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• DIEGO CALDERÓN

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CÁLCULO DE VIGAS 1. Para la sección de la viga que se muestra, calcular el momento nominal f’c=270 kg/cm2 para un f’y=4200 kg/cm2.

H = de 50 a 60 cm con dos decimales.

b=

𝐻 2

H = 58.88 cm

b=

58.88 2

b = 29.44 cm

DESARROLLO: i) Cálculo del peralte efectivo “d” d=H–X

X = (recubrimiento + ∅ 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒐 + d = 58.88 – (4 + 0.95 +

∅ 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐 ) 𝟐

𝟐.𝟓𝟒 ) 𝟐

d = 52.66 cm ii) Cálculo del área de acero: 𝑨𝒔 = 3 ∅ 𝟏“ 𝑨𝒔 = 3 𝒙 5.10 cm2 𝑨𝒔 = 15.30 cm2

======>

𝑨𝒔 = 2 ∅ 𝟏𝟐𝒎𝒎 𝑨𝒔 = 2 𝒙 1.13 cm2 𝑨𝒔 = 2.26 cm2

𝑨𝒔 = 17.56 cm2

iii) Cálculo de la cuantía

𝝆= 𝝆=

𝑨𝒔 𝒃𝒅

𝟏𝟕.𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝟐𝟗.𝟒𝟒 𝒄𝒎 𝒙 𝟓𝟐.𝟔𝟔 𝒄𝒎

𝝆 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟑

iv) Cuantía balanceada

𝝆𝒃 = 𝜷𝟏 +

𝒇′ 𝒄 𝟎. 𝟖𝟓 ′ 𝒇𝒚

𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎+𝒇′ 𝒚

𝟐𝟕𝟎 𝝆𝒃 =(𝟎. 𝟖𝟓) + 𝟎. 𝟖𝟓 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎+𝟒𝟐𝟎𝟎

𝝆𝒃 = 0.0273 Entonces: 𝝆< 𝝆𝒃 Falla Dúctil v) Para el momento nominal

𝒂 𝟐

𝑴𝒏 = 𝑨𝑺 *𝒇′ 𝒚 (𝐝 − ) Determinar el valor de “a”

𝑨𝑺 𝒇′ 𝒚 𝒂= 𝟎. 𝟖𝟓 𝒇′ 𝒄 𝒃 𝟏𝟓𝟕. 𝟓𝟔𝒄𝒎𝟐 𝒙𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝒂= 𝒌𝒈 𝟎. 𝟖𝟓 ∗ 𝟐𝟕𝟎 ∗ 𝟐𝟗. 𝟒𝟒𝒄𝒎 𝒄𝒎𝟐

𝒂 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟐 𝒄𝒎 Determinamos el momento nominal

𝑴𝒏 = 𝑨𝑺 *𝒇 𝒚 (𝐝 − ′

𝒂 ) 𝟐

𝟏𝟎.𝟗𝟐 Mn = 17.56 cm2 * 4200 kg/cm2 * 52.66cm 𝟐 Mn = 3883774.862 Mn = 38.84 Tn-m

vi) Requisitos de cuantía

𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟕𝟓𝝆𝒃 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟕𝟓 (𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟑) 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟏 𝒇′ 𝒄

𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟖

𝒇′ 𝒚

𝟏𝟒 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟒𝟐𝟎𝟎

𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟖

𝟐𝟕𝟎 𝟒𝟐𝟎𝟎

𝝆𝒎𝒊𝒏 = 0.033

𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟏𝟐𝟗

𝝆𝒎𝒂𝒙

𝝆

𝝆𝒎𝒊𝒏

𝟎. 𝟎𝟐𝟏

𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟑

𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑

𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆

2. Determinar que tipo de falla es. Si es falla Frágil determinar el fs. Determinar el momento nominal si f’c=270 kg/cm2 para un f’y=4200 kg/cm2.

H = de 50 a 55 cm con dos decimales.

H = 52.22 cm

b=

52.22 2

b = 26.11 cm

DESARROLLO: i) Cálculo del peralte efectivo “d” d=H–X

X = (recubrimiento + ∅ 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒐 + d = 52.22 – (4 + 0.95 + 2.54 +

∅ 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐 ) 𝟐

𝟏.𝟗𝟏 ) 𝟐

d = 43.78 cm ii) Cálculo del área de acero: 𝑨𝒔 = 5 ∅ 𝟏“ 𝑨𝒔 = 5 𝒙 5.10 cm2 𝑨𝒔 = 25.50 cm2

𝑨𝒔 = 5 ∅ 𝟑/4” 𝑨𝒔 = 5 𝒙 2.84 cm2 𝑨𝒔 = 14.2 cm2

======> 𝑨𝒔 = 39.7 cm2 iii) Cálculo de la cuantía

𝝆= 𝝆=

𝑨𝒔 𝒃𝒅

𝟑𝟗.𝟕 𝒄𝒎𝟐 𝟐𝟔.𝟏𝟏𝒄𝒎 𝒙 𝟒𝟑.𝟕𝟖 𝒄𝒎

𝝆 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓

iv) Cuantía balanceada

𝝆𝒃 = 𝜷𝟏 +

𝒇′ 𝒄 𝟎. 𝟖𝟓 ′ 𝒇𝒚

𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎+𝒇′ 𝒚

𝟐𝟕𝟎 𝝆𝒃 =(𝟎. 𝟖𝟓) + 𝟎. 𝟖𝟓 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎+𝟒𝟐𝟎𝟎

𝝆𝒃 = 0.0273 Entonces: 0.035 > 0.0273

𝝆> 𝝆𝒃 Falla Frágil Entonces: 𝒇𝒔 ≠ 𝒇𝒚 =⇒ 𝒇𝒔 ≤ 𝒇𝒚

𝜷𝟏 𝒅 − 𝒂 𝒇𝒔 = 𝟔 𝒂 Sabemos:

𝑪𝒄 = T 0.85f’c ba = 𝑨𝒔 𝒇𝒔 Reemplazando: 0.85 f’c b a = 𝑨𝒔 𝟔

𝜷𝟏 𝒅−𝒂 𝒂

0.85 f’c b a = 𝑨𝒔 𝟔

𝜷𝟏 𝒅−𝒂 𝒂 𝟎.𝟖𝟓∗𝟒𝟑.𝟕𝟖−𝒂 𝒂

(0.85) (270 kg/cm2) (26.11cm) a =(39.7 cm2) 𝟔( 5992.62 a =

𝟖𝟖𝟔𝟒.𝟏𝟒 −𝟐𝟑𝟖.𝟐 𝒂 𝒂

𝟓𝟗𝟗𝟐. 𝟔𝟐 𝒂𝟐 + 𝟐𝟑𝟖. 𝟐 𝒂 − 𝟖𝟖𝟔𝟒. 𝟏𝟒 = 𝟎 (kg/cm2)

𝟓. 𝟗𝟗𝒂𝟐 + 𝟐𝟑𝟖. 𝟐 𝒂 − 𝟖𝟖𝟔𝟒. 𝟏𝟒 = 𝟎 (tn/cm2)

Desarrollando la ecuación cuadrática Se obtiene: a = 23.42 En 𝒇𝒔 = 𝟔

𝜷𝟏 𝒅−𝒂 𝒂

Reemplazamos: 𝒇𝒔 = 𝟔

𝟎. 𝟖𝟓 ∗ 𝟒𝟑. 𝟕𝟖 − 𝟐𝟑. 𝟒𝟐 𝟐𝟑. 𝟒𝟐

𝒇𝒔 = 𝟑. 𝟓𝟑 𝒕𝒏 − 𝒄𝒎𝟐

==> fs < fy 3.53 < 4.20

v) Sabemos que: para el momento nominal ==> fs = 3.53 tn-cm2 𝒂

𝑴𝒏 = 𝑨𝑺*𝒇′ 𝒚 (𝐝 − 𝟐) Mn = 39.7 cm2 * (3.53 tn-cm2) * (43.78 cm Mn = 4494.32 tn.cm Mn = 44.94 Tn.m vi) Requisitos de cuantía

𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟕𝟓𝝆𝒃 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟕𝟓 (𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟑) 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟏 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟖 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟖

𝒇′ 𝒄 𝒇′ 𝒚 𝟐𝟕𝟎 𝟒𝟐𝟎𝟎

𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟏𝟐𝟗

𝟏𝟒

𝝆𝒎𝒊𝒏 =𝟒𝟐𝟎𝟎 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 0.033

𝟐𝟑.𝟒𝟐 ) 𝟐

Finalmente se tiene:

𝝆

𝟎. 𝟎𝟑𝟓

𝝆𝒎𝒂𝒙

𝟎. 𝟎𝟐𝟏

𝝆𝒎𝒊𝒏

𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟏𝟐𝟗

𝝆 > 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝝆 > 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝑵𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆