b, ¿Qué alternativa debe tomar Gina? d) Si Gina pudiera obtener el 10% en lugar del 7% sobre los fondos, ¿cambiaría la recomendación que dio en el inciso c? Explique. 123) Usted puede adquirir hoy una propiedad por 3 millones de dólares y venderla por 4 millones dentro de 5 años. (No puede ganar renta por alquiler sobre la propiedad) a) Si la tasa de interés relevante para Usted es del 8% anual, ¿Cuál es el precio que estaría dispuesto a pagar? b) ¿La inversión en la propiedad le resulta atractiva? ¿Por qué si o no? c) ¿Cambiaría su respuesta en b) si también pudiera ganar $200.000 anuales alquilando la propiedad? 124) Usted pide $1.000 prestados al banco y se compromete a pagarlos en 12 cuotas mensuales iguales de $90. Sin embargo, el banco también le cobra una comisión de apertura de $20, que se resta la capital inicial. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual sobre la cantidad cobrada del préstamo, si se tiene en cuenta el efecto de la comisión de apertura? 125) Usted quiere comprar un auto deportivo que cuesta $23.000. En una concesionaria le ofrecen financiar la compra de la siguiente manera: tasa de interés especial de 2,9% anual en compra de autos nuevos a un plazo de tres años, con pagos mensuales. Otra concesionaria le ofrece un descuento en efectivo. Los clientes que acepten el descuento en efectivo no tendrían, por supuesto, derecho a la tasa especial de préstamos y tendrían que pedir prestado el resto del dinero a un banco a una tasa anual de 9% durante 36 meses. ¿De cuánto debe ser el descuento en efectivo en este auto de $23.000 para atraer al cliente y alejarlo del vendedor que ofrece e financiamiento especial del 2,9%?

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VIII-

SISTEMAS DE REEMBOLSO DE PRÉSTAMOS

En general, los individuos solicitan préstamos a instituciones financieras para financiar un proyecto, adquisición de un bien, etc. Todo préstamo que se adquiere debe pagarse por una parte unos intereses por concepto del uso y disfrute del capital recibido y por otra, reembolsar dicho capital (amortizar) en una o varias épocas previamente acordadas. En el contexto estricto de las finanzas, amortizar alude al proceso que extingue una deuda mediante el pago del capital, también llamado principal, por lo tanto, cuando hablamos de amortizar un préstamo nos referimos al proceso por el cual se devuelve el capital que originó la obligación. Los sistemas de amortización son los siguientes_

a) Sistema Francés El sistema francés es de cuotas constantes vencidas, con amortizaciones periódicas e intereses sobre saldo de deuda. Por lo tanto, es una renta de cuota constante vencida. 1 − (1 + i ) − n Vp = C El valor presente es el valor de la deuda (Vp): i i El valor de la cuota se obtiene despejando C de la formula anterior: C = V p 1 − (1 + i ) − n Esta cuota tiene dos componentes: a) los intereses periódicos sobre el saldo de deuda y la cuota de amortización del capital correspondiente al periodo en cuestión Cuota Total = amortización periódica (tp) + interés periódico (I(p-1;p)) Como los intereses son sobre saldo de deuda, y como el saldo de deuda decrece a medida que se va amortizando el capital, los intereses también son decrecientes. Al ser la cuota constante, y los intereses decrecientes, la cuota de amortización de capital es creciente. Formulas Derivadas Nro. de períodos Ln (c) − Ln (c − i.V P ) n= Ln(1 + i ) Amort. contenida en la p-ésima C

t p = t1 (1 + i ) p −1

Amortización contenida en la 1re. Cuota C t1 = (1 + i ) n Total amort. luego de abonar la p-ésima C (1 + i ) p − 1 T p = t1 i

Cuadro de Marcha: Vp= $1.000 – n = 4 – i = 10%

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p 1 2 3 4

Saldo de Deuda 1.000,00 784,53 547,51 286,79

Amortización Cuota 215,47 237,02 260,72 286,79

Interés Cuota 100,00 78,45 54,75 28,68

Cuota 315,47 315,47 315,47 315,47

Saldo Final 784,53 547,51 286,79 0,00

b) Sistema Alemán El sistema alemán es de cuota de amortización de capital constante e intereses periódicos sobre saldos. La cuota periódica de amortización (t) es simplemente la fracción de la deuda original. Vp t= n Los interese periódicos se obtienen de calcular el saldo de deuda que opera durante el período: Vp .i.(n − p + 1) I ( p −1, p ) = n De lo anterior se desprende que la cuota de amortización de capital es constante y como los intereses son sobre saldo de deuda, y el saldo de deuda decrece a medida que se va amortizando el capital, los intereses también son decrecientes. Por lo tanto la cuota total va creciendo con el tiempo. Cuota Total = amortización periódica (t) + interés periódico (I(p-1;p)) Formula derivadas: Total amortizado luego de abonar la p-ésima cuota Cuota pésima Vp Vp Tp = .p cp = [1 + i(n − p + 1)] n n

c) Sistema Americano En este sistema, el capital se amortiza en un solo pago, igual al valor de la deuda original, al finalizar el plazo, en tanto que los intereses se abonan periódicamente, calculándose los mismos sobre la deuda inicial. Paralelamente, se constituye un fondo de amortización con el objetivo de reunir el monto necesario para saldar la deuda del capital al finalizar el plazo. Normalmente, los intereses periódicos se calculan con la tasa de interés activa, mientras los intereses que paga el fondo de amortización son a tasa de interés pasiva. La cuota total está compuesta únicamente por los intereses periódicos, que como no hay amortizaciones de capital intermedia, son constantes: C = I = V p .ia , y por la cuota del fondo de amortización: C f = V p

ip (1 + i p ) n − 1

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  ip Por lo tanto, la cuota total será: C = V p i a +  (1 + i p ) n − 1 

d) Sistema Directo En el sistema directo los intereses periódicos se calculan sobre la deuda original, aunque se efectúen amortizaciones de capital periódicas constantes. Este sistema no es justo, ya que se le están cobrando intereses periódicos sobre el total de la deuda, aunque la misma se esté amortizando periódicamente. Intereses periódicos

I = V p .i

Amortización periódica Cuota total

t=

C = I + t = V p .i +

Vp n Vp

 1 = Vp i +  n  n

Ejercicios: Sistema Francés

126) Una deuda de $10.000 se cancela, utilizando el sistema francés, en 4 años con cuotas vencidas trimestrales al 26,25% efectivo anual de interés, ¿Cuál será la cuota y cuanto se habrá amortizado al final del 2° año? 127) Se recibe un préstamo a amortizar por sistema francés en 5 cuotas de $10.000 cada una, al 5% mensual. Calcular: a) Importe del préstamo b) Amortización del primer pago c) Saldo de deuda luego de abonada la cuota 3. 128) Una persona tomo prestados $100.000 reembolsables en 20 años al 4% y se pregunta: a) Anualidad b) Interés del primer año c) Amortización del último año d) Año en que se amortiza $ 6.047,87 129) Una deuda de $10.000 debe ser amortizada en 10 cuotas anuales iguales vencidas. Sabiendo que la tasa de interés es del 8% anual, averiguar: a) Valor de la cuota b) Interés total pagado c) Valores actuales en el momento 2, 4, 10 d) Total amortizado durante los seis primeros años 130) Una deuda se amortiza con 15 pagos bimestrales de $1.000 cada uno al 5% bimestral de interés. Determinar la cuota que amortiza la misma deuda con 20 pagos bimestrales al 5,5% bimestral.

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131) ¿En cuantas cuotas amortizó totalmente un préstamo de $1.970, siendo las cuotas mensuales pagadas de $300, a una tasa del 19,5% nominal anual capitalizable mensualmente? 132) Un comprador obtiene la financiación de un inmueble de valor $40.000 en un 90% al 12% anual nominal, con pagos mensuales, en cinco años. Dos años después lo vende en $90.000, transfiriéndola deuda y recibiendo el saldo al contado. La tasa de transferencia de la deuda, fue del 1,5% mensual. ¿Cuál fue el saldo recibido? 133) Préstamo a sistema francés por $100.000 con tasa 0,5% mensual, en 30 cuotas mensuales. Luego de la octava cuota se reduce el plazo en 5 cuotas y aumenta la tasa de interés al 0,7% mensual. Hallar: a) Cuota original b) Interés de la cuota 4 (nuevo esquema) c) Amortización de la cuota 6 (nuevo esquema) 134) Dado un préstamo de $1.000.000 a amortizar en 4 años por el sistema francés a una tasa anual del 10% se le solicita: a) Confeccionar el cuadro de marcha b) Calcular el total amortizado luego de pagada la cuota nro.3 c) A cuánto ascendería la primera cuota si el préstamo sería bajo el sistema Alemán 135) Usted está pensando en adquirir un departamento de 3 ambientes en el barrio de Belgrano, para lo cual necesitaría un préstamo bancario de $200.000. Luego de una recorrida por distintas instituciones financieras recabó la siguiente información: TNA 36% - Plazo 120 meses a) ¿Cuál sería la cuota que debería abonar si quiere obtener el préstamo de $200.000? b) ¿Cuál es la TEA que estaría pagando? c) Si las cuotas se abonaran en forma bimestral (manteniendo el plazo original), ¿Cuál sería el valor de la misma? d) ¿Cuál sería el valor máximo a pedir prestado (en 120 cuotas), si por una restricción, la cuota máxima que podría solicitar en préstamo no puede afectar más del 30% de su salario ($10.000) al pago de la misma? 136) Liza Rogers recibió un préstamo de negocios por $10.000 que deberá reembolsar en tres pagos anuales iguales y consecutivos. La tasa de interés sobre el préstamo es del 13% anual. Como parte de la planeación financiera de su empresa, Liza desea determinar la deducción de intereses anuales atribuibles al préstamo. (Debido a que es un préstamo de negocios, la porción de interés de cada pago del préstamo es deducible de impuestos a las ganancias para la empresa) a) Determine el pago anual del préstamo que deberá realizar la empresa b) Elabore un programa de amortización para el préstamo c) ¿Cuál será el gasto de intereses que tendrá la empresa de Liza en cada uno de los tres siguientes años como resultado de este préstamo? 137) Usted está pensando en comprar una propiedad, para lo cual necesitaría un préstamo de $50.000. Luego de una recorrida por distintas instituciones financieras pudo obtener la siguiente información: TNA 9% - Plazo 120 meses

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a) ¿Cuál sería la cuota que debería abonar si quiere obtener el préstamo de $50.000? b) ¿Cuál sería el valor máximo a pedir prestado, si por una restricción, la cuota máxima que podría solicitar en préstamo no puede afectar más del 20% de su salario ($2.000) al pago de la misma? 138) Los préstamos hipotecarios para la vivienda suelen contener comisiones a veces expresadas en puntos porcentuales. Cada uno de ellos significa que el prestatario debe pagar un 1% de la cantidad del crédito como tasa. Por ejemplo, si el préstamo es de $100.000 y se le aplican dos puntos porcentuales, el plan de pagos se calcula sobre el préstamo de $100.000, pero la cantidad neta que el prestatario recibe es sólo de $98.000. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se aplica a este préstamo, suponiendo que los pagos se extienden durante 360 meses? Suponga una tasa de interés del 1% mensual. Sistema Alemán

139) Se otorga un préstamo de $100.000 con intereses sobre saldos y amortización constante a la tasa del 6% mensual a devolver en 5 cuotas. Calcular: a) Cuota total del momento 3 b) Interés del momento 5 c) Cuota de capital del momento 2 d) Saldo de deuda del momento 4 140) Cuánto amortizaré luego de 4 pagos mensuales, tratándose de un sistema alemán, cuya tasa es del 14% nominal anual con capitalización bimestral. El interés abonado en la primer cuota es de $1.160 y n=5. Sistema Americano

141) Dado un préstamo americano con las siguientes características: monto del préstamo $100.000, duración 10 años, tasa 5 % anual, calcular: a) La cuota anual a abonar. b) El monto total a pagar en el último período. 142) Una deuda de $2.000.000, a 10 años, se amortiza por el sistema americano. Determinar: a) La cuota de capital al 3,5% semestral pasiva b) La cuota de interés al 5% semestral activa c) La cuota total. 143) Un préstamo de $50.000, se amortiza por el sistema americano en 5 años, a una tasa del 8% % anual, calcular: a) La cuota anual a abonar b) El monto total de intereses pagados c) El monto total a pagar en el último período 144) Determinar la cuota total a pagar en un préstamo bajo el sistema americano de $200.000 acordado a devolver en 10 cuotas sabiendo que la tasa de interés activa es del 8% y la tasa de interés pasiva es del 6,5%. Sistema Directo

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145) ¿A cuánto ascenderá la cuota de un préstamo de $80.000 a pagar en 10 cuotas mensuales con una tasa directa mensual del 1%? 146) Recibe un préstamo de $2.000 a devolver en 5 cuotas mensual. La tasa directa es del 3% periódica. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? 147) ¿Cuál debería ser la tasa directa a pactarse en un préstamo de $ 1.000 a amortizarse en 12 cuotas, sabiendo que el costo efectivo del préstamo deber ser del 5% periódico? 148) En ocasiones, las casas de venta de electrodomésticos fijan las tasas de interés bajo la forma de “interés directo”. En este caso, si un crédito a 1 año se fija al 20% de interés anual, y usted realiza una compra de $1.000, deberá devolver $1.200 en total. Pero hace estos pagos en cuotas mensuales de $100 cada uno. a) ¿Cuáles son la TNA y TEA verdaderos de esta financiación? b) ¿Por qué, incluso antes de hacer cálculo alguno, debería haber sabido que las verdaderas tasas de interés deben ser superiores al 20%?

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Resultados: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58)

$13.680 $16.000 $90.000 10% semestral $1.200 7,5% anual 6 años $13.680 25 meses 25 meses $2.154 $17.875 $11.146,66 $28.889 - $28.767 $2.125 2 meses $8,75 - $758,75 Interés 300 - amortización de capital $8,59 36% 46% 30 meses 10 meses 10,55% 96% $883.750 $5.046 $1.415,09 $582,52 Pago contado, ahorro $2,43 $437,73 $518 $532,71 $1.111,24 $988,31 $1.000 $481,32 $1.230 $1.000 el día de hoy 11 meses $15.500 - b) $11.833,33 c) $21.000 a) $783.33 – b) 1.96% - 5,88% - c) 51 a) V – b) F $855.78 c) V $1.500 - $1.304,34 $8.500 - $8.695,65 $52.000 $8.190 $20.056,82 $94 - $94,33 13,64% $37,50 - $1.462,50 $5.102,04 $38.465,60 $14.945,16 8,43% anual $72.849 $104.635,80 $6.044,85 7,65% anual

59) 60) 61) 62) 63) 64) 65) 66) 67)

6 semestres $144.270 $66.851 20,09% bimestral $26.229,51 $37.710,88 $11.961 - $13.070 mejor opción b) - $4.457,28 a) $80.037– b) 1.59% - c) 46,56 – d) $74.295 68) a) $7.853– b) $7.7737- c) $8.460 – d) $847,99 69) a) $73.605– b) 2.8%- c) 28.071 – d) $65.056 70) a) $19.309 – b) 45.146 71) $9.837,67 - b) n = 15 meses 72) $112.750 - 13,89% 73) 0,83% mensual 74) A y C 75) $23.818,20 76) a) $2.311,39 - b) $2.287,10 - c) Banco dos 77) 0,15% 78) TNA10 = 49,11% - TNA30 = 49,77% TNA90 = 51,83% 79) a) 12% - b) 5,92% - c) 0,99% - d) 1) 12% 2) 12,37% 3) 12,73% 80) 30 días: TEA: 72,89% TEM: 4,6% - 60 días: TEA: 70,86% TEM: 4,5% - 120 días: TEA: 67,20% TEM: 4,32% 81) a)13,17% - b)13,21% - c)13,24% d)13,32% - e)13,35% - f)13,54% 82) 0,25% - 0,29% - 0,31% - 0,35% - 0,39% 0,49% 83) Tasa bimestral = 14,49% - TEA: 127,77% 84) TEA = 6,16% 85) a) 1,85% b) 7,61% 86) a) 0,64% b) 3,77% c) 7,82% d) 1,28% 87) 85,37% - 87,82% - 99,24% - 128,30% 88) Banco Anual (8% vs 7,79%) 89) 0.5% - 6.26% - 1.032.500 90) a) 3 - b) 36,5% - c) 9,27% 91) a) 93,76% - b) 90,15% - c) 88,41% 92) a) 12% - b) 12,36% - c) 12,67% - d) 12,68% 93) 2,616% mensual 94) 39,41% 95) 7,55% 96) 162% 97) CALCULAR 98) 1,24% 99) 2,94% 100) a) 3% - b) 7,12% - c) 9,18% 101) a) $15.457,13 - $17.033,14 -b) $1.576 102) 6,91% mensual 103) 37,17% 104) $10.375,22 105) $2.690,10 106) $41.820,31

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107) 108) 109) 110) 111) 112) 113) 114) 115) 116) 117) 118) 119) 120) 121) 122) 123) 124) 125) 126) 127) 128) 129) 130) 131) 132) 133) 134) 135) 136) 137) 138) 139) 140) 141) 142) 143) 144) 145) 146) 147) 148)

10 cuatrimestres a)1.406,24 b)867,67 c) 701 d) 626,33 e) 587,5 f) 537,90 $775.983,14. $297.780,79 Más conveniente “B” 9% $3.216. Alquilar ($38.132 vs $40.000) Pago al contado ($90 vs $93,08) $231,60. a) $308 y $215,60 – b) $4.625.631 – c) $40.735 a) $885.185 - b) $328.988 - c) $6.341,74 y $2.356,97 a) $7.666 – b) $19.566 – c) $33.516 a) $26.300 – b) $27.750 – c) $26.300 mejor financiación ($9.493,49 vs $11.000) $52,56 a) $33.661,24 - b) $35.258 - c) el flujo mixto - d) si a) $2.722.333 - b) No - c) SI 19,95% $2.004 $989,52 - $3.855,26 a) $43.294,77 – b) $7.835,26 – c) $18.594,10 a) 7.358,17 - b) 4.000 - c) 7.075,15 d) n=16 a) 1.490,29 - b) 4.902,93 c) V2= 8.564,16 V4=6.889,43 V10=$ 0 $868,55 7 cuotas $67.849,32 a) $3.597,89 b) $435,53 - c) $4.305,14 Calcular Calcular a) $4.235,22 - c) $1.300 $918,4 $487,24 a) $633,38 - b) $31.576,68 12,95% a) $23.600 - b) $1.200 - c) $20.000 - d) $20.000 $80.000 a) $5.000 – b) $105.000 a) $70.722 – b) $100.000 – c) $170.722 a) $55,9248 - b) $49,94 $30.820,94 $8.800 a) a1) 0,025 - a2) 0,033 - a3) 0,050 a4) 0,10 - b) 0,032635 2,95% a) 35,07% - 41,30%

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